n^5 - n = n*n*n*n*n - n = n(n^4 - 1) = n((n²)² - 1²) = n(n²-1)(n²+1) = n(n-1)(n+1)(n²+1) Si on regarde cette partie : n(n-1)(n+1) Alors au moins 1 des termes est divisible par 3 car c'est une suite de 3 nombres entiers, donc le tout est divisible par 3. De plus comme on a 3 termes consécutifs, il y a forcément au moins un des termes qui est divisible par 2. Résultat, n(n-1)(n+1) est divisible par 2 et par 3, donc divisible par 6. Comme un des termes de l'expression de départ est divisible par 6 alors l'expression complète l'est aussi, d'où n(n-1)(n+1)(n²+1) est divisible par 6. Or, n(n-1)(n+1)(n²+1) = n^5 - n, donc n^5 - n est divisible par 6, si n est entier.
@@hedacademy Le jour où on change de gvt pour un vrai cette fois ci, j espère que l on vous proposera le poste de ministre de L Éducation Nationale. Je suis sérieux. Place aux professionnels, c est urgent nos enfants en ont grandement besoin. Merci infiniment pour ce que vous faites ! 😉👍💯🙏🙏🙏🙏🙏
En seconde, cela trois ans que je te suis, toujours autant accroc à tes vidéos, merci. Grâce à toi je suis encore plus content le matin quand je me lève et que je me dis, j'ai maths. Très belle vidéo en tout cas...
Merci pour vos vidéos super punchies, très intelligentes, rigoureuses et très bien présentées et j’apprécie bcp aussi le résumé final d’où vous dégagez une méthode d’approche du type de problème que vous venez de présenter Un grand merci !!! Ps , je suis médecin à la retraite je n’ai aucun intérêt pratique à faire des maths, c’est juste la beauté extraordinaire de la discipline qui me passionne… Un grand grand merci !!
Ha ouais vraiment pas mal, j'ai eu bon au début mais après j'avais perdu mon raisonnement c'était assez compliqué, mais c'est comme à chaque fois bien expliqué ! :)
j'ai fait prepa et ecole d'ingenieur, j'ai appris les maths en dimension infinie, et pourtant.... ce genre de probleme d'arithmetique j'ai toujours trouvé ça super dur...
Faisant maths expertes j'aurais fait autrement mais je me demandais comment tu allait faire pour l'expliquer au plus de monde, et je suis pas déçu, c'est génial Félicitations
Ça se fait en 2s avec le petit théorème de Fermat comme 5 premier, n^5 congru a n mod 5 et n congru à n mod 5 (reflexivité) par différence, le tout est congru a 0 mod 6 voilà
J'ai pas regardé la vidéo mais j'ai factorisé et j'ai trouvé n(n-1)(n+1)(n²+1) et du coup comme on a les 3 nombres n(n+1)(n-1) qui sont consécutifs, un de ceux-ci est forcément divisible par 3 et au moins un d'entre eux est divisible par 2 donc le produit est divisible par 6
J'ai pareil, avec un petit raccourci en plus ; n^5 - n est pair que n soit pair ou impair (la puissance 5 conserve la parité, pair - pair = pair, et impair - impair = pair), du coup la divisibilité par 2 se fait de visu dès le départ.
Quand j'étais en prèpa je faisais ça de tête je stockai plusieurs variables intermédiaires dans ma tête, maintenant je prends un papier et un crayon et ça prend parfois trop de temps, alors je regarde la solitude 😅
Je suis en 2ème année de prépa PSI et même si les maths que tu proposes sur ta chaîne ne sont qu’une formalité à mon niveau, c’est toujours super interessant
Avec le meme type de raisonnement, on peut demontrer que si n est impair alors n^5-n est divisible par 24. En effet dans ce cas n-1, n+1 ainsi que n^2+1 sont pair et comme parmi les 3 chiifres n, n+1 et n-1 il y en a obligatoirement un divisible par 3, alors n^5-n esr divisible par 2x2x2x3=24.
Pour les maths experts, il y avait aussi la possibilité d'utiliser les congruences, et en le faisant on pouvait même prouver que n^5-n est divisible par 30 !
@@LC95297 Bien sur qu'il n'a pas a etre exhaustif, je n'ai pas dit ce message pour dire que cette information manquait a la video, elle est tres bien comme ca, c'etait juste pour donner l'information s'il y avait des math experts qui voulaient essayer avec les congruences
Hello pour la division par 3 on peut aussi utiliser la règle qui dit qu’un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. Ici on constate que n+n-1+n+1=3n donc divisible par 3. CQFD
Merci pour ce petit défi. Moi je n'ai pas fait comme toi c'est ça qui est beau dans les maths. J'ai factoriser en n(n4+1) et j'ai fait les 6 cas pour n (0,1,2,3,4,5modulo6)
Super vidéo, bravo 👏 tu es le goat comme on dit. En revanche on fait comment pour démontrer que n^5-n est divisible par 10 ??? Quelqu'un sait ?? C'était l'exercice qui avait dans son Manuel ! (Je suis en seconde)
Du coup pour 10 c'est 5*2 donc il faut juste prouver que n^5-n est divisible par 5. Soit n=5k soit n=5k+1 soit n=5k+2 soit n=5k+3 soit n=5k+4 si n=5k+0;1 ou 4, on voit avec la forme factorisée que c'est divisible par 5 sinon il faut utiliser le n^2-1 si n=5k+2 alors n^2-1=(5k+2)^2 +1 en développant on obtient 25k^2+20k+5 et on peut factoriser par 5. Si n=5k+3, tu fais pareil et tu obtiens 25k^2+30k +10 qu'on peut aussi factoriser par 5.(y a peut être plus rapide)
La partie divisible par 2 est triviale, pour la partie divisible par 3 on peut aussi le résoudre par récurrence, Le développement de (n+1)^5 -(n+1) est un peu long mais ça marche très bien
Le plus rigoureusement possible il faudrait ajouter que 2 et 3 sont premiers entre eux (ce qui est bien sûr évident). Si ce n'est pas le cas on peut avoir des contre-exemples comme 18 qui est divisible par 2 et par 6 mais n'est pas divisible par 12.
Je laisse le soin au plus fort de demontrer ou d infirmer la proposition suivante : si n est impair, alors n^5-n est divisible par 48. Pour ma part, je pense que oui.
n⁵-n est pair en tant que difference de nombres de meme parité. Ensuite en discutant selon la congruence de n mod 3 on obtient soit que n⁵-n congrue a 0 mod 3, soit qu'il congrue a 30 mod 3 donc 0 aussi, et on conclue avec n⁵-n divisible par 3 et pair.
n⁵-n = (n⁴-1)(n) = (n²+1)(n²-1)(n) = (n²+1)(n+1)(n-1)(n) = (n-1) × (n) × (n+1) × (n²+1) cette multiplication est notamment composée de 3 entiers successifs, l’un d’entre eux est forcément multiple de 3 et au moins un des trois est pair donc le produit est divisible par 6
merci 🙂👍.(dailleurs ce resonement marche pour tout les entier. Et non pas seulement pour les entiers positif. je ne sais pas pourquoi en début de vidéo vous préciser que c'est seulement pour les entiers positif)
n exp(k) - n = 0 ne fonctionne que pour n positif ou nul, si k pair. n exp(k) - n = 0 fonctionne toujours, n positif ou pas, si k impair Peut-être a-t-il voulu parler de ce genre de cas général : n exp(k) - n = 0 ...
@@BlackSun3Tube ça ne change rien pour les nombres modulo un entier k. Si un entier n est solution de l'équoition polynomial avec un polynôme à coefficient dans Z, alors ça fonctionne également en replacent n par n+mk(avec m un entier qui peut être négatif.)
Montrons d'abord que (n-1)n(n+1) est divisible par 3. Si je pose n = m-1 alors (n-1)n(n+1) = m(m+1)(m+2) = m! / (m-3)! =A(m,m-3) qui est divisible par 3 selon le théorème de Schmoluzi-Tranchant. De la même façon on montre que n(n+1) est divisible par 2, donc (n-1)n(n+1) est divisible par 2x3 qui se trouve être égal à 6. Or (n-1)n(n+1) = n(n²-1) qui multiplié pas (n²+1) donne n^5-n, et le théorème est démontré.
Pour aller un poil plus loin: Montrez que n^5-n est divisible par 240 lorsque n est impair. Exemple: 23^5 - 23 = 6436320 qui est divisible par 240 ( = 240 * 26818)
Bonjour, si nous acceptons que tout multiple de 5 à pour unité 0 ou 5, la démonstration ci-dessous est-elle valable ? Si un entier n quelconque : S’il se termine par 0 ou 5, n^5 - n forcément divisible par 5. S’il se termine par 1, alors n^5 se termine par 1, la différence des deux nombres a pour unité 0, donc multiple de 5. S’il se termine par 2, n^5 se termine par 2 aussi, donc la différence se termine par 0. S’il se termine par 3, n^5 se termine par 3, la différence se termine par 0. Si l’unité est 4, n^5 se termine par 4. De nouveau la différence se termine par 0. L’unité est 6, toutes ses puissances se terminèrent par 6. La différence donc encore 0. Pour 7, n^5 se termine aussi par 7. Pour 8, même chose, n^5 se termine par 8. Et cela se vérifie également pour un entier se terminant par 9. À chaque fois, l’entier n^5 et n se terminent par le même chiffre. L’étude différence se termine par 0, donc multiple de 5. Validez-vous cela ?
Etape supplémentaire : montrer que c'est forcément divisible par 30 :-p Réponse (non formelle) : Un nombre à la puissance 5 ne change pas de chiffre des unités donc (n^5)-n est multiple de 10, donc multiple de 5. Et s'il est multiple de 5 et de 6, il est divisible par 30
n^5 - n = n(n^4-1)= n(n^2-1)(n^2 +1) = (n-1)n(n+1)(n^2 +1) trois entiers consécutifs donc multiple de 2 et 3 , ensuite c'est aussi multiple de 5// en effet modulo 5 tu as n^2 +1 = n^2 -4 donc tu factorises à nouveau
le produit de 3 facteurs consécutifs est à la fois pair et multiple de 3 car au moins l'un des facteurs est pair et l'un des facteurs est multiple de 3 or 2 et 3 sont premiers entre eux donc ce produit est multiple de 6
Même n^3-n est divisible par 6. n^3-n=(n+1)n(n-1) est le produit de trois nombres successifs, donc nécessairement divisible par 2 et 3, donc divisible par 6.
Bon alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on démontre rapidement que n^5-n est divisible par 30 (pas seulement par 6). Pour ça va simplement utiliser les congruences. Soit n est pair, et alors n^5 aussi, soit n est impair, donc congru à 1 modulo 2, et n^5 est alors congru à 1 aussi. Donc la congruence de n et n^5 modulo 2 est la même. n peut être congru à 0, 1 ou -1 modulo 3, et on voit alors que n^5 est alors congru respectivement à 0, 1 ou -1, donc là encore n et n^5 ont la même congruence modulo 3. n peut être congru à 0, 1, 2, -1 ou -2 modulo 5, et on voit alors que n^5 est alors respectivement congru à 0, 1, 32 (c'est-à-dire 2), -1 et -32 (c'est-à-dire -2) donc là encore même conclusion. On déduit de ceci que 2, 3 et 5 divisent tous n^5-n et donc leur produit. Voilà on a fini et on peut regarder le monsieur galérer.
C'est aussi "simple" de considérer que tout entier non négatif peut s'écrire comme 6m+r avec r dans {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Et alors, n^5 - n == (6m+5)^5 - (6m+r) == r^5 - r [modulo 6]. Plus de m. Et par inspection des 6 valeurs possibles de r, car r n'a que 6 valeurs possibles, cette expression donne 0 on a la preuve que l'expression initiale est divisible par 6 pour tout n.
n^5-n = n(n+1)(n-1)(n^2+1) = n(n+1)(n-1)(n^2-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) +5(n-1)n(n+1) Le premier terme est divisible par 2,3,5 Le deuxième terme est divisible par 2,3,5 La somme l’est aussi Donc n^5-n est multiple de 30 😊
A 0:48, une note ajoutée indique que ça n'est valable que pour les entiers positifs. A quel endroit dans la démonstration est-on contraint d'avoir un nombre entier positif ? La factorisation se fait pour tout réel. La divisibilité se fait pour tout entier relatif (par disjonction de cas). Je n'ai par ailleurs trouvé aucun contre-exemple d'entier relatif pour lequel ça ne fonctionnait pas. Prenons n = -1 : n^5 = -1, donc n^5 - n = 0. Pour n = -2, n^5 - n = -32 + 2 = 6 * 5. On peut démontrer que si, pour tout n entier positif, n^5 - n est divisible par 6, alors c'est vrai aussi pour tout entier k entier relatif. Soit k strictement négatif. Posons n = -k. On a alors n > 0. k^5 - k = (-n)^5 - (-n) k^5 - k = (-1)^5 n^5 - (-n) k^5 - k = -1 (n^5 - n) Comme n est un entier strictement positif, n^5 - n est divisible par 6, donc -(n^5 - n) est également divisible par 6. Donc la propriété est vraie pour tout k entier relatif.
j'étais arrivé jusqu'à : n (n-1) (n+1) (n2+1) et je me suis retrouvé bloqué. Mais dès que le prof a dit que : divisible par 6 = divisible par 2 et 3, j'ai compris !
Bonjour, Et maintenant, montrons que n^5-n est divisible par 30. Je vous aide, on a déjà n^5-n divisible par 6, il suffit de montrer que n^5-n est divisible par 5. A bientôt
Dans F_p n^p=n Donc pour F_2 on a : n^5 = (n^2)*(n^2)*n= n*n*n = n^2*n = n*n = n Donc n^5- n = 0 donc n^5-n est divisible par 2 Pour F_3 on a : n^5 = n^3*n^2 = n*(n^2) = n^3 = n Donc n^5-n = 0 donc c'est divisible par 3 C'est donc divisible par 6 Bonus : Dans F_5 on a n^5 = n Donc n^5-n = 0 donc c'est divisible par 5 Donc n^5-n est divisible par 30.
En fait, il est facile de montrer que n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1).Ainsi, en tenant le même raisonnement, n^5-n est divisible par 2, 3, 5, 10 et 30. De plus, si n est impair, n^5-n est aussi divisible par 4, 8, 120 et 240 (à partir d'un certain rang). Enfin , le petit théorème de Fermat permet de démontrer que n^5-n est divisible par 5 en 3 lignes : n^5-n = n(n^4-1) donc soit n est divisible par 5, soit (Fermat ) n^4 est congru à 1 modulo 5, c'est à dire n^4-1=5k. CQFD.
"0 est divisible par n'importe quel nombre" (phrase entendue au début de la vidéo). Il manque la fin de la phrase... "sauf 0". Car sinon la phrase est fausse dans un cas général puisqu'on ne peut pas diviser 0 par 0. Attention à être bien rigoureux dans les phrases qu'on dit à haute voix... Ha ha ha. J'adore quand un plan se déroule sans accroc. ^^
Bonjour, Je m'appelle Yacine mathématicien et physicien algérien. J'aime bien avoir votre contact pour que je puisse vous envoyer quelques exemples comme exercices
TOP. Si je peux me permettre, il ne te reste plus qu'à renoncer aux périphrases qui contribuent à retarder l'acquisition du vocabulaire. Qui est un des points les plus importants pour progresser. "avoir du 2 !" = "avoir du 2 en toi... brrrr" = " être dans la table de 2" =.... = "ÊTRE UN MULTIPLE de 2". Autant d'occasions loupées pour permettre à l'élève d'acquérir la notion de multiples de 2, pour donner de L'ÉPAISSEUR à cette notion dans L'ESPRIT de l'élève. C'est cette épaisseur qui va développer chez lui le sens de l'intuition. Quand il entend l'expression "multiple de 2", le cerveau va inconsciemment ressortir plein de cas où il a entendu ce mot ( c'est une hypothèse😉), ça ne le fera pas si à la place il a entendu une périphrase, qui, en plus, varie souvent. 😘😘😘😘😘
@@lastwhisper4057 elle est bien "décalée" celle-là. Lol c'est un exercice de niveau seconde. C'est plutôt pour préparer le début de l'alphabet que pour préparer l'X, mon gros. C'était justement une remarque pédagogique. 🤫😘 Il n'a pas besoin que tu le défendes de toute ta lourdeur. Lui, il sait faire la différence entre contribuer et dénigrer. D'autres ont un peu plus de mal à faire cette différence. Lol
Ne faut-il pas plutôt faire les deux ? Dire "avoir du 2 en toi" suivis de "être un multiple de 2" ? La première phrase permet de vulgariser et de ne pas perdre les élèves et la seconde rattache cette idée à la notion du programme. Puis au fur et à mesure on retire la première phrase.
La vidéo s'adressant à différent niveau, il est au contraire parfaitement productif de périphraser = rattacher le vocabulaire à de nombreuses formulation ou cas d'usage, ce qui fixe le savoir, crée des liens. Je le dis tout premièrement en tant qu'élève (et qui ne l'a pas été ?).
Si un nombre est divisible par 6 c’est qu’il est divisible par 2 et par 3. n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1) Ici on voit que n^5 - n est divisible par n-1, n et n+1. On est face a 3 chiffres consécutifs. Vue qu’ils sont consécutif, l’un d’entre eux doit être paire (divisible par deux) et l’un doit être divisible par 3. Tout le nombre est donc divisible par 2 et 3 donc divisible par 6. Aussi je voit pas pourquoi sa ne marcherai par pour les chiffre négatifs?
@@maitredogims oe on a fait de la meme maniere g juste fait avant de regarder la video pour tenter avant de voir la reponse c t pas pour expliquer d une autre maniere. mais je sais tjr pas pk sa marcherai pas avec des chiffres negatifs? si ta la rep sa serait cool merci
n^5-n =n(n^4-1) =n(n^2-1)(n^2+1) =n(n-1)(n+1)(n^2+1) n(n+1) est divisible par 2 Alors (n-1)n(n+1) est divisible par 2 De plus (n-1)n(n+1) est divisible par 3 et 2 et 3 sont premiers alors (n-1)n(n+1) est divisible par 2×3=6 D'ou le resultat
n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1) = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1) On sait que n(n + 1) est pair (du coup n^5 - n est pair, divisible par 2) On sait aussi que (n - 1)n(n + 1) est divisible par 3 Donc, n^5 - n est divisible par 2 et 3, c'est-à-dire qu'il divisible par 6
La derniàre partie de la démonstration est un peu floue. un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres est divisible par 3, on (n-1)n(n+1), n-1+n+n+1=3n doncdivisible par trois. l'un des nombre s conséctifs étant pair , le nmbre est donc divisible par 6;
tu racontes mais n'importe quoi c'est franchement inquiétant, c'est quoi le rapport entre le fait que la somme fasse 3n et le fait que ca soit divisible par 3 ????? n + n +n = 3n pourtant n n'est pas toujours divisible par 3 ?? Je suis choqué...
tu racontes mais n'importe quoi c'est franchement inquiétant, c'est quoi le rapport entre le fait que la somme fasse 3n et le fait que ca soit divisible par 3 ????? n + n +n = 3n pourtant n n'est pas toujours divisible par 3 ?? Je suis choqué...
n5-n😂=n(n-1)(n+1)(n2+1) Donc on a deux possibilite supposing que n est divisible par 6 donc n=6×k donc le produit ci dessus devient n5-1=6 m m=k(n-1)(n+1)(n2+1) donc divisible par 6 Supposing que n n est pas divisible par 6 donc n=6k+1 donc n5-n= (6k+1)(6k)(6k+2)(n2+1)=6×z donc divisible par 6
Je pense que cette méthode est compliquée. Je pense qu'il y a une solution meilleure, si on considère la suite Un= n5-n et U0 et U1 respecte la règle il faut montrer que si Un= 6×m il faut juste démontrer que Un+1 est multiple de 6
n^5 - n
= n*n*n*n*n - n
= n(n^4 - 1)
= n((n²)² - 1²)
= n(n²-1)(n²+1)
= n(n-1)(n+1)(n²+1)
Si on regarde cette partie : n(n-1)(n+1)
Alors au moins 1 des termes est divisible par 3 car c'est une suite de 3 nombres entiers,
donc le tout est divisible par 3.
De plus comme on a 3 termes consécutifs, il y a forcément au moins un des termes qui est
divisible par 2.
Résultat, n(n-1)(n+1) est divisible par 2 et par 3, donc divisible par 6.
Comme un des termes de l'expression de départ est divisible par 6 alors l'expression complète
l'est aussi, d'où n(n-1)(n+1)(n²+1) est divisible par 6.
Or, n(n-1)(n+1)(n²+1) = n^5 - n, donc n^5 - n est divisible par 6, si n est entier.
Même technique permettant de démontrer que 24 divise p² - 1, pour tout p premier > 3
Vous avez fait la même demonstration pourtant et quand dit n en math on parle d'entier natural souvent...
On multiplie des facteurs pas des termes !
Avec Hedacademy, on ne regrette jamais d avoir cliqué sur la vidéo. Merci bcp. 🙏💪💯
😍😍
@@hedacademy Le jour où on change de gvt pour un vrai cette fois ci, j espère que l on vous proposera le poste de ministre de L Éducation Nationale. Je suis sérieux. Place aux professionnels, c est urgent nos enfants en ont grandement besoin. Merci infiniment pour ce que vous faites ! 😉👍💯🙏🙏🙏🙏🙏
En seconde, cela trois ans que je te suis, toujours autant accroc à tes vidéos, merci. Grâce à toi je suis encore plus content le matin quand je me lève et que je me dis, j'ai maths. Très belle vidéo en tout cas...
On apprend à aimer
Continue sur ta lancée. Les maths c'est beau !
Ne t'arrête pas, continue comme ça avec lui. Signé: un vieux prof de maths
Bon courage soldat !
salut ! tu es à LLG ou Henri IV?
Trop fort ! J'adore ! Merci pour es explications !
Merci pour vos vidéos super punchies, très intelligentes, rigoureuses et très bien présentées et j’apprécie bcp aussi le résumé final d’où vous dégagez une méthode d’approche du type de problème que vous venez de présenter
Un grand merci !!!
Ps , je suis médecin à la retraite je n’ai aucun intérêt pratique à faire des maths, c’est juste la beauté extraordinaire de la discipline qui me passionne…
Un grand grand merci !!
Ha ouais vraiment pas mal, j'ai eu bon au début mais après j'avais perdu mon raisonnement c'était assez compliqué, mais c'est comme à chaque fois bien expliqué ! :)
j'ai fait prepa et ecole d'ingenieur, j'ai appris les maths en dimension infinie, et pourtant.... ce genre de probleme d'arithmetique j'ai toujours trouvé ça super dur...
Dans le même cas et je confirme
Ahhhh j'ai le bac , et ce genre de problèmes compte pour 4 points / 20
😂et j'ai du male
super intéressant 🙂
J'avais le développement, mais là je voyais pas trop.
L'indice du réordonnement m'a permis de comprendre ^__^
C'est toujours aussi génial
Parfait
Faisant maths expertes j'aurais fait autrement mais je me demandais comment tu allait faire pour l'expliquer au plus de monde, et je suis pas déçu, c'est génial
Félicitations
C’est top! Très belle pédagogie.
Très bonne vidéo !
excellent! 👌🏻 merci
Celui là il est là c'est la vie!!!! 😂😅 Tu m'as tué !!
#SpéMaths #BackInTime
Petite récurrence avant la disjonction de cas 😉 l'exo de fin est bien plus facile que celui de la vidéo 😅
Merci Hedacademy.
Super vidéo. Mis à part, formellement, la déf de "x est divisible par q≠0" est "il existe un entier n tel que x=nq".
Ça se fait en 2s avec le petit théorème de Fermat comme 5 premier, n^5 congru a n mod 5 et n congru à n mod 5 (reflexivité) par différence, le tout est congru a 0 mod 6 voilà
J'ai pas regardé la vidéo mais j'ai factorisé et j'ai trouvé n(n-1)(n+1)(n²+1) et du coup comme on a les 3 nombres n(n+1)(n-1) qui sont consécutifs, un de ceux-ci est forcément divisible par 3 et au moins un d'entre eux est divisible par 2 donc le produit est divisible par 6
J'ai pareil, avec un petit raccourci en plus ; n^5 - n est pair que n soit pair ou impair (la puissance 5 conserve la parité, pair - pair = pair, et impair - impair = pair), du coup la divisibilité par 2 se fait de visu dès le départ.
Énorme !
merci
monsieur vous etes incroiyable 😳
Merci, cela me replonge dans mes années lycée.
Idem
Le meilleur ! L'Einstein de la pédagogie..
J'ai pu la faire direct mentalement celle-là. C'est le genre de démonstration que je kiffais quand j'étais à l'école . Et oui, je flex! 😁
😂en mm temps il est pas vraiment difficile
petite question on ne peut pas résoudre cela avec de la congruence ? c’est pas beaucoup plus rapide ?
franchement, jamais rencontré un tel problème... (faudrait aussi m'en expliquer l'utilité...???) mais la démontration est chouette... 👍
En Terminale, avec la table de congruence, c'est évident. Et on voit aussi directement que (n^4 - n^2) est aussi un multiple de 6.
En utilisant les congruences on voit même immédiatement que n^5-n est divisible par 30.
fait pas trop le fou djaodjao cet exercice se fait de tête quand t'es en prépa
@@LouisLeCrack ,
En effet, je vois qu'il y a de la folie quelque part, loin des maths.
@@Djaodjao ? Que veux-tu dire dans ce message cryptique ?
Quand j'étais en prèpa je faisais ça de tête je stockai plusieurs variables intermédiaires dans ma tête, maintenant je prends un papier et un crayon et ça prend parfois trop de temps, alors je regarde la solitude 😅
Continue comme sa tu es le meilleur ❤🎉
Merci 😊
Je suis en 2ème année de prépa PSI et même si les maths que tu proposes sur ta chaîne ne sont qu’une formalité à mon niveau, c’est toujours super interessant
une trivialité extreme quoi, genre c'est chaud
génial
Avec le meme type de raisonnement, on peut demontrer que si n est impair alors n^5-n est divisible par 24. En effet dans ce cas n-1, n+1 ainsi que n^2+1 sont pair et comme parmi les 3 chiifres n, n+1 et n-1 il y en a obligatoirement un divisible par 3, alors n^5-n esr divisible par 2x2x2x3=24.
You're the best
Pour les maths experts, il y avait aussi la possibilité d'utiliser les congruences, et en le faisant on pouvait même prouver que n^5-n est divisible par 30 !
Démontrer que c'est divisible par 30 aurait été plus intérressant, cela a l' air moins facile. La division par 5 ne saute pas aux yeux.
Eh oui mais bon, on ne va pas trop lui demander d'être exhaustif.
@@LC95297 Bien sur qu'il n'a pas a etre exhaustif, je n'ai pas dit ce message pour dire que cette information manquait a la video, elle est tres bien comme ca, c'etait juste pour donner l'information s'il y avait des math experts qui voulaient essayer avec les congruences
Hello pour la division par 3 on peut aussi utiliser la règle qui dit qu’un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3. Ici on constate que n+n-1+n+1=3n donc divisible par 3. CQFD
Merci pour ce petit défi. Moi je n'ai pas fait comme toi c'est ça qui est beau dans les maths.
J'ai factoriser en n(n4+1) et j'ai fait les 6 cas pour n (0,1,2,3,4,5modulo6)
Super vidéo, bravo 👏 tu es le goat comme on dit. En revanche on fait comment pour démontrer que n^5-n est divisible par 10 ??? Quelqu'un sait ?? C'était l'exercice qui avait dans son Manuel ! (Je suis en seconde)
Du coup pour 10 c'est 5*2 donc il faut juste prouver que n^5-n est divisible par 5. Soit n=5k soit n=5k+1 soit n=5k+2 soit n=5k+3 soit n=5k+4 si n=5k+0;1 ou 4, on voit avec la forme factorisée que c'est divisible par 5 sinon il faut utiliser le n^2-1 si n=5k+2 alors n^2-1=(5k+2)^2 +1 en développant on obtient 25k^2+20k+5 et on peut factoriser par 5. Si n=5k+3, tu fais pareil et tu obtiens 25k^2+30k +10 qu'on peut aussi factoriser par 5.(y a peut être plus rapide)
La partie divisible par 2 est triviale, pour la partie divisible par 3 on peut aussi le résoudre par récurrence, Le développement de (n+1)^5 -(n+1) est un peu long mais ça marche très bien
Le plus rigoureusement possible il faudrait ajouter que 2 et 3 sont premiers entre eux (ce qui est bien sûr évident). Si ce n'est pas le cas on peut avoir des contre-exemples comme 18 qui est divisible par 2 et par 6 mais n'est pas divisible par 12.
3:48. L'attention durant le visionnage est requise.
Je laisse le soin au plus fort de demontrer ou d infirmer la proposition suivante : si n est impair, alors n^5-n est divisible par 48. Pour ma part, je pense que oui.
n⁵-n est pair en tant que difference de nombres de meme parité.
Ensuite en discutant selon la congruence de n mod 3 on obtient soit que n⁵-n congrue a 0 mod 3, soit qu'il congrue a 30 mod 3 donc 0 aussi, et on conclue avec n⁵-n divisible par 3 et pair.
En Terminale, avec la table de congruence, ça tient sur quelques lignes... Une évidence élémentaire en Terminale.
Svp cours sur le développement limité
C'est quand même plus rapide avec l'arithmétique modulaire et c'est vrai pour tous les exposants impairs, par exemple n^1789 - n^1515
n⁵-n = (n⁴-1)(n) = (n²+1)(n²-1)(n) = (n²+1)(n+1)(n-1)(n) = (n-1) × (n) × (n+1) × (n²+1)
cette multiplication est notamment composée de 3 entiers successifs, l’un d’entre eux est forcément multiple de 3
et au moins un des trois est pair
donc le produit est divisible par 6
Le seul truc que je ne sais pas, c'est écrire n⁵ et n⁴ avec le clavier 😂
merci 🙂👍.(dailleurs ce resonement marche pour tout les entier. Et non pas seulement pour les entiers positif. je ne sais pas pourquoi en début de vidéo vous préciser que c'est seulement pour les entiers positif)
n exp(k) - n = 0 ne fonctionne que pour n positif ou nul, si k pair.
n exp(k) - n = 0 fonctionne toujours, n positif ou pas, si k impair
Peut-être a-t-il voulu parler de ce genre de cas général :
n exp(k) - n = 0 ...
@@BlackSun3Tube ça ne change rien pour les nombres modulo un entier k. Si un entier n est solution de l'équoition polynomial avec un polynôme à coefficient dans Z, alors ça fonctionne également en replacent n par n+mk(avec m un entier qui peut être négatif.)
Oui tres bien
Montrons d'abord que (n-1)n(n+1) est divisible par 3. Si je pose n = m-1 alors (n-1)n(n+1) = m(m+1)(m+2) = m! / (m-3)! =A(m,m-3) qui est divisible par 3 selon le théorème de Schmoluzi-Tranchant. De la même façon on montre que n(n+1) est divisible par 2, donc (n-1)n(n+1) est divisible par 2x3 qui se trouve être égal à 6. Or (n-1)n(n+1) = n(n²-1) qui multiplié pas (n²+1) donne n^5-n, et le théorème est démontré.
Pour aller un poil plus loin:
Montrez que n^5-n est divisible par 240 lorsque n est impair.
Exemple: 23^5 - 23 = 6436320 qui est divisible par 240 ( = 240 * 26818)
Bravo
Le théorème de fermat suffit pour conclure très rapidement l'exercice :
n^5≡n×n^2 [3]
n^5≡n [3]
et
n^5≡n×n×n[2]
n^5≡n×n≡n[2]
D'où comme 2^3=1 6|n^5-n
Fermat le petit 🙃
Bonjour, si nous acceptons que tout multiple de 5 à pour unité 0 ou 5, la démonstration ci-dessous est-elle valable ?
Si un entier n quelconque :
S’il se termine par 0 ou 5, n^5 - n forcément divisible par 5.
S’il se termine par 1, alors n^5 se termine par 1, la différence des deux nombres a pour unité 0, donc multiple de 5.
S’il se termine par 2, n^5 se termine par 2 aussi, donc la différence se termine par 0.
S’il se termine par 3, n^5 se termine par 3, la différence se termine par 0.
Si l’unité est 4, n^5 se termine par 4. De nouveau la différence se termine par 0.
L’unité est 6, toutes ses puissances se terminèrent par 6. La différence donc encore 0.
Pour 7, n^5 se termine aussi par 7.
Pour 8, même chose, n^5 se termine par 8.
Et cela se vérifie également pour un entier se terminant par 9.
À chaque fois, l’entier n^5 et n se terminent par le même chiffre. L’étude différence se termine par 0, donc multiple de 5.
Validez-vous cela ?
Etape supplémentaire : montrer que c'est forcément divisible par 30 :-p
Réponse (non formelle) :
Un nombre à la puissance 5 ne change pas de chiffre des unités donc (n^5)-n est multiple de 10, donc multiple de 5. Et s'il est multiple de 5 et de 6, il est divisible par 30
4:09 Critère par 2: parmi les 3 entiers consécutifs figure au moins un nombre pair
Critère par 3: (n-1)+n+(n+1)= n+n+n=3n
n^5 - n = n(n^4-1)= n(n^2-1)(n^2 +1) = (n-1)n(n+1)(n^2 +1) trois entiers consécutifs donc multiple de 2 et 3 , ensuite c'est aussi multiple de 5// en effet modulo 5 tu as n^2 +1 = n^2 -4 donc tu factorises à nouveau
Le lemme chinois sur Z/6 tivialise la question (sachant que factoriser un polynôme est une tâche complexe).
le produit de 3 facteurs consécutifs est à la fois pair et multiple de 3 car au moins l'un des facteurs est pair et l'un des facteurs est multiple de 3 or 2 et 3 sont premiers entre eux donc ce produit est multiple de 6
Une démonstration par un tableau de congruence n'est-elle pas plus rapide ?
non ce que tu proposes est assez ridicule
Cela peut aussi se faire par récurrence.
Même n^3-n est divisible par 6.
n^3-n=(n+1)n(n-1) est le produit de trois nombres successifs, donc nécessairement divisible par 2 et 3, donc divisible par 6.
Pas l'impression que c'était beaucoup plus facile que d'habitude, mais j'ai pourtant réussi à le faire ! Trop content !
Top 👏
rassure toi tout ces exercices sont d'un niveau complètement élémentaire donc y a pas grand changement par rapport à d'habitude
@@LouisLeCrack ah ah, tu me rassure, j'ai cru que j'étais devenu un peu moins con 🙂
Bon alors pour ne pas faire son galérien comme le monsieur, voilà comment on démontre rapidement que n^5-n est divisible par 30 (pas seulement par 6).
Pour ça va simplement utiliser les congruences.
Soit n est pair, et alors n^5 aussi, soit n est impair, donc congru à 1 modulo 2, et n^5 est alors congru à 1 aussi. Donc la congruence de n et n^5 modulo 2 est la même.
n peut être congru à 0, 1 ou -1 modulo 3, et on voit alors que n^5 est alors congru respectivement à 0, 1 ou -1, donc là encore n et n^5 ont la même congruence modulo 3.
n peut être congru à 0, 1, 2, -1 ou -2 modulo 5, et on voit alors que n^5 est alors respectivement congru à 0, 1, 32 (c'est-à-dire 2), -1 et -32 (c'est-à-dire -2) donc là encore même conclusion.
On déduit de ceci que 2, 3 et 5 divisent tous n^5-n et donc leur produit.
Voilà on a fini et on peut regarder le monsieur galérer.
C'est aussi "simple" de considérer que tout entier non négatif peut s'écrire comme 6m+r avec r dans {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Et alors, n^5 - n == (6m+5)^5 - (6m+r) == r^5 - r [modulo 6]. Plus de m. Et par inspection des 6 valeurs possibles de r, car r n'a que 6 valeurs possibles, cette expression donne 0 on a la preuve que l'expression initiale est divisible par 6 pour tout n.
Cool
n^5-n = n(n+1)(n-1)(n^2+1) = n(n+1)(n-1)(n^2-4+5)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) +5(n-1)n(n+1)
Le premier terme est divisible par 2,3,5
Le deuxième terme est divisible par 2,3,5
La somme l’est aussi
Donc n^5-n est multiple de 30 😊
Sinon on peut utiliser les congruence modulo 6.C'est 6 cas pour la valeur de n mod 6
A 0:48, une note ajoutée indique que ça n'est valable que pour les entiers positifs. A quel endroit dans la démonstration est-on contraint d'avoir un nombre entier positif ? La factorisation se fait pour tout réel. La divisibilité se fait pour tout entier relatif (par disjonction de cas). Je n'ai par ailleurs trouvé aucun contre-exemple d'entier relatif pour lequel ça ne fonctionnait pas.
Prenons n = -1 : n^5 = -1, donc n^5 - n = 0. Pour n = -2, n^5 - n = -32 + 2 = 6 * 5.
On peut démontrer que si, pour tout n entier positif, n^5 - n est divisible par 6, alors c'est vrai aussi pour tout entier k entier relatif.
Soit k strictement négatif. Posons n = -k. On a alors n > 0.
k^5 - k = (-n)^5 - (-n)
k^5 - k = (-1)^5 n^5 - (-n)
k^5 - k = -1 (n^5 - n)
Comme n est un entier strictement positif, n^5 - n est divisible par 6, donc -(n^5 - n) est également divisible par 6. Donc la propriété est vraie pour tout k entier relatif.
La société devrait donner bcp plus d'importance à des gens comme ce prof qu'aux télé réalités
Et qui te dit qu'ils veulent que les gens soient instruits ? ils veulent des moutons corvéables a merci
C(n,m)=n!/m!(n-m)! est un nombre entier (combinaison ,n>=m) , (n-1)n(n+1)=C(n+1,3) x 3! =>(n-1)n(n+1) est divisible par 6
j'étais arrivé jusqu'à : n (n-1) (n+1) (n2+1) et je me suis retrouvé bloqué.
Mais dès que le prof a dit que : divisible par 6 = divisible par 2 et 3, j'ai compris !
Merci. >
l'échauffement, c'est facile!! j'avais bon moi :) !!
De mémoire, j'ai du faire ça en quatrième ou troisième non ? (ça fait longtemps)
Bonjour,
Et maintenant, montrons que n^5-n est divisible par 30.
Je vous aide, on a déjà n^5-n divisible par 6, il suffit de montrer que n^5-n est divisible par 5.
A bientôt
Il est aussi toujours divisible par 5 mais c'est moins évident
On peut aussi utiliser un tableau de congruence
Dans F_p n^p=n
Donc pour F_2 on a :
n^5 = (n^2)*(n^2)*n= n*n*n = n^2*n = n*n = n
Donc n^5- n = 0 donc n^5-n est divisible par 2
Pour F_3 on a :
n^5 = n^3*n^2 = n*(n^2) = n^3 = n
Donc n^5-n = 0 donc c'est divisible par 3
C'est donc divisible par 6
Bonus :
Dans F_5 on a
n^5 = n
Donc n^5-n = 0 donc c'est divisible par 5
Donc n^5-n est divisible par 30.
Bon j'ai fait un tableau de congruences ta méthode est plus smart, bien joué.
En terminale, les éléves devraient avoir entendu parler des congruences.
tableau de congruence ..? simple suggestion, il me semble que ça marche
Cela fonctionne avec 3. 3 puissance 5 = 243 - 3= 240 / 6 = 40
Là où ça pique un peu plus, c'est pour démontrer que n^5-n est un multiple de 5
En fait, il est facile de montrer que n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1).Ainsi, en tenant le même raisonnement, n^5-n est divisible par 2, 3, 5, 10 et 30. De plus, si n est impair, n^5-n est aussi divisible par 4, 8, 120 et 240 (à partir d'un certain rang). Enfin , le petit théorème de Fermat permet de démontrer que n^5-n est divisible par 5 en 3 lignes : n^5-n = n(n^4-1) donc soit n est divisible par 5, soit (Fermat ) n^4 est congru à 1 modulo 5, c'est à dire n^4-1=5k. CQFD.
"0 est divisible par n'importe quel nombre" (phrase entendue au début de la vidéo). Il manque la fin de la phrase... "sauf 0". Car sinon la phrase est fausse dans un cas général puisqu'on ne peut pas diviser 0 par 0. Attention à être bien rigoureux dans les phrases qu'on dit à haute voix... Ha ha ha. J'adore quand un plan se déroule sans accroc. ^^
Bonjour,
Je m'appelle Yacine mathématicien et physicien algérien. J'aime bien avoir votre contact pour que je puisse vous envoyer quelques exemples comme exercices
Bonjour Yacine. Avec plaisir 😊
hedacademy@gmail.com
TOP. Si je peux me permettre, il ne te reste plus qu'à renoncer aux périphrases qui contribuent à retarder l'acquisition du vocabulaire. Qui est un des points les plus importants pour progresser. "avoir du 2 !" = "avoir du 2 en toi... brrrr" = " être dans la table de 2" =.... = "ÊTRE UN MULTIPLE de 2". Autant d'occasions loupées pour permettre à l'élève d'acquérir la notion de multiples de 2, pour donner de L'ÉPAISSEUR à cette notion dans L'ESPRIT de l'élève. C'est cette épaisseur qui va développer chez lui le sens de l'intuition. Quand il entend l'expression "multiple de 2", le cerveau va inconsciemment ressortir plein de cas où il a entendu ce mot ( c'est une hypothèse😉), ça ne le fera pas si à la place il a entendu une périphrase, qui, en plus, varie souvent. 😘😘😘😘😘
C'est pédagogique mec il s'agit de passer l'oral de l'X le but c'est qu'ils comprennent
@@lastwhisper4057 elle est bien "décalée" celle-là. Lol
c'est un exercice de niveau seconde. C'est plutôt pour préparer le début de l'alphabet que pour préparer l'X, mon gros.
C'était justement une remarque pédagogique. 🤫😘
Il n'a pas besoin que tu le défendes de toute ta lourdeur. Lui, il sait faire la différence entre contribuer et dénigrer. D'autres ont un peu plus de mal à faire cette différence. Lol
@@antoinegrassi3796 ?
Ne faut-il pas plutôt faire les deux ?
Dire "avoir du 2 en toi" suivis de "être un multiple de 2" ?
La première phrase permet de vulgariser et de ne pas perdre les élèves et la seconde rattache cette idée à la notion du programme.
Puis au fur et à mesure on retire la première phrase.
La vidéo s'adressant à différent niveau, il est au contraire parfaitement productif de périphraser = rattacher le vocabulaire à de nombreuses formulation ou cas d'usage, ce qui fixe le savoir, crée des liens. Je le dis tout premièrement en tant qu'élève (et qui ne l'a pas été ?).
Bein fallait la trouver celle-ci...
On peut utiliser le corollaire de fermat !
Fait un tableau de congruence !!!
Si un nombre est divisible par 6 c’est qu’il est divisible par 2 et par 3.
n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 - 1)(n^2 + 1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1)
Ici on voit que n^5 - n est divisible par n-1, n et n+1. On est face a 3 chiffres consécutifs. Vue qu’ils sont consécutif, l’un d’entre eux doit être paire (divisible par deux) et l’un doit être divisible par 3. Tout le nombre est donc divisible par 2 et 3 donc divisible par 6. Aussi je voit pas pourquoi sa ne marcherai par pour les chiffre négatifs?
Merci Captain Konstat !
Il y a aussi des tutoriels de français..
@@maitredogims oe on a fait de la meme maniere g juste fait avant de regarder la video pour tenter avant de voir la reponse c t pas pour expliquer d une autre maniere. mais je sais tjr pas pk sa marcherai pas avec des chiffres negatifs? si ta la rep sa serait cool merci
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n+1) est divisible par 2
Alors (n-1)n(n+1) est divisible par 2
De plus (n-1)n(n+1) est divisible par 3 et 2 et 3 sont premiers alors (n-1)n(n+1) est divisible par 2×3=6
D'ou le resultat
Il est dommage que, formellement, on ne puisse pas écrire (n-1)*n*(n+1)=6x, avec je-ne-sais quoi à la place du x... ;-)
n^5 - n = n(n^4 - 1) = n(n^2 + 1)(n^2 - 1) = n(n^2 + 1)(n + 1)(n - 1)
On sait que n(n + 1) est pair (du coup n^5 - n est pair, divisible par 2)
On sait aussi que (n - 1)n(n + 1) est divisible par 3
Donc, n^5 - n est divisible par 2 et 3, c'est-à-dire qu'il divisible par 6
et prouver aussi que s'est divisible par 5 (le theoreme petit de Fermat)
La derniàre partie de la démonstration est un peu floue. un nombre est divisible par 3 lorsque la somme des chiffres est divisible par 3, on (n-1)n(n+1), n-1+n+n+1=3n doncdivisible par trois. l'un des nombre s conséctifs étant pair , le nmbre est donc divisible par 6;
tu racontes mais n'importe quoi c'est franchement inquiétant, c'est quoi le rapport entre le fait que la somme fasse 3n et le fait que ca soit divisible par 3 ????? n + n +n = 3n pourtant n n'est pas toujours divisible par 3 ?? Je suis choqué...
On peut aussi sommer n-1, n et n+1, ça fait 3n, donc le nombre n-1)n(n+1) est divisible par 3. Cqfd
tu racontes mais n'importe quoi c'est franchement inquiétant, c'est quoi le rapport entre le fait que la somme fasse 3n et le fait que ca soit divisible par 3 ????? n + n +n = 3n pourtant n n'est pas toujours divisible par 3 ?? Je suis choqué...
n5-n😂=n(n-1)(n+1)(n2+1)
Donc on a deux possibilite supposing que n est divisible par 6 donc n=6×k donc le produit ci dessus devient n5-1=6 m m=k(n-1)(n+1)(n2+1) donc divisible par 6
Supposing que n n est pas divisible par 6 donc n=6k+1 donc n5-n= (6k+1)(6k)(6k+2)(n2+1)=6×z donc divisible par 6
Petit bonus: montrer que n^5 -n est en fait un multiple de 30 🎉🎉
Le vrai problème est de démontrer que n5 - n est divisible par 30. Par 6, c’est trop facile !
Je pense que cette méthode est compliquée. Je pense qu'il y a une solution meilleure, si on considère la suite Un= n5-n et U0 et U1 respecte la règle il faut montrer que si Un= 6×m il faut juste démontrer que Un+1 est multiple de 6
1:17 "Obligatoirement"