間違っていたらごめんなさい。疑問があります。 Nは3の倍数なので、合成数です。同じことですが、q=3とすれば割り切れるので、矛盾が示せないと思います。 それを回避するには、4n+3にnにp以下の「全ての」素数の積を代入すればよいと思います。この時も3でくくれますが、3でくくった残りは、4m+1の形の自然数です。これが素因数分解できるとすれば、その因数は全て4m+1の形の素数です。しかし、全てのp以下の4m+1の形の素数がnの中に含まれているので、1が余ってしまい、矛盾します。(追伸:しかし、pより大きな4m+1の形の素数ならば、割り切れるものをとることが可能と思うので、不十分な議論だったようです。) s さらに追伸。ネット検索してみたら、4n+3≡4n-1なので4n-1に代入すれば、上手くいきそうでした。
示したい形の素数が有限子と仮定して、q=3の時だけ否定すれば後は言っておいてNに全部の素数入れたら終わりません？
N=4(3x7x...xp)-1が1番簡単な解決方法じゃね
千葉大の過去問で6n-1を題材にした全く同じ問題が誘導つきでありました。ユークリッドの原理を応用した考え方ですね。
素数が無限に存在することの証明を知っているかで難易度が変わりそうですね
大勢に影響はないと思いますが、N は素因子に 3 を持つので一言言及しておいた方が良さそうな。
無視できない影響があるように思われます。q=3であるかも知れず、もしそうならば動画の議論からは何ら矛盾が生じないからです。
これを回避するには、動画のNの定義を
N = 4(7＊11＊19＊…＊P) + 3
に変更するだけでよいと思われます。詳しくは「むねひろ」さんへの返信をご参照ください。
間違っていたらごめんなさい。疑問があります。
Nは3の倍数なので、合成数です。同じことですが、q=3とすれば割り切れるので、矛盾が示せないと思います。
それを回避するには、4n+3にnにp以下の「全ての」素数の積を代入すればよいと思います。この時も3でくくれますが、3でくくった残りは、4m+1の形の自然数です。これが素因数分解できるとすれば、その因数は全て4m+1の形の素数です。しかし、全てのp以下の4m+1の形の素数がnの中に含まれているので、1が余ってしまい、矛盾します。(追伸:しかし、pより大きな4m+1の形の素数ならば、割り切れるものをとることが可能と思うので、不十分な議論だったようです。)
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さらに追伸。ネット検索してみたら、4n+3≡4n-1なので4n-1に代入すれば、上手くいきそうでした。
「追伸」の問題点を避けながらも、より簡単にq=3の可能性を回避するためには、動画のNの定義を
N = 4(7＊11＊19＊…＊P) + 3
[※ここでPは「4n+3型のすべての素数からなる集合Ａ」が有限集合であると仮定したときのＡの最大元。
従って()内は、前述の仮定のもとで「3を除くＡの元」を全てかけ合わせた積。]
に変更するだけでよいと思われます。
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（以下は動画と同様ですが…）
このとき
P 3に注意せよ)とおくと、Ｎの定義により
N≡3(mod q)
が従うため、qはＮの素因子にはなり得ず矛盾。
以上により、背理法に則って命題の成立が示された。■
訂正ありがとうございました。この場をお借りして感謝申し上げます。ありがとうございました。
q＝3があるから矛盾してなくない？詳しい人教えてください
動画ではq=3の可能性が否定されておらず、不十分な議論と思われます。
詳しくは「むねひろ」さんへの返信をご覧ください。
@@たま-z6n9kありがとうございます！よく分かりました