Es bastante más sencillo, si se considera que uno de los elementos contiene el conjunto vacío (no hay elementos) ya no se puede elegir 1 elemento de cada "caja" pues una de las cajas está vacía. Con independencia del planteamiento del infinito, que permitiría añadir una caja más (ver paradoja del Hotel con ∞ habitaciones), el axioma de elección plantea que depende de si consideramos el elemento vacío como elemento válido o no (esto que parece una tontería, llevó varios siglos en ser introducido en las matemáticas occidentales, como los números negativos para formar los números reales). Para la cuestión del hotel infinito se recomienda ver los trabajos de Cantor. El planteamiento de Cohen lo que hace es probar lo contrario al trabajo de Gödel de 1938 (que prueba la generalización, mientras Cohen prueba la independencia de la hipótesis del continuo... Acabo de ver pasar a Cantor por aquí, intentando resolverlo...). Tanto los trabajos de Russell como los de Zermelo, como los de Cantor y Cohen, le acaban dando la razón a Gödel (1931) y a Fraenkel (1922). Basándonos en los trabajos de Fraenkel y Gödel, estableciendo que el conjunto vacío sí pertenece a algún conjunto y se considera válido, podemos decir que 2P(Ω) _dos veces el conjunto potencia de todos los mayores infinitos, incluido el conjunto vacío_ sí, permitiría elegir 1 elemento de cada caja de infinitas cajas (incluyendo a la caja con el no-gato, o donde la caja se quedó vacía al mover Z)
@@Manuel_Bache No entiendo lo que dices con respecto al conjunto vacio. Si uno de los conjuntos iniciales tiene como unico elemento solo al conjunto vacio entonces de ese conjunto elijo el conjunto vacio ...
Toda la razón, Guz! He cometido un error al hablar para rebajar tecnicismos, pero en sí cuando presento el axioma de elección lo hago redondeando los conjuntos, dando a entender en mi cabeza que estaban dentro un conjunto mayor. El error está en las palabras: en vez de "cualquier colección de conjuntos", debería haber dicho "cualquier conjunto de conjuntos", para evitar paradojas tipo Rusell. De todas formas, en colecciones de gatos creo que no tendrías este problema, dado que los elementos no son en sí conjuntos. Tampoco estoy muy seguro. Me ha hecho mucha gracia el enfoque con humor. Digamos que vas ganando 1-0 jejeje, gracias :)
Gracias por tu comentario!!!! Yo por otra parte, con el intento de simplificar, me olvidé de decir que lo que se demuestra con esta demostracion es que la coleccion de todos los conjuntos con un solo elemento no es ella misma un conjunto. Hay que hacer un trabajo para contar mejor esta cosa de el verdadero significado de los axiomas ... Chau, gracias!
Me gustaba la idea de interpretar que los gatos no son conjuntos... pero, si interpretáramos que los gatos no son conjuntos, entonces estaríamos trabajando en una teoría axiomática con átomos (urelements) y entonces el axioma de elección se enunciaría de otra manera y no solo para los conjuntos con gatos...
Muy interesante tu vídeo, como siempre. Me han entrado muchas ganas de leer el artículo de Zermelo. No sabía que la motivación del axioma de elección era evitar estas paradojas. Gracias! Al ver que MatesMike te había escrito, pensaba que su comentario iría por otro camino, que iba a defender su postura con este argumento: Es cierto que la palabra “colección” no tiene un significado formal, y podemos admitir que en un cierto modo las clases propias son colecciones. 🤔 Pero entonces, propongo que la usemos uniformemente. Es decir, que interpretemos que el axioma de elección nos da también una colección, no necesariamente un conjunto. Es el axioma de elección global! 😊 Asumir que existe una (clase-)función de elección global t que nos da un conjunto t(x) de cada conjunto no vacío x no genera ninguna contradicción. Además, es una extensión conservativa de ZFC, con lo que no genera ningún teorema nuevo que se pueda enunciar en el lenguaje de ZFC. Esto es, sí que podemos elegir, pero no podemos siempre ponerlo todo en un saquito, quizás necesitemos un saco grande. 😅
@@jgilferez Sí, podríamos tener un axioma que permita elegir, pero no permita hacer conjuntos con lo que uno eligió... Creo que Mike fue muy honesto en renunciar a esa posibilidad y simplemente aceptar la situacion ... Chau!! Gracias!!
Me da la impresión que los videorespuestas en youtube son el equivalente del intercambio de cartas de matematicos del pasado. Con la adición de que ahora todos podemos enriquecernos de esta correspondencia sin tener que esperar a que se elabore un manuscrito recopilatorio. Muchas gracias a ambos canales! :D
:D :D De echo podemos elegir ... lo que no podemos es poner todos lo elementos elejidos juntos y llamar lo que obtenemos "conjunto" ... si elegimos cosas cualquieras de cajas cualquieras lo que obtenemos puede no ser un conjunto.
@@GuzMat-matematicas nuevamente, si que podemos llamarlo conjunto, o si queremos podemos llamarlo gatito, que sea correcto o no, eso ya es otro tema jajaja Y perdón por jugar contigo, pasa que es divertido. Osea no digo que sea divertido molestar, sino que lo divertido es volar por las infinitas posibilidades del poder que nos brinda la elección y la no elección, el deber y el no deber, y el poder tanto para errar como para acertar. De eso se trata la vida, de descubrir y de equivocarse una y otra vez para así poder aprender, o en su defecto desaprender para corregir X errores. Un saludo hermano, no fue mi intención molestar. Abrazos! 🥰
Si! el axioma de elección nos sirve para evitar la paradoja de Russell, pero para evitar el circulo vicioso, Z vendria siendo una clase(Creo), no un conjunto.
Exacto, la coleccion de los conjuntos con un solo elemento es una clase y Z, visto que la coleccion de todos los conjuntos es una clase, no puede ser definido por qué no podemos aplicar el axioma de especificacion a las clases ... chau, gracias!!
Pero me viene a la cabeza la consulta, ¿hablar de infinitos conjuntos, es lo mismo que hablar de todos los conjuntos? Por que según entiendo del video, el agregar Z a los conjuntos iniciales se debe a que se están tomando todos los conjuntos, pero al principio no se especifica eso, se indica que son infinitos nada más, de ahí mi consulta, un abrazo y éxito
Hola, al principio se dice que se consideran "todos los conjuntos con un solo elemento" ... Hablar de infinitos conjuntos no es en general la misma cosa que hablar de todos los conjuntos que existen ... Pero en general una coleccion cualquiera de infinitos conjuntos no esta dicho que sea ella misma un conjunto ... son conjuntos las colecciones que logramos demostrar que son conjuntos ... No se si te respondì ...
@@GuzMat-matematicas pero en ese caso, ¿realmente se demuestra lo que se quiere demostrar? Por ejemplo, si formamos un conjunto con "todos los conjuntos con un elemento" (A) y otro con "infinitos conjuntos no vacíos" (B) ¿realmente la cardinalidad de A es igual a la de B? O dicho de otra forma, ¿la cardinalidad de A es realmente infinita? , y si lo fuera, ¿es el mismo infinito que el de la cardinalidad de B?
Hola, cuando una coleccion no es un conjunto podemos decir que es infinita pero pierde de significado hablar de cardinalidad ... la cardinalidad se logra definir solo para los conjuntos ... No entendi la pregunta: "¿realmente se demuestra lo que se quiere demostrar?"
@@GuzMat-matematicas la consulta de ¿realmente se demuestra lo que se quería demostrar? era por que no me quedaba claro que el ejemplo empleado sea realmente un ejemplo del caso general antes descrito pues no tienen la misma definición, por eso proponía el ejemplo de cardinalidad, para buscar una relación que enlazar a ambas "colecciones" convirtiendo las en conjuntos, partiendo de la base que si tienen la misma cardinalidad, podrían ser conjuntos semejantes y en ese caso aplicaría el ejemplo mostrado
@@GuzMat-matematicas Un total a escoger entre otro total, ¿no es (primer total) / (segundo total)?. Pues infinito entre infinito, lo cual es una indeterminación.
@@juanbelmonte8920 Ah ... ahora entiendo ... pero en este caso no es una division o un cociente ... se trata de elegir elementos para formar un posible nuevo conjunto
Si tuviera un canal de matemáticas haría un vídeo explicando que no se puede construir el conjunto de todos los conjuntos con un solo elemento a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos 😂 Edito: tienes muchos menos subscriptores de los que mereces, ánimo que lo logras.
Si tienes razon, hubiera tenido que decirlo cuando se llega a la contradiccion ... pero estaba concentrado en decir que la libertad de elegir elementos como uno quiere trae problemas ... chau, gracias por el comentario!!
@@GuzMat-matematicas Si, ya vi que lo mencionas en tus mensajes con MatesMike. Fallo mío, debí mirar a ver si alguien (o tú mismo) lo había comentado ya, antes de abrir la bocaza 🤣
No lo veo claro... el ejemplo q pones no me parece correcto. Entiendo la respuesta de Mike. Pero no la tuya' ya q entiendo q las premisas son diferentes, y cambian las reglas. Es como decir q no podemos calcular la velocidad de un objeto en caída libre, porque no sabemos su color... o eso me pareció, vaya. Pero soy ingeniero, no matemático 🤣🤣🤣
El ejemplo que doy no es mio ... es de Zermelo y Russell ... y demuestra que no podemos dejar libertad de eleccion si no queremos unas matematicas falladas ...
@@GuzMat-matematicas bueno. No fallidas. Mike lo explica bastante bien. Simplemente están las dos opciones, que dan lugar a mundos diferentes. Al fin y al cabo, las matemáticas son eso. Buscar mundos imaginarios. Algunos son habitables, y otros no. Y si no, pues se busca otro. Si nos ponemos "tikismikis"... si. La respuesta matematica es, no. Pero la lógica nos dice q si. Si, ya se q la lógica es la hermana tonta de las mates, pero funciona en este mundo. Al igual q la gravitación universal funciona, aunque físicamente, sea la relatividad. No se si me explico.
@0110 Hola, si, entiendo lo que decis sobre la hermana tonta y la diferencia entre realidad y demostracion ... Pero cuando dije falladas me referia al echo que con el "axioma de eleccion total" que permite siempre elegir elementos de cualquier coleccion de conjuntos no vacios, se obtienen unas matematicas que pueden demostrar literalmente todo, tambien que 1=2. Por eso no se puede aceptar el "axioma de eleccion total" y hay que ponerle limites a la eleccion. Que es lo que deciamos con Mike ... los conjuntos de los cuales elegimos tienen todos que estar ya adentro de otro conjunto: este es el pedido de el axioma de eleccion ...
La Paradoja de Banach-Tarski: th-cam.com/video/HPLT25XPMc0/w-d-xo.html
Es bastante más sencillo,
si se considera que uno de los elementos contiene el conjunto vacío (no hay elementos) ya no se puede elegir 1 elemento de cada "caja" pues una de las cajas está vacía.
Con independencia del planteamiento del infinito, que permitiría añadir una caja más (ver paradoja del Hotel con ∞ habitaciones), el axioma de elección plantea que depende de si consideramos el elemento vacío como elemento válido o no (esto que parece una tontería, llevó varios siglos en ser introducido en las matemáticas occidentales, como los números negativos para formar los números reales).
Para la cuestión del hotel infinito se recomienda ver los trabajos de Cantor. El planteamiento de Cohen lo que hace es probar lo contrario al trabajo de Gödel de 1938 (que prueba la generalización, mientras Cohen prueba la independencia de la hipótesis del continuo... Acabo de ver pasar a Cantor por aquí, intentando resolverlo...). Tanto los trabajos de Russell como los de Zermelo, como los de Cantor y Cohen, le acaban dando la razón a Gödel (1931) y a Fraenkel (1922). Basándonos en los trabajos de Fraenkel y Gödel, estableciendo que el conjunto vacío sí pertenece a algún conjunto y se considera válido, podemos decir que 2P(Ω) _dos veces el conjunto potencia de todos los mayores infinitos, incluido el conjunto vacío_ sí, permitiría elegir 1 elemento de cada caja de infinitas cajas (incluyendo a la caja con el no-gato, o donde la caja se quedó vacía al mover Z)
@@Manuel_Bache No entiendo lo que dices con respecto al conjunto vacio. Si uno de los conjuntos iniciales tiene como unico elemento solo al conjunto vacio entonces de ese conjunto elijo el conjunto vacio ...
Toda la razón, Guz! He cometido un error al hablar para rebajar tecnicismos, pero en sí cuando presento el axioma de elección lo hago redondeando los conjuntos, dando a entender en mi cabeza que estaban dentro un conjunto mayor. El error está en las palabras: en vez de "cualquier colección de conjuntos", debería haber dicho "cualquier conjunto de conjuntos", para evitar paradojas tipo Rusell. De todas formas, en colecciones de gatos creo que no tendrías este problema, dado que los elementos no son en sí conjuntos. Tampoco estoy muy seguro.
Me ha hecho mucha gracia el enfoque con humor. Digamos que vas ganando 1-0 jejeje, gracias :)
❤️❤️❤️❤️❤️
Gracias por tu comentario!!!!
Yo por otra parte, con el intento de simplificar, me olvidé de decir que lo que se demuestra con esta demostracion es que la coleccion de todos los conjuntos con un solo elemento no es ella misma un conjunto.
Hay que hacer un trabajo para contar mejor esta cosa de el verdadero significado de los axiomas ...
Chau, gracias!
Me gustaba la idea de interpretar que los gatos no son conjuntos... pero, si interpretáramos que los gatos no son conjuntos, entonces estaríamos trabajando en una teoría axiomática con átomos (urelements) y entonces el axioma de elección se enunciaría de otra manera y no solo para los conjuntos con gatos...
Muy interesante tu vídeo, como siempre. Me han entrado muchas ganas de leer el artículo de Zermelo. No sabía que la motivación del axioma de elección era evitar estas paradojas. Gracias! Al ver que MatesMike te había escrito, pensaba que su comentario iría por otro camino, que iba a defender su postura con este argumento: Es cierto que la palabra “colección” no tiene un significado formal, y podemos admitir que en un cierto modo las clases propias son colecciones. 🤔 Pero entonces, propongo que la usemos uniformemente. Es decir, que interpretemos que el axioma de elección nos da también una colección, no necesariamente un conjunto. Es el axioma de elección global! 😊 Asumir que existe una (clase-)función de elección global t que nos da un conjunto t(x) de cada conjunto no vacío x no genera ninguna contradicción. Además, es una extensión conservativa de ZFC, con lo que no genera ningún teorema nuevo que se pueda enunciar en el lenguaje de ZFC. Esto es, sí que podemos elegir, pero no podemos siempre ponerlo todo en un saquito, quizás necesitemos un saco grande. 😅
@@jgilferez Sí, podríamos tener un axioma que permita elegir, pero no permita hacer conjuntos con lo que uno eligió... Creo que Mike fue muy honesto en renunciar a esa posibilidad y simplemente aceptar la situacion ... Chau!! Gracias!!
Me da la impresión que los videorespuestas en youtube son el equivalente del intercambio de cartas de matematicos del pasado.
Con la adición de que ahora todos podemos enriquecernos de esta correspondencia sin tener que esperar a que se elabore un manuscrito recopilatorio.
Muchas gracias a ambos canales! :D
Vaya, justo ese video no me había quedado del todo claro, muchas gracias por la aclaración y por todo el contenido!!
Bendita Z, entre pertenecer y no pertenecer, ella no sabe.
Este beef es del bueno
4:05 ahhh ya comprendo como eso arregla la paradoja de rusel
hombre que buen video que da gusto ver a este buen hombre con su amena explicación!
Genial video, tu canal es muy intuitivo para la teoría de conjuntos
Gracias!!
Muy bien explicado
Batalla de TH-camr Matemáticos... ❤
Vuelta al medievo 😂😂😂
En las matemáticas no hay batallas. Hay razonamientos, da igual quién tenga la razón, lo importante es el razonamiento.
Me encanta este nuevo anime de batallas matemáticas
me encanta esto
Gracias por aclarar la duda, el video de mates Mike dura mucho y no explica nada que es raro en el es una lástima
Gracias por el comentario ... si, sus videos son muy buenos generalmente.
De poder si que podemos, que no debemos es otra cosa jajaja
:D :D
De echo podemos elegir ... lo que no podemos es poner todos lo elementos elejidos juntos y llamar lo que obtenemos "conjunto" ... si elegimos cosas cualquieras de cajas cualquieras lo que obtenemos puede no ser un conjunto.
@@GuzMat-matematicas nuevamente, si que podemos llamarlo conjunto, o si queremos podemos llamarlo gatito, que sea correcto o no, eso ya es otro tema jajaja
Y perdón por jugar contigo, pasa que es divertido. Osea no digo que sea divertido molestar, sino que lo divertido es volar por las infinitas posibilidades del poder que nos brinda la elección y la no elección, el deber y el no deber, y el poder tanto para errar como para acertar.
De eso se trata la vida, de descubrir y de equivocarse una y otra vez para así poder aprender, o en su defecto desaprender para corregir X errores.
Un saludo hermano, no fue mi intención molestar. Abrazos! 🥰
Che, non molestas para nada ... me gustan tus comentarios e ideas!!! chau!
@@GuzMat-matematicas jodeme que sos argentino? Si es que sos argentino, juro que no me di cuenta.
@@SenseiPlus :D Uruguayo, pero llevo 40 años en Italia
Si! el axioma de elección nos sirve para evitar la paradoja de Russell, pero para evitar el circulo vicioso, Z vendria siendo una clase(Creo), no un conjunto.
Exacto, la coleccion de los conjuntos con un solo elemento es una clase y Z, visto que la coleccion de todos los conjuntos es una clase, no puede ser definido por qué no podemos aplicar el axioma de especificacion a las clases ... chau, gracias!!
Pero me viene a la cabeza la consulta, ¿hablar de infinitos conjuntos, es lo mismo que hablar de todos los conjuntos?
Por que según entiendo del video, el agregar Z a los conjuntos iniciales se debe a que se están tomando todos los conjuntos, pero al principio no se especifica eso, se indica que son infinitos nada más, de ahí mi consulta, un abrazo y éxito
Hola, al principio se dice que se consideran "todos los conjuntos con un solo elemento" ...
Hablar de infinitos conjuntos no es en general la misma cosa que hablar de todos los conjuntos que existen ... Pero en general una coleccion cualquiera de infinitos conjuntos no esta dicho que sea ella misma un conjunto ... son conjuntos las colecciones que logramos demostrar que son conjuntos ...
No se si te respondì ...
@@GuzMat-matematicas pero en ese caso, ¿realmente se demuestra lo que se quiere demostrar?
Por ejemplo, si formamos un conjunto con "todos los conjuntos con un elemento" (A) y otro con "infinitos conjuntos no vacíos" (B) ¿realmente la cardinalidad de A es igual a la de B? O dicho de otra forma, ¿la cardinalidad de A es realmente infinita? , y si lo fuera, ¿es el mismo infinito que el de la cardinalidad de B?
Hola, cuando una coleccion no es un conjunto podemos decir que es infinita pero pierde de significado hablar de cardinalidad ... la cardinalidad se logra definir solo para los conjuntos ...
No entendi la pregunta: "¿realmente se demuestra lo que se quiere demostrar?"
Es un tema muy interesante el de la cardinalidad cuando no estamos hablando de conjuntos ...
@@GuzMat-matematicas la consulta de ¿realmente se demuestra lo que se quería demostrar? era por que no me quedaba claro que el ejemplo empleado sea realmente un ejemplo del caso general antes descrito pues no tienen la misma definición, por eso proponía el ejemplo de cardinalidad, para buscar una relación que enlazar a ambas "colecciones" convirtiendo las en conjuntos, partiendo de la base que si tienen la misma cardinalidad, podrían ser conjuntos semejantes y en ese caso aplicaría el ejemplo mostrado
Algunos libros que me recomiende?
Este es un clasico y esta' disponible gratuitamente (pero en ingles):
people.whitman.edu/~guichard/260/halmos__naive_set_theory.pdf
Al chile no entendí, pero buen video, nuevo sub
Hola, gracias ... uruguayo (en Italia desde 40 años
Buen contenido pero muy rápido!
si verdad, era mas que todo una respuesta ... normalmente explico mas lentamente ... gracias por el comentario, chau!
En mi otro video sobre el axoima de eleccio (el ultimo antes que este), explico todo en detalle y con mas calma.
Escoger infinitos elementos de infinitos conjuntos no es infinito/infinito= indeterminación (incluso para los no finitistas). Un saludo.
Perdoname pero no entendi ...
@@GuzMat-matematicas Un total a escoger entre otro total, ¿no es (primer total) / (segundo total)?. Pues infinito entre infinito, lo cual es una indeterminación.
@@juanbelmonte8920 Ah ... ahora entiendo ... pero en este caso no es una division o un cociente ... se trata de elegir elementos para formar un posible nuevo conjunto
@@GuzMat-matematicasPero un total a repartir entre otro total, sigue siendo un cociente.
Si tuviera un canal de matemáticas haría un vídeo explicando que no se puede construir el conjunto de todos los conjuntos con un solo elemento a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos 😂
Edito: tienes muchos menos subscriptores de los que mereces, ánimo que lo logras.
Si tienes razon, hubiera tenido que decirlo cuando se llega a la contradiccion ... pero estaba concentrado en decir que la libertad de elegir elementos como uno quiere trae problemas ...
chau, gracias por el comentario!!
@@GuzMat-matematicas Si, ya vi que lo mencionas en tus mensajes con MatesMike. Fallo mío, debí mirar a ver si alguien (o tú mismo) lo había comentado ya, antes de abrir la bocaza 🤣
@@PotatoBTD6 no hay problema ... chau!
No lo veo claro... el ejemplo q pones no me parece correcto.
Entiendo la respuesta de Mike. Pero no la tuya' ya q entiendo q las premisas son diferentes, y cambian las reglas.
Es como decir q no podemos calcular la velocidad de un objeto en caída libre, porque no sabemos su color... o eso me pareció, vaya.
Pero soy ingeniero, no matemático 🤣🤣🤣
El ejemplo que doy no es mio ... es de Zermelo y Russell ... y demuestra que no podemos dejar libertad de eleccion si no queremos unas matematicas falladas ...
@@GuzMat-matematicas bueno. No fallidas. Mike lo explica bastante bien.
Simplemente están las dos opciones, que dan lugar a mundos diferentes. Al fin y al cabo, las matemáticas son eso. Buscar mundos imaginarios. Algunos son habitables, y otros no. Y si no, pues se busca otro.
Si nos ponemos "tikismikis"... si. La respuesta matematica es, no. Pero la lógica nos dice q si. Si, ya se q la lógica es la hermana tonta de las mates, pero funciona en este mundo. Al igual q la gravitación universal funciona, aunque físicamente, sea la relatividad. No se si me explico.
@0110 Hola, si, entiendo lo que decis sobre la hermana tonta y la diferencia entre realidad y demostracion ...
Pero cuando dije falladas me referia al echo que con el "axioma de eleccion total" que permite siempre elegir elementos de cualquier coleccion de conjuntos no vacios, se obtienen unas matematicas que pueden demostrar literalmente todo, tambien que 1=2. Por eso no se puede aceptar el "axioma de eleccion total" y hay que ponerle limites a la eleccion. Que es lo que deciamos con Mike ... los conjuntos de los cuales elegimos tienen todos que estar ya adentro de otro conjunto: este es el pedido de el axioma de eleccion ...
@@GuzMat-matematicas aahhh. Ok. 👍
Ahora si lo pillé 😅🤣🤣