Una piccola alternativa al metodo di Gauss-Jordan è trasformare la matrice dei coefficienti delle incognite nella matrice unità/identità, ricorrendo sempre alle mosse di Gauss (operando cioè trasformazioni elementari SEMPRE e SOLO tra righe e MAI tra colonne): in tale modo l'ultima colonna a destra contiene la soluzione. Analoga tecnica si utilizza anche per calcolare l'inversa di una matrice quadrata (verificato che sia non singolare, ossia con determinante non nullo); in definitiva, per risolvere un sistema di equazioni lineari si può scegliere tra 6 metodi: 3 algebrici (sostituzione, confronto e riduzione/addizione) e 3 con le matrici (Cramer, Gauss-Jordan e il metodo della matrice inversa)
Scusi professore ma si può fare al minuto 5:24 R3->5R3 - 1R2? Lo dico perché certe volte avere un numero razionale è un po' difficoltoso con i calcoli soprattutto per calcolare il rango della matrice con k come parametro.
Gauss-Jordan può essere utile anche per calcolare il determinante, la matrice inversa, il rango. Ci sono varie applicazioni con Gauss-Jordan e non si limita ai sistemi lineari.
Verissimo, l'unica minima differenza è che per calcolare il rango (o caratteristica) di una matrice, le "mosse" di Gauss-Jordan si possono applicare anche alle colonne della matrice, non solo alle righe; ciò grazie a quel teorema di algebra matriciale che dimostra che rango(riga)=rango(colonna)
Praticamente i pivot sono gli elementi speciali che formano la diagonale principale. Possono essere pivot anche dovessero formare una diagonale secondaria? Mi spiego meglio: sarebbe a dire così: Riga 1: (0;0;1) Riga 2: (0;1;0) Riga 3: (1;0;0)
Per comodità si prende la principale, ma comunque (assicuro per le mosse di Gauss) il risultato è lo stesso, perché alla fine cerchi sempre di rimanere con una sola incognita. Comunque non necessariamente i pivot devono stare sulla diagonale principale, è sufficiente che il primo valore non zero della riga dopo, stia sempre almeno ad una posizione a destra del pivot precedente. Col disegno è più semplice: 4 esempi 100, 200 non vale: pivot riga2 non è più destra 100, 020 vale 100, 002 vale: perché nella seconda riga comunque il pivot (primo numero non zero) è comunque più a destra del precendete 1000,0000, 0020, 0001 valido, perché puoi permutare/scambiare le righe ed ottieni: 1000,0020,0001,0000 che è valido Infatti se disegni è sempre a scala
Fantastico questo metodo che non conoscevo. Il prof di Geometria ed Algebra ci spiegò il Teorema di Rouché Capelli per la risoluzione dei sistemi. Non si finisce mai di imparare, grazie prof.
Il rango è molto utile per l'applicazione dei sistemi lineari, è Rouce-Capelli ti dice se il sistema è compatibile, ed in caso positivo con quanti parametri lo è! Con Gauss-Jordan vediamo subito se il sistema è compatibile e con quanti parametri lo è, infatti se compare compare una riga nulla, tranne nella colonna dei termini noti compare un valore non nullo. Il sistema è impossibile cioè non compatibile, infatti compare per esempio 0=5 che è assurdo, quindi è compatibile se e solo se nella riga nulla anche il termine noto è nullo, ed inoltre se lo è vediamo anche con quanti parametri è compatibile infatti se la somma degli avanzamenti-1 delle righe è per esempio 3 ed all' ultima riga compaiono 2 incognite e dei coefficienti non nullo mancanti è 4 le incognite hanno 3+2+4-1=8 sono i parametri, infatti quelle altre 8 incognite non hanno altre equazioni quindi quelle condizioni sono troppo poche per ridurre il numero di parametri, in quanto no ci sono equazioni tra una e l'altra e l'ultima ha più incognite e mancano i coefficienti non nulli, quindi non c'è nulla restrizione i parametri sono essi.
@simonedefilippo8275 sì, infatti si trova nella playlist di algebra lineare che è un corso universitario. Diciamo che questo argomento nello specifico potrebbe anche essere spiegato alle superiori, perché non richiede grandi prerequisiti. È semplicemente un miglioramento del metodo di riduzione, che si fa alle superiori.
ALGEBRA LINEARE 1 - Introduzione all'algebra lineare th-cam.com/video/EbuQzmUYFck/w-d-xo.html 2 - Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan applicato ai sistemi di equazioni lineari th-cam.com/video/EFeifNc_Ko8/w-d-xo.html Esercizi sul metodo di eliminazione: Esercizio 1 th-cam.com/video/NY0JhR3VE4Y/w-d-xo.html Esercizio 2 th-cam.com/video/n7F9YkH9_Q0/w-d-xo.html Esercizio 3 th-cam.com/video/IW2-LQywGvY/w-d-xo.html
Una domanda riguardo la scorsa lezione. Come mai "leggere" un sistema per righe, o per colonne è equivalente? Cioè nel caso delle righe si hanno delle rette formate dai punti che come coordinate sono le soluzioni delle singole righe. Mentre per colonne la visione si capovolge e si assegna ad ogni riga come un'asse nel piano cartesiano, mentre l'asse era assegnata all'incognita nel primo caso. Inoltre si perdono le rette, ma diventano dei vettori simili visivamente a quelli fisici. Esiste una qualche dimostrazione a questa equivalenza tra i due metodi scrittura o c'è qualcosa di ovvio che non noto?
@@ValerioPattaro grazie della risposta a quest'ora. Quindi il motivo per cui è vera, è che "dai calcoli" la forma non cambia? Però se è così perché è comunque necessario avere una visione diversa se sono la stessa cosa? Ovviamente anche per comodità a volte una forma, a volte l'altra. Ma credo che non potrò mai pensare ad un sistema guardando per righe, come dei vettori. Anche perché da Internet ho capito che è stata ideata solo nel 1844, quindi credo ce questa somoglianza non sia stata per tanto tempo così evidente.
ti rispondo dicendo che per capirla bisogna apprendere il concetto di linearità e di indipendenza/dipendenza lineare. In base questi 2 concetti potrai apprendere che per quanto tu possa sommare un coefficiente diverso da quello originale otterrai sempre una espressione equivalente e senza alterare la soluzione. Se queste somme non producono multipli di altre, questo implica la loro indipendenza. Altrimenti significa che gli elementi di riga erano semplificabili e che avrai una versione altrettanto equivalente. Significa dunque che potrai scrivere le equazioni come somma di altre, ma potrai anche leggere dalla colonna, anziché dalla riga
Una piccola alternativa al metodo di Gauss-Jordan è trasformare la matrice dei coefficienti delle incognite nella matrice unità/identità, ricorrendo sempre alle mosse di Gauss (operando cioè trasformazioni elementari SEMPRE e SOLO tra righe e MAI tra colonne): in tale modo l'ultima colonna a destra contiene la soluzione. Analoga tecnica si utilizza anche per calcolare l'inversa di una matrice quadrata (verificato che sia non singolare, ossia con determinante non nullo); in definitiva, per risolvere un sistema di equazioni lineari si può scegliere tra 6 metodi: 3 algebrici (sostituzione, confronto e riduzione/addizione) e 3 con le matrici (Cramer, Gauss-Jordan e il metodo della matrice inversa)
Ottimo!
La mia salvezza per algebra lineare!!
Brilliant 👏👏👏
Scusi professore ma si può fare al minuto 5:24 R3->5R3 - 1R2? Lo dico perché certe volte avere un numero razionale è un po' difficoltoso con i calcoli soprattutto per calcolare il rango della matrice con k come parametro.
si, è corretto
Gauss-Jordan può essere utile anche per calcolare il determinante, la matrice inversa, il rango. Ci sono varie applicazioni con Gauss-Jordan e non si limita ai sistemi lineari.
Verissimo, l'unica minima differenza è che per calcolare il rango (o caratteristica) di una matrice, le "mosse" di Gauss-Jordan si possono applicare anche alle colonne della matrice, non solo alle righe; ciò grazie a quel teorema di algebra matriciale che dimostra che rango(riga)=rango(colonna)
Ottimo video prof!!!
👍❤
Praticamente i pivot sono gli elementi speciali che formano la diagonale principale. Possono essere pivot anche dovessero formare una diagonale secondaria? Mi spiego meglio: sarebbe a dire così:
Riga 1: (0;0;1)
Riga 2: (0;1;0)
Riga 3: (1;0;0)
Per comodità si prende la principale, ma comunque (assicuro per le mosse di Gauss) il risultato è lo stesso, perché alla fine cerchi sempre di rimanere con una sola incognita.
Comunque non necessariamente i pivot devono stare sulla diagonale principale, è sufficiente che il primo valore non zero della riga dopo, stia sempre almeno ad una posizione a destra del pivot precedente.
Col disegno è più semplice:
4 esempi
100, 200 non vale: pivot riga2 non è più destra
100, 020 vale
100, 002 vale: perché nella seconda riga comunque il pivot (primo numero non zero) è comunque più a destra del precendete
1000,0000, 0020, 0001 valido, perché puoi permutare/scambiare le righe ed ottieni: 1000,0020,0001,0000 che è valido
Infatti se disegni è sempre a scala
Bellissimo
Alla fine le mosse di Gauss sono combinazioni lineari di righe della matrice. Bel video
Fantastico questo metodo che non conoscevo. Il prof di Geometria ed Algebra ci spiegò il Teorema di Rouché Capelli per la risoluzione dei sistemi. Non si finisce mai di imparare, grazie prof.
strano, visto che è un argomento così semplice e con un metodo di risoluzione con una complessità così bassa
È utile anche per calcolare una base del Kernel e dell'immagine.
Bello, ma se non è possibile la trasformazione in una matrice a gradini mediante le mosse di Gauss?
È sempre possibile, se segui il metodo del video
Il rango è molto utile per l'applicazione dei sistemi lineari, è Rouce-Capelli ti dice se il sistema è compatibile, ed in caso positivo con quanti parametri lo è! Con Gauss-Jordan vediamo subito se il sistema è compatibile e con quanti parametri lo è, infatti se compare compare una riga nulla, tranne nella colonna dei termini noti compare un valore non nullo. Il sistema è impossibile cioè non compatibile, infatti compare per esempio 0=5 che è assurdo, quindi è compatibile se e solo se nella riga nulla anche il termine noto è nullo, ed inoltre se lo è vediamo anche con quanti parametri è compatibile infatti se la somma degli avanzamenti-1 delle righe è per esempio 3 ed all' ultima riga compaiono 2 incognite e dei coefficienti non nullo mancanti è 4 le incognite hanno 3+2+4-1=8 sono i parametri, infatti quelle altre 8 incognite non hanno altre equazioni quindi quelle condizioni sono troppo poche per ridurre il numero di parametri, in quanto no ci sono equazioni tra una e l'altra e l'ultima ha più incognite e mancano i coefficienti non nulli, quindi non c'è nulla restrizione i parametri sono essi.
Interessante. Può capitare un sistema impossibile con il metodo di Gauss-Jordan?
Si, certo. Vedremo degli esempi (riga di tutti zeri e termine noto diverso da zero).
sì, e ti dico: teorema di Ruche-Capelli.
Non capisco. Di solito dove e quando si studia questo argomento?
Nel corso di algebra lineare, che si tiene solitamente alla fine del primo anno nelle università scientifiche.
@@ValerioPattaro Quindi è un argomento universitario? g
@simonedefilippo8275 sì, infatti si trova nella playlist di algebra lineare che è un corso universitario.
Diciamo che questo argomento nello specifico potrebbe anche essere spiegato alle superiori, perché non richiede grandi prerequisiti. È semplicemente un miglioramento del metodo di riduzione, che si fa alle superiori.
@@ValerioPattaro Grazie.
@@ValerioPattaro Grazie. f
ALGEBRA LINEARE
1 - Introduzione all'algebra lineare th-cam.com/video/EbuQzmUYFck/w-d-xo.html
2 - Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan applicato ai sistemi di equazioni lineari th-cam.com/video/EFeifNc_Ko8/w-d-xo.html
Esercizi sul metodo di eliminazione:
Esercizio 1 th-cam.com/video/NY0JhR3VE4Y/w-d-xo.html
Esercizio 2 th-cam.com/video/n7F9YkH9_Q0/w-d-xo.html
Esercizio 3 th-cam.com/video/IW2-LQywGvY/w-d-xo.html
Ci riesco e come riesco ad applicare il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan
Riesco e come.
Una domanda riguardo la scorsa lezione.
Come mai "leggere" un sistema per righe, o per colonne è equivalente?
Cioè nel caso delle righe si hanno delle rette formate dai punti che come coordinate sono le soluzioni delle singole righe.
Mentre per colonne la visione si capovolge e si assegna ad ogni riga come un'asse nel piano cartesiano, mentre l'asse era assegnata all'incognita nel primo caso.
Inoltre si perdono le rette, ma diventano dei vettori simili visivamente a quelli fisici.
Esiste una qualche dimostrazione a questa equivalenza tra i due metodi scrittura o c'è qualcosa di ovvio che non noto?
Semplicemente perché la somma di vettori si fa sommando le componenti e quindi ottieni le equazioni di partenza.
@@ValerioPattaro grazie della risposta a quest'ora.
Quindi il motivo per cui è vera, è che "dai calcoli" la forma non cambia?
Però se è così perché è comunque necessario avere una visione diversa se sono la stessa cosa?
Ovviamente anche per comodità a volte una forma, a volte l'altra. Ma credo che non potrò mai pensare ad un sistema guardando per righe, come dei vettori.
Anche perché da Internet ho capito che è stata ideata solo nel 1844, quindi credo ce questa somoglianza non sia stata per tanto tempo così evidente.
ti rispondo dicendo che per capirla bisogna apprendere il concetto di linearità e di indipendenza/dipendenza lineare.
In base questi 2 concetti potrai apprendere che per quanto tu possa sommare un coefficiente diverso da quello originale otterrai sempre una espressione equivalente e senza alterare la soluzione.
Se queste somme non producono multipli di altre, questo implica la loro indipendenza. Altrimenti significa che gli elementi di riga erano semplificabili e che avrai una versione altrettanto equivalente. Significa dunque che potrai scrivere le equazioni come somma di altre, ma potrai anche leggere dalla colonna, anziché dalla riga
chi sarebbe Jordan ?
Un matematico francese del XIX secolo. Un genio.
@@ValerioPattaro 😳 addirittura
😉
@@ValerioPattaroè lo stesso da cui prendono il nome le curve?
si, Camille Jordan