Liczby porządkowe | Zacznijmy od zera #8
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 20 ธ.ค. 2021
- Poprzednio dowiedzieliśmy się, że istnieje całe mnóstwo "nieskończoności", zwanych liczbami kardynalnymi. Ale to wciąż nie wszystko! Gdy spróbujemy je rygorystycznie skonstruować, natkniemy się na inny, jeszcze bogatszy system liczb pozaskończonych, które nazwano (niezbyt romantycznie) liczbami porządkowymi. Co na ich temat mówi matematyka? I odwrotnie: co mówią nam te obiekty o naturze samej matematyki? A już zupełnie przy okazji: ile razy Tomasz Miller potrafi doliczyć do nieskończoności?
Dofinansowano z programu „Społeczna odpowiedzialność nauki” Ministra Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach projektu „Otwarta Nauka w Centrum Kopernika".
#matematyka #ZacznijmyOdZera #nieskończoność - วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
Mógłbym tych wykładów słuchać i słuchać w kółko. Lepszej serii na ten temat już się nie da zrobić. To jest więcej niż złoto.
To jest rzetelny matematyk z talentem do przekazywania wiedzy. Nic unikalnego, ale również nic powszechnego.
Bez żadnej ujmy dla Tomasza Millera - robi doskonałą robotę.
Ta seria to złoto :)
Ściśle raczej BTC niż złoto ale przesłanie jak najbardziej prawdziwe!
Tomasz Miller to złoto . Uosobienie idealnego nauczyciela .
Mam nadzieję, że będzie ω odcinków (albo i więcej).
Panie szanowny dlaczego tak zacnego wykładowcę, zamykać w puapce nieskończoności?
Bezwględnie najlepsza matematyczna seria na polskim YT. To jest złoto Panie, złoto!
Rewelacyjny cykl wykładów. Dziękuję.
Cudo! Zdawało mi się, że temat mam obeznany - porządnie wykształcony fizyk matematyczny - oglądałem dla przypomnienia i rozrywki. Ale dzisiaj łeb mi spadł i śmiałem się przez kwadrans, aż pies się zaniepokoił. Dzięki, szefie. Tam jeszcze nie byłem.
Gratuluję pomysłu na serię wykładów/programów o matematyce. Posiada pan niewątpliwy talent dydaktyczny, którego niestety brakuje wielu wykładowcom. Powodzenia w działalności w Internecie i w "Delcie".
"Zbiór wszystkich zbiorów" (13:29) - to brzmi jak "Szef wszystkich szefów" czyli pan Jarzyna ze Szczecina...
Nawiasem mówiąc "Klasa wszystkich zbiorów" brzmi jeszcze lepiej.
A "Klasa wszystkich klas" wręcz wspaniale.
Dr Miller to świetny wykładowca.
Naddobre wykłady. Czekam na kolejne.
No... to była niezła jazda 😅
Fajny pomysł z pauzą w trakcie, myślałem że ktoś mi się włamał do komputera 😅
Dzięki za kolejny świetny odcinek 😄
Dziękuję za przybliżenie liczb porządkowych i kardynalnych. Pozwoliło mi to lepiej zrozumieć prof. Jerzego Króla w rozmowie z prof. Michałem Hellerem w De Revolutionibus 16.12.2016r w Books&Cafe (polecam).
Nie rozumiem nic, pojęcia nie mam po co ludzkości takie obliczenia, ale bardzo fajnie się to ogląda
bardzo dobry odcinek
W polowie odcinka musialem zapauzowac - tak sie podjaralem
Super wykłady. Będzie coś o pierścieniach?
Przydałoby się jeszcze pokazać gdzie to się przydaje. Np. nieskończoność przydała się przy projektowaniu loga Arduino
Świetna robota popularyzatorska. Brakowało mi tylko objaśnienia różnej interpretacji potęgi w wyrażeniach:
"\omega ^ \omega" oraz "2 ^ \aleph" ("tradycyjne" vs. "podzbiorowe").
A do jakiegoś kategorii zaliczyć liczbę elementów zbioru liczb pierwszych? Zwykły przeliczalny zbiór?
Tak, liczb pierwszych jest tyle samo co liczb naturalnych.
Każda liczba pierwsza jest liczbą naturalną, więc zbiór liczb pierwszych jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych zatem jego moc jest mniejsza lub równa alef 0.
Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, więc ich zbiór ma moc alef 0 lub większą.
Z tego wynika,że moc zbioru liczb pierwszych to alef 0.
@@piotrfelix Oczywiście to prawda i co ciekawe wiedzieli o tym (na swój nieprecyzyjny sposób) już starożytni matematycy z Grecji.
Natomiast z punktu widzenia teorii miary i przy zastosowaniu przejścia granicznego: liczb pierwszych jest "tyle co i nic" w porównaniu ze wszystkimi liczbami naturalnymi. I pewnie o tym pomyślał Drogowskaz.
Zobaczył bym chętnie film o coraz większych nieskończonościach, to znaczy popularnonaukowe wyjaśnienie liczb nieosiągalnych, liczb Mahlo, liczb zwartych i tak dalej. Vsauce zrobił film o tym pod tytułem "how to count past infinity" ale skończył na liczbach nieosiągalnych, a ja bym chętnie dowiedział się o jeszcze większych ale nie mogę nigdzie znaleźć przystępnych wyjaśnień ich konstrukcji
Tak tylko te "liczby nieskończenie nieskończone" są niezależne od aksjomatyki ZFC. Zatem istnieją tylko jako "abstrakcyjna abstrakcja" w ramach abstrakcyjnej teorii matematycznej. Mówiąc prościej nauka o tych obiektach to w zasadzie teologia. Całkowicie serio. Tam też dobiera się aksjomaty, których nikt nie sprawdza doświadczalnie.
To jest taki matematyczny dowód istnienia całkowicie abstrakcyjnego (matematycznego) BOGA.
@@brzoza17 a jakie matematyczne aksjomaty sprawdza się doświadczalnie? :)
Niestety, aby ogarniać duże liczby kardynalne, trzeba mieć minimalne zaplecze z kombinatoryki nieskończonej i logiki matematycznej :(
chociaż, liczba mahlo jest łatwa do wyjaśnienia: to liczba silnie nieosiągalna, która ma od sobą sporo liczb silnie nieosiągalnych (sporo oznacza że te liczby tworzą zbiór stacjonarny - taki analog zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie).
z liczbami zwartymi jest gorzej, bo nawet popularnonaukowe wyjaśnienie powinno wcześniej coś wspomnieć o rozszerzaniu rodzin zbiorów do ultrafiltrów, a to już samo nadaje się na cały wykładzik
takie skomplikowane koncepty do wytłumaczenia byłyby moim zdaniem atutem tego filmu a nie problemem w tworzeniu go
słuchając nasunęło mi się pytanie: czy liczba zbiorów pustych jest nieskończona, czy jest tylko jeden zbiór pusty? Genialna forma popularyzowania. Gratulacje.
Istnieje tylko jeden zbiór pusty. Gdyby istniało więcej, to znaczy, że różniłyby się od siebie, czyli istniałby element należący do jednego, a do drugiego nie, co jest sprzeczne, bo do zbioru pustego nie należy żaden element.
Jak można wesprzeć kanał? Super treści !! Dziękuję niezmiernie. Czy bedzie odcinek o Continuum i coś głębiej o hipotezie continuum? Podrawiam serdecznie :)
Można zacząć od suba. Dzięki!
Dlaczego nieskończona wieża potęg liczb pożądkowych omega równa się alef0 skoro przy liczbach kardynalnych 2^alef0 równa się continuum. Moc zbioru nieskończonej wieży potęg wydaje się mocniejszy niż moc znioru 2^n
Rozumiem o co ci chodzi ale odpowidze po angielsku (jestem Anglikiem) - Cantor shows in his 1897 article (section 15 - Theorem C) that the limit of a fundamental series of numbers from the first or second number class is a number of the second number class. Therefore, since omega, omega^(omega), omega^(omega^(omega)) ... is a fundamental series of numbers from the second number class then the limit (omega^(omega^(omega...))) is also a number of the second number class and hence has cardinal number aleph-0. Also note that omega, omega^2, omega^3 ... is a fundamental series of numbers of the second number class and so omega^(omega) is a number of the second number class etc.
However, 2^(aleph-0) can be shown to be the cardinality of the power set of the set of natural numbers and it can also be shown that the power set P(A) of a set A always has a cardinality greater than A itself (even in the case of infinite sets) and so 2^(aleph-0) cannot be equal to aleph-0. (I can't recall off-hand but I don't think Cantor proves this in his 1895 and 1897 articles but the proof can be found elsewhere at any rate). I hope this helps - I'm sorry I can't reply in Polish. I understand Polish a little but I can't write it very well.
mój komentarz nie da się zapisać w skończonej ilości znaków. Sam stopień pozytywności jaki chciałbym w nim wyrazić ma przynajmniej pozaskończoną wielkość.
Ciekawe czy jest jakieś oficjalne określenie zboczenia jarania się takimi liczbami? Będzie coś o liczbie grahama?
Liczba Grahama jest jak najbardziej skończona czyli mniejsza od Alef0. Oczywiście jest też bardzo ciekawa z matematycznego (kombinatorycznego) punktu widzenia.
Pytanie czy potrafimy lub będziemy potrafili dokonać pomiaru takiej nieskończoności i powiedzieć że Wszechświat A jest większy od Wszechświata B bo B na przykład się w nim zawiera np nieskończony Wszechświat 4 wymiarowy jest podzbiorem 11 wymiarowego nieskończonego Wszechświata.
Fascynujące! A może: " zacznijmy od Bitcoina"? Ciekawe jak się ma fenomen Bitcoin i Block Chain do różnych fascynujących matematycznych wywodów i teorii🤔
14:46 w aksjomacie wyboru wykrzyknik powinien być po znaku "istnieje" a nie po "y"
I jest przecież. To w aksjomacie zastępowania jest literówka.
To bardzo cenna seria, ale włos mi się na głowie jeży, kiedy słyszę, że kiedy dojdziemy do czegoś po nieskończonej liczbie kroków. Przeskok z pojedynczych kroków do postulatu, że "można by tak w nieskończoność" wymaga jakiegoś uzasadnienia - bo przecież wiadomo, że nikt nie ma ani czasu, ani miejsca w głowie, żeby nieskończoność uczciwie pomyśleć.
Ale mamy miejsce w głowie, aby uczciwie na temat nieskończoności rozumować. Jeśli możemy wykonać dowolnie dużą liczbę kroków, oraz wiemy na jakiej zasadzie to się odbywa, to czemu nie wziąć pod uwagę samego chodzenia jako nieskończonego procesu, którego własności wyciągamy z wiedzy o wspomnianej zasadzie.
W przypadku liczb porządkowych, pierwsza nieskończona liczba porządkowa to po prostu najmniejszy zbiór zawierający zero i zamknięty na następnik.
@@elizabethharper9081 Nie możemy wykonać dowolnie dużej liczby kroków, bo nie możemy wykonać nawet 99999999999999999999999 kroków, że posłużę się takim trywialnym argumentem. Każdy krok ma indywidualny charakter i nie można mówić o żadnej "zasadzie" wykonywania kroków. Konstruowanie następnika jest jedynie opisywane formalnie w ten sam sposób. Za każdym razem jednak jest to akt tworzenia nowego obiektu, innego niż każdy z poprzednich. Nie możemy też "wziąć pod uwagę (...) nieskończonego procesu", bo nie możemy na serio wziąć pod uwagę nic nieskończonego.
Ile jeszcze odcinków przewidziano w tej serii?
nieskończoność
Ale którą
@@EfMIPL Gdyby je robił Chuck Norris byłoby ich omega + omega .
@@EfMIPL Pytanie KTÓRĄ nieskończoność :)
Oczywiście skończoną. Fizyka pod tym względem jest znacznie bardziej brutalna.
A ekonomia to prawdziwy zamordysta.
grubo
:D
A co się dzieje a angielskim "number"?
Ile to będzie pierwiastek z i?
Są dwa pierwiastki: (1+i)/√2 oraz −(1+i)/√2
Ciężko dzisiaj. Odpadałem parokrotnie.
Wykład niewątpliwie ciekawy ale najmocniej pana przepraszam nic z tego nie rozumiem:). Jak mówiła nasza pani od matmy ,, wy żeście się gupi urodzili i gupi umrzecie".
Nie bądź dla siebie taki surowy. Omawiane tutaj tematy są bardzo abstrakcyjne, więc wyjaśnienie tego w 20 minut jest niemożliwe. Głębsze zrozumienie o czym tu mowa, to kwestia kilkunastu godzin i kilkunastu łez (przynajmniej w moim wypadku). ;)
@@Math_Logic_nt Mimo wszystko było fajnie wysłuchać wykładu. Dziękuję.
Ten temat jest po prostu taki. Tak jak poprzednie odcinki dało się zrozumieć - ten odcinek traktuję bardziej jako zabawę, że mówi, że coś takiego jest.
Zrozumienie tego, podejrzewam, zajęło by *trochę* czasu :D
👍
że se pozwolę sobie użyć liczb w praktyce: 0ω0
Wspomnij o następnej klasie liczb -- surrealistycznych. Dlaczego dowód Russela że 1+1 =2 zajmuje koło 750 stron w Principia Mathematica i co właściwie zawiera?
Po polsku to raczej klasa liczb Nadrzeczywistych.
Prawda? N I E P R A W D A :))))
Czy operacja "pomiaru" i porównywania kolejnych nieskończonych Wszechświatów równoległych, jeżeli istnieją i jeżeli moglibyśmy je jako obserwator zewnętrzny badać i mierzyć (jak obecnie galaktyki) nie będzie pomiarem różnych nieskończoności , nieskończonych zbiorów i ich wielkości? pomiar nieskończoności w fizyce doświadczalnej
Fizyka doświadczalna to nauka o zbiorach skończonych. Niestety, a jednocześnie na szczęście dla nas wszystkich ...
Na przykład jeżeli w FIZYCZNEJ przestrzeni co najmniej 3 wymiarowej prawdziwe byłoby twierdzenie Banacha-Tarskiego o rozkładzie kuli to nie byłaby prawdziwa ZASADA ZACHOWANIA ENERGII. To tylko jeden ze (skończenie) wielu przykładów na całkowitą odmienność Fizyki i Matematyki.
Jeżeli traktować opisane byty jako abstrakcyjne obiekty matematyczne to wszystko jest w porządku. Niestety sprawę bardzo psuje zasada metodologiczna zwana "brzytwą Occama", która każe eliminować z praktycznych rozważań takie byty.
Dla wyjaśnienia "wszechświaty równoległe" z definicji nie mogą wchodzić w oddziaływanie z naszym, a zatem są po prostu fizycznie niewykrywalne. To trochę tak, jak z "eterem" kosmicznym, który istnieje jako pojęcie abstrakcyjne, ale jest doświadczalnie niewykrywalny i to w żaden sposób.
@@brzoza17 zasada zachowania energii jest zachowana tylko lokalnie (podobno). Czy może powstać coś z niczego? Nasz Wszechświat ? (tego nie wiemy bo naukowo tego momentu nie potrafimy jeszcze opisać). Nie możemy tego potwierdzić ani zaprzeczyć.
@@brzoza17 Żyjemy w 2021 roku a Ty dajesz "pewniki" naukowe jakby nauka przez następne stulecia nic nie musiała i nie potrafiła już odkryć. Zasady i prawa fizyki są naruszalne bo są opisem rzeczywistego świata i temu służą.
@@brzoza17 Pomiary wewnątrz naszego Wszechświata zapewne dają tylko skończone wyniki ale w Multiwersum rozumianym jako nieskończona ilość wszystkich możliwych Wszechświatów o zupełnie różnych parametrach czy prawach fizyki moim zdaniem już nie.
Wez alef z kontinuum i usmaz mi burgera. Ja nie umieeeeeem . Panie kierowniku on mnie obraza.
Kiedy Sedeniony ?
Raczej ich nie będzie, ale były wspomniane w odcinku o kwatermionach(który pewnie widziałeś :) ).
Tylko Donek 🤪 jest mędrcem...
Zastanówmy się, czy logika matematyka to to samo... Może za dogmat należy przyjąć, że logika jest (bo jest), a matematyki nie ma (bo jest możliwe, że jej niema).
Liczby poza skończone mogą być, a jak chcę zrobić coś poza jutro, to już błąd 😎😎😎
3
.
robi sie coraz trudniej D:
chętnie zobaczę wykład o liczbach infinitezymalnych i jak się to ma do 1=0,(9) bo skoro Ɛ jest najmniejszą liczbą dodatnią większą od 0 to 0,(9) + Ɛ = 1 zatem skoro 0,(9) = 1 to Ɛ = 0 co jest sprzeczne z założeniem że Ɛ jest najmniejszą liczbą dodatnią większą od zera. No chyba, że Ɛ jest alternatywnym zapisem liczby 0. Nie dziwię się że Cantor popadł w depresję jeśli zajął się dziedziną matematyki w której napotykał same sprzeczności.
Liczby hiperrzeczywiste są czymś innym od "zwykłych" liczb rzeczywistych, więc to nie takie proste; w tych drugich nie istnieje coś takiego jak "najmniejsza liczba dodatnia". Nie jestem znawcą tematu, ale wydaje mi się, że w świecie liczb hiperrzeczywistych 0,(9) jest różne od 1
Co to jest najmniejsza liczba dodatnia?
Nie istnieje najmniejsza liczba dodatnia, bo jeśli by taka istniała np. E, to E/2 < E.
@@Math_Logic_nt Jest to liczba nadrzeczywista, a konkretniej liczba infinitezymalna Ɛ = ({0}, {..., 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1}) Jest to liczba którą otrzymamy po wykonaniu odejmowania Ɛ = 1 - 0,(9). Nie wiem jak ją zapisać, ale powinno to wyglądać jakoś tak 0,(0)1 gdzie 1 jest cyfrą występującą po nieskończonej ilości 0.
@@Mamoru021 Wynikiem odejmowania 1 - 0,(9) nie jest liczba nadrzeczywista Ɛ, tylko zero. Napis 0,(9) jest reprezentacją dziesiętną liczby 1 i przejście do szerszego systemu liczbowego tego nie zmienia. W zapisie dziesiętnym nie ma "cyfry występującej po nieskończonej ilości cyfr". Miejsc po przecinku jest omega, a nie omega + 1 (choć swoją drogą ciekawe, czy takie pozaskończone ciągi cyfr coś by reprezentowały).
I po to dobry Pan Bóg dał myślącej małpie duży mòzg, żeby go marnował na kompletnie wyzute z sensu sofizmaty, prowadzące do zawsze tego samego wniosku - że wszystkiego jest pełno.
Ty tak na poważnie z tym komentarzem?
Niestety to bardzo BARDZO pragmatyczny komentarz.
No ale jednak teoria mnogości nie sprowadza się wyłącznie do konstatacji, że "wszystkiego jest pełno". To tak jak powiedzieć, że fizyka sprowadza się do obserwacji, że są jakieś prawa przyrody, a medycyna do stwierdzenia, że ludzie chorują ;P
Jesteś przedstawicielem rządu?
@@rigelheron9997 Fakt, ale niektórzy próbują wszystko STRYWIALIZOWAĆ w ramach swoistego odruchu obronnego przed przyznaniem się do NIEZROZUMIENIA.