Ja, es ist richtig Das Beispiel 64-49 = 15 und 7+8=15 Ich habe es mit verschiedenen Zahlen ausprobiert und es war immer richtig. Es lässt sich auch mathematisch beweisen. Dies erspar ich mir aber hier. ❤-liche Grüsse Marcel
Des weiteren: Der hier gezeigte Zusammenhang sollte eigentlich jedem bekannt sein, der sich ein bisschen für mathematische Gesetze und Methoden interessiert hat und auch gerne mal mit Zahlen "rumspielt". Beim bilden von Quadratzahlen "im Kopf" (das macht der heutige, "medien-kompetente" Schüler oder Student natürlich nicht mehr!??) fällt einem sofort auf, daß ich die nächsthöhere Quadratzahl erhalte, wenn ich die Zahl, deren Quadrat ich habe, mit der Zahl, deren Quadrat ich haben möchte, zusammenaddiere und zu dem Quadrat der kleineren Zahl, das ich schon habe, dazu addiere. Das ist natürlich nichts anderes als eine andere Form der Darstellung der binomischen Formel für ein Binom, bei dem der eine Summand 1 ist. Schön daran ist auch die "geometrisch-basteltechnische Herleitung": Wenn ich nämlichein Quadratische Stück Papier, Holzplatte usw. habe, das a * a groß ist, kriege ich das "nächstgrößere" Quadrat, indem ich jeweils an der Seite und oben oder unten einen eine Einheit breiten Streifen "anflicke". Dabei passiert aber etwas, womit man nicht unbedingt sofort rechnet: Nehme ich nämlich zwei a Einheiten lange Streifen, bleibt oben rechts, unten links oder... eine Lücke von 1 * 1 Einheit. Also muß mein 2. Streifen a + 1 Einheiten lang sein. Verfolgt man den Gedanken nun weiter in die Unendlichkeit (infinitesimal!), wird sofort klar, wo der Hase lang läuft: Mit über alle Grenzen wachsenden n wird das 1 * 1-Quadrat natürlich verschwindend klein. Aus nähert sich das 2n + 1 dem 2n. Stelle ich nun die Frage "was ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen" ein wenig anders, indem ich nicht natürliche, sondern z.B. reelle Zahlen nehme, ist die Antwort eben nicht 2a + 1, sondern 2a. Suche ich also nach einer Funktion, die die Differenzen der Werte einer "Mutterfunktion" 2. Grades angibt, so ist dies stets eine lineare Funktion. Bei der "reinen" quadratischen Funktion f(x) = x^2 ist das dann also f'(x) = 2x. Und schon haben wir die Ableitung, das Differenzial der Funktion.
Ausprobieren hat aber mit Mathematik nur bedingt etwas zu tun. Manchmal kommt man ohne nicht auf eine Lösung, aber Mathematik besteht aus Verallgemeinerungen, und die müssen bewiesen werden. In diesem Fall setzen wir die größere Quadratzahl gleich (n + 1)^2 und erhalten als Differenz n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1. Auf der anderen Seite der angenommenen Gleichung ("Die Differenz der...") ist n + (n + 1) = 2n + 1. 2n + 1 = 2n + 1, q.e.d. Das ist weder interessant noch spannend.
Ich bin an dieser einfachen Aufgabe gescheitert, weil sie leider falsch gestellt ist. Die Differenz der Quadrate zweiter aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist definitiv nicht 64-49. Das ist die Differenz zweier Quadratzahlen. Entsprechend der Aufagbe müsste man aber die Quadratzahlen quadrieren, also 4096-2401=1695 rechnen. Dann wird es aber offensichtlich falsch, sodass die Aussage falsch ist. Deshalb muss in der Aufgabenstellung "der Quadrate" gestrichen werden.
Ich habe es mit allen Paaren bis 144/169 ausprobiert. Simmt da immer.
Sehr gut 👍 … vielen Dank fürs Mitmachen. Beste Grüße
Ja, es ist richtig
Das Beispiel 64-49 = 15 und 7+8=15
Ich habe es mit verschiedenen Zahlen ausprobiert und es war immer richtig.
Es lässt sich auch mathematisch beweisen. Dies erspar ich mir aber hier.
❤-liche Grüsse Marcel
@@marcelequey4936 Danke lieber Marcel. Beste Grüße
Des weiteren: Der hier gezeigte Zusammenhang sollte eigentlich jedem bekannt sein, der sich ein bisschen für mathematische Gesetze und Methoden interessiert hat und auch gerne mal mit Zahlen "rumspielt". Beim bilden von Quadratzahlen "im Kopf" (das macht der heutige, "medien-kompetente" Schüler oder Student natürlich nicht mehr!??) fällt einem sofort auf, daß ich die nächsthöhere Quadratzahl erhalte, wenn ich die Zahl, deren Quadrat ich habe, mit der Zahl, deren Quadrat ich haben möchte, zusammenaddiere und zu dem Quadrat der kleineren Zahl, das ich schon habe, dazu addiere. Das ist natürlich nichts anderes als eine andere Form der Darstellung der binomischen Formel für ein Binom, bei dem der eine Summand 1 ist.
Schön daran ist auch die "geometrisch-basteltechnische Herleitung": Wenn ich nämlichein Quadratische Stück Papier, Holzplatte usw. habe, das a * a groß ist, kriege ich das "nächstgrößere" Quadrat, indem ich jeweils an der Seite und oben oder unten einen eine Einheit breiten Streifen "anflicke". Dabei passiert aber etwas, womit man nicht unbedingt sofort rechnet: Nehme ich nämlich zwei a Einheiten lange Streifen, bleibt oben rechts, unten links oder... eine Lücke von 1 * 1 Einheit. Also muß mein 2. Streifen a + 1 Einheiten lang sein.
Verfolgt man den Gedanken nun weiter in die Unendlichkeit (infinitesimal!), wird sofort klar, wo der Hase lang läuft: Mit über alle Grenzen wachsenden n wird das 1 * 1-Quadrat natürlich verschwindend klein. Aus nähert sich das 2n + 1 dem 2n. Stelle ich nun die Frage "was ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen" ein wenig anders, indem ich nicht natürliche, sondern z.B. reelle Zahlen nehme, ist die Antwort eben nicht 2a + 1, sondern 2a. Suche ich also nach einer Funktion, die die Differenzen der Werte einer "Mutterfunktion" 2. Grades angibt, so ist dies stets eine lineare Funktion. Bei der "reinen" quadratischen Funktion f(x) = x^2 ist das dann also f'(x) = 2x. Und schon haben wir die Ableitung, das Differenzial der Funktion.
Vielen lieben Dank für das ausführliche Feedback. Beste Grüße
Es stimmt tatsächlich. Ich hab es mit verschiedenen Zahlen getestet und es ist immer aufgegangen.
Bsp: 256 - 225 = 31 ; 16 + 15 = 31. 🤗
Vielen lieben Dank fürs Mitmachen. Beste Grüße
Ausprobieren hat aber mit Mathematik nur bedingt etwas zu tun. Manchmal kommt man ohne nicht auf eine Lösung, aber Mathematik besteht aus Verallgemeinerungen, und die müssen bewiesen werden.
In diesem Fall setzen wir die größere Quadratzahl gleich (n + 1)^2 und erhalten als Differenz n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1. Auf der anderen Seite der angenommenen Gleichung ("Die Differenz der...") ist n + (n + 1) = 2n + 1.
2n + 1 = 2n + 1, q.e.d.
Das ist weder interessant noch spannend.
Sehr schön (inklusive Beweis) 👍!
Das einzige, was mich hibbelig macht, ist der Vortrag in "super slow motion". Aber das ist ja _mein_ Problem 😉...
🙂👻
@@roland3et Dankeschön… man kann es sich auch schneller anhören. Beste Grüße
Ich bin an dieser einfachen Aufgabe gescheitert, weil sie leider falsch gestellt ist. Die Differenz der Quadrate zweiter aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist definitiv nicht 64-49. Das ist die Differenz zweier Quadratzahlen. Entsprechend der Aufagbe müsste man aber die Quadratzahlen quadrieren, also 4096-2401=1695 rechnen. Dann wird es aber offensichtlich falsch, sodass die Aussage falsch ist. Deshalb muss in der Aufgabenstellung "der Quadrate" gestrichen werden.
@@manfredwitzany2233 Sorry und danke für den Hinweis!