#289

[@三浦靖彦-d3z]

先生の「ｎ通りの解法」シリーズは最高です！柔軟に頭を四方八方に飛ばしてみる訓練は本番の試験でも力になると思います。ありがとうございます。

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。
いろいろなアプローチを試みようとする姿が、数学力UPに繋がると信じております。

[@いまひろ09]

久しぶりに図形を見ていて、もう一つ解法を考えましたので参考まで
（この解法は正弦定理のsin2θから出てくるcosθを簡単に消すことができます）
線分DCをxだけ延長した点をEとすると
BD=AD=ED=2xとなるので
点A、B、Eは点Dを中心として半径2xの円周上の点となり、
線分BEは直径(4x)となるので、△ABEは∠BAE=90°の直角三角形となる。
このとき
∠ABE=θよりBEcosθ=BA
すなわち
4xcosθ=2より2xcosθ=1　…①
また、
△ABCで正弦定理より
1/sinθ=3x/sin2θが成り立つ
すなわち
sin2θ/sinθ=3xより2cosθ=3x　…②
①、②より
2cosθ=1/x
∴1/x=3x
x²=1/3、x>0よりx=1/√3

[@mathkarat6427]

「いまひろ09」さんは、いろいろと解法が思いつき、センスの良さが分かります。

[@いまひろ09]

@ 先生
ありがとうございます。
こちらこそ、いつも何通りもの解法を教えていただき、刺激をいただいております。
これからもよろしくお願いいたします。🙇

[@いまひろ09]

もう一つ思いつきましたのでご参考まで
△ADCで∠Dの二等分線とACの交点を点Eとする。
∠ADE=∠DAE=θより△ADEは二等辺三角形
よって、AE=DE=yとおくと
△ABDと△ADEは相似よりAD:AB=AE:AD
2x:2=y:2xよりy=2x²　
△ABCと△EDCは相似なので
AB:BC=ED:DC
2:3x=y:xよりy=2/3
あるいは
AE:EC=BD:DC
y:1-y=2x:x=2:1
y=2(1-y)よりy=2/3
よって、
y=2x²=2/3よりx²=1/3
∴x=1/√3

[@mathkarat6427]

情報をありがとうございます。

[@いまひろ09]

もっと簡単な方法を考えました。
線分AD上の点Fを、∠ACF=θとなる点とする
△FDCについて、
∠CDF=2θ(∵∠BAD=∠ABD=θ)
∠CFD=2θ(∵∠FAC=∠ACF=θより)
よって、△FDCはCF=CDの二等辺三角形となるので
CF=CD=x…①
また、△AFCは、∠FAC=∠FCA=θより
FA=FCの二等辺三角形となるので
FA=FC=x(①より)
よって、FD=AD-AF=xより
FD=DC=CF=xより△FDCは正三角形となるので
∠FDC=2θ=60°
よって、△ABCの面積は
(1/2)AB×ACsin60°=√3/2

[@いまひろ09]

後半の解説がまだアップされていませんが、
このような方法で解いてみましたのでご参考まで
ベクトルAB=a、AC=b、AD=pとすると
p=(a+2b)/3より
|p|²=(|a|²+4|b|²+4a･b)/9
(2x)²=(4+4+8cos2θ)/9=8(1+cos2θ)/9
∴　x²=2(1+cos2θ)/9　…①
また、△ABCについて余弦定理より
|BC|²=|AB|²+|AC|²-2|AB||AC|cos2θ
(3x)²=4+1-4cos2θ
∴　x²=(5-4cos2θ)/9　…②
①、②より
2(1+cos2θ)=5-4cos2θ
6cos2θ=3
cos2θ=1/2より2θ=60°
よって、△ABCの面積は
(1/2)AB×ACsin2θ=√3/2

[@mathkarat6427]

さすがです。ベクトル解法は、後半に出てきます。

[@いまひろ09]

@@mathkarat6427 先生　返信ありがとうございます。
もう一つこんな解法も考えました
△ABD=S1、△ADC＝S2とすると
S1=2S2
S1は、s=(1/2)(2+2x+2x)=2x+1とすると
S1=√(s(s-2)(s-2x)(s-2x))
=√((2x+1)(2x-1))＝√(4x²-1)
S2は、t=(1/2)(2x+x+1)=(3x+1)/2とすｔると
S2=√(t(t-2x)(t-x)(t-1))
=√((3x+1)(1-x)(x+1)(3x-1)/16)
=(1/4)√((9x²-1)(1-x²))
∴
√(4x²-1)=2×(1/4)√((9x²-1)(1-x²))より
4(4x²-1)=(9x²-1)(1-x²)
16x²-4=9x²-9x⁴-1+x²より
9x⁴+6x²-3=0より3x⁴+2x²-1=0
(3x²-1)(x²+1)=0
∴x²＝1/3　x>0よりx=1/√3
S1=√(4x²-1)=√(4/3-1)=1/√3
S2=(1/2)S1
より
△ABC=S1+S2=(3/2)S1=√3/2

[@mathkarat6427]

面積による解法も後半に出てきます。
ただ、私はヘロンの公式は使っていません。この問題で使うことは頭にありませんでした。情報をありがとうございます。

[@いまひろ09]

面積の解法は以下の通りとしました
S1=(1/2)(2x)²sin(π-2θ)=2x²sin2θ
S2=(1/2)(2x)xsin2θ=x²sin2θ
S=(1/2)(2･1)sin2θ=sin2θ
∴3x²=1よりx=1/√3
BC=3x=√3
よって、
AB:AC:BC=2:1:√3より△ABCは直角三角形となるので
S=√3/2

[@mathkarat6427]

はい、その解法が、面積の最速解法と思います。さすがです。

[@いまひろ09]

これで最後となります。（後半5通りの解法にあるでしょうか）
△ADCについて余弦定理を2回用いて計算しました。
|DC|²=|AD|²+|AC|²-2|AD||AD|cosθ
x²=4x²+1-4xcosθより
cosθ=(3x²+1)/4x…①
|AC|²=|DA|²+|DC|²-2|DA||DC|cos2θ
1=4x²+x²-4x²cos2θより
cos2θ=(5x²-1)/4x²…②
cos2θ=2cos²θ-1より
(5x²-1)/4x²=2((3x²+1)/4x)²-1
=(3x²+1)²/8x²-1=(9x⁴-2x²+1)/8x²
2(5x²-1)=9x⁴-2x²+1より
9x⁴-12x²+3=0
3x⁴-4x²+1=0
(3x²-1)(x²-1)=0よりx²=1/3､1
0

[@mathkarat6427]

「余弦定理を2回用いて計算しました。」
→　これは、後半の解答にあります。ただ、もっと簡潔に解けると思います。もちろんこれで十分ですが・・・

[@いまひろ09]

@@mathkarat6427 先生
なるほど分かりました。
△ADCと△ABDについて余弦定理を用いるのですね
△ADCについて
|DC|²=|AD|²+|AC|²-2|AD||AD|cosθ
x²=4x²+1-4xcosθより
4xcosθ=(3x²+1)…①
△ABDについて
|BD|²=|AB|²+|AD|²-2|AB||AD|cosθ
4x²=4+4x²-8xcosθより
8xcosθ=4
xcosθ=1/2…②
①、②より
4×1/2=3x²+1
3x²=1よりx=1/√3
スッキリしました