OLYMPIADE DE MATHÃMATIQUES : 2âŋ - 2áĩ = 4080
āļāļąāļ
- āđāļāļĒāđāļāļĢāđāđāļĄāļ·āđāļ 7 āļ.āļ. 2022
- ðŊ Muscle ton cerveau en faisant de ton quotidien un exercice de maths que tu sauras rÃĐsoudre ðŠ : hedacademy.fr
Question tirÃĐe des olympiades de maths.
DÃĐterminer les entiers positifs n et m tels que
2âŋ - 2áĩ = 4080
Je suis embÊtÃĐ parce que je savais que 4096 ÃĐtait une puissance de 2. Du coup 16 aussi et du coup sans raisonner jâavais les bonnes puissances ^^
Pareil pour moi
Pareil
On est beaucoup dans ce cas, la difficultÃĐ ÃĐtait de prouver l'unicitÃĐ de la solution!
idem pour moi, 4096=4080+ 2^4...et on avait 2^n-2^m+2^4=4096 soit 2^n-2^m=2^12-2^4 donc on avait bien 12 et 4 mais je me demandais si c'ÃĐtait les seules solutions possibles pour n et m
@@Axel_Roffi Pareil. C'est dommage d'ailleurs que @hedacademy ne le mentionne pas. Quand on arrive à 2^m * Ximpair = 4080, la decomposition en facteurs premiers ÃĐtant unique on a donc 2^m=2^3 et (2^k-1)=3*5*17, ce qui prouve l'unicitÃĐ je suis d'accord avec toi
Vous Êtes vraiment formidable....
On aime votre façon de traiter les problÃĻmes.
C'est beau! ð
Je retiens la dÃĐmonstration. Pas mÃĐcontent, je n'ai pas su aller au delà de la formule factorisÃĐe avec des puissances inconnues mais le dÃĐbut ÃĐtait bon, restait la logique qui opÃĐrait aprÃĻs âšïļ
Je trouve ce mode de rÃĐsolution trÃĻs intÃĐressant et ÃĐlÃĐgant. En parlant d'autres chaÃŪnes, la chaÃŪne ÂŦMultiply divideÂŧ a d'autres exercices de ce type, un peu plus relevÃĐs, soit en base 2 ou en base 3, ce qui complique les choses, car si vous avez fait de l'informatique les bases 2 ça va tout seul, alors que la base 3...
Magnifique.... Un rÃĐgal à voir.
super exercice, jour aprÃĻs jour on s'amÃĐliore, et on dit MERCI QUI ???? MERCI HEDACADEMY's brothers
Câest passionnant moi jâavais pas du tout fait comme sa jâavais fait des test avec 4096 mais maintenant que jâai vu le raisonnement je rÃĐalise que je ne mây suis pas pris de la bonne maniÃĻre pour trouver la solution merci
TrÃĐs joli, et trÃĐs stimulant .
Bravo
TrÃĻs intÃĐressant ðŠðŠ
Je vois beaucoup de gens qui disent avoir trouvÃĐ les valeurs parce qu'ils ont reconnu 4096 ou autre. C'est bien, vous avez trouvÃĐ une solution. Selon la façon dont le problÃĻme ÃĐtait posÃĐ, ça pouvait suffire ou pas. En tous cas, sans la dÃĐmonstration, vous pouvez dire que vous avez *une* solution mais vous ne pouvez pas dire que c'est la seule solution possible.
Trop cool ! J'adore ðĪĐ
Une autre façon de trouver la solution tout en prouvant l'unicitÃĐ de celle-ci:
On constate que n >= 12 car il faut que 2^n > 4080
Maintenant en prenant n > 12 on peut essayer de minimiser 2^n -2^m pour ça on choisi m=n-1 on a alors:
2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1)
Or cette fonction est strictement croissante et son premier terme (pour n=13) est 4096 > 4080
Donc pour tout n > 12, quelque soit m < n on a pas de solution.
Il reste uniquement n = 12 et on dÃĐduit m = 4
Oui plus rapide et plus fin comme raisonnement
TrÃĻs propre merci !
J'adore ce type!
Oui ça m'a plut et en plus j'ai compris.
Merci
Super intÃĐressant Professeur. AmitiÃĐs.
Salut, j'adore vos exercices
Merci pour l'explicationð
2^n - 2^m = 4080 = 8 x 510 = 8 x 2 x 255 = 2^4 x 255
(2^n - 2^m)/2^4 = 255
2^(n - 4) - 2^(m - 4) = 255
On sait que 2^8 = 256
Donc 2^(n - 4) - 2^(m - 4) = 255 = 2^8 - 1
n - 4 = 8 et m - 4 = 0 => n = 12 et m = 4
Merci professeur
J'avais rÃĐussi en faisait exactement la mÊme chose (factoriser, changer de variable, dÃĐcomposer en facteurs premiers), mais j'ai pas pensÃĐ Ã sÃĐparer pair/impaire, ça fait gagner un peu de temps.
Merci beaucoup
Let's go j'ai mit un commentaire il y a quelques vidÃĐos pour des questions d'olympiades, je sais pas si c'est grÃĒce à ça mais merci ! J'adore la vidÃĐo
Si si je lâavais vu, câÃĐtait un petit clin dâÅil en plus en le citant. En vrai plusieurs vidÃĐos sont inspirÃĐes des olympiades, jâoublie de le mentionner. Mais cette fois-ci grÃĒce à toi jây ai pensÃĐ ð ððž
Merci beaucoup ! On voit que tu lis les retours ça fait plaisir : )
bon exemple et l'approche pour le rÃĐsoudre. ça va sans doute m'ÃĐclairer sur un calcul de capacitÃĐ de disque dur...
2^n-2^m = 4080
2^n = 4080+2^m
A partir de là il suffit de calculer toutes les puissances de 2 jusqu'à un nombre supÃĐrieur à 4080.
Pour quelqu'un qui s'y connait un peu en informatique, il connait cela :
On sait que 1024 est 2^10 (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024)
2048, 4096 (hop ça y est nous sommes pile au dessus de 4080)
Or 4096 = 2^12 = 2^n
n=12
4096-4080 = 16 = 2^4 = 2^m
m=4
TrÃĻs astucieux. Chapeau!!
trÃĻs facile surtout oui... extrÊmement facile meme
Bsahtek khouya
Yes enfin j'ai trouvÃĐ une bonne rÃĐponse avant la correction :)
Bon j'avoue comme je suis en filiÃĻre numÃĐrique et ÃĐlectronique je connaissais mes puissances de 2.
Merci pour ce partage, vous Êtes TOP
J'ai envie de parier que tu avais eu l'intuition d'une solution ÃĐvidente, mais que tu n'as pas cherchÃĐ Ã prouver qu'il n'y en avait pas d'autres...
@@42ArthurDent42 Bah en fait, jsuis ÃĐlectronicien donc j'ai l'habitude des mots binaires... Le 2^10 je connaissais dÃĐjà et donc en montant juste deux crans au dessus t'as 2^12 qui fait 4096 et donc pour soustraire 16 je sais que 2^4 = 16. Oui je me suis pas trop cassÃĐ la tÊte ð ð
@@kitsune6834 Oui, la solution (4,12) est ÃĐvidente ! l'intÃĐrÊt de l'exo est de montrer que c'est la seule, et là c'est plus dur !
@@42ArthurDent42 Exactement si la question c'est montrer que... Jsuis foutu ðĨē mais grÃĒce à ce super prof je pourrais prÃĐtendre faire un autre de ce genre ð.
@@42ArthurDent42tu sais comment on peut demontrer lâunicite
ici un vieux (MPSI 96) j'adore ;) CONTINUE
Excellent.
1024, 2048, 4096, 8192, ...
Quand on taf dans l'informatique on est habituÃĐ Ã ces puissances là .
Je l'ai fait de tÊte en moins de temps mais l'approche ÃĐquation est super intÃĐressante.
Merci.
Hahahah pareil
Dis toi que j'ai pensÃĐ exactement à ton commentaire dans un exercice d'olympiades de maths pour utiliser les nombres binaires, sans quoi j'aurais pas trouvÃĐ la solution. Merci ! x)
Merci
S'il vous plaÃŪt je voudrais que vous continuez de traiter les exos olympiade de maths
AprÃĻs n>m => n-1âĨm (car n et m entiers) => 2^(n-1)âĨ2^m => 2^n-2^mâĨ2^n-2^(n-1)=2^(n-1).
On a donc, s'il y a une solution, 2^nâĨ2^n-2^m=4080âĨ2^(n-1). Donc n=12 puis m=4.
Je t'adore
Ãtant informaticien, je connais trÃĻs bien mes puissances de 2 alors j'ai fait 4080 = 4096 - 16 = 2^12 - 2^4 mais j'ai bien aimÃĐ la solution factorisation !
Oui câest une solution triviale mais lâenjeu ÃĐtant ici de prouver aussi lâunicitÃĐ de la solution ce qui nâest pas le cas avec votre mÃĐthode
sinon, tu ÃĐcrit en binaire le nombre 4080 = 1111 1111 0000 et donc pour obtenir ca a partir de 2 puissances de 2 il faut 1 0000 0000 0000 - 1 0000 soit 2^12 - 2^4
Je pense qu'il manque un 1 dans ta dÃĐcomposition de 4080 et un 0 dans celle de 2^12
@@MrChompenrage oui, probable
En partant de 2^10=1024, on trouve que 2^12=2Âēx2^10=4x1024=4096. On trouve alors que 4080=4096-16=2^12-2^4. On peut alors conclure que n=12 et m=4. Voilà , je ne sais pas si c'est assez rigoureux pour un excercice oÃđ on doit rÃĐdiger, mais ça permet d'aller rapidement à la rÃĐponse. La seule limite c'est qu'on n'a pas dÃĐmontrÃĐ que ce sont les seules solutions
oui ahah t'as rien prouvÃĐ du tout ! t'as juste trouvÃĐ une solution ÃĐvidente ;)
@@42ArthurDent42 dsns cette exo il devait juste trouver m et n donc sa marche en aucun cas c est ecris dÃĐmontrer
Ma solution favorite, m=4 car 4080 est ÃĐgal à 255 x 2^4 et n est ÃĐgal 12 car 2^n > 4800 mais 2^(n-1)
peux t-on utiliser le logarithme à base 2 ?
TrÃĻs bien
Moi ayant jouÃĐ au jeux 2048 je connais quasi toute les puissance de 2.
J'ai compris cash que c'ÃĐtait 4096-16 plus qua trouve l'exposant.(2E12 2E4)
pareil bahaha
Attention, la notation "E" renvoie à l'ÃĐcriture scientifique! 2E12 veut dire 2 x 10^12.
Pareil mdr
@@Laggron93 Ã oui mince.
C'est juste que je voulais dire exposant.
Mais pourquoi vous en revenez tous à ces valeurs 4096 et 16 ?
Que viennent elles faire ici ?
Pour ÃĐviter l'intuition sur la puissance de 2 Ã la fin:
2^k-1 = 255
2^k = 256
kln2=ln(256)
k=ln(2*2*2*2*2*2*2*2)/ln2
k= (ln2+ln2+ln2+ln2+ln2+ln2+ln2+ln2)/ln2
k = 8ln2/ln2
k=8
Au moins là un ordi peut le faire
meilleur prof ever c bon ?
J'ai une autre mÃĐthode: on prend l'ÃĐcriture binaire de 4080 qui est 111111110000 il y 4 zÃĐros et 8 uns donc 2^4 et 2^12. Et on peut se convaincre que ça marche en essayant avec 2016
Bien vu! Codeur assembleur? :)
Moi je suis toute de suite allÃĐ au racine de 4080 jusqu à trouver un nombre impair(255x4x4 ou 2^4) donc m-4 est ÃĐgal à 0 pour que 2^(m-4) soit ÃĐgal à 1
AprÃĻs il reste jute le calcul pour n
J'ai fait une solution un peu plus intuitive sans passer par k:
2^n - 2^m - 4080 = 0 2^4 ( 2^(n-4) - 2^(m-4) - 255) = 0 => 2^(n-4) - 2^(n-4) = 255
Comme n> m , m = 4 (impossible d'obtenir un nombre impair sans m-4 = 0, seule une puissance entiÃĻre de 2 nulle peut crÃĐer un nombre impair)
Donc 2^(n-4) - 1 = 255 2^(n-4) = 256 => n-4 = 8 < => n = 12
J'ai fait une approche un peu diffÃĐrente mais qui tient surement aussi la route. En fait, dans ce cas, 2^n sera toujours la puissance la plus proche juste au dessus du rÃĐsultat (4080). ça ne peut pas Être 2^n-1 car aucune autre puissance de 2 ne pourrait atteindre le rÃĐsultat, ni 2^n+1. Connaissant 1024 comme 2^10, je savais qu'effectivement 4096 ÃĐtait 4x1024 donc 2^(10+2) = 2^12. Donc n=12, puis la diffÃĐrence entre 4096 et 4080 ÃĐtant de 16, cela voulait dire m=4, puisque 2^4=16.
Je suis passÃĐ par des considÃĐrations bien pÃĐnibles pour montrer que 2^n - 2^m pour des entiers tels que n>m ÃĐtait compris entre 2^n-1 et 2^n pour prouver l'unicitÃĐ de n dans une telle ÃĐquation, pour ensuite dÃĐterminer m en connaissant n... Je me suis bien cassÃĐ la tÊte pour rien!
Difficile sans avoir la technique mais mathÃĐmatiquement câest faisable pour beaucoup de monde
Moi je savais que 2^12 = 4096. Du coup 4096 - 16 = 4080. Or 16 c'est 2^4. J'ai trouvÃĐ le rÃĐsultat en 15 secondes, mais il fallait connaÃŪtre les puissances de 2.
Jâai fait un raccourci parce que je connais les 1ere puissance de 2 , et 4080 trÃĻs proche de 4096. Puis 4096-4080 = 16, une autre puissance de 2âĶ. Câest un peu tricher mais ça marche. Pour des puissances de 3 câÃĐtait un autre problÃĻmeâĶ
J'ai essayÃĐ une methode plutot plus simple pour le resoudre
On a : 2âŋ - 2áĩ = 4080
J'ai essayÃĐ de lister les puissances de 2, et alors a noter que ( 2^12 = 4096 = 4080 + 16 ; et on sait que 2^4 = 16)
On aura alors : 2âŋ = 4080 + 2áĩ
On met : m = 4
Ce qui donnera : 2âŋ = 4080 + 2^4 = 4096
On dÃĐduit alors que : n = 12
Sympa :D
Salut j'aimerai savoir si possible tu es en quelle classe ? ( niveau d'etude ) Merci
@@elc6927 jâai deja fini mes etudes ( jâai 25 ans ð) je suis ingÃĐnieur
@@mohamedkaram8094 super je te remercie
@@elc6927 tâas besoin de qlq chose ?
@@mohamedkaram8094 Non en fait c'est juste que je suis en spÃĐ maths en 1ere et bon je m'en sors avec 14 de moyennes mais je suis super mauvais en maths ... Et ÃĐtant donnÃĐ que je veux faire maths expertes l'annÃĐe prochaine ( puisque je veux aller en PCSI) j'aimerai bien m'amÃĐliorer c'est tout. Quand j'ai vu ton commentaire je me suis demandÃĐ quel ÃĐtait ton niveau d'ÃĐtude puisque je n'ai su trouver la rÃĐponse...Voilà tout
TrouvÃĐ toute seule ððŠ
Quand on baigne dans l'informatique depuis l'enfance, on connaÃŪt les puissances de 2 au moins jusqu'Ã 8192.
4080 ÃĐvoque de suite 4096 - 16
En utilisant la fonction ln , on trouve n = 12 et m = 0 ou m = 12 et n = 0
peux t-on utiliser le logarithme à base 2 pour le rapport 2^n/2^m = 2^(n-m) ?
C'est ce que j'ai egalement fait et je me suis avec une valeure de 12.99435 (5 pd) pour n et 11.99435 (5pd) pour m. Je pense que le prof n'a pas precise si les valeurs devaient etre naturelles ou reelles.
Bravo professeur ðð
En tant qu'informaticien, on a l'Åil pour les puissances de 2 (je vois dans les commentaires que beaucoup l'ont vu) et on trouve assez vite les solutions.
Mais ta dÃĐmonstration est juste ÃĐnorme ðð
Par contre, 4080 ou 2016 et pas d'autres, tu nous as pas dit pourquoi ðð
je pense que sinon il y a plusieurs solutions possibles
@@leodew7846 Non il n'y a toujours qu'une solution possible, et ça ne fonctionne que pour les nombres qui s'ÃĐcrivent en binaire 1...10...0
@@wildcat1139 bah pour zero il y a une infinitÃĐ de solution
@@leodew7846 La dÃĐmonstration s'appuie sur n>m
Pour moi ce fut une ÃĐvidence, je connais par coeur les puissances de 2 jusqu'Ã 2^13 xD
L'ÃĐcole c'est devenu trop facile à l'heure des nouvelles tech, rÃĐseaux sociaux. La seule contrainte c'est dÃĐsormais de s'assoir et travailler. âĪ
Je l'ai fait en genre 10 secondes sans rien dÃĐmontrer juste en connaissant les puissances de 2 par coeur ^^
4080 = 4096 - 16
C'est beau, astucieux
en 3 sec dans ma tete : 4096 est une puissance de 2 ( en informatique on le sait ) du coup 4096 -4080 = 16 => 2m=16 => m=4 et 2n=4096 => n=12
trop fort
Is it possible to solve this equation [ 3 ^ m - 2^ m = 211 ] using the same steps as solving the equation [ 2 ^ m - 2^ n =4080 ] ?
Assuming m is an integer .Of course, the solution, ( m = 5 ) how , is required to solve the steps
vu la taille du nombre je me suit dit de la premiÃĻre puissance de 2 serait infÃĐrieur à 15 et la deuxiÃĻme beaucoup plus petite puis aprÃĻs juste chercher la puissance la plus proche donc 12 pour 4096 et donc 16 d'ÃĐcart soit 2^4
J'ai procÃĐdÃĐ de la mÊme maniÃĻre, beaucoup plus simple qu'une factorisation avec un changement de variable ... TrÃĻs bel exercice !
@@maxilou8670 OK, maintenant, faites pareil en base 3, 7, 13, 61, ...
Plus simple : 4096 -16 = 4080 donc (2puissance12 - 2puissance4) soit n=12 et m=4
Preums!
2^12=4096, 2^4=16, 4096-16=4080 le compte est bon Laurent ! ð bon ayant fait un peu de programmation quand jâÃĐtais jeune je me souvient de quelques puissances de 2 donc je lâai vu tout de suiteâĶ toutes les routes mÃĻnent à Rome !
Tu ne rÃĐponds pas à la question, tu montres juste que le couple (12,4) est solution de lâequation
@@nid7819 bahâĶ si! DâaprÃĻs le thÃĐorÃĻme de lâhomme fainÃĐantâĶ si jâai une solutionâĶ bah câest bon jâai trouvÃĐ ! Non ?
ça m'a sautÃĐ aux yeux que c'ÃĐtait 4096 - 16 donc direct 2^12 - 2^4
Perso j'ai rÃĐsonnÃĐ diffÃĐrent, j'ai remarquÃĐ que le nombre final ÃĐtait 0 donc que le dernier chiffre des rÃĐsultat des exposants sont les mÊmes et que en connaissant les puissances de 2 j'ai pue rapidement trouver n et m
Je ne suis pas entrÃĐ pour voir la solution, mais comment avez-vous ÃĐcrit un numÃĐro de puissance dans le titre
Merci le jeu 2048 qui me rappelle a chaque fois les puissance de deux ... GrÃĒce à ça je sait que 4096 est ÃĐgal à 2^12 aprÃĻs le reste coule tout seul
Exactement ce que je me suis dit. ð je suis arrivÃĐ rapidement à la rÃĐponse, car je trouvais que 4080 ÃĐtait plutÃīt proche de 4096. ð
Pour trouver k on pouvait faire les ln aussi
2exposant k -1=255
2exposant k=254
Kln2=ln254
K=ln254/ln2
K environ 7,9
K =8
ð
C'ÃĐtait vachement long comme mÃĐthode.
Perso, ayant une formation d'informaticien, j'ai de suite vu que c'ÃĐtait 4096 - 16 donc 2^12 - 2^4, ça m'a pris 10 secondes xD
Oui mais le but c'est de trouver toutes les solutions, donc en trouver une par intuition ne suffit pas en maths, il faut aussi montrer qu'il n'y en a pas d'autres !
ð Idem, mÊme formation, j'ai donc vu tout de suite le 4096-16
@@paperyka8160 Tu as raison mais dans ce cas prÃĐcis il ÃĐtait demandÃĐ de dÃĐterminer LES entiers m et n qui conviennent. Cela sous-entend qu'un seul couple de valeurs convient. ð
@@Srtnn...l'ÃĐnoncÃĐ ne dit pas explicitement qu'il n'existe qu'un seul couple solution ;-)
@@herve6525 Si si, c'est clairement sous-entendu. Tu fais des maths ? Si oui, alors tu sais que l'utilisation du "le" dÃĐcrit une unicitÃĐ. Si non, tu n'as pas ton mot à dire.
2^x - 2^y = 4080
x > y , donc 2^y (2^(x-y) -1) = 4080
4080 =
4080 x 1
2040 x 2
1020 x 4
510 x 8
255 x 16
au delà de 16, on est sur des nombres dÃĐcimaux.
cas 2^y = 1:
y = 0
2^(x-y) -1 = 4080
=> 2^(x) = 4081
=> Impossible
cas 2^y = 2:
y = 1
2^(x-y) -1 = 2040
=> 2^(x-1) = 2041
=> Impossible
cas 2^y = 4:
y = 2
2^(x-y) -1 = 1020
=> 2^(x-2) = 1021
=> Impossible
cas 2^y = 8:
y = 3
2^(x-y) -1 = 510
=> 2^(x-y) = 511
=> Impossible
cas 2^y = 16:
y = 4
2^(x-y) - 1 = 255
=> 2^(x-4) = 256
=> x-4 = 8
=> x=12
=> (4,12)
On a trouvÃĐ 2 entiers qui fonctionnent. Peut-on dÃĐmontrer que ce sont les seuls ?
Oui, trÃĻs facilement. Cf mes autres commentaires
Je suis partis sur un autre raisonnement :
On a 2^n -2^m = 4080, Or en dÃĐcomposant 4080 on trouve que 4080= 2^12 - 16 = 2^12 - 2^4. DâoÃđ : 2^n -2^m = 2^12 - 2^4.
Donc à partir du moment oÃđ on part du principe que n et m nâont quâune solution possible alors n=12 et m=4.
La mÃĐthode est ÃĐlÃĐgante mais ne faudrait-il pas montrer pour commencer que le couple {n,m} est unique ?
Pour moi: 2 m est plus petit que la moitiÃĐ de 2 n. 2 n = 4080+ 2 m et ne peut quâÊtre ÃĐgal à 4096 donc n= 12 et m= 4
et si vous trouviez une solution à l'ÃĐquation X * X = pi
On cherche tout de suite une puissance de 2 >4080, on trouve immÃĐdiatement 4096
Donc 4096-16=4080
il faut que vous deveniez prof
Si on connait les premiÃĻres puissances de 2...
2^10=1024, 2^11=2048, 2^12=4096
4096 = 4080 + 16 2^12 = 4080 + 2^4
4080 = 2^12 - 2^4.
4080 J'ai tout de suite vu que c'ÃĐtait 4096 - 16 et du coup 2^12 - 2^4
n=12
m=4
C olympiades collÃĻge ça nn ?
c'est de cette façon que j'ai trouvÃĐ aussi - du mÊme genre quel est le nombre dont la racine carrÃĐe et la racine cubique diffÃĻre de 18 ? avec un raisonnement analogue on peut trouver facilement
Ãa revient à rÃĐsoudre x^3-x^2=18
Du coup la rÃĐponse est 3
@@corenthinoillic44 Tu as mal compris la question. Câest la racine carrÃĐe et la racine cubique. Pas le carrÃĐ et le cube
En vrai j'ai trouvÃĐ uniquement car je connais les puissances de 2 pcq je bosse dans l'informatique.
اØŊŲ اŲŲ ØđاØŊŲØĐ Ø§ŲØĩØŪŲØØĐ ŲŲ 2-2= 0 ŲŲاŲŲ ŲŲŲ ŲØŪØĩŲ ØđŲŲ 4080 ŲØŽØĻ ØŠØØŊŲØŊ ØØŽŲ ŲاŲŲŲ ØŠØą Ų Ų ØŠØą
J'ai opÃĐrÃĐ par erreur et essaie j'ai trouvÃĐ n tels que 12 donc 4096 et m 4 pour 16 donc cela nous donne 4080
En informatique on sait que 4096 est 2^12 (sur la base du fondamental 2^10 = 1024) et comme 4096 - 4080 = 16 donc = 2^4. En consÃĐquence et en conclusion: 2^12 - 2^4 = 4096 - 16 = 4080. A propos, savez-vous pourquoi une pÃĒtisserie bien connue porte le nom de "mille-feuilles" ? Parce la pÃĒte, avant cuisson, est pliÃĐe 10 fois (ÃĐtirÃĐe et pliÃĐe 10 fois) selon la recette et que 2^10 = 1024 ... sauf qu'en cuisine on "arrondit" un peu (1024 devenant 1000). ð
Pour le mille-feuilles l'explication semble allÃĐchante mais comme souvent dans ces cas là personne ne va vÃĐrifier si c'est effectivement juste , sauf moi bien sÃŧr ð
Alors en rÃĐalitÃĐ il n'y a pas 10 pliages mais 6 dans la majoritÃĐ des cas, ensuite ce ne sont pas des pliages en deux.
Mille est symbolique, c'est juste pour dÃĐsigner un grand nombre. Comme dans mille-pattes par exemple.
Je n'ai pas compris la partie de factorisation avant qu'on change par k
Etrange je trouve ça un peu simple pour un exo d'Olympiades, non ?
RÃĐponse de chatGPT, c'est bien partie mais aprÃĻs ...
Pour rÃĐsoudre cette ÃĐquation, il est utile de remarquer que 2^n - 2^m peut aussi s'ÃĐcrire comme 2^n - 2^m = 2^m (2^(n-m) - 1). Cette forme de l'ÃĐquation nous permet de voir que 2^(n-m) doit Être ÃĐgal à 41, car 2^(n-m) - 1 = 4080.
Nous pouvons maintenant rÃĐsoudre cette ÃĐquation en utilisant la propriÃĐtÃĐ suivante : si a et b sont des entiers positifs tels que a^b = c, alors a = c^(1/b). En utilisant cette propriÃĐtÃĐ, nous pouvons ÃĐcrire 2^(n-m) = 41 comme 2^(n-m) = (41)^(1/(n-m)).
Nous savons que 41 est un nombre premier, donc la seule façon pour qu'il soit ÃĐgal à une puissance de 2 est qu'il soit ÃĐgal à 2^5. Cela signifie que n-m doit Être ÃĐgal à 5. Nous ne savons pas encore la valeur de n et m, mais nous savons que n-m = 5.
Nous pouvons maintenant rÃĐsoudre cette ÃĐquation en utilisant la propriÃĐtÃĐ suivante : si a et b sont des entiers positifs tels que a + b = c, alors a = c - b et b = c - a. En utilisant cette propriÃĐtÃĐ, nous pouvons ÃĐcrire n-m = 5 comme n = 5 + m et m = 5 + n.
Nous pouvons maintenant utiliser ces ÃĐquations pour trouver les valeurs de n et m. Par exemple, si n = 5 + m, alors m = n - 5. Si n = 10, alors m = 5. Si n = 15, alors m = 10. Etc.
En rÃĐsumÃĐ, pour que 2^n - 2^m = 4080, il faut que n-m = 5 et que n et m soient des entiers positifs. Plusieurs valeurs de n et m peuvent satisfaire ces conditions, par exemple (n,m) = (10,5), (15,10), (20,15), etc.
En lui disant qu'il fait une erreur, c'est mieux, mais pas encore ça :
Vous avez raison, 2^5 n'est pas ÃĐgal à 41. J'ai mal interprÃĐtÃĐ l'ÃĐquation 2^n - 2^m = 4080 dans ma derniÃĻre rÃĐponse en utilisant la propriÃĐtÃĐ qui permet de trouver la valeur de a lorsque nous connaissons la valeur de c et de b.
Pour rÃĐsoudre l'ÃĐquation 2^n - 2^m = 4080, nous devons utiliser une autre approche. Une façon de rÃĐsoudre cette ÃĐquation est de remarquer que 2^n - 2^m = (2^m)(2^(n-m) - 1). Si nous connaissons la valeur de n-m, alors nous pouvons trouver la valeur de 2^(n-m) en divisant 4080 par 2^m.
En utilisant cette approche, nous pouvons trouver que les valeurs de n et m qui satisfont l'ÃĐquation 2^n - 2^m = 4080 sont (n,m) = (12,4), (17,9), (22,14), etc. Si n = 12 et m = 4, alors 2^n - 2^m = 2^12 - 2^4 = 4096 - 16 = 4080, ce qui montre que ces valeurs de n et m satisfont bien l'ÃĐquation.
Je suis dÃĐsolÃĐ pour les erreurs que j'ai commises dans mes rÃĐponses prÃĐcÃĐdentes. Si vous avez d'autres questions, n'hÃĐsitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.
et finalement :
Vous avez raison, il n'y a que (n,m) = (12,4) comme solution de l'ÃĐquation 2^n - 2^m = 4080. Si n = 12 et m = 4, alors 2^n - 2^m = 2^12 - 2^4 = 4096 - 16 = 4080, ce qui montre que ces valeurs de n et m satisfont bien l'ÃĐquation.
Dans ma derniÃĻre rÃĐponse, j'ai indiquÃĐ que les valeurs de n et m qui satisfont l'ÃĐquation 2^n - 2^m = 4080 sont (n,m) = (12,4), (17,9), (22,14), etc. Cette information ÃĐtait erronÃĐe, car seules les valeurs (n,m) = (12,4) satisfont l'ÃĐquation.
Je suis dÃĐsolÃĐ pour cette erreur et pour toutes les erreurs que j'ai commises dans mes rÃĐponses prÃĐcÃĐdentes. Si vous avez d'autres questions, n'hÃĐsitez pas à me les poser. Je ferai de mon mieux pour vous aider.
@hedacademy tu ne sera pas encore au chÃīmage !
@@VincentCama waouh, super test pour gpt4 je vais essayer ça sur d'autres trucs rigolos !
Alors moi j'ai ouvert Excel et listÃĐ les puissances de 2.
J'ai vu que 2^12 soit 4096 ÃĐtait la premiÃĻre puissance de 2 supÃĐrieure à 4080 et il me restait 16 soit 2^4.
Au delà de 12, aucune puissance de 2 minorÃĐe de 4080 ne donne une puissance de 2.
votre remarque est amusante , si la puissance x existe elle doit satisfaire l'ÃĐgalitÃĐ en dÃĐsignant par y l'ÃĐventuelle puissance de 2 espÃĐrÃĐe
2px - 4080 = 2py soit 2px - 2py = 4080 GENIAL !
Avis à tous les informaticiens : y'a pas que vous qui connaissez les puissances de 2...
Sans doute mais si ça avait ÃĐtÃĐ des puissances de 3 on aurait pas su xD
JoooliâĶâĪâĪâĪâĪ
bonjour, moi aussi je suis passÃĐ par 4096 - 16; Est-ce que c'est valide comme raisonnement ?
Non, car il faut montrer que câest la seule solution doti Être plus grand que 11 et plus petit que 13 car 2^m est I forcÃĐment plus petit que la moitiÃĐ de n
Tranquille...
4080 = 4096 - 16
n = 12
m = 4
4080= 4096-16= 2^12 - 2^4 d'oÃđ n =12 et m= 4
A1aa