Ricordo di aver ricavato il volume della sfera con un doppio integrale in x e y, una cosa abbastanza laboriosa. Questa spiegazione è così chiara e semplice da rimanere stupefatti ! Complimenti Valerio, sempre un passo avanti !!! Pasquale.
puoi farlo anche con un integrale in una variabile :) Sapendo che y^2+x^2=R^2, poni quindi y=sqrt(R^2-x^2). Immagina quindi un semicerchio con "centro" nell'origine degli assi cartesiani e puoi utilizzare la formula per il calcolo del volume di un solido di rotazione: pigreco x integrale esteso tra a e b di [f(x)]^2 (quindi y^2) dx. considerando le premesse, integri tra -R ed R ed ecco calcolato il volume :)
Bellissimo e personalmente mai visto. Io conosco solo la formula con il calcolo integrale del solido di rotazione. Ma questa dimostrazione è stupenda e accessibile a chiunque! Grazie!
Il calcolo integrale non lo conosco, ma mi piacerebbe vedere la dimostrazione. Come verrebbe la dimostrazione se volessi usare la rotazione dell'area del cerchio, o meglio di uno spicchio di altezza sulla superficie uguale ad 1 per 180°? Spero sia chiata la domanda.
Spiegazione semplice e senza fronzoli ma soprattutto senza paroloni inutili. Il risultato è che tutti capiscono e sono contenti. Valerio Pattaro è un King. 🫡
Excellent, ho imparato qualcosa. Quando studiavo circa 65 anni fa' e mi chiedevano la formula della sfera io la sapevo a memoria: Il volume della sfera qual'e' : Quattro terzi pi greco erre tre. Cioe' come tu hai chiaramente spiegato: 4/3 π r3 Come volevasi dimostrare, diceva il mio Genio Professore di Matemeatica Siciliano.
Prof.non avevo in passato,compreso il motivo del cono rovesciato, immerso nel volume della semisfera ma lei ecco che ha risposto alla mia domanda.Bravissimo come sempre🤔🧐 🤗
prof. se posso inviarle un mio lavoro sulla questione potrebbe esaminarne la validità:intento le segnalo che il rapporto fra la superficie sferica e il suo volume =6/5 ed è uguale al rapporto fra sup,tot cilindro e il suo volume =6/5 Ciò significa che si può ottenere indirettamente il volume sfera incrociando i rapporti; ovvero; S.sfera/Vol Sfera= 6/5 >> Vol.Sfera= 5/6 sup.Sfera: la cosa è interessante perché si fonda su un rapporto di numeri primi (2+3)/2*3)=5/6 Nel caso di un cilindro di altezza uguale al diametro che contenga esattamente una sfera; senza rompersi la testa con l'anticlessidra, si ottiene appunto tale rapporto. Pi, siccome la differenza di tali volumi è 1/3 del volume del cilindro ecco che il cerchio si chiude: Volume cilindro- Volume sfera-Volume cono=0 il volume del cono è secondo la formula nota =1/3(2r)r^2)(𝝿)r= 1/3( 5)(2,5^2)𝝿=1/3*5*2,5^2*𝝿=32,72492347 interessante il rapporto con il vol sfera= 32,72492347/65,44984693=1/2 dove il volume sfera = 5/6 Volume cilindro = 5/6 (2𝝿r^3)=( 5/6)98,17477042=65,44984693 Dunque si hanno questi rapporti : VolCil/Vol cono= 98,17477042/32,72492347=3 ;poi>> vol.Cil/Vol sfera=98,17477042/65,44984693=3/2=1,5>>poi, VolSfera/VolCono= 65,449846693/32,72492347=2 Si osserva e si verifica anche l'affermazione del cavalieri che scrive ; Sup.Sfer/vol Sfera=Sup tot.Cil./Vol.Cil.=6/5 questo rapporto ci consente di calcolare ,dato il rapporto o il volume o la superficie.Totale. Infine, quest'eterna di solidi non si trovano in quei rapporti per caso come verifichiamo ora: Superficie tot,Cono / sup,Sfera= ove S tot Cono = (𝝿r^2(1+√5)=𝝿*2,5^2(3,236..)=63,54004615 e sup.Sfera =(𝝿r)(2*2r)=4r^2𝝿=25*𝝿=78,53981634; quindi 63,54004615/78,53981634= =0,809016994 = 1/2(𝞅). Ancora più interessante è il valore del rapporto fra la Superficie laterale del Cono =1/10 Volume cilindro;quindi Slc=1/10*98,17477042= 9,817477042: Tale valore non dovrebbe sorprenderci se la geometria dello Spazio solido ha generato l'accelerazione di gravità g=9,81... Cordialità. li, 26/7/22 joseph
C'è anche un metodo alternativo basato sui volumi dei solidi di rotazione (il cui teorema non ricordo bene il nome...), ovvero volume = area * lunghezza sviluppata dal baricentro della figura. Per un cilindro, per es., è banale, per una sfera bisogna conoscere il baricentro del semicerchio, da cui volume = 4/(3*pi)*r * (2*pi) * (pi*r^2/2) = 4/3*pi*r^3
Dimenticavo, riguardo l' ultima parte del video : lo stesso può farsi sulle superficie, in questo caso la superficie della sfera, ovvero = 2r/pi * (2*pi) * (pi*r) = 4*pi*r^2
@@lucaturroni7999 T. di Guldino-Poppa, mi sembra...che per inciso è più utile "al contrario", ovvero per ricavare il baricentro di figure "difficili" (per es. triangoli e semicerchi/semicirconferenze) partendo da superfici e volumi noti (nel caso precedente, rispettivamente, cilindro e sfera)
E' il teorema di Guldino, serve per evitare l'uso degli integrali multipli. La dimostrazione che ha fatto qui è eccezionale . Alle medie inferiori piuttosto di perdere tempo nell'uso del calcolo della radice quadrata potrebbero insegnare le dimostrazioni del teorema di Pitagora e le formule delle aree e volumi delle figure e corpi canonici. IL problema che i professori non è detto che lo sanno come le maestre non sanno dimostrare la proprietà distributiva della moltiplicazione sulla somma quando basta partizionare un rettangolo. E' per questo motivo che la maggior parte delle persone non piace la matematica perché insegnano solo il calcolo delle formule con regole in cui è tutto memoria senza capire il perché. Un altra cosa che va eliminata alle medie inferiori sono le proporzioni perché è una semplice uguaglianza di rapporti ed impedisce alle persone di imparare come si risolve e si scrive da un problema una normale equazione di primo grado. La maggior parte delle persone nella vita usa le proporzioni ma non sa scrivere una banale equazione e tanto meno risolverla.
Questa dimostrazione è molto più intuitiva di quello che ci ha insegnato in terza media la nostra prof di matematica. E' partita col fatto che una sfera può essere approssimata e scomposta in tante piramidi con base piccolissima (superficie sferica) e vertici tutti coincidenti col centro della sfera. Alla fine per fortuna ci ha detto che per ricordarci la formula c'è la frase "Il volume della sfera qual è? Quattro terzi pi greco erre tre" e memorizzammo solo quello, ricordandocelo per tutta la vita, Alzheimer permettendo. Ma della dimostrazione sua non è rimasta traccia nella memoria.
Salve. Chiedo scusa in anticipo per l'ignoranza. Mi potrebbe spiegare perché, nel calcolo dell'area della sezione del cono, in seguito alla dimostrazione dell'angolo di 45° che si racava dal segmento che parte dalla base del cono, si può essere certi che il raggio della sezione del cono e la distanza della sezione stessa dalla base del cilindro coincidono? C'è sicuramente molta geometria che mi sfugge, attualmente. Ma, come vede, sono intenzionata a rimediare 😂. Grazie tante e complimenti per il suo lavoro❤
per calcolare il volume di un cubo o parallelepipedo si può prendere un foglio di spessore infinitesimo e, dopo aver calcolato l'area, si moltiplica per l'altezza. se premdiamo una moneta di spessore infinitesimo e la ruotiamo sul suo diametro per mezzo giro, otteniamo una sfera, ma la formula darebbe pi^2*r^3 vicino al valore di 4/3 pi*r^3. come mai non funziona?
Salve, Il principio di Cavalieri è esprimibile in termini di Analisi col metodo delle sezioni per trovare un volume? Comunque ottima scelta, non avevo mai tentato di dimostrare il volume di una sfera, quasi me ne vergogno 😅.
Ciao Valerio. Sto facendo degli esercizi di chimica fisica con delle frazioni di primo grado su somme di frazioni sempre di primo grado con l’incognita sia alla frazione al numeratore sia alla somma delle frazioni al denominatore e non so Mai come muovermi. Potresti fare un video a riguardo per favore che non li trovo da nessuna parte.
Al posto di usare il principio di cavalieri si poteva integrare da 0 a R la funzione area del cerchio rosa con x incognita per calcolare il volume della semisfera?
@@ValerioPattaro si, ma nel video dice che la sfera è 2 terzi del cilindro e il cilindro è alto R non 2R. Intendeva quindi dire la semisfera non la sfera.
Grazie a questo si può calcolare anche il volume di un gelato, essendo questo composto da 1 cono ed una pallina di gelato, (quindi una sfera) ed è equivalente ad una pila di coppette cilindriche della stessa altezza del cono, poichè 1/3+2/3= 1. 🤔 No, no, scusate forse ho capito male
Ricordo di aver ricavato il volume della sfera con un doppio integrale in x e y, una cosa abbastanza laboriosa. Questa spiegazione è così chiara e semplice da rimanere stupefatti ! Complimenti Valerio, sempre un passo avanti !!! Pasquale.
Si può fare anche con un integrale semplice
puoi farlo anche con un integrale in una variabile :) Sapendo che y^2+x^2=R^2, poni quindi y=sqrt(R^2-x^2). Immagina quindi un semicerchio con "centro" nell'origine degli assi cartesiani e puoi utilizzare la formula per il calcolo del volume di un solido di rotazione: pigreco x integrale esteso tra a e b di [f(x)]^2 (quindi y^2) dx. considerando le premesse, integri tra -R ed R ed ecco calcolato il volume :)
Bellissimo, grazie professore
Che spettacolo, sono in piscina e mi hanno chiesto cosa stessi guardando. Non ho risposto, non avrebbero compreso la poesia….
Bellissimo e personalmente mai visto. Io conosco solo la formula con il calcolo integrale del solido di rotazione.
Ma questa dimostrazione è stupenda e accessibile a chiunque! Grazie!
Vero, sarebbe bello far vedere anche tramite integrale
Il calcolo integrale non lo conosco, ma mi piacerebbe vedere la dimostrazione.
Come verrebbe la dimostrazione se volessi usare la rotazione dell'area del cerchio, o meglio di uno spicchio di altezza sulla superficie uguale ad 1 per 180°?
Spero sia chiata la domanda.
Grazie mile signore Valerio per questa dimostrazione. È un principio propio importante per studiare geometria e matematica.
Si. Molto elegante ed intuitivo, visto ed esemplificato così.
Lei è un oratore eccezionale. Ottimi i suoi documenti. Complimenti !!!
Spiegazione semplice e senza fronzoli ma soprattutto senza paroloni inutili. Il risultato è che tutti capiscono e sono contenti. Valerio Pattaro è un King. 🫡
Excellent, ho imparato qualcosa. Quando studiavo circa 65 anni fa' e mi chiedevano la formula della sfera io la sapevo a memoria:
Il volume della sfera qual'e' : Quattro terzi pi greco erre tre. Cioe' come tu hai chiaramente spiegato: 4/3 π r3
Come volevasi dimostrare, diceva il mio Genio Professore di Matemeatica Siciliano.
Anche suor Teresina con la sua bacchetta di legno!
Prof.non avevo in passato,compreso il motivo del cono rovesciato, immerso nel volume della semisfera ma lei ecco che ha risposto alla mia domanda.Bravissimo come sempre🤔🧐
🤗
prof. se posso inviarle un mio lavoro sulla questione potrebbe esaminarne la validità:intento le segnalo che il rapporto fra la superficie sferica e il suo volume =6/5 ed è uguale al rapporto fra sup,tot cilindro e il suo volume =6/5
Ciò significa che si può ottenere indirettamente il volume sfera incrociando i rapporti; ovvero; S.sfera/Vol Sfera= 6/5 >> Vol.Sfera= 5/6 sup.Sfera:
la cosa è interessante perché si fonda su un rapporto di numeri primi (2+3)/2*3)=5/6
Nel caso di un cilindro di altezza uguale al diametro che contenga esattamente una sfera; senza rompersi la testa con l'anticlessidra, si ottiene appunto tale rapporto.
Pi, siccome la differenza di tali volumi è 1/3 del volume del cilindro ecco che il cerchio si chiude: Volume cilindro- Volume sfera-Volume cono=0
il volume del cono è secondo la formula nota =1/3(2r)r^2)(𝝿)r=
1/3( 5)(2,5^2)𝝿=1/3*5*2,5^2*𝝿=32,72492347
interessante il rapporto con il vol sfera= 32,72492347/65,44984693=1/2
dove il volume sfera = 5/6 Volume cilindro = 5/6 (2𝝿r^3)=( 5/6)98,17477042=65,44984693
Dunque si hanno questi rapporti :
VolCil/Vol cono= 98,17477042/32,72492347=3 ;poi>>
vol.Cil/Vol sfera=98,17477042/65,44984693=3/2=1,5>>poi,
VolSfera/VolCono= 65,449846693/32,72492347=2
Si osserva e si verifica anche l'affermazione del cavalieri che scrive ;
Sup.Sfer/vol Sfera=Sup tot.Cil./Vol.Cil.=6/5
questo rapporto ci consente di calcolare ,dato il rapporto o il volume o la superficie.Totale.
Infine, quest'eterna di solidi non si trovano in quei rapporti per caso come verifichiamo ora:
Superficie tot,Cono / sup,Sfera=
ove S tot Cono = (𝝿r^2(1+√5)=𝝿*2,5^2(3,236..)=63,54004615
e sup.Sfera =(𝝿r)(2*2r)=4r^2𝝿=25*𝝿=78,53981634; quindi 63,54004615/78,53981634=
=0,809016994 = 1/2(𝞅).
Ancora più interessante è il valore del rapporto fra la Superficie laterale del Cono =1/10 Volume cilindro;quindi Slc=1/10*98,17477042= 9,817477042:
Tale valore non dovrebbe sorprenderci se la geometria dello Spazio solido ha generato l'accelerazione di gravità g=9,81...
Cordialità.
li, 26/7/22
joseph
Questa non la sapevo! Video interessantissimo e bellissima spiegazione, complimenti Prof!
Sei un grande!
Oh yesss! 👍👍👍
Metodo degli indivisibili 🤩
Fisica non la studio più, ma è sempre un piacere sentirla professore! Bellissimo video 🥰🥰
Ciao Cristina, come stai? Ti stai laureando?
@@ValerioPattaro in economia e commercio, indirizzo finanza 🤞🏻 e lei insegna sempre al Gobetti?
@@andracristinabogea6708 No, me n'ero andato alla fine della vostra quarta, ricordi?
Sono al Newton, a Chivasso
Molto interessante
Fantastico
Lo avevo già visto, ma il ripasso è doveroso...
C'è anche un metodo alternativo basato sui volumi dei solidi di rotazione (il cui teorema non ricordo bene il nome...), ovvero volume = area * lunghezza sviluppata dal baricentro della figura. Per un cilindro, per es., è banale, per una sfera bisogna conoscere il baricentro del semicerchio, da cui volume = 4/(3*pi)*r * (2*pi) * (pi*r^2/2) = 4/3*pi*r^3
Dimenticavo, riguardo l' ultima parte del video : lo stesso può farsi sulle superficie, in questo caso la superficie della sfera, ovvero = 2r/pi * (2*pi) * (pi*r) = 4*pi*r^2
Teorema di guldino
@@lucaturroni7999 T. di Guldino-Poppa, mi sembra...che per inciso è più utile "al contrario", ovvero per ricavare il baricentro di figure "difficili" (per es. triangoli e semicerchi/semicirconferenze) partendo da superfici e volumi noti (nel caso precedente, rispettivamente, cilindro e sfera)
Ho cercato, in realtà è Guldino-*Pappo*
E' il teorema di Guldino, serve per evitare l'uso degli integrali multipli. La dimostrazione che ha fatto qui è eccezionale . Alle medie inferiori piuttosto di perdere tempo nell'uso del calcolo della radice quadrata potrebbero insegnare le dimostrazioni del teorema di Pitagora e le formule delle aree e volumi delle figure e corpi canonici. IL problema che i professori non è detto che lo sanno come le maestre non sanno dimostrare la proprietà distributiva della moltiplicazione sulla somma quando basta partizionare un rettangolo. E' per questo motivo che la maggior parte delle persone non piace la matematica perché insegnano solo il calcolo delle formule con regole in cui è tutto memoria senza capire il perché. Un altra cosa che va eliminata alle medie inferiori sono le proporzioni perché è una semplice uguaglianza di rapporti ed impedisce alle persone di imparare come si risolve e si scrive da un problema una normale equazione di primo grado. La maggior parte delle persone nella vita usa le proporzioni ma non sa scrivere una banale equazione e tanto meno risolverla.
Che figata
Questa dimostrazione è molto più intuitiva di quello che ci ha insegnato in terza media la nostra prof di matematica.
E' partita col fatto che una sfera può essere approssimata e scomposta in tante piramidi con base piccolissima (superficie sferica) e vertici tutti coincidenti col centro della sfera.
Alla fine per fortuna ci ha detto che per ricordarci la formula c'è la frase "Il volume della sfera qual è? Quattro terzi pi greco erre tre" e memorizzammo solo quello, ricordandocelo per tutta la vita, Alzheimer permettendo. Ma della dimostrazione sua non è rimasta traccia nella memoria.
Io avrei un problème da risolvere, dopo ero non combino. Dove ti posso mandare il problema prêt un aiutino? Grazie
Salve. Chiedo scusa in anticipo per l'ignoranza. Mi potrebbe spiegare perché, nel calcolo dell'area della sezione del cono, in seguito alla dimostrazione dell'angolo di 45° che si racava dal segmento che parte dalla base del cono, si può essere certi che il raggio della sezione del cono e la distanza della sezione stessa dalla base del cilindro coincidono? C'è sicuramente molta geometria che mi sfugge, attualmente. Ma, come vede, sono intenzionata a rimediare 😂. Grazie tante e complimenti per il suo lavoro❤
Perché la diagonale di un rettangolo è a 45° se e solo se si tratta di un quadrato.
per calcolare il volume di un cubo o parallelepipedo si può prendere un foglio di spessore infinitesimo e, dopo aver calcolato l'area, si moltiplica per l'altezza.
se premdiamo una moneta di spessore infinitesimo e la ruotiamo sul suo diametro per mezzo giro, otteniamo una sfera, ma la formula darebbe pi^2*r^3 vicino al valore di 4/3 pi*r^3.
come mai non funziona?
Perché la sovrapposizione non sarebbe uniforme. Le parti esterne sarebbero più distanziate
Salve, Il principio di Cavalieri è esprimibile in termini di Analisi col metodo delle sezioni per trovare un volume? Comunque ottima scelta, non avevo mai tentato di dimostrare il volume di una sfera, quasi me ne vergogno 😅.
Sì, cavalieri getta le basi del calcolo integrale.
Rimossi
Ciao Valerio. Sto facendo degli esercizi di chimica fisica con delle frazioni di primo grado su somme di frazioni sempre di primo grado con l’incognita sia alla frazione al numeratore sia alla somma delle frazioni al denominatore e non so Mai come muovermi. Potresti fare un video a riguardo per favore che non li trovo da nessuna parte.
Non ho capito bene.
Tipo queste ma con l'incognita?
th-cam.com/video/_jHvIkFJERw/w-d-xo.html
@@ValerioPattaro si
Volume della sfera: Diametro^³*(6/PGreco).
Potresti dimostrare perché una sfera si può scomporre in pentagono ed esagoni? Parlo di una palla da gioco.
Integrali tripli?
Con la geometria elementare
e il volume dei miei maroni quando si riempiono é possibile calcolarlo?
Faccia un salto in bagno e misuri il diametro.
@@ValerioPattaro grande , allora mi procuro una cordella metrica.Grazie ,bravo . 👍👍👍
Sostituire 4/3 pi greco con il numero fisso 4,188 è corretto?
Ottieni una formula approssimata, poiché pigreco non vale esattamente 3,14
Al posto di usare il principio di cavalieri si poteva integrare da 0 a R la funzione area del cerchio rosa con x incognita per calcolare il volume della semisfera?
Cin gli integrali devi integrare
pigreco*f^2(x) con f(x) funzione della semicirconferenza.
@@ValerioPattaro quindi non posso integrare da 0 a R f(x) = π (R^2 - x^2) in dx?
Sì, poi ancora per 2
Ha detto che il volume della sfera è 2 terzi del volume del cilindro. Ma si tratta della semisfera oppure della sfera se il cilindro fosse alto 2R ?
È la stessa cosa
@@ValerioPattaro si, ma nel video dice che la sfera è 2 terzi del cilindro e il cilindro è alto R non 2R. Intendeva quindi dire la semisfera non la sfera.
Forse non mi sono espresso bene.
Intendevo che la sfera è i 2/3 di un cilindro con stesso diametro e stessa altezza della sfera
Grazie a questo si può calcolare anche il volume di un gelato, essendo questo composto da 1 cono ed una pallina di gelato, (quindi una sfera) ed è equivalente ad una pila di coppette cilindriche della stessa altezza del cono, poichè 1/3+2/3= 1. 🤔 No, no, scusate forse ho capito male
Bella grafica!
Volume del paraboloide. Spero che ti piaccia e condividi questa conoscenza con gli altri:
th-cam.com/video/1Z_Bsmax8cM/w-d-xo.html
perchè hai fatto area di base*altezza meno 1/3 area di base*altezza?
Perché al volume del cilindro ho tolto quello del cono.
@@ValerioPattaro e perchè il volume del cono sarebbe 1/3 rispetto al cilindro?
ma perché sono nato nel 55' e Valerio Pattaro doveva ancora nascere.?
quanta fatica in meno e quante cose in più avrei capito!
Oppure si fa l'integrale definito da -R a R