Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 3.6. Конечные и бесконечные множества
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 18 ต.ค. 2024
- Курс из 6 лекций для тех, кто хочет узнать, что математика - это не сложные и нудные вычисления, а красивые и логичные рассуждения.
Плейлист на канале: • Математика для всех. К...
КУРС "МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ" НА ПЛАТФОРМЕ STEPIK. Полная версия с дополнительными заданиями и контрольными работами: stepik.org/cou...
КУРС "МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"
Плейлист на канале: • Математический анализ....
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
ПРОДОЛЖЕНИЕ "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТЫ ТОПОЛОГИИ"
Плейлист на канале: • Линейная алгебра и эле...
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
ПРОДОЛЖЕНИЕ "ГЕОМЕТРИЯ И ГРУППЫ"
Плейлист на канале: • Геометрия и группы. Ку...
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
КУРС "ТЕОРИЯ ИГР
Плейлист на канале: • Теория игр. Курс лекци...
Курс с заданиями по каждому разделу: openedu.ru/cou...
КУРС "ТЕОРИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ"
Плейлист на канале: • Теория экономических м...
Курс с заданиями по каждому разделу: stepik.org/cou...
Группа ВК: baikalre...
Видеоканал / sibscience
Бесконечность везде! Например его видео можно смотреть бесконечно!
Как всегда на своей волне ~
Спасибо.
Этот бодрящий и энергичный вводный материал, к слову, хорошо дополняется материалом Бориса Трушина
(Такие разные бесконечности. Счётные и несчётные множества | матан #005 ).
Убедительно демонстрируется , что натуральные, рациональные и целые числа счетны, а действительные(вещественные) нет (для действительных чисел используется принцип вложенных отрезков).
Важно заметить наличие и различие таких понятий как конечное/бесконечное, а также счетное/несчетное множества.
Надеюсь, окажется полезным прямо тут указать, почему мощность (размер) множества всех подмножеств исходного множества рассчитывается как 2 в степени n:
мы можем перебирать элемент за элементом исходного множества, решая - поместить в итоговое множество элемент или нет (называя итоговое множество - подмножеством).
А всего таких комбинаций получается 2*2*2*..(перемножаем двойку n раз, где n - мощность (размер) исходного множества). В комбинаторике такой подход называется правилом умножения: если один элемент можно выбрать M способами, а, выбрав его, выбрать второй элемент уже N способами, то число способов выбрать обоих в таком порядке - M*N . Убедиться в верности можно проведя аналогию.
Например: (1) из нулей и единиц (мощность=2, мн-во={0,1}) можно построить 2*2*2=8 трехзначных чисел: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111,
(2) а из 10 цифр (мощность=10, мн-во = {0,1,2..9}) можно построить 10*10*10=1000 трехзначных: 000, 001, 002, 003... 500..999.
глупый вопрос, наверное - а можно преобразовать несчетное множество (континуум) в счетное и наоборот. Есть такая операция? Если да - опишете условия?
Отображение предъявить можно, но оно не будет биекцией, которая собственно и предъявляется, когда мы хотим доказать равномощность множеств.
Если представить количество натуральных чисел N как четное число n, то количество целых чисел Z будет 2n-1 (z) (так как 0 всего один). z будет нечетным числом. Сопоставляя n и z, мы сопоставляем четное и нечетное число, инвариант же, нет? В любом случае, сколько много чисел мы не взяли, Ноль будет менять четность.
бесконечность - это не число, и нельзя его так представить
Спасибо комментариям, а то от одинаковых бесконечностей мозг дал синий экран.
2 в степени n = это про количество возможных алгоритмов для n входов.
Алеф нуль - та ещё головоломочка для мозга! Помню попотел в своё время нед нею...
На Алексее присутствует отсутсвие подтяжек, то есть множество отсутствий подтяжек
Не видно - не значит, что их нет.
К сожалению, содержание моей головы не принимает факта равной мощности N и Z, т.к. в N не хватит чисел для однозначного соответствия с числами Z. Я могу запомнить утверждение - "N и Z множества равной мощности" - но понять его не получается, увы... В следующей лекции по теореме Кантора вполне ожидаемо заткнулся уже на определении "множества B" - я так и не понял, что это за множество, и дальнейшее изложение Савватеева воспринималось как пустые звуки. На этом прослушивание его лекций и закончилось...
Хочешь еще больше мозг сломаю?) Множества рациональных чисел (вида m/n) и натуральных тоже равномощны.
@@Qwerty-se6qs не впечатлило - нельзя налить больше воды в полностью наполненный водой бидон, поэтому всё мимо.
Прошло два года. Уложилось в голове?
@@Люсьена-у2ы да хоть 100 лет пройдёт, я к Саватееву с тех пор не ходок и больше не пытался это осмыслить и понять, забил одним словом.
@@user-egr3Isw2lt в целом можно сделать и обратный шаг. Попробуем показать, что множества натуральных чисел и четных равномощны. Всякое четное число делиться на два. Если поделить всякое четное число на два и отложить в новое множество, то итоговое множество будет множеством всех натуральных чисел. А всякое натуральное число можно умножить на два и получить обратно четное. Есть ли сомнение в этом утверждении?
Меня не покидает ощущение, что такие правила сравнения бесконечных множеств имеют определенные причины в математике и что они аксиоматичны. Потому что интуитивно и не интуитивно, все-равно ведь чисел Z в 2 раза больше, ну или мое понимание бесконечности не верно. Надо тогда получше разобрать суть явления бесконечности.
Все равно ведь при стремлении переменных к бесконечности (lim Z+ - lim Z-) / (lim N+ - 0) = 2? В данном случае уместнее было бы считать пределы по числу переменных, но их величина почти соответствует их числу в данном случае, не считается только 0.
Штука в том, что здесь не о лимитах, а соответствиях. Сколь большое или малое число мы ни возьмём из одного множества, мы всегда сможем подобрать ему одно и только одно соответствие в другом множестве.
Я думаю об этом и вот что не приходит в голову - когда человек задает правила соответствия элемента одного бесконечного множества элементу другого бесконечного множества, то тут есть некая проблема. Можно ли задавать такое соответствие в принципе? Оно получится каким-то не завершенным, открытым. Потому что мы никогда не сможем дойти до последнего элемента и закончить данное соотнесение до конца. Таким образом оно действительно действует для любых элементов множеств. Но можно ли говорить, что оно действует для всех? Такого сказать нельзя, так как это означало бы сосчитанную/измеренную бесконечность. В общем бесконечность та еще штучка.
Если брать индийскую философию, то там есть легенда о том, как Вишну поспорил с Брахмой, кто из них более великий. В их спор вмешался Шива, который превратился в столб света (бесконечный) и предложил им соревнование - кто долетит до его конца, тот и победил. Боги в конце концов не смогли этого сделать и взмолились к Шиве, чтобы он принял форму чего-нибудь конечного, который превратился в гору.
Тут Брахма и Вишну - абсолютно всемогущественные божества, способные сделать все, что угодно в этом мире, но несмотря на абсолютное могущество, даже боги пасуют перед бесконечностью, олицетворением которой был Шива. Так и тут - с одной стороны любому элементу одного множества можно сопоставить элемент другого, абсолютно любому (Как Вишну и Брахма могут совершит абсолютно любое воздействие на мир), но сама бесконечность этому правилу не по зубам (Как Шива не по зубам Вишне и Брахме). С другой стороны, если столб света был бы в 2 раза больше, то это был бы в 2 раза больший бесконечный столб, почему бы и нет :D
И я вполне понимаю концепцию математиков о бесконечностях разного порядка, просто вопрос- можно ли говорить, что для математиков N и Z ну прям совсем равны между собой?
Он слишком свободно оперирует понятиями, даже фривольно, я бы сказал. Он говорит, в конце концов все целые числа будут посчитаны. Это не верно, их бесконечно много, и процесс будет длится бесконечно долго. Но нет причин, по которой целому числу не будет соответствовать натуральное. В этом смысле вводится понятие мощности, не зря предлагается новое понятие. Но Саватееву пофиг, он говорит, бесконечности равны.
@@КрасновАндрей-ф2б Шива превратился в бесконечный столб света - от поверхности земли этот столб света ушёл в бесконечность неба (это был луч света). Я могу представить в 2 раза более длинный столб света, чем этот луч - два луча бьющие в противоположные стороны, объединённые в один "столбище", будут в 2 раза длиннее луча, который светит в одну сторону. :) Если Брахма-Вишну не могли добраться до конца луча-Шивы, то добраться до другого (второго, уходящего в бесконечность) конца "удвоенного" луча у них не было вообще никаких шансов, разве что если бы один полетел в одну сторону, в второй в другую, но в этом случае становится очевидным, что мощность Вишну+Брахма в два раза "мощнее", чем мощность одного Вишну или одного Брахмы. :)
хороший курс
Ммм. Как интересно. Натуральный ноль. Прям по 19 веку ностальгирую
Попало в реки
Почему один отрезок больше другого, если у обоих одинаковая форма, и в каждом из них по одинаковому количеству точек?
@Viacheslav Krilov не понял - так в каждом отрезке бесконечное количество точек, значит любые два отрезка равны "по мощности"?
8:00, 8:55
Спасибо, Алекс
Разве ноль входит в множество натуральных чисел? Не входит...
Большинство математиков считают, что входит. Но вообще, конечно, вопрос определения.
@@alexanderfilatov , аксиомы Джузеппе нашего Пеано, значит, отменяем. Ту, которая предполагает, что единица не следует ни за каким числом. Ну и ладно!🤣🤣🤣
Байку про бесконечный отель вспомнил ... th-cam.com/video/XI7DhCUI2eo/w-d-xo.html
Суть в том, что ты будешь бесконечно долго сопоставлять эти множества, а не в том, что они друг другу реально соответствуют, как нас пытаются убедить. Если человек не может долететь ни до Марса, ни до Сатурна, совсем не значит, что эти планеты находятся на одинаковом расстоянии от Земли!
Именно в том, что они друг другу соответствуют. Каждому элементу из множества N можно сопоставить элемент из множества Z (как и наоборот). Так же, например, равной мощности множество рациональных чисел. А вот множество действительных чисел уже не сопоставимо с множеством натуральных.
@@Qwerty-se6qs вы берёте ( для соответствия) множество натуральных чисел и рассматриваете его с другого конца. Да, с той стороны вы не можете представить, выразить это число и называете его - бесконечность. Следующее перед ним - это бесконечность минус один, и так далее до числа - бесконечность минус бесконечность, которое мы привыкли называть нулём (само название числа не имеет значения, будь оно ноль, нуль, зеро, пустота - суть его одна). Выходит, что натуральные числа у вас закончились, а целых - только половина.
@@igor-karkovskiy Ну не работает это так, бесконечность она на то и бесконечность. У нее нет конца и начать с другой стороны нельзя. Просто представьте, что натуральные числа - это номера и пронумеруйте все целые. Для каждого целого числа найдется свой номер (натуральное число) - с чего бы тогда утверждать, что целых больше? Возможно, это кажется бредом из-за того, что натуральные только в одну сторону пишут на оси, а целые в обе. Тогда просто пишите целые в одну сторону : 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3... У меня наоборот не укладывается в голове, как целых может быть больше, если для каждого целого найдется пара.
@@Qwerty-se6qs тогда надо говорить про натуральные числа - бесконечность без одного конца, так как её начало - это и ее конец, если вести отсчёт в обратном направлении: 10,9,8..1,0. Ну, или назвать полубесконечность, ибо её начало имеет вполне законченную форму - предел в сторону убывания, и игнорировать его невозможно.
Анти-Дюринг в 21 веке. Забавно
И тут эта глупость про одинаковость множества натуральных чисел и множества целых чисел. :-)
Во-первых, процесс, который никогда не заканчивается ничего не доказывает. А потому, вывод, сделанный лектором о том, что "ВСЕ целые числа будут посчитаны" ни на чем не основан. Это софизм, противоречащий элементарному логическому рассуждению, известному еще со времен Сократа.
Во-вторых, доказать, что ВСЕ целые числа посчитаны можно только и исключительно в том случае, если вы каким-либо образом охарактеризовали множество количественно. А лектор оперирует исключительно бесконечностью множества, что является качественной характеристикой. Это в принципе не позволяет сделать хоть какие-то выводы о результате сопоставления целых и натуральных чисел.
В общем, как все другие математики, Савватеев, рассуждая о бесконечных множествах, занимается софистикой.
Если вы возьмеие два бесконечных множества...
То они всегда будут состоять из одинакового количества элементов.