Théorie de Lie, Épisode I : des racines et des poids
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 22 พ.ค. 2024
- Premier volet d'une trilogie centrée principalement sur la théorie de Lie, mais au cours de laquelle on pourra voir tout un tas de choses en algèbre, en géométrie, en combinatoire et en physique. Le plan général pour cette trilogie est :
- Épisode I : Des racines et des poids ( • Théorie de Lie, Épisod... )
- Épisode II : La symphonie des sphères ( • Théorie de Lie, Épisod... )
- Épisode III : Les diagrammes enfouis ( • Théorie de Lie, Épisod... )
Errata:
- la formule sur les sinus donnée sur la première page est incorrecte, il faut tout décaler de 1: pour tout x tel que sin(x) est non nul et tous entiers positifs n et m on a
sin(nx)sin(mx)/sin(x) = somme des sin((n+m+1-2k)x) pour k allant de 1 à n.
Les exemples donnés dans la suite de la vidéo sont corrects.
- à 2:48:50 quand je compte la dimension je ne donne qu'une borne inférieure car je n'ai pas calculé les multiplicités. En fait les trois points du milieu ont multiplicité 2, et donc la représentation est de dimension 15, et pas 12 comme indiqué dans la vidéo.
Les notes pour cette vidéo sont accessibles ici :
www.antoinebourget.org/attachm...
-------------------------------------------------------------------
Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
Discord : / discord
Twitter : / antoinebrgt
Mon site personnel : www.antoinebourget.org
Tipeee : fr.tipeee.com/scientia-egregia/
-------------------------------------------------------------------
Plan
00:00 Introduction
Partie 1 : sl(2,C)
13:31 Définitions
18:50 Structures algébriques, groupes, anneaux, espaces vectoriels, algèbres
25:18 Algèbre de Lie
33:30 Définition de sl(2,C), base et relations de commutation
45:40 Exemples de représentations (polynômes homogènes, dérivations, adjointe)
1:07:15 Classification des représentations irréductibles de dimension finie
1:20:35 Diagramme des poids
1:31:50 Lemme sur les chaînes de poids
1:44:17 Conclusion, liste des représentations irréductibles
1:55:00 Produits tensoriels et caractères
2:07:40 Identités trigonométriques
Partie 2 : sl(3,C)
2:11:30 Définition et base
2:16:10 Calcul des poids de la représentation adjointe, diagramme des racines
2:24:10 Notion d'espaces propres généralisés, algèbre de Cartan et son dual
2:32:10 Diagramme des racines sur réseau triangulaire
2:41:32 Représentations de plus hauts poids
2:51:20 Exemples de représentations
3:03:40 Caractères et formule de Weyl
Conclusion
3:24:51 Résumé
3:28:00 Ouvertures sur d'autres domaines
3:40:00 Transition vers les épisodes suivants
-------------------------------------------------------------------
Référence :
Fulton et Harris, Representation Theory.
![ตั๋วเมีย (ຕົວະເມຍ) - SOMBATH.97 Ft. YOUD SALAVAN [ Official music video ]](http://i.ytimg.com/vi/GV6qHagpp50/mqdefault.jpg)
0 van, j'étais en train d'écouter des histoires d'enquêtes criminelles pour dormir, je me réveille à 6h du matin sur ta vidéo . youtube et rempli de surprise 🤣
Les maths c'est un peu comme une enquête criminelle, le but c'est de trouver une solution enfouie qui est souvent très astucieuse !
Pareil!
Les groupes de Lie, c'est des dortoirs?
Un live passionné de quatre heures ! Quelle légende 👑 !
NICE
Mon ami, tu es là
Merci !! Oui 4h c'est long, il faut prendre ça comme le film fleuve du samedi soir :D
Je viens de terminer l'épisode III et je me suis repris l'épisode I : franchement : easy. Je conseille à tous de refaire la série des 3 au moins
2 ou 3 fois. Un grand merci !
Félicitations ! Et en effet ça peut être bien, pour ceux qui ont le courage, de regarder la série deux fois, car c'est dense et les connexions se tissent au fur et à mesure !
A l'occasion de découvrir l'algèbre de Lie, je suis tombé sur votre vidéo très bien fait et je la suis avec grand intérêt, bien que je n'ai pas toutes les notions de base mais j'avance , grâce à vous. J'émerge en effet , ce n'est maintenant que je découvre d'une manière plus concrète les notions de l'algèbre tensorielle pour pouvoir aborder l'algèbre de Lie. merci et bien à vous.
Yyyyy
Vraiment un vidéo super sur la théorie de Lie plus applicable à la théorie quantique des champs.
Ça fait un moment que j'essaye d'apprendre le sujet (notamment avec le textbook de Hall), et tout prend tellement plus de sens grâce à ta vidéo ! Merci beaucoup pour ce cours, c'est la meilleure resource non seulement sur le TH-cam francophone mais anglophone également ! :D
Merci beaucoup pour ton commentaire! Ça fait plaisir!
tu excpliques tres bien.Je te tire mon chapeau.Moi je me suis arreté en 3me pour devenir en menuisier.Je suis sur que t'es pas en 1ere annee.Tu ferais un tres bon prof car expliquer est plus difficile que de trouver la bonne reponse et d'avoir compris du coup
bravo, encore une super session. ça donne envie de revoir les autres vidéos. Merci
Merci !
Moi qui croyais que le titre faisait référence a l'émission de Stéphane Bern!
Super le lien avec la physique des particules a la fin, ça permettait de remettre un peu de contexte.
Haha oui j’ai bien pensé à l’émission !
Merci, très intéressant !
hâte de voir le lien entre les algèbres de Lie et les groupes de Lie, parce que j'ai l'impression que les groupes sont plus physiques. C'est intéressant de faire le lien entre ce qu'on apprend en MQ et le sens profond des mathématiques.
Ce sera l’épisode II, d’ici 2 ou 3 semaines :)
Il y a un SU(3) de couleur, qui est une symétrie exacte, et un SU(3) de saveur qui est la symétrie entre le up, le down et le quark étrange de la deuxième génération (u, d, s). La symétrie n'est pas exacte parce qu'ils n'ont pas la même masse. C'est en fait un sous groupe de SU(4) quand on ajoute le quark charmé etc. Les représentations du groupe de saveur donne toutes le hadrons: mésons, nucléons, hypérons etc. Mais la couleur est confinés, donc on ne peut voir que la représentation triviale de SU(3) de couleur, ce qui exclu la représentation fondamentale.
Merci mon grand tu explique bien les choses
Merci !
Super vidéo ! Je vais faire sl(1) pour m'entraîner haha
Haha sl(1) ça devrait aller en effet :)
j'ai commencé un livre de la geometrie de Lie.Tres interessant voire ingenieux mais assez difficile a aprehender tout comme la folie de ce genie
Merci bien Monsieur !!
God bless
Merci merci merci + l'infini
Merci beaucoup
Peut-on imaginer une interaction fondamentale par groupe de jauge ? Pourquoi seuls certains de ces groupes représentent vraiment des phénomènes physiques et pas les autres ?
pourriez-vous faire une vidéo sur la théorie des catégories svp
Merci
Ce n'est pas au programme pour le moment, ce n'est pas quelque chose que j'utilise beaucoup donc il faudrait que j'y passe un peu de temps !
Serait-il possible d'avoir des vidéos sur les équations de la mécanique des fluides ? Outre le cours classique sur l'obtention des équations de Navier-Stokes, je pensais plus aux modèles atmosphériques comme les équations quasi-géostrophiques (surface ou shallow-water par exemple)
Je ne suis pas du tout spécialiste de ça donc c’est pas prévu pour le’moment, désolé !
Merci.
Merveilleux :)
En 39:08, on a pris pour base constitués des matrices : "H, X, Y". Les commutateurs sont calculés : à chaque fois, le commutateur est un multiple d'un des vecteurs de base. Je ne m'attendais à pouvoir obtenir une matrice 2x2 quelconque, qui ne soit pas forcément multiple d'un seul vecteur de base. Pouvait on s'y attendre et pourquoi ? Merci.
En effet en principe on pourrait avoir n'importe quelle combinaison, là on a choisi une base adaptée qui donne ce résultat plus simple. La propriété qui fait que cette base est "simple" est ce que j'explique par la suite, il s'agit d'un système de racines.
Merci pour la présentation. Qui gagnerait à aller droit au but sans hésitations qui alourdissent beaucoup la présentation (Genre : c'est quoi une algèbre ? et on décrit en deux phrases et c'est tout). J'ai visionné seulement les 18 premières minutes.
La raison de la forme de la multiplication des matrices, pour construire des groupes multiplicatifs non commutatifs, c'est qu'elle correspond à la composition des applications linéaires d'un espace vectoriel qui produit les groupes linéaires, ce qui donne naturellement des isomorphismes entre ces groupes (Et pas à une généralisation, du fait qu'une matrice opère sur un ensemble, un espace vectoriel par exemple).
C'est la difficulté qui consiste à s'adapter à un auditoire très divers, j'ai bien conscience que certaines choses semblent basiques à une partie du public mais je ne veux pas perdre les autres, d'où peut-être certaines longueurs.
Stp, je n'ai pas bien compris un point.
Quand au début tu choisis tes matrices et que tu aboutis à la relation [X,Y] = H, [H,X] = 2X et [H,Y] = -2Y, Est-ce que ces relations sont uniques pour des algèbres de Lie de dimension 2 ou bien c'est un cas particulier que tu as choisi pour illustrer ?
Pourrait on avoir des algèbres de Lie de dimension deux avec des relations entre H, X, Y qui soient différentes ?
C'est une algèbre de Lie de dimension 6, puisqu'il y a 3 paramètres complexes. C'est la représentation qui est de dimension 2 *C* . C'est la même algèbre que so(3,1), mais elle est différente de so(4) et de so(2,2) par exemple.
Bonjour, quel est le nom du logiciel que vous utilisez pour écrire ?
Il utilise GIMP
«Prenons l'exemple *_très très concret_* du produit tensoriel de deux copies de l'espace des polynômes homogènes de degré deux.»
Les mathématiciens ont une notion du _très très concret_ bien à eux :)
Haha oui, la notion de concret est sans doute assez relative!!
Bonsoir,merci pour vos vidéo qui sont pour moi à chaque fois un vrai challenge de compréhension et de résistance au sommeil...N'ayant qu'un culture mathématique limitée mais passionné de physique théorique que pensez vous de la lecture des 3 tomes "minimun théorique" de Leonard Susskind!Cela me permettra t'il d'être plus au niveau?En vous remerciant de votre réponse..et de tout ce travail d'enseignement
Je n'ai pas lu en détail les livres de Susskind mais de ce que j'en connais en effet c'est une bonne base ! Il y a aussi le classique cours de Feynman !
Susskind pour se mettre au parfum?
Quel support utilises-tu pour écrire ? J'ai l'impression que tu tiens un stylet dans ta main, donc ça doit être une application sur tablette...
Oui c’est juste une tablette graphique et Gimp
Merci bcp ...je veux des travaux dirigés et des exercices corrigé de l'algebre de lie
On ne dit pas : je veux . C'est très impolie
Bonjour et encore merci,
Y a t'il une raison de mettre les axes H1 et H2 à 60 degrés ? Ou est ce que c'est juste un souci esthétique?
C'est ce qui rend le diagramme le plus symétrique, tout simplement. Donc oui c'est important, et c'est encodé dans le diagramme de Dynkin dans la théorie plus générale
@@antoinebrgt merci ;)
Pas mal l'icône de ta chaîne ;)
Merci ! Un jour il faudra que j'explique ce que c'est !
@@antoinebrgt On est un fan boy de Lie ?
Pourrais tu expliquer pourquoi à 1:12:27 tu dis que la representation
ho associe à chaque element de sl(2,C) un endomorphisme sur V, mais ensuite tu dis que V (l'espace) est lui même la représentation : ce que j'ai retenu c'est que V est l'EV (par exemple des vecteurs) sur laquelle les éléments de la représentations vont agir mais ces éléments sont des applications (par exemple des matrices). l'eV dont tu parles n'est vraisemblablement pas celui généré par quelques représentation formant une base ici (ex: l' eV généré par les 3 mat 2x2 X,Y,H). Ce passage est un peu flou car ensuite tu dis que V est l'espace vectorielle munit de l'application (par cela j'imagine que tu veut dire que V est munit de toutes les application
ho(g) pour g dans sl(2,C) ). Pourrais tu stp clarifier ?
Merci,
VG
Il y a en effet un abus de langage courant en théorie des représentations. Si G est un groupe, alors une représentation de G est un couple (V,ρ) où V est un espace vectoriel et ρ un morphisme de groupe de G dans GL(V).
On dit souvent (par abus) que V est la représentation, mais en effet c'est insuffisant si on ne précise pas aussi ce qu'est ρ.
Pour clarifier, si l'espace vectoriel V est de dimension n, on dit que la représentation (V,ρ) est de dimension n. Et dans ce cas les ρ(g) sont des matrices n*n pour tout élément g de G.
Ensuite pour les algèbres de Lie, celles-ci sont elles-mêmes des espaces vectoriels. Donc par exemple si je prends sl(2,C) il s'agit d'un espace vectoriel de dimension 3, ayant par exemple (X,Y,H) pour base. Une représentation de dimension n de sl(2,C) est caractérisée par un espace vectoriel V de dimension n et trois matrices ρ(X), ρ(Y), ρ(H). Un exemple de telle représentation est V = C^2 avec ρ(X)=X, ρ(Y)=Y et ρ(H)=H.
Un autre exemple de représentation est l'algèbre de Lie elle-même, dans ce cas on parle de représentation adjointe.
J'espère que ça clarifie un peu !
@@antoinebrgt Oui merci beaucoup de ta réponse ! Ca me permet de lever l'ambiguïté sur un passage de Zee que je ne lisais pas correctement (passage de la représentation fondamental (ρ,V) aux représentation sur des espaces tensoriels d'ordres supérieurs).
VG
Tres bonne explication ...est que tu as parlé de forme de killing dans les autre videos sur votre chaine
Merci! Je ne sais plus si j'ai mentionné la forme de Killing, j'en ai peut-être parlé rapidement mais certainement pas en grand détail
@@antoinebrgt est ce que tu as des exercices corrigés d algebre de Lie
@@samirelhajhouj9293 non je ne crois pas, mais un bon exercice c’est de prendre un livre et d’essayer de faire les preuves ou d’illustrer avec des exemples
@@antoinebrgt quel livre tu me propose ? Et merci bcp
@@samirelhajhouj9293 Le Fulton et Harris, que j'ai cité dans les références, est très adapté pour ça, il y a plein d'exemples explicitement traités !
Mais wtf, j'ai les vidéos de ce mec a chaque fois que je termine une vidéo, je suis ni abonné, ni intéressé par ce genre de contenu... expliquez moi svp 😭
Il y a une solution, il suffit de s'y intéresser :D
Bravo pour ta presentation, mais en tant que mathematicien, je trouve qu'elle manque d'explications quant aux motivations profondes : tu introduis la definition des algebres de Lie qui sort du chapeau, puis tu passe 4 heures a developper des exemples. Mais Lie avait introduit ses algebres a partir des groupes de Lie pour une raison tres specifique (en quelques sortes codifier le comportement des groupes de Lie au voisinage de l'unite), et parcequ'elles ont la propriete remarquable que le groupe peut de "reconstruire" a partir son algebre. Il semble (tu me corrigeras si je dis un betise) que les physiciens se soient empares de ces objets pour des raisons qui leur sont propres afin d'etudier les particules elementaires. Mais historiquement, d'ou sort l'idee de faire un lien entre particules elementaires et algebres de Lie, sans passer par les groupes de Lie ?
C'est précisément le sujet de l'épisode II, dans quelques minutes :)
Je devrais peut-être préciser que le choix pédagogique de présenter d'abord les algèbres est que la théorie est plus simple et permet de faire des calculs très concrets avant d'entrer dans les groupes où il y a pas mal de subtilités, en particulier topologiques. L'idée était donc d'avoir déjà une base de ce que sont les représentations de l'algèbre pour ensuite voir lesquelles remontent au groupe, en particulier en fonction du groupe fondamental du groupe. L'épisode II passe ainsi beaucoup de temps à détailler la relation entre SU(2) et SO(3), et je voulais pour faire ça avoir traité auparavant des représentations de leur algèbre de Lie commune.
En mécanique quantique, l'algèbre de Lie représente les observables (opérateurs) qui sont conservées par le groupe de Lie correspondant, càd que le lagrangien est invariant par ce groupe.
Plus précisément ce sont des représentations dans l'espace de Hilbert des états, ce qui explique pourquoi les opérateurs peuvent être des opérateurs différentiels.
@@clmasse Merci pour ta reponse, c'est tres interessant. Je poursuivrais bien l'echange j'ai une tonne de questions sur ce sujet, mais ce n'est probablement pas le meilleur endroit pour le faire.
Super vidéo. Hier soir, j'ai suivi en direct. C'était sympa. Par contre ca fait un peu tard (surtout avec le changement d'heure). La semaine prochaine ca sera en différé pour moi (pour préserver mon petit sommeil).
Merci !
Pour l’heure je me suis calé sur l’horaire des films à la télé, je ne veux pas que ça commence trop tôt pour que tout le monde puisse assister au début, qui est plus accessible. La fin peut en effet toujours être vue en replay !
@@antoinebrgt Je pense que c'est le bon créneau horaire, en effet. A voir peut être pour un format un peu plus court, limité à 2H par exemple? (même si j'imagine que ce n'est pas simple de couper au beau milieu d'une démonstration). Si ca te parait possible, tu pourrais faire un sondage pour voir ce que les autres en pensent? Avant de connaitre ta chaine (via science-clic et passe-science) je me limitais à des vidéos de 20 minutes ^^.
@@samuelblarre4522 disons que ce qui limite ma production c’est les journées que je peux consacrer à la chaîne, en gros un jour par mois. Donc si je fais deux fois moins long en une fois, ça veut dire que je fais deux fois moins de choses en tout. Du coup pour moi c’est plus avantageux de faire des mongues séances. Après rien n’empêche le public de regarder en 10 fois le replay ! C’est d’ailleurs pour ça que je découpe en nombreux chapitres !
représentation adjointe 59 52
Pour le Lie, il vaut mieux la pratique a la theorie :p
Pas mal :)
Super vidéo, merci !
(ton lien Twitter est cassé)
En effet, j'ai vu ça (c'était dû à un caractère invisible apparemment), ça devrait être résolu maintenant !
Bel effort mais je me suis endormi. Simplifier tout ça serait un beau et utile projet de recherche mathématique :3.
Je ne sais pas si ça serait de la recherche en mathématiques car tout ça est déjà bien connu.
Pour l'endormissement, il faut passer la vidéo en accéléré !
Je suis complètement néophyte. L'algèbre de Lie est introduit ainsi dans cet (excellent) cours. Le produit des matrices est non commutatif, donc pour l'algèbre de Lie on ne fait pas de produit, mais on introduit un commutateur : [X, Y]=XY - YX. OK très bien, mais il me semble qu'on n'a "rien résolu" : le commutateur [Y, X]=-[X, Y] donc *à nouveau*, çà dépend de l'ordre... Pourriez-vous commenter ? Merci.
Je ne comprends pas la question, en effet le crochet dépend de l'ordre, mais de façon très simple, juste par un signe, alors que pour deux matrices quelconques AB et BA n'ont rien à voir l'une avec l'autre!
@@antoinebrgt Ah oui, merci. Effectivement, je n'avais pas réalisé que AB ne donne pas -BA mais une nouvelle matrice pouvant être complètement différente. Désolé. ok, je comprends maintenant l'idée. Merci.
j'ai mal formulé ma phrase :
edit "pas réalisé que AB et BA" peuvent être complètements différents;
Bonjour
A propos de la representation en matrices de sl(3,C).
dans la video a 2:28:51 il y a la representation pour X : (X_1,X_2,X_3) :
X_1=[(0, 1, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)]
X_2=[(0, 0, 1), (0, 0, 0), (0, 0, 0)]
X_3=[(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)]
cela est supposé etre une base pour sl(3,C), mais la 2em (X_2) s'obtient en multipliant la 1er(X_1) avec la 3em(X_3) ?
X_2=X_1*X_3
(raisonnement analogue pour Y)
Je ne suis pas sûr de comprendre s'il y a une question dans ce commentaire ? En tout cas deux remarques : en principe comme je l'ai expliqué dans les algèbres de Lie on "oublie" qu'on peut multiplier deux matrices, donc cette multiplication n'a pas vraiment de sens du point de vue de la théorie de Lie. D'autre part, on parle de base en tant qu'espace vectoriel, donc même si ici on a bien [X1,X2]=X3 il n'empêche que X3 est bien linéairement indépendant de X1 et X2.
Je ne sais pas si ça répond !
@@antoinebrgt oui c'etait bien une question, merci pour la réponse, bon j'avoue que j'ai pour l'instant du mal a comprendre pourquoi X_2=X_1*X_3 -X_3*X_1 n'est pas une relation lineaire , il y a manifestement la quelque chose d'important qui m'echappe ;-( (encore sans doute due a mon manque de connaissance mathematique!). mais je vais y réflechir. Merci beaucoup pour vos videos.
@@YouKidiyoukida Une relation linéaire ce serait X_2 = a X_1 + b X_3 avec a et b des nombres complexes
@@antoinebrgt ok, j'ai compris . Merci.
@@antoinebrgt Non finalement je n'ai rien compris (sans doute due a mon QI de 90 au sortir de la douche ! ).
il est dit que l'on travaille dans cette algebre de Lie uniquement avec le crochet de Lie,
donc cette espace vectoriel ne connait que les 2 operation ; crochet, et multiplication par un scalaire complexe.
mais pour verifier la non linéarité on utilise une somme de matrice. j'ai l'impression qu'il y a une contradiction ?.
d'autre part pour la representation adjointe pour sl2, je ne trouve pas les memes matrices.
qu'est ce qui ne colle pas ?
voir code on sageCell :sagecell.sagemath.org/?q=skptir
Un ou des livres à conseiller ?
Oui, j'ai mis en référence le livre de Fulton et Harris, qui prennent une approche similaire à celle que j'ai adoptée ici (et j'ai essayé de conserver un peu leurs notations).
Group Theory in a Nutshell for Physicists et Physics from Symmetry forment une super introduction au sujet. 😊
Lie Groups, Lie Algebras, and Representations par Brian Hall est aussi une super resource, qui adopte une approche assez similaire du sujet.
Ss ssssssssssssssssssss
je ne peux pas croire que je me suis rendu aussi creux dans youtube
Aussi creux ?!
vers @1:45:00, rien ne prouve que la chaine doit être finie (dans le lemme, la base est d'ailleurs infinie), c'est une hypothèse. Le résultat n'est pas si 'magique' que ça, on a supposé que alpha (max) existe... 'm minimal dans |N' est aussi une hypothèse, m aurait pu être à l'infini, comme une limite (Y^m)v->0
Le modèle semble plutôt dire que les chaînes sont infinies et, de même, en nombre infini et que l'on fait le choix, arbitraire finalement, que alpha et m sont finis
L'hypothèse qu'on fait est que les représentations sont de dimension finie, donc en effet les chaînes sont finies par hypothèse. Ce qui n'est pas clair a priori est qu'à longueur de chaîne finie donnée, il n'y a qu'une seule telle chaîne. C'est ce que je montre ici.
En effet si on enlève l'hypothèse de la dimension finie, alors il y a plein de chaînes (une infinité non dénombrable). Cependant, parmi toutes ces chaînes, celles dont le plus haut poids est quantifié correspondent à des modules non simples, et donc finalement même sans faire l'hypothèse de la dimension finie elles sont "singularisées".
Théorie de Lie, la théorie qui sert à rien et qui est moche et pas efficace.... ya mieux en maths, bien mieux et bien plus utile !!