КРАСИВЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО иррациональности корня из двух!
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 3 ต.ค. 2024
- Есть куча разных способов доказать, что корень из двух не является рациональным числом, но в этом видео показан один из самых наглядных и красивых способов!
Использование нецензурной лексики - прямой путь к бану
Manim - это круто! Поздравляю с дебютом)
Есть, кстати, доаольно красивое доказательство иррациональности 2^1/n, где n>2.
Пусть это число рациональное, тогда представимо как p/q. Возведем обе части в степень n. Тогда p^n/q^n=2
p^n=2*q^n
p^n=q^n+q^n
Получили противоречие великой теореме Ферма
Так это в принципе самое базовое док-во по определению. А вот есть действительно красивое док-во через пределы рациональных последледовательностей и отношение эквивалентности между ними
@@professorvalera2575 ну просто это доказательство я знаю как основное, а когда увидел через теорему Ферма, у меня глаза на лоб вылезли от простоты
В теореме ферма а, b и с это разные числа
@@wrt717oo да нет, главное, чтобы не нули
Спасибо за видео!
Сознание радуется такому качественному, поистине красивому контенту; буду ждать ещё!)
буду олдом на этом классном канале
докажи что канал классный
Симпатично. Та же идея про ограниченность снизу множества натуральных чисел, но без нудных делится/не делится. Жаль, что не продолжается просто на случаи других неквадратов и корней высших степеней.
Красава, manim база!
Жду новых видео)
Я стал твоим 100-ым подписчиком!) Удачи в развитии канала
поправка: двух целых чисел, при условии, что одно из них не равно 0
обычно говорят про целый числитель и натуральный знаменатель - так вообще никаких проблем))
Зачётная анимация, прям на высоком уровне 🔥
Удачи в развитии!
Вот. Правильно сказать. Откуда берется желтый квадрат? Из площади двух розовых: мы имеем пересечение квадратов и две непокрытые области. И еще надо доказать что розовые-это квадраты -например из симметрии.
Теперь осталось доказать, что это доказательство самое красивое
ААААА, СЫН WildMathing, ААААА!!!!!
А можно алгебраически, мое сознание воспринимает хорошо цифры )
Круто математические каналы появляются
Аналитическое, алгебраическое доказательство мне тоже кажется гораздо проще. Я нашел вот такой short: th-cam.com/users/shortss4pdePg_m3w где тоже, как у тебя в видео, графическим методом доказывается иррациональность корня из 2 но, вот на моменте когда он говорит что (2b - a)^2 = 2(a - b)^2 это ведь не так. Они не равны если скобки раскрыть. (2b - a)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 и 2(a - b)^2 = 2a^2 - 4ab + 2b^2
Да, не менее классное доказательство с использованием тождества
@@mathster314 Ну да. Только я и правда въехать не могу, площади большого квадрата и суммы двух внешних, получается, на самом деле не равны?
@@mathster314 Блин, до меня дошло что можно числа подставить вместо "a" и "b" :D Но, все равно ведь получается что они не равны. Смотри, берем a = 17 и b = 12. Получаем: 2(a - b)^2 = 50 и (2b - a)^2 = 49. Откуда эти формулы взялись я прекрасно понимаю, я не и**от, но почему это доказательство корректно если равенство не верное?
@@evdokimovm Да, они на самом деле не равны, это и есть противоречие. По соображениям равенства площадей они должны быть равны, но фактически это не так.
Если бы это было верным равенством, то можно было бы считать что корень из двух - рациональное число
@@mathster314 так в видео же сказано что они равны на 01:30. Ты еще внизу человека убеждал что это очевидно и можно легко проверить. Я запарился и начал думать почему это очевидно. Ну ладно, до меня снова дошло. Ведь a^2 = 2b^2, правильно (если брать видео которое я скинул)? Я совсем забыл об этом. Значит если мы подставим это в уравнения выше то получим верное равенство. Вместо a^2 - 4ab + 4b^2 будет 2b^2 - 4ab + 4b^2 и вместо 2a^2 - 4ab + 2b^2 получится 4b^2 - 4ab + 2b^2, а они равны, а значит площадь среднего квадрата равна сумме площадей двух внешних
Вот переиначенное классическое доказательство, но связанной задачи: доказать, что уравнение m² = 2n² не имеет решений в натуральных числах. Тут ни слова ни о корнях, ни даже о дробях. Попробуем и мы обойтись без них.
Пусть такая пара (m; n) существует и пусть k - их наибольший общий делитель. Это значит, что существуют такие натуральные p, q, что m = kp, n = kq. Подставим их в наше равенство и получим:
(kp)² = 2(kq)²
p² = 2q².
Отсюда p² - чётное. Тогда и p - чётное. Если p нечётное, т.е. имеет вид p = 2c + 1, то p² = 4c² + 4c + 1 = 2•(2c² + 2c) + 1 - тоже нечётное.
Итак, p - чётное, т.е. p = 2a. Тогда
4a² = 2q²
q² = 2a²
Т.е. q² - чётное. Аналогично предыдущему q чётное, т.е. q = 2b. Отсюда:
m = kp = 2ka
n = kq = 2kb
Т.е. число 2k - тоже общий делитель чисел m и n. Получили противоречие, т.к. k - наибольший общий делитель m и n (а мы нашли делитель ещё больше).
По-другому: из предыдущего следует, что для любого общего делителя k (например, для k = 1) число 2k также будет общим делителем (т.е. 2 - общий делитель, но тогда и 4 - общий делитель, и 8, и 16, и 32, и т.д. до бесконечности) А общий делитель двух натуральных чисел не может превышать меньшего из этих чисел.
Можно ещё через метод спуска)
привет. Прикольное док-во.
Хайпово, лайк
ne ponimayu pochemu esli dlini storon kvadrata celie,to oni mogut bit samimi malenkimi
Клёво, но классическое алгеброическое доказательство как по мне проще и наглядней.
Так наоборот же геометрическая интерпретация нагляднее) на то и она геометрическая
Новый 1blue3brown, в любом случае, успехов в развитие канала)
0:36
А давно мы умеем рассматривать квадраты со сторонами, выраженными любым целым число? Хотел бы я посмотреть на квадрат со стороной (-1)
длина не может быть отрицательной
Ну потому доказательство и ошибочно
@@Stalnoy_sanek поэтому мы и пришли к противоречию)
Ну не нужно подменять понятия, мы пришли к противоречию только в том случае, если a и b положительные числа, а они могут быть и отрицательными, и равными нулю. Как уже сказано выше, квадрат в таком случае рассмотреть не получится и вся дальнейшая часть доказательства неверна
@@Stalnoy_sanek, очевидно, что равными нулю такие числа не могут быть.
Далее, очевидно, что квадратный корень из двух это положительное число. Поэтому, оно может быть выражено только как через отношение двух отрицательных чисел или двух положительных, причем модули соответствующих чисел из пар равны, если мы берем наименьшие по модулю числа (в противном случае, они отличаются на целый коэффициент k).
Соответственно, если мы докажем, что не существует пары таких положительных чисел, то это будет автоматически означать и отсутствие пары отрицательных.
Почему из равности суммы площадей желтых квадратов с площадью белого квадрата вытекает равность площадей суммы розовых квадратов и оранжевого?
Площадь наложения 2 желтых должна быть такой же, как площадь, где нет ничего.
Если более формально, то можно так. Пусть Ж - площадь желтого, Б - белого, О - оранжевого, Р - розового, Ч - черного.
Тогда 2Ж=2Ч+2О, Б=2Ч+О+2Р.
2Ж=Б, тонда 2Ч+2О=2Ч+О+2Р. Значит, О=2Р
Потому что оранжевый квадрат считается два раза, а розовые - ни одного! Вот и получается: то, что из розовых квадратов вышло, должно поместиться ровно в 1 оранжевый квадрат.
@@foxcat_ а черный это о каких именно?
@@evdokimovm это об уголочке, их 2 штуки
Объясните, пожалуйста, как была выбрана наименьшая пара?
В бесконечном множестве не всегда можно выделить минимум, к примеру, интервал (0,1) не имеет минимального элемента, число 0 выступает для него лишь инфимумом.
Допустим мы взяли пару квадратов, стороны которых равны а и 2а соответственно, тогда существет пара квадратов со сторонами а/2 и а, и так для любой пары. Какая-то неувязка.
пары чисел - целые числа, а значит их не всегда можно будет делить пополам получая всё так же целое число
хз я по формуле пика в уме доказал рациональность корня из двух
через возведение в квадрат проще и наглядней как по мне
ну а если так бредануть? корень из двух это
14/10
141/100
1414/1000
......
и таким образом в числителе имеем целое бескночное число, которое повторяет знаки вычисленного корня, в знаменателе имеем определенную степень 10. Ну и следует понимать, что иррациональные числа - это всего лишь абстракция, нигде в реальном мире эта беконечность иррационального числа неприменима.
Единственное значение корня из двух - 1,4
Ну так как число иррациональное, то 1,4 не совсем точное его представление, округленное - да
@@mathster314 Согласен, но это приблизительное значение корня из 2
Если мы это представим в степени квадрата, то мы можем значение округлить до 2
@@Lider876 что значит представим в степени квадрата?
@@mathster314 Во второй степени (1,4) ² = 1,9 = 2
🎉🎉🎉❤
Плохо, так как док-во строится на использовании свойств корня, который по идее еще не введен, как понятие
спорный момент
Любишь орехи?
обожаю😂
молот недавно вышел, слышал?
жека микс? ТО?
Нифига ты вспомнил
Ты доказал, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Теперь докажи, что корень из 2 существует, как действительное число
берем множество {x | x >= 0 и x^2
Ровно 2 минуты
Ничего не понял, но очень интересно.
😢
если ты хочешь стать популярным как 1blue3brown то не надо в лоб всем отвечать на самые тупые вопросы ;)
Спасибо за совет, учту)
Типичная ошибка студента 1 курса. Не доказали что корень двух это действительное число
Зачем. Цель видео показать что оно не рациональное
Ты типичный идиот.
Отвратительно! Мало того, что ничего красивого, но и непонятно от слова совсем!
Красивое оно, потому что наглядное и сразу видно противоречие. Ну и если вы далеки от мира математики, то вам и будут непонятны такого рода рассуждения
Попробуйте вникнуть, возьмите листочек, сами порисуйте и посмотрите, что получается
@@mathster314 , не надо свой неудачный ролик, представлять за наглядное.
@@mathster314 , я вникнул, к математике ваши рассуждения не применимы. Например, откуда следует, что средний квадрат равен 2 внешним? Если вы говорите про математику, то это утверждение надо доказать! А не так, как у вас, видимо вы думаете, что это и так понятно... из картинки.. ага, щас!!
@@xow998 в комментариях человек с ником @foxcat_ объяснил этот момент, понимание этого является сложной частью видео, но кажется, что в любом математическом ролике, так или иначе, нужно включать голову