Sur la fin à partir du moment où vous avez établi exp(X)/ X^n ->infini, et que vous avez du exp(X)/X^2 vous pourriez conclure bcp plus rapidement. Au passage c'est un théorème de terminale et pas besoin de règle de l'Hopital
Ne peut-on pas simplifier en commençant ainsi : L'intégrande étant positif, on conclut à la convergence par la convergence d'une intégrale quelconque d'intégrande équivalent (au voisinage épointé à droite de 0). Deux exponentielles sont équivalentes si et seulement si la différence de leurs exposants tend vers 0. [(1/racine de x) + (1/x)(sin[x].ln[x])] - [(1/racine de x) + ln[x]] = ln(x)[(sin[x]/x) - 1] (sin[x]/x) - 1 = o(x) = x.u(x) avec lim u = 0 Donc lim (ln(x)[(sin[x]/x) - 1]) = 0 car lim xln(x) = 0 en 0. Par suite la convergence de l'intégrale est la même que pour l'intégrande plus simple : exp[(1/racine de x) + ln[x]] = x.exp(1/racine de x) ...
Repassant sur cette réponse, je m'aperçois que je me suis bien mal exprimé. Le sens de la seconde phrase doit évidemment être : "L'intégrande étant positif, on conclut à la convergence ou à la divergence par la convergence ou la divergence respectivement d'une intégrale quelconque d'intégrande équivalent ..." À la fin, dans l'intégrale d'intégrande x.exp(1/racine de x), le changement de variable t=1/(racine de x) permet de conclure.
Merci cher professeur
Avec plaisir !
Sur la fin à partir du moment où vous avez établi exp(X)/ X^n ->infini, et que vous avez du exp(X)/X^2 vous pourriez conclure bcp plus rapidement. Au passage c'est un théorème de terminale et pas besoin de règle de l'Hopital
Ne peut-on pas simplifier en commençant ainsi :
L'intégrande étant positif, on conclut à la convergence par la convergence d'une intégrale quelconque d'intégrande équivalent (au voisinage épointé à droite de 0).
Deux exponentielles sont équivalentes si et seulement si la différence de leurs exposants tend vers 0.
[(1/racine de x) + (1/x)(sin[x].ln[x])] - [(1/racine de x) + ln[x]]
= ln(x)[(sin[x]/x) - 1]
(sin[x]/x) - 1 = o(x) = x.u(x) avec lim u = 0
Donc lim (ln(x)[(sin[x]/x) - 1]) = 0 car lim xln(x) = 0 en 0.
Par suite la convergence de l'intégrale est la même que pour l'intégrande plus simple :
exp[(1/racine de x) + ln[x]] = x.exp(1/racine de x) ...
Repassant sur cette réponse, je m'aperçois que je me suis bien mal exprimé.
Le sens de la seconde phrase doit évidemment être :
"L'intégrande étant positif, on conclut à la convergence ou à la divergence par la convergence ou la divergence respectivement d'une intégrale quelconque d'intégrande équivalent ..."
À la fin, dans l'intégrale d'intégrande x.exp(1/racine de x), le changement de variable t=1/(racine de x) permet de conclure.
Exemple très formateur
Merci. J'en suis ravi !