Qu'est-ce qu'une aire sous la courbe ? | E01 - Introduction aux intégrales de RIEMANN et de LEBESGUE
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- เผยแพร่เมื่อ 30 ก.ค. 2024
- Qu'est qu'une aire sous la courbe ?
Cette question d'apparence basique est particulièrement difficile ! Pour y répondre, il faut introduire une théorie de l'intégration, c'est-à-dire une définition de l'intégrale ET une étude des propriétés et limitations de ladite définition.
Les deux grandes théories de l'intégration qui sont enseignées sont celles de Riemann et de Lebesgue. Quelles sont-elles ? Quelles sont leurs forces et faiblesses ?
Dans cette vidéo, on va apporter une réponse à ces questions tout en mettant l'accent sur les visualisations et le "feeling" mathématique qui se cache derrière le formalisme parfois rebutant.
Les animations ont été faites en Python, avec le module Manim :
www.manim.community/
La musique en background est : Piano
Music by: Bensound.com/free-music-for-videos
License code: PFSZ1SFHW9ZNUYKX
Pour ceux ou celles qui voudraient me soutenir :
fr.tipeee.com/kobipy/
Un commentaire, un like ou un partage sont aussi appréciés 😉
⏲ Timestamps :
00:00 - Intégrale de Riemann
02:28 - Avantages
04:17 - Inconvénients
05:14 - Visualisation de l'intégrale de Lebesgue
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Excellente vidéo ! L'analogie de la carte de chaleur est une belle manière d'introduire l'intégrale de Lebesgue sans faire un long détour par une introduction à la théorie de la mesure
La vidéo s'arrête un peu brusquement ceci dit. Même en ayant conscience qu'il y a une deuxième partie, je m'attendais à voir une accroche pour finaliser cette première vidéo. Par exemple, tu dis que l'intégrale de Lebesgue est « nettement supérieure » à l'intégrale de Riemann, mais tu n'en dis pas plus sur le sujet. C'est dommage ! Si je ne connaissais pas la notion et la puissance de l'intégrale de Lebesgue, j'aurais été bien frustré ! Un élève apprenant l'intégrale de Riemann en ce moment pourrait penser que les deux notions sont équivalentes, et ce n'est que lors du calcul que le travail serait plus facile avec la seconde. Ou encore qu'il existerait des formules spéciales pour des fonctions non-Riemann intégrables, mais Lebesgue-intégrables. Après, j'ai aussi l'impression que tu vas en parler dans la deuxième vidéo. Après tout, le fait que tu aies parlé de l'indicatrice de Q dans R (L-intégrable, mais pas R-intégrable) et de sinc (R-intégrable, mais pas L-intégrable) me laisse penser que tu as déjà prévu de faire ça dans la suite. L'ouverture aurait aussi pu être la chose qui m'a fait vraiment aimer ce sujet - dire que le domaine des probabilités est rigoureusement défini justement grâce à tous les mécanismes se cachant sous l'intégrale de Lebesgue.
Tout compte fait, c'est un très bon supplément aux cours dans le supérieur, où la visualisation - bien que moins rigoureuse que les centaines de théorèmes démontrés - est cruellement manquante ! Hâte de voir la suite !
Je vous remercie pour cet excellent commentaire, avec lequel je suis en accord sur chacun des points soulevés.
La fin de la vidéo est abrupte, et même sans rentrer dans les détails, il aurait été préférable que je mentionne au moins brièvement en quoi l'intégrale de Lebesgue est supérieure.
Comme vous l'avez intuité, les exemples avec la fonction indicatrice et le sinus cardinal ne sont pas là par hasard, je compte y revenir dessus dans la seconde partie pour les raisons que vous avez mentionnées.
Je compte également parler de l'intérêt de l'intégrale de Lebesgue pour la construction rigoureuse des probabilités.
La seconde vidéo sera bien plus longue, puisqu'il y a beaucoup de choses à dire sur l'intégrale de Lebesgue. A toutes vos remarques, il y a deux autres points que je trouve très sympas concernant l'intégrale de Lebesgue :
1) f-Lebesgue sintégrable | f |-Lebesgue intégrable.
Il y a une "sorte" d'analogie avec un théorème sur les séries numériques où l'absolue convergence est caractérisée par la commutative convergence de la série.
2) le lemme de décomposition en couches de gâteaux, qui permet d'interpréter l'intégrale de Lebesgue à l'aide de "rectangles" horizontaux.
Aussi, j'aimerais revenir sur un point, car à force de revisionner ma vidéo, j'ai l'impression d'avoir un peu trop déifié l'intégrale de Lebesgue. Elle possède aussi des limitations (par exemple, toute fonction dérivée n'est pas Lebesgue-intégrable, etc...).
La vidéo est excellente, frustrant de ne pas pouvoir voir la seconde partie toute suite après
Merci beaucoup :) !
La seconde partie va prendre un peu de temps. D'autant plus qu'il y a beaucoup de choses (intéressantes !) à dire et à visualiser sur elle !
C'est une vidéo très claire, dont la compréhension est fluide et limpide. Beau travail ! Hâte de voir la suite ! ;)
Merci beaucoup ! J'apprécie :)
La meilleur explication sur ces deux intégrales
Merci beaucoup ! :)
Alors là, il va me falloir la suite...
Super travail de ta part :D
Merci beaucoup ! :)
La suite est en préparation !
Super, merci... Enfin je comprends mieux la legende autour du simple étudiant Grothendieck, faculté de Montpellier, qui voulant redéfinir la notion de volume, refaisait sans le savoir le travail du sieur Lebesgue.
C'était dans le une vie une oeuvre de France Culture si je ne me trompe pas
Merci pour votre commentaire :) !
Encore et toujours ausssi bien animée et agréable !
Merci beaucoup pour tes commentaires toujours chaleureux :) !
Très bonne vidéo ! Hâte de voir la suite 🤩👏
Merci beaucoup ! :)
Je suis tout émoustillé !! 😂 bravo
Il y a deux épisodes supplémentaires si vous souhaitez poursuivre l'émoustillement ;)
Merci beaucoup pour votre commentaire ;)
Fantastique comme d'habitude ! Merci !
Merci beaucoup :) !
Wow that is your voice? I like your voice.. alought i don't understand french? this is very professional, i feel it.
Thanks for your comment :) ! I appreciate.
That's my voice !
Magnifique!
Merci beaucoup :) !
Très bien fait ..... j'attends avec impatience la partie 2!!!!
Merci beaucoup ! :)
La partie 2 est en cours de réalisation !
@@kobipy Merci! Bon courage! Thème passionnant!
Excellente vidéo, merci ! J’ai appris la théorie de la mesure de Lebesgue et la théorie de l’Integration de Lebesgue en école d’ingé au moment d’apprendre la théorie des probabilités. Je n’avais jamais vraiment compris (en profondeur) les différences entre les deux théories de l’intégration. Je me souviens m’être dit que la mesure de Lebesgue était nativement multidimensionelle alors que l’intégration de Riemann utilisait une mesure (si s’en est une) nativement monodimensionnelle et que pour traiter le cas multidimensionnel il fallait bricoler en faisant le produit (cartésien) de intervalles et donc le produit de leur mesure. Mais à part ça, les avantages mathématiques « pratiques » (inversion intégrale et limite, extension de l’espace des fonctions où l’intégrale est définie etc.) m’avaient totalement échappé ! Et par conséquent j’avais du mal à accepter intérieurement que la théorie de l’intégration de Lebesgue était vraiment significativement supérieure à celle de Riemann. Et du coup merci pour cet instant MindBlow ! Je pense que je n’ai pas encore bien saisi tous les rouages et les justifications de ces avantages. Go vers la 2eme vidéo !
Avec plaisir ! Merci beaucoup pour votre chaleureux commentaire !
La supériorité de l'intégrale de Lebesgue réside principalement dans les théorèmes dont elle dispose (et qui d'ailleurs sont assez facilement démontrables) et les conséquences de ces théorèmes.
Chaque raison du top 3 de l'épisode 2 mériterait une vidéo à elle seule pour éclairer les défaillances de l'intégrale de Riemann et expliquer comment l'intégrale de Lebesgue comble ces défaillances !
Excellent ! Merci beaucoup pour ces illustrations très claires
Merci à vous pour votre commentaire ! :)
C’est vraiment super, merci pour ce travail !
Merci beaucoup :) !
Vivement la suite !
Merci
Merci à vous pour le commentaire !
La suite arrive bientôt !
Merci pour cette belle mise au point avec de très belles illustrations !
Merci pour votre commentaire chaleureux ! :)
Cette chaîne mérite plus d'abonnés et de vues 🏆🏆🤞💯💯💯
Merci beaucoup pour votre la vidéo 🙏👍📚
Merci beaucoup :) ! J'apprécie !
mer ci pour la video, je suis impatient de voir la partie 2!!!!!!
Merci beaucoup :) !
Excellente vidéo, bravo pour les superbes animations visuelles qui améliorent nos images mentales des concepts. J’attends la suite avec impatience car je vais bientôt étudier en cours l’intégration de Lebesgue
Merci beaucoup pour votre chaleureux commentaire :) !
Très bonnes illustrations, c'est clair et c'est facile à comprendre. Bravo et Merci.
Merci beaucoup pour votre commentaire ! J'apprécie ! :)
Quelle jolie vidéo !
Merci beaucoup ! :) J'apprécie.
Super vidéo ! une belle introduction avant de s'attaquer au cours de mesure et intégration. De mes souvenirs on avait définit d'abord l'intégrale au sens de lebesgue pour des fonctions simples, puis positive et puis de signe quelconques. Un peu le même principe pour prouver le théorème de Fubini Tonelli on utilise 4 ou 5 lemmes où l'on démontre par couche. Mais en tous cas merci, ça permet d'avoir une bonne intuition d'un concept qui est de base pas mal abstrait
sinon je reconnais bien manim ahah je viens de l'utiliser pour prouver le théorème des résidus pour un cours de programmation x)
@@Nicolas-zk7vm Merci beaucoup pour votre commentaire ! :)
Vos souvenirs sont corrects, il s'agit effectivement de l'approche classique !
Jamais été aussi hype pr une vidéo de math 🔥🔥🔥
Merci beaucoup ! :)
J'espère pouvoir la sortir dans pas trop longtemps !
Super vidéo ! C’est un plaisir d’apprendre des choses mais surtout de pouvoir les visualiser aussi clairement et tout en douceur comme cela.
Merci beaucoup pour votre chaleureux commentaire :) !
Merci à vous de proposer du contenu de qualité
Vidéo super claire et encore une fois magnifiquement bien animée ! Ne connaissant pas encore le calcul intégral au niveau scolaire où j'en suis, ça a tout l'air d'être un univers passionnant ❤
Merci beaucoup ! Je vous remercie pour votre commentaire, on ne peut plus chaleureux !
Je vous le confirme, les différentes théories de l'intégration sont passionnantes à découvrir !
Excellente vidéo bien expliquée, merci à vous.
Merci beaucoup pour votre commentaire ! :)
Super vidéo ! Hâte d'en apprendre plus sur l'intégrale de Lebesgue !
Merci beaucoup ! :)
La partie 2 sera entièrement consacrée à Lebesgue !
Merci ! super boulot.
Merci beaucoup ! :)
Super vidéo, j'attends la suite avec impatience, j'en ai l'eau à la bouche
Merci beaucoup ! :)
Ce sera vraisemblablement dans quelques semaines, à la période des vacances de Noël !
Excellente vidéo, vraiment wow.
Hâte de voir la suite.
Pour la comparaison entre Riemann et Lebesgue, j'aime bien cette petite métaphore :
Comment compter des pieces dans son porte monaie ?
- (Riemann) on les sort une par une er ajoute la valeur de la piece correspondante
- (Lebesgue) on les regroupe par valeur, puis ensuite on somme le tout par groupe
Merci beaucoup :) !
Oui, c'est la métaphore utilisée par Lebesgue himself pour expliquer son intégrale à son ami Paul Montel, il me semble.
Je compte y revenir dessus dans la suite et décortiquer cette métaphore qui est lourde de sens !
Bravo excellente video
Merci beaucoup ! J'apprécie :)
Super video tres bien imagée et commentée
Merci beaucoup pour votre commentaire chaleureux :) !
Excellente présentation
Merci beaucoup :) !
Je découvre votre chaîne : vos vidéos sont excellemment bien construites, et entre autre claires et animées. Elles sont calmes, reposantes, et l'élocution (quand c'est parlé) est non moins parfaite. Franchement un grand bravo, très sincères félicitations.
Merci pour votre commentaire très chaleureux ! Cela fait vraiment plaisir :) !
C'est sincère. Une petite question (si toutefois ce n'est pas indiscret : quel logiciel utilisez-vous pour ces belles constructions ?
@@jedoniezh233 J'utilise la librairie Manim et code les animations en langage Python.
Le montage est ensuite fait avec VSDC !
Merci beaucoup, et surtout continue car tes vidéos sont vraiment, mais alors vraiment au top.
@@jedoniezh233 Encore merci :) !
Rien à dire, c'est juste excellent 🤙
Merci beaucoup !! :)
génial !
Merci beaucoup ! :)
Excellente pédagogie et visualisations magnifiques. Le tout en français, bravo!!
Merci beaucoup !
L'épisode 2 est sorti hier, si jamais ça vous intéresse :)
@@kobipy déjà vu (en premier d'ailleurs). Je garde vos vidéos au chaud pour expliquer l'intégration à mes enfants.
Magnifique vidéo!! (je souffre en licence)
Merci beaucoup ! :)
Bon courage pour votre licence !! Accrochez-vous !
Est ce que tu pourrais faire le même visuel avec l'intégrale de Kurzweil Henstock ?
C'est possible à l'avenir, mais je ne promets rien ;)
L'intégrale KH a pas mal de propriétés bien sympathiques !
Super vidéo comme d'habitude, on attends la partie 2 avec impatience !!
Petite info, à 4:33, tu parles de la fonction caractéristique de Q, je pense que tu voulais dire fonction indicatrice
Oui, je parle bien de la fonction indicatrice, qui s'appelle aussi fonction caractéristique. Les deux dénominations sont utilisées en France, même si la première que vous mentionnez est la plus utilisée.
Merci beaucoup pour votre commentaire ! La partie 2 est en cours :) !
@@kobipy d'accord merci je ne savais pas, car j'utilise plutôt le terme "fonction caractéristique" pour une variable aléatoire X, où cela correspond à l'espérance de exp(itX)
Tout à fait, il y a plusieurs concepts de fonctions caractéristiques :
- fonction caractéristique d'une variable aléatoire X pour designer ce dont vous parlez. Plus précisément, elle s'appelle la première fonction caractéristique de X ;
- fonction caractéristique d'un ensemble, qui désigne la fonction indicatrice de cet ensemble ;
- fonction caractéristique en théorie des jeux coopératifs qui associe à chaque coalition un nombre.
Et la fonction caractéristique similaire à la fonction indicatrice mais allant dans Z/2Z 👀
La video est excellente...l'illustration est parfaite pour distinguer les deux intégrales... eh bien pourquoi ne pas en faire d'autres de videos pour illustrer d'autres concepts ou definitions mathématiques ? Comme la continuité, derivabilite de fonctions.... et d'autres encore...
Merci beaucoup ! :)
C'est une bonne idée. Je ferai probablement une vidéo comme cela :)
J'ai un peu honte, mais je n'avais jamais vu cette représentation de l'intégrale de Lebesgue. Ça me donne presque envie de m'y replonger, mais je crois que je vais sagement attendre la suite, merci 🙂
Merci pour votre commentaire ! :)
Par le lemme de décomposition en "couche de gâteaux" et le théorème de Fubini, il existe effectivement une autre visualisation possible de l'intégrale de Lebesgue ! Celle dans cette vidéo correspond à la définition.
@@kobipy Je ne crois pas que j'aie jamais « visualisé » l'intégrale de Lebesgue 🙂Cela m'aurait peut-être aidé, mais cela remonte à trop longtemps maintenant.
@@curedent6086 Ah j'avais mal compris !
Sans visualisation, ça a du être très difficile et non naturel à comprendre, j'imagine !
@@kobipy Je crois que j'avais une vague représentation mentale du procédé, mais probablement fausse.
Effectivement, Lebesgue ne m'évoque pas « facile et naturel » 🙂
@@curedent6086 Je comprends !
C'est dommage que vous n'ayez pas eu accès à la visualisation, qui aide énormément à comprendre en quoi l'intégrale de Lebesgue va permettre d'intégrer plus de fonctions que l'intégrale de Riemann, mais aussi de comprendre d'autres propriétés naturellement.
Bravo KobiPy c'est courageux d'aborder ce sujet aussi graphiquement
Merci beaucoup pour votre commentaire ! J'apprécie :)
@@kobipy Peut-être un jour une même vidéo avec l'intégrale de Daniell dont trop peu de documents parlent...
Je ne connaissais pas cette intégrale ! J'ai lu rapidement les, vous avez raison, peu de référence qu'il y a dessus sur internet. Ca a l'air très intéressant, je me pencherai dessus un jour ! Merci pour cette découverte !
@@kobipy merci. Sinon je viens d'acheter De l'intégration aux Probabilités d'Olivier Garet pour me familiariser avec l'integrale de Lebesgue et ses propriétés... Mais je viens d'entendre parler du livre d'intégration de Daniel Li, selon vous est-ce que c'est nécessaire de l'acheter lorsqu'on a le premier ?
Cela dépend de vos objectifs. Si le but est de maîtriser les théories de l'intégration, alors je ne pense pas que ce soit nécessaire !
Merci
Avec plaisir ! :)
Merci à vous pour votre commentaire !
très bien, pour dire d'améliorer, j'aurais bien voulu avoir l'apport de Riemann dans son époque pour avoir un contexte historique, bon courage à vous
Merci beaucoup ! :)
Effectivement, l'apport historique aurait été une bonne chose ! Je garde l'idée en tête !
d'accord merci pour votre like, pour préciser, j'aurais voulu savoir si on pouvait dire que Riemann était le création de l'intégrale
@@ferdinandNonque Riemann n'est pas le créateur de la notion d'aire sous une courbe. Dans son mémoire, il cherche à répondre à la question "Quelles fonctions sait-on intégrer ?". C'est là qu'il y rédige sa théorie de l'intégration.
merci
Avec plaisir !
Merci pour votre commentaire :) !
Bonjour,
l'intégrale au sens de Riemann a dans sa définition une suite de subdivision quelconque, pas forcément un delta x constant, c'est juste une facilité de calcul informatique, une mauvaise conception que l'on donne en terminal. On peut très bien choisir comme subdivision celle montrée dans la partie Lebesgue, on a alors une parfaite analogie entre les deux (on a même des méthodes Reimann à gradient qui optimisent la subdivision). Avec des fonctions "dessinables" les deux sont équivalentes.
Quand on sera avec des fonctions allant à l'infini ou des espaces plus bizarres, on aura un vraie différence.
Il n'y a pas de supériorité, les fonctions définie par f(x)=... ont une definition qui permet un calcul par Reimann plus facile et c'est 99 % de ce qu'on rencontre dans l'aplication de l'intégrale de tous les jours.
Oui, la subdivision n'est pas constante dans l'intégrale de Riemann. Il me semble l'avoir mentionné.
Effectivement pour les fonctions basiques (ce que vous appelez "dessinables"), les deux sont équivalentes.
Maintenant, il est possible de dessiner les non-dessinables en étant astucieux (je l'illustrerai dans la prochaine vidéo).
Concernant la supériorité de l'intégrale de Lebesgue, il faut définir ce que ça veut dire "être supérieur" et ce que signifie "être une bonne théorie de l'intégration".
Comme mentionné dans un autre commentaire, elle permet entre autres une construction rigoureuse des probabilités.
Dans tous les cas, merci pour votre commentaire.
Très bonne vidéo, dommage qu’il n’y ai pas encore la suite, j’ai un examen dessus jeudi 😅
Merci beaucoup ! :)
Bon courage pour votre examen !
Est ce qu’on a un exemple d’espace non euclidien et d’une fonction (f) sur cet espace où on ne sait pas définir l’intégrale de Riemann de f sur cet espace ? Ça aiderait encore plus à mesurer les avantages de l’intégration de Lebesgue. Merci par avance pour les réponses !
Vous avez répondu à votre réponse question dans votre commentaire d'après :) !
Top hâte d'en apprendre plus sur l'intégrale de Lebesgue, super vidéo ! Juste une remarque tout de même, en mettant le volume assez fort on se rends compte que le son grésille légèrement 🙂Sinon super vidéo !
Merci beaucoup pour votre commentaire ! :)
Et pour la remarque concernant le son, c'est bon à savoir !
La simulation des aires , des courbes pas le montage video youtube tout entier . C 'est dans un cadre scolaire j'aimerais simuler une methode d'approximation de calcul integral
Au besoin, j'ai répondu dans votre commentaire précédent.
Bonne introduction , Une introduction qui sort du conformisme qui nous recite chaque jourr que " Oh on a besoin de l'integrale de Lebesgue par ce qu'elle est utile en probabilite',... Oh on a besoin de l'integrale de Lebesque parce les fonction L-Integrables sont Riemann Integrables mais pas toutes les fonctions R-integrales sont L -integrables ) !
Cela ressemble aux recitations qu'on entend souvent de la part des prof de physiques qui pensent que tout est evident alors que la rigueur mathematique est EXIGEANTE . Ils ne comprennent meme pas que les Physiques ne sont rien d'autre que des mathematiques appliquees. Bref.
Trop souvent l introduction de 'integrale de Lebesgue par le biais de la mesure frustre car cette notion de mesure elle -meme fait appel a' des postulats que l'on peut discuter.
Pedagogiquement, lorsqu'on introduit un nouveau concept , il faut le faire de maniere graduelle ( du simple pour arriver aux insuffisances). Encore faut -il qu'on soit bien detaille' ( pourquoi et comment ) cette insuffisance et quel outil precis ou propriete precise .
Merci pour votre commentaire !
Effectivement, je partage votre avis sur le fait que les motivations pour introduire l'intégrale de Lebesgue ne sont pas toujours les plus pertinentes !
Il y a un épisode 2 (et même 3) de sorti, entièrement consacré à l'intégrale de Lebesgue, si cela vous intéresse ;)
Likee📈📈💕💕
Excellente videoo , super bien explicite et très instructive s'il vous plait quel est le logiciel que vous utilisez pour la simulation video .
Je code les animations en Python à l'aide de la librairie ManimCE.
Merci pour votre commentaire !
Comment montez vousnce genre de vidéo
J'utilise la librairie Manim pour coder les animations en Python, puis le logiciel de montage VSDC.
@@kobipy puis je avoir des ressources stp
@@kobipy utilises tu une voix off?
Les ressources sont indiquées dans la description de la vidéo. Il y a même des liens ! :)
J'utilise ma propre voix que j'enregistre avec le logiciel Audacity.
Je comprends pas comment on va traiter les intervalles horizontales. On ne peut pas toujours résoudre l'équation Y= f(x), comment Lebesgue gère les solutions approximations de cette équation ?
Que signifiez-vous par traiter les intervalles horizontaux ?
Dans un premier temps, l'objectif est d'introduire une définition rigoureuse de l'intégrale qui soit valable pour "beaucoup" de fonctions.
La problématique du calcul est accessoire (en premier lieu).
@@kobipy ben je veux dire dans votre exemple, on doit déterminer le premier rectangle 5:33. Il faut la largeur de ce premier rectangle. La largeur de ce rectangle va de 0 a X2. Et ce X2 est la solution de Y2 = f(x). Si on a une solution approximation a cette équation, comment gere t on les approximations ?
@@Parole_Confort La définition de l'intégrale de Lebesgue n'est pas utilisée pour le calcul d'intégrales. Comme vous le mentionnez, ce n'est pas pratique, car il faudrait résoudre des équations qu'on ne sait généralement pas résoudre.
Un des objectifs d'une théorie de l'intégration est d'introduire une définition valable pour un maximum de fonctions.
Comme on va le voir dans la prochaine vidéo, la définition de l'intégrale de Riemann ne peut pas s'appliquer à la fonction caractéristique de Q, mais celle de Lebesgue pourra s'appliquer.
En résumé, on n'utilise pas la définition de l'intégrale de Lebesgue pour faire du calcul en général.
@@kobipy la question de kike6851 m’en amène une autre : est-ce nécessaire que f soit localement inversible (sur un sous ensemble de l’ensemble d’arrivée de mesure non nulle) pour que l’intégrale soit définie ? On a l’impression que non car elle est bien définie pour la fonction indicatrice de Q. L’animation est d’une qualité époustouflante donc sincèrement merci, mais je pense que ce qui a un peu entraîner kike dans une mauvaise interprétation c’est quand apparaît la définition des Bk comme l’image par f^-1 de yk;yk+1. Ça donne l’impression qu’il faut absolument que f soit localement inversible.
Je n'avais pas vu la question.
Il n'y a pas besoin du caractère localement inversible, comme vous l'avez mentionné.
La notion d'image réciproque est valable pour une application quelconque.
Je pense qu'il aurait fallu que je précise dès le début la différence entre une théorie de l'intégration et le calcul intégral.
L'avantage principale de l'intégrale de Riemann c'est surtout qu'elle est effective contrairement à l'intégrale de Lebesgue dont la définition rend impossible tout calcul
Pour les deux intégrales, le calcul ne se fait pas via la définition.
Même pour l'intégrale de Riemann, calculer l'intégrale d'une fonction basique via la définition est difficile.
@@kobipy De toute façon si on prend une fonction usuelle on ne peut presque jamais donner un résultat explicite de son intégrale, mais seulement des approximations. Ce que je voulais dire c'est que l'intégrale de Riemann permet d'obtenir de bonnes approximations même en appliquant bêtement la définition (bien sûr on peut toujours améliorer un peu mais l'esprit reste le même), tandis que l'intégrale de Lebesgue n'est pas du tout faite pour ça
@@yannld9524 Dans ce cas-là, je suis d'accord à une nuance près :)
La démarche dont vous parlez s'appelle la méthode des rectangles, et ne peut plus se comparer à l'intégrale de Lebesgue, mais plutôt aux autres méthodes d'approximation d'intégrales (trapèze, Simpson, etc...).
Merci pour votre commentaire dans tous les cas :) !