9:22-9:30, De hecho pareciera que es numerable así como hay una cantidad numerable de palabras, pero la realidad es que no es numerable. La razón está en que se están considerando también palabras infinitas, como por ejemplo ...aaaa (palabra infinita de puras a) o ...ababab (palabra infinita de 'ab'). Al tener esta posibilidad, si asumimos que el conjunto es numerable y enlistamos los elementos "verticalmente", podemos crear una nueva palabra cambiando los elementos de la diagonal en la lista anterior, obteniendo una palabra que está en nuestro diccionario pero que es diferente de las que supusimos eran todas. La idea es exactamente la misma que uno emplea en la demostración de la no numerabilidad del intervalo (0,1) (que implica la no numerabilidad de R) usando la idea Diagonal de Cantor. Se puede demostrar que la cardinalidad del conjunto de las palabras es de hecho la misma que R, pero eso es otra historia. Me gustó mucho el final dándole esa "chicha" al axioma de elección. Me gusta mucho ver las enormes consecuencias del axioma de elección, y como dices, la existencia de conjuntos no medibles es una de ellas. Cuando se entera uno de esas cosas es de Whaaat jaja Muy buen vídeo, bien explicado. Saludos desde México
Muchas gracias por el comentario!!! Entiendo bien lo que dices, pero en esta demostraciòn estamos considerando solo el conjunto de las palabras finitas. Si consideraramos las palabras infinitas no tendria mas sentido agregarle otra rotacion a ... El fractal es el conjunto de los puntos que puedo alcanzar con palabras finitas, siempre mas largas pero finitas ... chau!!!
¡Felicitaciones! Es la explicación más didáctica que conozco. Y una curiosidad: Imaginemos que partimos de un segmento [0,1] Paso 1. Lo partimos en dos [0,1/2], [½,1] Y pintamos de rojo la izquierda y de verde la derecha. Paso 2. Partimos cada segmento en dos pintando de rojo el que sale a la izquierda y de verde a la derecha: Lo partimos en: [0,1/4], [1/4,1/2], 1/2,3/4], [3/4,1] y pintamos de rojo los que salen a la izquierda [0,1/4], [1/2,3/4] y de verde los de la derecha [1/4,1/2], [3/4,1] Y repetimos esto una cantidad infinita de veces de modo que obtenemos una sucesión de puntos rojos y de puntos verdes… de modo que la distancia entre dos puntos verdes (o entre dos puntos rojos) tiende a 0. ¿Podríamos medir el conjunto de puntos rojos o el conjunto de puntos verdes? Si [0,1] tiene un cardinal C=el continuo, los puntos verdes y los puntos rojos tienen ambos el cardinal C. ¿No podríamos tomarlos y (dado que la distancia entre puntos verdes o rojos tiende a cero) de modo que tengamos dos segmentos? ¿Serviría esta forma tan simple para duplicar el segmento? Una solución que nos obligaría a revisar toda la base de la matemática, pasaría por rechazar la teoría cantoriana de infinitos... ¡Pues cae en el viejo error de las paradojas de Zenón!... Algo que nos parecerá a priori ridículo, pero que si lo pensamos bien, terminaremos descubriendo que es una teoría que no cae en contradicciones y donde muchos de estas situaciones incómodas (e incluso paradójicas) desaparecen. Algo como: José Ángel PANIEGO¿Cómo afrontar el infinito en Matemáticas? www.academia.edu/86238689/_Cómo_afrontar_el_infinito_en_Matemáticas
Gracias por tu lindo comentario y por el ejemplo. Habrá que definir mejor cómo se pintan los puntos, pero entiendo la idea. Hay que tener cuidado también con el hecho de que los puntos en [0,1] tienen la cardinalidad de los Reales, pero es posible que el conjunto final pintado de rojo tenga solo una infinidad numerable de puntos. ¡Chau
Lo contraintuitivo empieza desde que decimos que al aplicar una rotación obtenemos más puntos que antes, así que no es el axioma de elección lo que provoca que sea contraintuitivo.
si, esto es verdad, para construir conjuntos cuya rotación tiene mas puntos que le conjunto sin rotar no sirve el axioma de elección y esto muy sorprendente ... Es suficiente por ejemplo considerar el conjunto cuyos puntos tienen coordenadas (cos n, sin n) en el plano (al variar de n entero) para obtener un conjunto como tu dices ... pero para descomponer la esfera de manera que todo funcione sirve el axioma de elección. Gracias por el comentario, me hizo pensar que un video sobre este tipo de conjuntos podria ser interesante ... Chau, gracias!
Mi interpretación del teorema es que somos incapaces de asignar una medida a ciertos tipos de conjuntos y esa incapacidad produce "errores". Pero mientras usemos conjuntos "razonables" osea que se pueden medir, no deberíamos tener problemas
Exacto, somos incapaces de asignar una medida a ciertos tipos de conjuntos ... y no porque no somos buenos matematicos ... pero porque no es posible ... chau!!!
Esto coincide bastante bien con la interacción nuclear fuerte de los hadrones. Es una buena analogía para explicar la creación de pares y las fluctuaciones cuánticas. La genee se asusta porque eso sería suponer que el principio de conservación de la masa-energía equivalente se viola momentaneamente, pero yo no le veo problema, la verdad.
El teorema de Banach-Tarsky fue considerado como una paradoja solo en física, por el principio de conservación de la masa (el volumen no tiene por qué conservarse, de hecho en Teoría de la Relatividad no se preserva espacialmente). En su tiempo la teoría de la medida de Lebesgue no había sido todavía formulada, y el teorema de Banach-Tarsky forzó la axiomatización del concepto “medir” por el propio Lebesgue. De todos modos, no todo el mundo acepta el teorema como cierto ya que necesita del axioma de elección para probarse, y muchos matemáticos lo rechazan por llevar a resultados muy contraintuitivos… Aunque hasta ahora no se ha podido reemplazar por otro igual de útil 🤔
Me da la impresión que en el fondo lo que hay aquí es la vieja idea de que el intervalo (0,1) tiene la misma cantidad de puntos que el conjunto de todos los reales, o incluso de R n, para cualquier natural n. Claro, en este caso es más impresionante, porque no se ve fácil hacer coincidir una esfera con un par de esferas.
Sí, es verdad, en el fondo lo que hay es que si le saco el número 0 a los números naturales y traslado todos los otros números... vuelvo a tener el mismo conjunto. Esto es lo que pasa con los puntos rojos y blancos .... Pero en la esfera todo se obtiene con una simple rotación y no esperamos que un conjunto pueda cambiar su número de puntos con una simple rotación... Tienes razón.
pero esto es más potente, generar una biyección entre los puntos de una esfera y los de dos esferas no es dificil, lo sorprendente es que puedas dividir una esfera en una cantidad FINITA de partes y reconstruirla en 2
Hola. En primer lugar, mis felicitaciones. Excelente video. Yo también me dedico a hacer videos de matemática asique me interesa todo lo que hacés. Ahora, las preguntas: ¿qué programa utilizaste para duplicar una esfera dando una idea de lo que significa la paradoja de Banach Tarski. Yo utilizo mucho el Manim pero las animaciones que lograste son excelentes. Gracias y saludos desde Argentina
La clave de esta paradoja es que la construcción de las esferas con las partes de una se hace mediante conjuntos NO MEDIBLES. Por ende la noción de "volúmen" por ejemplo pierde sentido...
¡Hola! Fue un excelente vídeo, pero por lo que habia escuchado anteriormente para que esta demostración sea correcto se debe asumir que la hipótesis del continuo es verdadera o falsa (ahora no me acuerdo cual de las dos). Alguien me podria corregir? Muchas gracias.
Hola, el axioma que hace si que el Teorema de Banach-Tarski se pueda demonstrar es el Axioma de Eleccion. La hipotesis del continuo non sirve y la paradoja no usa ese axioma. Chau, gracias por el comentario.
Leí el teorema original y ciertamente no me enteré de nada. Aquí se explica muy claro. Magnífico. Pero... No entiendo que se pueda hacer el paso de unir todos los P, (justo donde el autor indica que se aplica el axioma de la elección) para obtener la totalidad de puntos. Creo que la unión [q]U[r]U[S].... etc es numerable. Y siendo conjuntos numerables su unión es numerable. Se podría sustituir por segmentos (o bolas), pero claro, entonces no podemos asegurar que los conjuntos generados sean disjuntos. ¿Puede que sea que esa unión no numerable de conjuntos sea precisamente el axioma de la elección?.
"¿Puede que sea que esa unión no numerable de conjuntos sea precisamente el axioma de la elección?" Exacto es una colleccion no numerable de puntos que fuimos elijiendo ... y para hacer eso sirve el axioma de eleccion ...
En los fractales dijimos que a × P(a) U P(a-¹) eran TODOS los puntos del fractal, veiamos todos los puntos rojos y azules, no hacia falta obtener los puntos que comienzan desde P(b) ni de P(b-¹), entonces, porque en la esfera seria distinto? Asi como el planteamiento estaria mal (obtendrias 2 fractales) en la esfera obtenes 2 esferas, x lo que solo deberias tomar una de las esferas en el planteo (solo los puntos azules-rojos o los naranja-verdes), sino, que alguien me lo explique
Hola! el fractal se descompone en {punto base} U P(a) U P(a^-1) U P(b) U (b^-1) (como vimos hablando de las palabras) pero vale tambien el echo que a × P(a) U P(a-¹) es todo el fractal. De la misma manera la esfera se descompone en {punto base} U Rojos U Azules U Naranjas U Verdes; pero vale tambien que a x Rojos U Azules es toda la esfera asì como en el fractal;
@@GuzMat-matematicas pues como todo el fractal se descompone en una de sus mitades, que sentido tiene que nosotros elijamos poner los puntos naranjas y verdes? Es como decir que tengonuna pizza, que la corte en vertical y en horizontal, si las dos mitades verticales hacen un entero y las dos mitades horizontales hacen otro entero es obvio que si planteo que ambas son necesarias voy a tener 2 pizzas, pero realmente si corto una pizza y la uso jamas voy a poder duplicarlas, porque es un error de concepto, en todo caso podriamos decir que 1/2 de la primera mas 1/2 de la segunda, al menos como lo entiendo el error esta en el planteo de esto, eso o el axioma de eleccion tiene errores graves contra las matematicas (1=2)
entiendo tus preguntas ... el echo es que pasa una cosas muy extrana con estas piezas ... la parte roja parece ser 1/4 pero cuando una la gira se transforma en algo que es 3/4 ... porque para estas piezas no valen las reglas de las fracciones y el solo echo de girarlas las transforma. No es una invencion ... es un teorema demostrado.
@@GuzMat-matematicas creo que necesito un estudio mucho mas a fondo para llegar a esa conclusion misma, suena super raro, y parece que seria un punto de partida para no aceptar el axioma de eleccion
exacto, es super raro ... y por eso siempre fué tan discutido el axioma de eleccion ... nos propone cosas que son muy dificiles de aceptar ... chau!!!!
En el minuto 6:17 se habla de que rotar en la posicion b no llega al mismo lugar lo que entiendo sucede por el valor irracional de pi Sin embargo, no se lo suficiente de matemáticas y no entiendo esto , ¿dado que estamos en una geometría esferica estaríamos hablando de que avanzar en la posicion a del fractal, eventualmente llegaria al punto -a y avanzar en el b llevaria al punto -b? ¿Eso convierte a la esfera en un fractal? Además como es que la parte roja rotada unida con la azul (que ya incluye todos los puntos de la esfera) es diferente a la verde rotada unida con la naranja si todos estos puntos ya se encuentran en el conjunto de la azul y roja, ¿no viola el axioma de que las cosas que se superponen son iguales?
Hola, no es que la esfera se convierte exactamente en un fractal pero se logra hacer una construccion muy parecida a le que hicismos en el fractal plano pero sobre la esfera, solo que esta vez se usan las rotaciones en lugar de las traslaciones. No estoy seguro de haber entendido bien la pregunta pero lo que queria decir es que con los puntos naranjas y los puntos verdes se puede costruir otra esfera: Esfera1 = Axul + Rojo rotado Esfera2 = traslacion( Naranja + Verde rotado ) en el video no dije que para obtener una esfera en otra posicion hay que agregar una traslacion final. Era esta la pregunta?
ahora entendì ... la palabra vacia tiene el rol de elemento neutro en esta operaciòn y la hubieramos podido indicar con 1, si ... pero sigue siendo la palabra vacia ...
El axioma de eleccion permite construir conjuntos que no tienen medida y con esos conjuntos se puede obtener la paradoja de la esfera. Tenemos que aceptar que es asì. Dejar de lado el axioma de eleccion tiene consecuencias hasta peores ...
Interesante exposición, da pié para ahondar en el constructivismo - Acerca de la paradoja de B-T me parece muy adecuado este th-cam.com/video/HPLT25XPMc0/w-d-xo.html
Hola, si, cuando unimos la parte roja y la parte azul demostramos que se obtiene toda la esfera ... o tu comentario era un chiste sobre mi pronuncia de la palabra "llenas" ... :D chau!!
a ver pero aquí se está *hablando* DE LA SUPERFICIE de la esfera reemplazando esa VERBALIZACIÓN como que es la esfera en sí !!....muy interesante igual; bueno para estudiantes pero si bien la abstracción nos da la posibilidad de obtener resultados no logrables con numeros concretos en infinidad de casos esta en particular diría tiene bastantes pocos usos prácticos ( SALVO EL DE LA ENSEÑANZA QUE NO ES POCO o sea MUY recomendable hacer el ejercicio para estudiantes xd !!)...pero no confundir los términos del planteo real = no es lo mismo una SUPERFICIE ESFÉRICA que una esfera en el vídeo xd...si bien el teorema en sí = SÍ es claramente abarcativo de una esfera tambien = VERBALMENTE EN EL VIDEO SE NOMBRA DEMASIADAS VECES COMO "ESFERA" ¡¡ A SÓLO SU SUPERFICIE !! de eso hablo...adicionar que los conjuntos no medibles SÍ pierden consistencia tendiendo al infinito de casos contrario a lo que PARECE rezar su ecuacion justificativa o la del "axioma de la elección"...
Hola, la costruccion que hacemos en el video con el punto q se aplica a todos los puntos de la esfera tambien a los puntos internos ... y el resultado che obtenemos habla de toda la esfera no solo de la superficie!!!
@@GuzMat-matematicas si amigo no presta atención a lo que lée dije VERBALIZAR y lo RESALTÉ por algo: se VERBALIZA que se está extrapolando a la esfera las coordenadas pero SE MUESTRA otra cosa *en esos momentos* ...el metodimo mostrado EN ESOS MOMENTOS NO aplica a una esfera los giros SÓLO APLICAN ALLÍ A SU SUPERFICIE eso decía...¡¡ TAMBIEN aclaré que obviamente el problema SI APLICA A LA ENTERA ESFERA por tanto está demás decírmelo cuando ya lo he escrito yo mismo xd !!...
@@GuzMat-matematicas yo lo siento mucho pero estoy cortando todo diálogo ya con "gente" que se salta los condicionales en lo que oye o lée o "detalles" APARENTE que en realidad resultan ser el corazón de lo que se xpone y no un "detalle" xd....quien espera que todo el trabajo comunicacional lo realice el otro y recaiga hacia el otro ya no me es sobrellevables de hecho ya ni califico esos arganizaciones mentales falsas siquiera como "gente"...fué demasiado ya disculpe.
hola, tenemos 3 posibilidades: - amar Banach y Tarski - dejar de lado el "axioma de eleccion" y aceptar entonces que, por ejemplo, el producto cartesiano de una infinidad de conjuntos no vacios puede ser vacio ... - aceptar como verdadero el contrario del axioma de eleccion ... y entonces tenemos que aceptar, por ejemplo, que existen subconjuntos infinitos de los numeros reales que no tienen ningun subconjunto numerable ... cualquiera de las opciones tiene sus paradojas ...
Pues la mayoría de matemáticos acepta el axioma de elección jasjja, es esencial para muchísimas partes de las matemáticas, realmente esta "paradoja" no es tan mala una vez generas la intuición de las biyecciones entre conjuntos que aparentemente no parecen del mismo "tamaño"... además el que toda función sobreyectiva tenga una inversa por la derecha es demasiado obvio para negarlo jaksjaks
Y entonces puedes demostrar la negación de Banach-Tarski si niegas axioma de elección? Quiero ver tu demostración. Por que si si sigue siendo verdadero Banach-Tarski o es independiente, entonces al eliminar el axioma de elección no eliminaste el resultado contraintuitivo y cuál sería el beneficio de quitarlo?
@@GuzMat-matematicas Que un especialistas use erróneamente el concepto no lo hace adecuado. También he escuchado que usan el concepto de contradicción en lugar de contrariedad o subcontrariedad. Saludos.
Desde que oí hablar de esta paradoja hace varios meses que llevo esperando alguien que me la explique, muchas gracias!!!!!
Por el amor de Dios! Es el vídeo que llevo años buscando.
Gracias buen hombre
Gracias por tu lindo comentario!!!!!!!!!
Igualmente, ningún otro video me explicó mejor la paradoja
9:22-9:30, De hecho pareciera que es numerable así como hay una cantidad numerable de palabras, pero la realidad es que no es numerable. La razón está en que se están considerando también palabras infinitas, como por ejemplo ...aaaa (palabra infinita de puras a) o ...ababab (palabra infinita de 'ab'). Al tener esta posibilidad, si asumimos que el conjunto es numerable y enlistamos los elementos "verticalmente", podemos crear una nueva palabra cambiando los elementos de la diagonal en la lista anterior, obteniendo una palabra que está en nuestro diccionario pero que es diferente de las que supusimos eran todas.
La idea es exactamente la misma que uno emplea en la demostración de la no numerabilidad del intervalo (0,1) (que implica la no numerabilidad de R) usando la idea Diagonal de Cantor.
Se puede demostrar que la cardinalidad del conjunto de las palabras es de hecho la misma que R, pero eso es otra historia.
Me gustó mucho el final dándole esa "chicha" al axioma de elección. Me gusta mucho ver las enormes consecuencias del axioma de elección, y como dices, la existencia de conjuntos no medibles es una de ellas. Cuando se entera uno de esas cosas es de Whaaat jaja
Muy buen vídeo, bien explicado.
Saludos desde México
Muchas gracias por el comentario!!! Entiendo bien lo que dices, pero en esta demostraciòn estamos considerando solo el conjunto de las palabras finitas. Si consideraramos las palabras infinitas no tendria mas sentido agregarle otra rotacion a ... El fractal es el conjunto de los puntos que puedo alcanzar con palabras finitas, siempre mas largas pero finitas ...
chau!!!
@@GuzMat-matematicas Eso explica muchas cosas.jpg
Tambien, el detalle de poner los papers se agradece, está interesante cada uno :)
¡Felicitaciones! Es la explicación más didáctica que conozco.
Y una curiosidad: Imaginemos que partimos de un segmento [0,1]
Paso 1. Lo partimos en dos [0,1/2], [½,1] Y pintamos de rojo la izquierda y de verde la derecha.
Paso 2. Partimos cada segmento en dos pintando de rojo el que sale a la izquierda y de verde a la derecha: Lo partimos en: [0,1/4], [1/4,1/2], 1/2,3/4], [3/4,1] y pintamos de rojo los que salen a la izquierda [0,1/4], [1/2,3/4] y de verde los de la derecha [1/4,1/2], [3/4,1]
Y repetimos esto una cantidad infinita de veces de modo que obtenemos una sucesión de puntos rojos y de puntos verdes… de modo que la distancia entre dos puntos verdes (o entre dos puntos rojos) tiende a 0.
¿Podríamos medir el conjunto de puntos rojos o el conjunto de puntos verdes?
Si [0,1] tiene un cardinal C=el continuo, los puntos verdes y los puntos rojos tienen ambos el cardinal C. ¿No podríamos tomarlos y (dado que la distancia entre puntos verdes o rojos tiende a cero) de modo que tengamos dos segmentos? ¿Serviría esta forma tan simple para duplicar el segmento?
Una solución que nos obligaría a revisar toda la base de la matemática, pasaría por rechazar la teoría cantoriana de infinitos... ¡Pues cae en el viejo error de las paradojas de Zenón!... Algo que nos parecerá a priori ridículo, pero que si lo pensamos bien, terminaremos descubriendo que es una teoría que no cae en contradicciones y donde muchos de estas situaciones incómodas (e incluso paradójicas) desaparecen. Algo como: José Ángel PANIEGO¿Cómo afrontar el infinito en Matemáticas? www.academia.edu/86238689/_Cómo_afrontar_el_infinito_en_Matemáticas
Gracias por tu lindo comentario y por el ejemplo.
Habrá que definir mejor cómo se pintan los puntos, pero entiendo la idea. Hay que tener cuidado también con el hecho de que los puntos en [0,1] tienen la cardinalidad de los Reales, pero es posible que el conjunto final pintado de rojo tenga solo una infinidad numerable de puntos. ¡Chau
Gracias por subir esta maravilla
Lo contraintuitivo empieza desde que decimos que al aplicar una rotación obtenemos más puntos que antes, así que no es el axioma de elección lo que provoca que sea contraintuitivo.
si, esto es verdad, para construir conjuntos cuya rotación tiene mas puntos que le conjunto sin rotar no sirve el axioma de elección y esto muy sorprendente ... Es suficiente por ejemplo considerar el conjunto cuyos puntos tienen coordenadas (cos n, sin n) en el plano (al variar de n entero) para obtener un conjunto como tu dices ...
pero para descomponer la esfera de manera que todo funcione sirve el axioma de elección. Gracias por el comentario, me hizo pensar que un video sobre este tipo de conjuntos podria ser interesante ... Chau, gracias!
Jugar con el infinito es lo que tiene: paradojas. Saludos.
esto es algo que desafia nuestra intención, pero no es una contradicción
@@benjaminojeda8094 Me parece que quieres decir intuición.
Conclusión: las esferas perfectas no existen
Mi interpretación del teorema es que somos incapaces de asignar una medida a ciertos tipos de conjuntos y esa incapacidad produce "errores".
Pero mientras usemos conjuntos "razonables" osea que se pueden medir, no deberíamos tener problemas
Exacto, somos incapaces de asignar una medida a ciertos tipos de conjuntos ... y no porque no somos buenos matematicos ... pero porque no es posible ... chau!!!
gracias eternamente agradecido por este y tus videos🎉🎉🎉 muy espectacular
Esto coincide bastante bien con la interacción nuclear fuerte de los hadrones. Es una buena analogía para explicar la creación de pares y las fluctuaciones cuánticas. La genee se asusta porque eso sería suponer que el principio de conservación de la masa-energía equivalente se viola momentaneamente, pero yo no le veo problema, la verdad.
El teorema de Banach-Tarsky fue considerado como una paradoja solo en física, por el principio de conservación de la masa (el volumen no tiene por qué conservarse, de hecho en Teoría de la Relatividad no se preserva espacialmente).
En su tiempo la teoría de la medida de Lebesgue no había sido todavía formulada, y el teorema de Banach-Tarsky forzó la axiomatización del concepto “medir” por el propio Lebesgue.
De todos modos, no todo el mundo acepta el teorema como cierto ya que necesita del axioma de elección para probarse, y muchos matemáticos lo rechazan por llevar a resultados muy contraintuitivos…
Aunque hasta ahora no se ha podido reemplazar por otro igual de útil 🤔
Me da la impresión que en el fondo lo que hay aquí es la vieja idea de que el intervalo (0,1) tiene la misma cantidad de puntos que el conjunto de todos los reales, o incluso de R n, para cualquier natural n.
Claro, en este caso es más impresionante, porque no se ve fácil hacer coincidir una esfera con un par de esferas.
Sí, es verdad, en el fondo lo que hay es que si le saco el número 0 a los números naturales y traslado todos los otros números... vuelvo a tener el mismo conjunto. Esto es lo que pasa con los puntos rojos y blancos .... Pero en la esfera todo se obtiene con una simple rotación y no esperamos que un conjunto pueda cambiar su número de puntos con una simple rotación...
Tienes razón.
pero esto es más potente, generar una biyección entre los puntos de una esfera y los de dos esferas no es dificil, lo sorprendente es que puedas dividir una esfera en una cantidad FINITA de partes y reconstruirla en 2
si, verdad!
Hola. En primer lugar, mis felicitaciones. Excelente video. Yo también me dedico a hacer videos de matemática asique me interesa todo lo que hacés. Ahora, las preguntas: ¿qué programa utilizaste para duplicar una esfera dando una idea de lo que significa la paradoja de Banach Tarski. Yo utilizo mucho el Manim pero las animaciones que lograste son excelentes. Gracias y saludos desde Argentina
excelente animación de grupos libres
gracias!!!! al final decidì no nombrar a los grupos libres para hacer si que mas personas pudieran seguir sin asustarse ... chau!!
se usa Crtl +d y duplicas.
:D :D :D :D
Aterrador
agrego un pedido: ¿podria utilizar un pedacito de tu video, no mas que 30 seg, dándote el correspondiente crédito?
Tengo una duda. Como se que el punto que escojo inicialmente no pertenece a la secuencia de otro punto inicial?
Buena pregunta, es ahí donde sirve el axioma de elección, que permite elegir un punto en cada clase de equivalencia.
La clave de esta paradoja es que la construcción de las esferas con las partes de una se hace mediante conjuntos NO MEDIBLES. Por ende la noción de "volúmen" por ejemplo pierde sentido...
Excelente
gracias!!!
¡Hola! Fue un excelente vídeo, pero por lo que habia escuchado anteriormente para que esta demostración sea correcto se debe asumir que la hipótesis del continuo es verdadera o falsa (ahora no me acuerdo cual de las dos). Alguien me podria corregir? Muchas gracias.
Hola, el axioma que hace si que el Teorema de Banach-Tarski se pueda demonstrar es el Axioma de Eleccion. La hipotesis del continuo non sirve y la paradoja no usa ese axioma. Chau, gracias por el comentario.
Leí el teorema original y ciertamente no me enteré de nada. Aquí se explica muy claro. Magnífico. Pero...
No entiendo que se pueda hacer el paso de unir todos los P, (justo donde el autor indica que se aplica el axioma de la elección) para obtener la totalidad de puntos.
Creo que la unión [q]U[r]U[S].... etc es numerable. Y siendo conjuntos numerables su unión es numerable.
Se podría sustituir por segmentos (o bolas), pero claro, entonces no podemos asegurar que los conjuntos generados sean disjuntos.
¿Puede que sea que esa unión no numerable de conjuntos sea precisamente el axioma de la elección?.
"¿Puede que sea que esa unión no numerable de conjuntos sea precisamente el axioma de la elección?"
Exacto es una colleccion no numerable de puntos que fuimos elijiendo ... y para hacer eso sirve el axioma de eleccion ...
En los fractales dijimos que a × P(a) U P(a-¹) eran TODOS los puntos del fractal, veiamos todos los puntos rojos y azules, no hacia falta obtener los puntos que comienzan desde P(b) ni de P(b-¹), entonces, porque en la esfera seria distinto? Asi como el planteamiento estaria mal (obtendrias 2 fractales) en la esfera obtenes 2 esferas, x lo que solo deberias tomar una de las esferas en el planteo (solo los puntos azules-rojos o los naranja-verdes), sino, que alguien me lo explique
Hola!
el fractal se descompone en {punto base} U P(a) U P(a^-1) U P(b) U (b^-1)
(como vimos hablando de las palabras)
pero vale tambien el echo que a × P(a) U P(a-¹) es todo el fractal.
De la misma manera la esfera se descompone en
{punto base} U Rojos U Azules U Naranjas U Verdes;
pero vale tambien que a x Rojos U Azules es toda la esfera asì como en el fractal;
@@GuzMat-matematicas pues como todo el fractal se descompone en una de sus mitades, que sentido tiene que nosotros elijamos poner los puntos naranjas y verdes? Es como decir que tengonuna pizza, que la corte en vertical y en horizontal, si las dos mitades verticales hacen un entero y las dos mitades horizontales hacen otro entero es obvio que si planteo que ambas son necesarias voy a tener 2 pizzas, pero realmente si corto una pizza y la uso jamas voy a poder duplicarlas, porque es un error de concepto, en todo caso podriamos decir que 1/2 de la primera mas 1/2 de la segunda, al menos como lo entiendo el error esta en el planteo de esto, eso o el axioma de eleccion tiene errores graves contra las matematicas (1=2)
entiendo tus preguntas ...
el echo es que pasa una cosas muy extrana con estas piezas ... la parte roja parece ser 1/4 pero cuando una la gira se transforma en algo que es 3/4 ... porque para estas piezas no valen las reglas de las fracciones y el solo echo de girarlas las transforma. No es una invencion ... es un teorema demostrado.
@@GuzMat-matematicas creo que necesito un estudio mucho mas a fondo para llegar a esa conclusion misma, suena super raro, y parece que seria un punto de partida para no aceptar el axioma de eleccion
exacto, es super raro ... y por eso siempre fué tan discutido el axioma de eleccion ...
nos propone cosas que son muy dificiles de aceptar ... chau!!!!
En el minuto 6:17 se habla de que rotar en la posicion b no llega al mismo lugar lo que entiendo sucede por el valor irracional de pi
Sin embargo, no se lo suficiente de matemáticas y no entiendo esto , ¿dado que estamos en una geometría esferica estaríamos hablando de que avanzar en la posicion a del fractal, eventualmente llegaria al punto -a y avanzar en el b llevaria al punto -b? ¿Eso convierte a la esfera en un fractal?
Además como es que la parte roja rotada unida con la azul (que ya incluye todos los puntos de la esfera) es diferente a la verde rotada unida con la naranja si todos estos puntos ya se encuentran en el conjunto de la azul y roja, ¿no viola el axioma de que las cosas que se superponen son iguales?
Hola, no es que la esfera se convierte exactamente en un fractal pero se logra hacer una construccion muy parecida a le que hicismos en el fractal plano pero sobre la esfera, solo que esta vez se usan las rotaciones en lugar de las traslaciones.
No estoy seguro de haber entendido bien la pregunta pero lo que queria decir es que con los puntos naranjas y los puntos verdes se puede costruir otra esfera:
Esfera1 = Axul + Rojo rotado
Esfera2 = traslacion( Naranja + Verde rotado )
en el video no dije que para obtener una esfera en otra posicion hay que agregar una traslacion final. Era esta la pregunta?
Es lo ocurre cuando juegas con los conjuntos de números infinitos. Que puedes duplicar el conjunto de números infinitos infinitas veces.
Pero aquí hay algo más... ¿Por qué puedes armar dos esferas usando las 5 piezas que obtuviste al desarmar una esfera sola (del mismo tamaño).
XD es gracioso cómo explicas la teoría de grupos.
tratè de hacerla comprensible para todos ... chau!
No has definido cada palabra q usas comienzas con letras y luego las tratas como numeros .porque?
Creo que solo es un juego de infininitos, como la paradoja de Alquiles y la tortuga
El echo es que no es solo un juego, es una demostracion matematica correcta ... en la cual todos los matematicos estàn de acuerdo ...
e sería 1 no vacio?
hola, perdoname, no entendì la pregunta ...
ahora entendì ... la palabra vacia tiene el rol de elemento neutro en esta operaciòn y la hubieramos podido indicar con 1, si ... pero sigue siendo la palabra vacia ...
En estos días M² a quien ya enfrentaste, va a subir un vídeo con este truco de crear 2 esferas llenas de elefantes.
M² = Mates con Mike
si, vi que lo anunciò en su video ... probablemente va a tener un enfoque mas divulgativo ... no se, veremos.
@@GuzMat-matematicas si toca meter hacha a su video, bienvenido sea jajaj
@@SenseiPlus :D :D
Entendi que demostraba que 1 esfera es igual a 2 esfera. Entonces el teorema de elecion esta mal?
El axioma de eleccion permite construir conjuntos que no tienen medida y con esos conjuntos se puede obtener la paradoja de la esfera. Tenemos que aceptar que es asì. Dejar de lado el axioma de eleccion tiene consecuencias hasta peores ...
Interesante exposición, da pié para ahondar en el constructivismo - Acerca de la paradoja de B-T me parece muy adecuado este th-cam.com/video/HPLT25XPMc0/w-d-xo.html
Seguro que están shenas?
Hola, si, cuando unimos la parte roja y la parte azul demostramos que se obtiene toda la esfera ...
o tu comentario era un chiste sobre mi pronuncia de la palabra "llenas" ... :D chau!!
Si tengo un pastel, lo corto a la mitad, y a cada mitad le agrego medio pastel... obtengo dos pasteles 😇
si, pero en este teorema non se agrega nada ... solo se usa lo que ya tenemos ... pero me imagino que estabas bromeando ...
😮
a ver pero aquí se está *hablando* DE LA SUPERFICIE de la esfera reemplazando esa VERBALIZACIÓN como que es la esfera en sí !!....muy interesante igual; bueno para estudiantes pero si bien la abstracción nos da la posibilidad de obtener resultados no logrables con numeros concretos en infinidad de casos esta en particular diría tiene bastantes pocos usos prácticos ( SALVO EL DE LA ENSEÑANZA QUE NO ES POCO o sea MUY recomendable hacer el ejercicio para estudiantes xd !!)...pero no confundir los términos del planteo real = no es lo mismo una SUPERFICIE ESFÉRICA que una esfera en el vídeo xd...si bien el teorema en sí = SÍ es claramente abarcativo de una esfera tambien = VERBALMENTE EN EL VIDEO SE NOMBRA DEMASIADAS VECES COMO "ESFERA" ¡¡ A SÓLO SU SUPERFICIE !! de eso hablo...adicionar que los conjuntos no medibles SÍ pierden consistencia tendiendo al infinito de casos contrario a lo que PARECE rezar su ecuacion justificativa o la del "axioma de la elección"...
Hola, la costruccion que hacemos en el video con el punto q se aplica a todos los puntos de la esfera tambien a los puntos internos ... y el resultado che obtenemos habla de toda la esfera no solo de la superficie!!!
@@GuzMat-matematicas si amigo no presta atención a lo que lée dije VERBALIZAR y lo RESALTÉ por algo: se VERBALIZA que se está extrapolando a la esfera las coordenadas pero SE MUESTRA otra cosa *en esos momentos* ...el metodimo mostrado EN ESOS MOMENTOS NO aplica a una esfera los giros SÓLO APLICAN ALLÍ A SU SUPERFICIE eso decía...¡¡ TAMBIEN aclaré que obviamente el problema SI APLICA A LA ENTERA ESFERA por tanto está demás decírmelo cuando ya lo he escrito yo mismo xd !!...
@@GuzMat-matematicas yo lo siento mucho pero estoy cortando todo diálogo ya con "gente" que se salta los condicionales en lo que oye o lée o "detalles" APARENTE que en realidad resultan ser el corazón de lo que se xpone y no un "detalle" xd....quien espera que todo el trabajo comunicacional lo realice el otro y recaiga hacia el otro ya no me es sobrellevables de hecho ya ni califico esos arganizaciones mentales falsas siquiera como "gente"...fué demasiado ya disculpe.
@@fabriciolezcano5089 Te pido disculpa, no habia entedido, ...
@@fabriciolezcano5089 La verdad es que es muy poco clara tu forma de escribir
15:14 Solo los gays usan el "axioma de elección". Aceptar ese axioma conduce justamente a dicha paradoja de Banach-Tarski.
hola, tenemos 3 posibilidades:
- amar Banach y Tarski
- dejar de lado el "axioma de eleccion" y aceptar entonces que, por ejemplo, el producto cartesiano de una infinidad de conjuntos no vacios puede ser vacio ...
- aceptar como verdadero el contrario del axioma de eleccion ... y entonces tenemos que aceptar, por ejemplo, que existen subconjuntos infinitos de los numeros reales que no tienen ningun subconjunto numerable ...
cualquiera de las opciones tiene sus paradojas ...
Pues la mayoría de matemáticos acepta el axioma de elección jasjja, es esencial para muchísimas partes de las matemáticas, realmente esta "paradoja" no es tan mala una vez generas la intuición de las biyecciones entre conjuntos que aparentemente no parecen del mismo "tamaño"... además el que toda función sobreyectiva tenga una inversa por la derecha es demasiado obvio para negarlo jaksjaks
@@GuzMat-matematicas esa consecuencia de la negación de elección es horribleeee
Y entonces puedes demostrar la negación de Banach-Tarski si niegas axioma de elección? Quiero ver tu demostración. Por que si si sigue siendo verdadero Banach-Tarski o es independiente, entonces al eliminar el axioma de elección no eliminaste el resultado contraintuitivo y cuál sería el beneficio de quitarlo?
Los católicos enseñan y demuestran con la Biblia, que:1+1+1=1
Dime qué no entiendes la doctrina de la Trinidad sin decir que no entiendes la doctrina de la Trinidad 😊:
La doctrina de la trinidad es un dogma absurdo, l Biblia no tiene la culpa
@@Cebec13de hecho su escencia radica en que no sea comprensible para los humanos
Es injusto comprarlo con la biblia, ya que la biblia se basa en un método anti-cientifico, es decir, creer que es cierto sin pruebas
No entendí. Donde está la paradoja?
Sólo tenemos un teorema que ha sido demostrado.
Tenga su dislike.
¿Alguien puede responderle a este señor? ¡Gracias!
@@GuzMat-matematicas Utilizaste erróneamente el concepto de paradoja.
no creo: es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach-Tarski
y puedes ver el titulo de todas las publicaciones especializadas ...
@@GuzMat-matematicas Que un especialistas use erróneamente el concepto no lo hace adecuado.
También he escuchado que usan el concepto de contradicción en lugar de contrariedad o subcontrariedad.
Saludos.