Sehr formal durchgerechnet. Das hätte man abkürzen können. 2 kleine gleichschenklige Dreiecke mit Seitenlängen x bilden ein Quadrat mit Seitenlänge x. Analog für die zwei großen Dreiecke. Summe der Flächeninhalte beider Quadrate muss 80 cm² sein. Das lässt sich auf die quadratische Gleichung 9:07 umformen und lösen. Die geometrische Bedeutung der beiden Lösungen 9:47 hätte man ergänzend noch erläutern können. Die Lösung x1 stellt ein Rechteck dar, dessen Längsachse auf der Geraden von N nach P liegt, also nicht wie in der Darstellung. Die Lösung x2 stellt ein Rechteck dar, dessen Längsachse auf der Geraden von M nach O liegt, also genau wie in der Darstellung.
@@juergenilse3259 Ein rechtwinkliges Dreieck ist niemals gleichseitig; du meinst Gleichschenkligkeit. @YSNB-j7e Wenn du |RU| = x √2 verstanden hast, solltest du eigentlich auch |RS| = (10 - x) √2 verstehen. Denn die Rechnung ist dieselbe, nur mit zwei verschiedenen Werten. Beide Ausdrücke kommen durch Pythagoras zustande. Allgemein sagt dieser ja a² + b² = c² ⇔ c = √(a² + b²). Wenn wie hier beide Katheten gleich lang sind, also a = b gilt, ist c = √(a² + a²) = √(2a²) = √2 √a² = a √2. Und jetzt einfach einsetzen: Im Dreieck MRU ist a = x und im Dreieck NRS ist a = 10 - x.
Grösstmöglicher Wert heisst, dass R näher an N als an M ist. Dadurch ist die Referenzentfernung entweder N oder der Mittelpunkt der Seite. In den Antwortmöglichkeiten kommt aber nur der Mittelpunkt der Seite vor und wird durch die 5 ausgedrückt. Damit ist es entweder Antwort E oder F. Ein rotes Rechteck mit 20 cm^2 ist gesucht, welches in ein Quadrat von 10cm Seitenlänge passt, wenn man also bei der langen Seite 10cm annimmt, sollte es ungefähr 2 cm breit sein. Also eher eine längliche Form. Und weil es diagonal liegt sollten es dann eher 12x1,6cm werden. Damit wäre der Abstand zum Punkt N etwa 1,6 / wurzel(2), ca .1,1 - 1,2 cm. Die Wurzel von 15 ist etwas weniger als die Wurzel von 16, also geschäzt 3,8 cm. 10 cm - 5 cm - 3,8 cm = 1,2 cm. Das passt! Das waren knappe 2 Minuten nachdenken
Yay, ich könnte in Cambridge Computer Science studieren! 😀 Leider habe ich schon woanders ein IT-Fach studiert und das ist auch schon 20 Jahre her, aber schön zu wissen, dass die mich in die engere Auswahl gelassen hätten.. 😂
Sehr aufwendig gerechnet. Das gesuchte x nenne ich als a Die Fläche A=20= a x sqrt(2) x b x sqrt(2) b=10 - a also 20 = 2 x a x (10 - a) 10= 10a - a^2 a^2 - 10a +10 Delta= 100 - 40= 60 a= (10+ sqrt(60)) /2= 5 + sqrt(4 x 15)/2 a) 5 + sqrt(15)
Echt krass, auf was man da alles kommen kann... Das sind eigentlich alles Dinge, die ich jetzt im Realschulabschluss hatte, aber da wäre bei dieser Aufgabe nie drauf gekommen... Und dir geht das irgendwie so leicht von der Hand, als ob du gar nicht mehr nachdenken musst😅 Ich würde da wahrscheinlich ewig für brauchen
Hallo, ich bin einer ihrer Zuschauer und der gerne ihre Videos angeguckt. Ich hoffe sehr von sich, dass sie den kommenden Videos Barriere sprechen, weil es Menschen gibt mit seheeinschränkung die nicht wissen auf was sie gerade zeigen. Liebe Grüße
Lösung: a = Seite des Quadrates = 40/4 = 10, b = RU = ST = Seite des Rechtecks, c = RS = UT = andere Seite des Rechtecks, x = MR = zu optimierende Größe. RMU ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 90° - 45° - 45°. Deshalb gilt nach Pythagoras: b = √(x²+x²) = √(2x²) = x*√2 NRS ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 90° - 45° - 45°. Deshalb gilt nach Pythagoras: c = √[(10-x)²+(10-x)²] = √[2*(10-x)²] = (10-x)*√2 Fläche des Rechtecks = 20 = b*c = x*√2*(10-x)*√2 = 2x*(10-x) = 20x-2x² |/(-2) ⟹ -10 = -10x+x² |+10 ⟹ x²-10x+10 = 0 |p-q-Formel ⟹ x1/2 = 5±√(25-10) = 5±√15 ⟹ x1 = 5+√15 ≈ 8,8730 und x2 = 5-√15 ≈ 1,1270 ⟹ Offensichtlich ergibt die Summe beider Werte x1+x2 = 5+√15+5-√15 = 10, also die Seite des Quadrates. Der größtmögliche Wert für MR = x ist offensichtlich der größere Wert, also x1 = 5+√15 ≈ 8,8730, also Lösung F.
Das ergibt sich eigentlich auch aus der Logik dass das Problem zwei Lösungen haben muss (nat. ohne die bedingung dass nur die größtmoglichste strecke gesucht wird). Der Grund, weil es Symetrisch ist, kann man das Ding auf Lösung 1 gestellt um 90 grad drehen (aus anschaulichen gründen, ohne die Buchstaben mitzubewegen) dann erhält man aus Lösung 1, Lösung 2. Durch die Symetrie weiß man dass MR=MU=x_1 (vor Drehung und x_1: lösung 1) ist und die Strecke PU wird dann nach drehung zu dem neuen MR und die alte Strecke MU (welche=x_1 ist) wird zur neuen Strecke RN, d.h. da MR+RN=10 ist, muss auch x_2+x_1 = 10 also genau die Seitenlänge des Quadrates sein. Beschreibung sieht ziemlich erschreckend aus... Wenn man aber grafisch nachvollzogen hat st es ziemlich tirvial.
Schöne Aufgabe sauber durchgerechnet 👍! Falls in Cambridge bei multiple choice Antworten auch das Ausschlussverfahren akzeptiert wird, kann man's sich etwas leichter machen: Da (im Gegensatz zur Skizze) RM größer 5cm sein muss, scheiden A) und B) sofort aus, ebenso D) weil das ja die Länge der ganzen Diagonale ist und größer als 10. Da sich bei RM=5cm ein rotes Quadrat mit Fläche 50cm² ergäbe, also mehr als doppelt so groß wie die gegebenen 20cm², ist klar, dass RM sehr nahe an 10cm liegen muss. Da bietet sich von den verbleibenden C), E) und F) eigentlich nur letzteres an. Also F) 5+sqrt(15) 🤔! Fertig. Wem das zu "fuzzy" ist (und wer noch etwas Zeit beim Test übrig hat 😉), der kann schnell noch 'ne Probe mit Pythagoras machen: sqrt(2×(5+sqrt(15))²) × sqrt(2×(5-sqrt(15))²) = 20 Passt! 🙂👻 P. S. Die "Probegleichung" sieht hier im Kommentar vielleicht etwas wild aus, lässt sich aber mit Papier und Stift auch ohne TR in wenigen Zeilen recht leicht vereinfachen zu 2×sqrt(100) = 20.
War erst bisschen misstrauisch, ob evtl Figur punktsymmetrisch, oder achsensymmetrisch, oder zu welchen Achsen. Habe mich dann aber entschieden, achsensymmetrisch zur 45°Diagonale anzunehmen. - Mit Erfolg! Lösung gefunden. - Susanne: wie geht es Dir, bist Du noch in Florida? ❤liche Grüße!
Schöne Aufgabe. Nur am Ende hat mir noch eine Sache gefehlt: Natürlich ist x1>x2. Allerdings gibt es auch ähnliche Aufgabentypen, in denen dieses x1 plötzlich auch größer wird als die Seitenlänge des Quadrates - und wäre dann keine Lösung mehr. Ist also x1 auch eine plausible Lösung? Da sqt15
Was vielleicht niemand bemerkt hat: Die Summe der beiden Lösungen ist 5 + 15^0,5 + 5 - 15^0,5 = 10. Was nichts anderes heißt, als daß die Lösung, wenn man sie als Verhältnis der Seiten des Rechtecks betrachtet, eindeutig ist. Die 2. Figur, die hier wegen der Beschränkung RM = max nicht gefragt ist, ist die an der das Quadrat halbierenden Höhe gespiegelte. Das Verhältnis der Seiten des Rechtecks ergibt sich zu 12,548 : 1,594, sein Flächeninhalt ist 12,548 * 1,594 = 20,001, passt.
Bin zu einer anderen Lösung gekommen. Fand die Aufgabenstelling nämlich nicht eindeutig. Gehört das Bild nicht dazu? Wenn nur der Text die Aufgabestellung definiert ist mindestens die Übersetzung strange. Woher weißt du denn dann das die Punkte R,S,T und U auf den Strecken des Quadrats MNOP liegen, und nicht innerhalb des Quadrats? Geht es nicht um das kürzere Teilstück der 10cm langen Kante, also das kürzere Teilstück von der Strecke MN? Habs im Kopf also ohne Papier und Stift ausgerechnet. Da die Strecke RU die kleinere Kante eines Rechtecks mit einem Flächeninhalt von 20 ist, folgt das die Strecke RU < √20. Da die Strecke RU auch die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathete RM ist folgt, dass die Strecke RM < √10, weil nach dem Satz des Pythagoras (a²+b²=c²) (√10)²+(√10)²=(√20)² Bin aber schon (√20)² Jahre aus der Schule😂
"Geht es nicht um das kürzere Teilstück der 10cm langen Kante, also das kürzere Teilstück von der Strecke MN?" Nein, es geht um die groesstmoeglichhe Strecke on MR, so dass die Punkte R, S, T U auf den Seiten des Quadrats lieggen und die Eckpunkte eines Rechtecks mit Flaecheninhalt 20 sind. Fuer einen groesstmoeglichen Wert der Strecke MR liegt das Rechteck tatsaechlich "anders herum" im Quadrat. Die Zeichnung dient hier als Verdeutlichung der Aufgabe, es ist *nicht* gesagt, dass MR der "kuerzere" Abschnitt der Seitenlaenge des Quadrats ist.
Was ist hier itt "symmetrisch" gemeint? Achhsensymmetrisch zur Achse PN? Punkttsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt des Qudrats? Soist die Aufgabe in meinen Augen nicht eindeutig gestelltt. Ihh vermute, dass Achsensymmetrie zur Achse PN gemeint ist, aber das solllte dann in der Aufgabe so auch klar und eindeutig formuliert sein. Bezeichnen wir die Strecke MR der Einfachheitt halber als x, so ergeben sich (nach Pthagoras) die Seitenlaengen des Rechtecks zu sqrt(2)*x und sqrt(2)*(10--x) (das Quadrat mit Umfang 40 hat ja eine Seitenlaenge von 10 und die beiden Dreiecke MUR und RSN sind gleichschenklig und rechtwinklig, wenn Achsensymmmetrie zur Achse PN gegeben sein soll). Die Flaeche des Rechtecks ist ja gleich dem Produkt der unterschiedlichen Seitenlaengen des Rechtecks und damit nach unseren bisherigen Ueberlegngen 2*x*(10-x). Da der Fllaechheninhallt des Rechtecks gleich 20 sein soll, erhalten wir daraus x*(10-x)=10 oder umgestellt x^2-10x+10=0. Die pq-Forell liefert fuer diese Glleichung die Loesungen 5+-sqrt(25-10)=5+-sqrt(15), also Antwort F. Dafuer haette es die Antwortvorgaben nicht gebraucht (da x maxima sein soll, kkommt von den beiden Loesungen der Glleichung nur 5+sqrt(15) in Frage, da 5+sqrt(15)>5-sqrt(15) gilt). Meine Ueberegung zur Ersteung der quadratischen Geichung erscheint mir einfacher. Die sich ergebende quadratische Gleichung ist die selbe (nach dem dividieren durch 2 im Video). Waere nur Punktsymmetrie zum Diagonalenschwerpunkt des Quadrats gefordert worden, haette die Aufgabe die Besttimmung eine Maximums einer Funkktion statt nur des loesens einer quaratschen Gleichung erfordertt ...
ich habe direkt die rote Fläche berechnet als a*b, dann a und b durch Pythagoras mit x und (10-x) Auch ins Ziel gekommen. Interessant ist aber zu sagen dass gemalt ist die zweite Lösung (5 - sqrt(15)) und die gesuchte liegt natürlich Symmetrisch über die Hälfte (10/2 = 5) ;-)
Ich hätte auch den Satz des Pythagoras benutzt, weil es alles rechtwinklige Dreiecke sind. Die Summe hätte ich dann einfach von der Fläche des Quadrates abgezogen und wäre dann auch auf die Fläche des Rechtecks gekommen.
Hi susanne wollte sie fragen können sie vielleicht ein viedeo machen mit Monsteraufgaben das sind aufgaben mit brüchen klammern dezimalzahlen plus minus geteilt mal und so wäre mega
Meiner Meinung nach "krankt" diese Aufgabenstellung ein wenig daran, dass man die Lösung auch durch Testen der vorgegebenen Antwortmöglichkeiten ermitteln kann: (a) Man nimmt nacheinander die 6 Antwortmöglichkeiten jeweils für MR an. (b) RN ist jeweils die Differenz zwischen MR und den 10 cm Seitenlänge. (c) Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich aus 100 - (MR)² - (RN)² (d) Lediglich bei der letzten Antwortmöglichkeit erhält man 20 cm².
@schnuffelchen1976 Warum "krankt" die Aufgabe deshalb? Ich hab's nie bis Cambridge geschafft (😉), glaube jedoch, dass die Zeit bei solchen Tests eher sehr begrenzt ist. Dann alles wie Susanne perfekt von "A bis Z" durchzurechnen, könnte knapp werden. Vielleicht werden deshalb sogar Überlegungen erwartet, die das Verfahren abkürzen. Zumal hier einige der Antworten sofort rausfallen (A, B, D) und bei den verbleibenden alles für F spricht. Rechnet man also zur Sicherheit zuerst F nach, kommt man recht schnell zur richtigen Lösung... 🙂👻
Irgendwie muß man selektieren, aber wieviele Kandidaten mit großem Potential wurden mit solchen Methoden ausgesiebt, weil ihre Fähigkeiten an sich passen, aber bei dem Test nen My daneben lagen?
Wenn man (wie ich) die Aufgabe nicht vollständig liest, kommt man auf eine Extremwertaufgabe, mit der die Fläche des Rechteck maximal wird und erhält als Lösung x = 5. Damit hätte ich nicht bestanden, weil ich die verdammte Aufgabe nicht richtig gelesen habe. 😂
Bin leider an der Symmetrie gescheitert. Hatte es so verstanden, dass das rote Rechteck symmetrisch sein soll und nicht zwingend die komplette Figur mitsamt äußerem Quadrat. Das ist natürlich ziemlich unsinnig gedacht und dumm gelaufen, wenn man schon die Aufgabenstellung nicht kapiert.
Hallo Susanne, guten Morgen, Hier mein Vorschlag: Da hier Strecken gegeben bzw. eine Strecke gesucht ist, sind alle Werte sicher > 0. Somit D = R>0 Beim Wurzelziehen sind deshalb nur positive Lösungen relevant. Statt (Quadrat-)Wurzel schreibe ich sqrt. Wegen der vorgegebenen Symmetrie gilt außerdem: MR = MU PT = PU Zusätzlich geht aus der Aufgabenstellung hervor: MP = 1/4 * Uquadrat = 1/4 * 40cm = 10cm PT = MP - MU = 10cm - MU = 10cm - MR Es soll gelten: 1) Arechteck = RU * TU = 20cm^2 2) Länge MR maximal Berechnung RU in Abhängigkeit von MR: RU = sqrt(2 * MR^2) = sqrt(2) * sqrt(MR^2) = sqrt(2) * MR (nur positive Lösung von sqrt(MR^2) relevant) Berechnung von TU in Abhängigkeit von MR: TU = sqrt(2 * PT^2) = sqrt(2) * sqrt(PT^2) = sqrt(2) * PT (nur positive Lösung von sqrt(PT^2) relevant) Da PT = 10cm - MR ist, ist TU = sqrt(2) * (10cm - MR) Berechnung Flächeninhalt Rechteck in Abhängigkeit von MR Arechteck = RU * TU = sqrt(2) * MR * sqrt(2) * (10cm - MR) = 20cm^2 | Zusammenfassen und sortieren Arechteck = sqrt(2) * sqrt(2) * MR * (10cm - MR) = 2 * (10cm - MR) * MR = 20cm^2 |:2 (10cm - MR) * MR = 10cm^2 Jetzt lasse ich zunächst die Einheiten weg. (10 - MR) * MR = 10 |- 10 10 * MR - MR^2 - 10 = 0 |* (-1) und sortieren MR^2 - 10 * MR + 10 = 0 |pq-Formel anwenden. MR1 = 5 + sqrt(25 - 10) = 5 + sqrt(15) MR2 = 5 - sqrt(25 - 10) = 5 - sqrt(15) Weil MR maximal, also möglichst groß sein soll, ist MR1 die gesuchte Lösung. MR ist demnach 5 + sqrt(15) cm Gerundet auf 2 Nachkommastellen ergibt sich für MR dann: MR = 8,87 cm Da jedoch Lösungen vorgegeben sind, kann man sich den letzten Schritt auch sparen und gleich Lösung F hinschreiben 🙂 Dir noch einen schönen Urlaub, falls Du noch Urlaub machst und LG auch an Thomas und deine Schwester aus dem Schwabenland.
Die Abbildung zeigt aber die Lösung: 5 - Wurzel(15). Für die Lösung F mit 5 + Wurzel(15) müssten die kurzen Seiten des Rechtecks in den Ecken N und P liegen!
Wer kann folgende Aufgabe lösen: Durch eine massive Kugel wird ein senkrechtes Loch gebohrt. Dadurch verringert sich die Höhe des übrig gebliebenen Körpers auf 6 cm. Wie groß ist das Volumen des übrig gebliebenen Körpers? Es gibt eine intuitive Lösung, aber wer kann den Beweis liefern?
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Oh, wie schön ist Mathe, wenn Du's erklärst!
Solche Aufgaben haben wir von unserem Lehrer an der Realschule bekommen. Ich hab die damals schon geliebt und finde die heute noch toll. 😍
Sehr formal durchgerechnet. Das hätte man abkürzen können.
2 kleine gleichschenklige Dreiecke mit Seitenlängen x bilden ein Quadrat mit Seitenlänge x. Analog für die zwei großen Dreiecke. Summe der Flächeninhalte beider Quadrate muss 80 cm² sein. Das lässt sich auf die quadratische Gleichung 9:07 umformen und lösen.
Die geometrische Bedeutung der beiden Lösungen 9:47 hätte man ergänzend noch erläutern können.
Die Lösung x1 stellt ein Rechteck dar, dessen Längsachse auf der Geraden von N nach P liegt, also nicht wie in der Darstellung.
Die Lösung x2 stellt ein Rechteck dar, dessen Längsachse auf der Geraden von M nach O liegt, also genau wie in der Darstellung.
Das Aufstellen der Gleichung geht viel einfacher mit Pythagoras:
Rechtecksfläche = |RU| * |RS|
|MR| = |MU| = x ⇒ |RU| = x √2
|NR| = |NS| = 10 - x ⇒ |RS| = (10 - x) √2
⇒ |RU| * |RS| = x √2 * (10 - x) √2 = x √2 (10 √2 - x √2) = 20x - 2x² = 20 | - 20
⇔ -2x² + 20x - 20 = 0 | : (-2)
⇔ x² - 10x + 10 = 0 | p-q-Formel (s. Video)
⇒ x = 5 ± √15, wobei 5 + √15 wegen 5 + √15 > 5 - √15 die gesuchte Antwort ist. ✅
Genau meine Ueberlegung.
Find ich auch einfacher
Könnte an der schreibweise liegen, aber ich verstehe den Zusammenhang RS = (10-x) wurzel aus 2 nicht. Könnten Sie mir das erläutern?
@@YSNB-j7e Das fogt aus dem Satz des pythagoras, und der Geischseitigkeit des rectwinkligen Dreiecks aufgrund der Symmetrieforderung.
@@juergenilse3259 Ein rechtwinkliges Dreieck ist niemals gleichseitig; du meinst Gleichschenkligkeit.
@YSNB-j7e Wenn du |RU| = x √2 verstanden hast, solltest du eigentlich auch |RS| = (10 - x) √2 verstehen. Denn die Rechnung ist dieselbe, nur mit zwei verschiedenen Werten. Beide Ausdrücke kommen durch Pythagoras zustande. Allgemein sagt dieser ja a² + b² = c² ⇔ c = √(a² + b²). Wenn wie hier beide Katheten gleich lang sind, also a = b gilt, ist c = √(a² + a²) = √(2a²) = √2 √a² = a √2. Und jetzt einfach einsetzen: Im Dreieck MRU ist a = x und im Dreieck NRS ist a = 10 - x.
Grösstmöglicher Wert heisst, dass R näher an N als an M ist.
Dadurch ist die Referenzentfernung entweder N oder der Mittelpunkt der Seite. In den Antwortmöglichkeiten kommt aber nur der Mittelpunkt der Seite vor und wird durch die 5 ausgedrückt. Damit ist es entweder Antwort E oder F.
Ein rotes Rechteck mit 20 cm^2 ist gesucht, welches in ein Quadrat von 10cm Seitenlänge passt, wenn man also bei der langen Seite 10cm annimmt, sollte es ungefähr 2 cm breit sein. Also eher eine längliche Form. Und weil es diagonal liegt sollten es dann eher 12x1,6cm werden.
Damit wäre der Abstand zum Punkt N etwa 1,6 / wurzel(2), ca .1,1 - 1,2 cm.
Die Wurzel von 15 ist etwas weniger als die Wurzel von 16, also geschäzt 3,8 cm. 10 cm - 5 cm - 3,8 cm = 1,2 cm. Das passt!
Das waren knappe 2 Minuten nachdenken
Yay, ich könnte in Cambridge Computer Science studieren! 😀
Leider habe ich schon woanders ein IT-Fach studiert und das ist auch schon 20 Jahre her, aber schön zu wissen, dass die mich in die engere Auswahl gelassen hätten.. 😂
Sehr aufwendig gerechnet.
Das gesuchte x nenne ich als a
Die Fläche A=20= a x sqrt(2) x b x sqrt(2)
b=10 - a also
20 = 2 x a x (10 - a)
10= 10a - a^2
a^2 - 10a +10
Delta= 100 - 40= 60
a= (10+ sqrt(60)) /2= 5 + sqrt(4 x 15)/2
a) 5 + sqrt(15)
Echt krass, auf was man da alles kommen kann...
Das sind eigentlich alles Dinge, die ich jetzt im Realschulabschluss hatte, aber da wäre bei dieser Aufgabe nie drauf gekommen...
Und dir geht das irgendwie so leicht von der Hand, als ob du gar nicht mehr nachdenken musst😅
Ich würde da wahrscheinlich ewig für brauchen
Hallo, ich bin einer ihrer Zuschauer und der gerne ihre Videos angeguckt. Ich hoffe sehr von sich, dass sie den kommenden Videos Barriere sprechen, weil es Menschen gibt mit seheeinschränkung die nicht wissen auf was sie gerade zeigen.
Liebe Grüße
Lösung:
a = Seite des Quadrates = 40/4 = 10,
b = RU = ST = Seite des Rechtecks,
c = RS = UT = andere Seite des Rechtecks,
x = MR = zu optimierende Größe.
RMU ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 90° - 45° - 45°. Deshalb gilt nach Pythagoras:
b = √(x²+x²) = √(2x²) = x*√2
NRS ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 90° - 45° - 45°. Deshalb gilt nach Pythagoras:
c = √[(10-x)²+(10-x)²] = √[2*(10-x)²] = (10-x)*√2
Fläche des Rechtecks = 20 = b*c = x*√2*(10-x)*√2 = 2x*(10-x) = 20x-2x² |/(-2) ⟹
-10 = -10x+x² |+10 ⟹
x²-10x+10 = 0 |p-q-Formel ⟹
x1/2 = 5±√(25-10) = 5±√15 ⟹
x1 = 5+√15 ≈ 8,8730 und x2 = 5-√15 ≈ 1,1270 ⟹
Offensichtlich ergibt die Summe beider Werte x1+x2 = 5+√15+5-√15 = 10, also die Seite des Quadrates. Der größtmögliche Wert für MR = x ist offensichtlich der größere Wert, also x1 = 5+√15 ≈ 8,8730, also Lösung F.
Das ergibt sich eigentlich auch aus der Logik dass das Problem zwei Lösungen haben muss (nat. ohne die bedingung dass nur die größtmoglichste strecke gesucht wird). Der Grund, weil es Symetrisch ist, kann man das Ding auf Lösung 1 gestellt um 90 grad drehen (aus anschaulichen gründen, ohne die Buchstaben mitzubewegen) dann erhält man aus Lösung 1, Lösung 2. Durch die Symetrie weiß man dass MR=MU=x_1 (vor Drehung und x_1: lösung 1) ist und die Strecke PU wird dann nach drehung zu dem neuen MR und die alte Strecke MU (welche=x_1 ist) wird zur neuen Strecke RN, d.h. da MR+RN=10 ist, muss auch x_2+x_1 = 10 also genau die Seitenlänge des Quadrates sein.
Beschreibung sieht ziemlich erschreckend aus... Wenn man aber grafisch nachvollzogen hat st es ziemlich tirvial.
Schöne Aufgabe für den MBA Kandidaten. Satz des Pythagoras und Lösung quadratischer Gleichungen genügt
danke für tolle Erklärung 👍
Schöne Aufgabe! Schöne Schultern!
Schöne Aufgabe sauber durchgerechnet 👍!
Falls in Cambridge bei multiple choice Antworten auch das Ausschlussverfahren akzeptiert wird, kann man's sich etwas leichter machen:
Da (im Gegensatz zur Skizze) RM größer 5cm sein muss, scheiden A) und B) sofort aus, ebenso D) weil das ja die Länge der ganzen Diagonale ist und größer als 10.
Da sich bei RM=5cm ein rotes Quadrat mit Fläche 50cm² ergäbe, also mehr als doppelt so groß wie die gegebenen 20cm², ist klar, dass RM sehr nahe an 10cm liegen muss. Da bietet sich von den verbleibenden C), E) und F) eigentlich nur letzteres an.
Also F) 5+sqrt(15) 🤔! Fertig.
Wem das zu "fuzzy" ist (und wer noch etwas Zeit beim Test übrig hat 😉), der kann schnell noch 'ne Probe mit Pythagoras machen:
sqrt(2×(5+sqrt(15))²) ×
sqrt(2×(5-sqrt(15))²) = 20
Passt!
🙂👻
P. S. Die "Probegleichung" sieht hier im Kommentar vielleicht etwas wild aus, lässt sich aber mit Papier und Stift auch ohne TR in wenigen Zeilen recht leicht vereinfachen zu
2×sqrt(100) = 20.
Mein Lösungsvorschlag ▶
[RM]= x
[MU]= x wegen dem symmetrischen Aufbau
sowie:
[UP]=[NR]= 10-x
[PT]=[SN]= 10-x
Nach dem Satz von Pythagoras:
[RM]²+[MU]²= [UR]²
[UR]= a
[RM]= x
⇒
x²+x²= a²
2x²= a²
a= √2x
das gleiche für b:
[UP]²+[PT]²= [TU]²
[UP]= 10-x
[TU]= b
⇒
(10-x)²+(10-x)²= b²
2(10-x)²= b²
b= √2(10-x)
a*b= 20
√2x*√2(10-x)= 20
x(10-x)= 10
10x-x²= 10
x²-10x+10=0
Δ= 100-4*1*10
Δ= 60
√Δ= 2√15
x₁= (10-2√15)/2
x₁= 5-√15
x₂= (10+2√15)/2
x₂= 5+√15
für den höchsten Wert wäre:
x= 5+√15
⇒
F) ist richtig
Variante: x² - 10x + 10 = 0 | + 15 => x² - 10x + 25 = 15 => (x - 5)² = 15 => x - 5 = ± √15 ...
pq-Formel gehht i.d.R. schneller als quadratische Egaenzung ...
War erst bisschen misstrauisch, ob evtl Figur punktsymmetrisch, oder achsensymmetrisch, oder zu welchen Achsen.
Habe mich dann aber entschieden, achsensymmetrisch zur 45°Diagonale anzunehmen. - Mit Erfolg! Lösung gefunden.
-
Susanne: wie geht es Dir, bist Du noch in Florida?
❤liche Grüße!
Schöne Aufgabe. Nur am Ende hat mir noch eine Sache gefehlt: Natürlich ist x1>x2. Allerdings gibt es auch ähnliche Aufgabentypen, in denen dieses x1 plötzlich auch größer wird als die Seitenlänge des Quadrates - und wäre dann keine Lösung mehr. Ist also x1 auch eine plausible Lösung?
Da sqt15
Oh, guter Punkt! Dankeschön für den Input, das werde ich beim nächsten Mal dann berücksichtigen. 😊
Was vielleicht niemand bemerkt hat: Die Summe der beiden Lösungen ist 5 + 15^0,5 + 5 - 15^0,5 = 10. Was nichts anderes heißt, als daß die Lösung, wenn man sie als Verhältnis der Seiten des Rechtecks betrachtet, eindeutig ist. Die 2. Figur, die hier wegen der Beschränkung RM = max nicht gefragt ist, ist die an der das Quadrat halbierenden Höhe gespiegelte. Das Verhältnis der Seiten des Rechtecks ergibt sich zu 12,548 : 1,594, sein Flächeninhalt ist 12,548 * 1,594 = 20,001, passt.
Bin zu einer anderen Lösung gekommen. Fand die Aufgabenstelling nämlich nicht eindeutig. Gehört das Bild nicht dazu? Wenn nur der Text die Aufgabestellung definiert ist mindestens die Übersetzung strange. Woher weißt du denn dann das die Punkte R,S,T und U auf den Strecken des Quadrats MNOP liegen, und nicht innerhalb des Quadrats? Geht es nicht um das kürzere Teilstück der 10cm langen Kante, also das kürzere Teilstück von der Strecke MN?
Habs im Kopf also ohne Papier und Stift ausgerechnet.
Da die Strecke RU die kleinere Kante eines Rechtecks mit einem Flächeninhalt von 20 ist, folgt das die Strecke RU < √20. Da die Strecke RU auch die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathete RM ist folgt, dass die Strecke RM < √10, weil nach dem Satz des Pythagoras (a²+b²=c²) (√10)²+(√10)²=(√20)²
Bin aber schon (√20)² Jahre aus der Schule😂
"Geht es nicht um das kürzere Teilstück der 10cm langen Kante, also das kürzere Teilstück von der Strecke MN?"
Nein, es geht um die groesstmoeglichhe Strecke on MR, so dass die Punkte R, S, T U auf den Seiten des Quadrats lieggen und die Eckpunkte eines Rechtecks mit Flaecheninhalt 20 sind. Fuer einen groesstmoeglichen Wert der Strecke MR liegt das Rechteck tatsaechlich "anders herum" im Quadrat. Die Zeichnung dient hier als Verdeutlichung der Aufgabe, es ist *nicht* gesagt, dass MR der "kuerzere" Abschnitt der Seitenlaenge des Quadrats ist.
X2 ist der komplementäre Wert zu X1. Das rote Rechteck hätte dann seine kleinste Seite bei N.
wenn y die Strecke R-N wäre, wäre dann x2 = 2y? ist das Zufall oder bedingt durch die Symetrie?
Klasse.
Was ist hier itt "symmetrisch" gemeint? Achhsensymmetrisch zur Achse PN? Punkttsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt des Qudrats? Soist die Aufgabe in meinen Augen nicht eindeutig gestelltt. Ihh vermute, dass Achsensymmetrie zur Achse PN gemeint ist, aber das solllte dann in der Aufgabe so auch klar und eindeutig formuliert sein.
Bezeichnen wir die Strecke MR der Einfachheitt halber als x, so ergeben sich (nach Pthagoras) die Seitenlaengen des Rechtecks zu sqrt(2)*x und sqrt(2)*(10--x) (das Quadrat mit Umfang 40 hat ja eine Seitenlaenge von 10 und die beiden Dreiecke MUR und RSN sind gleichschenklig und rechtwinklig, wenn Achsensymmmetrie zur Achse PN gegeben sein soll). Die Flaeche des Rechtecks ist ja gleich dem Produkt der unterschiedlichen Seitenlaengen des Rechtecks und damit nach unseren bisherigen Ueberlegngen 2*x*(10-x). Da der Fllaechheninhallt des Rechtecks gleich 20 sein soll, erhalten wir daraus x*(10-x)=10 oder umgestellt x^2-10x+10=0.
Die pq-Forell liefert fuer diese Glleichung die Loesungen 5+-sqrt(25-10)=5+-sqrt(15), also Antwort F. Dafuer haette es die Antwortvorgaben nicht gebraucht (da x maxima sein soll, kkommt von den beiden Loesungen der Glleichung nur 5+sqrt(15) in Frage, da 5+sqrt(15)>5-sqrt(15) gilt).
Meine Ueberegung zur Ersteung der quadratischen Geichung erscheint mir einfacher. Die sich ergebende quadratische Gleichung ist die selbe (nach dem dividieren durch 2 im Video).
Waere nur Punktsymmetrie zum Diagonalenschwerpunkt des Quadrats gefordert worden, haette die Aufgabe die Besttimmung eine Maximums einer Funkktion statt nur des loesens einer quaratschen Gleichung erfordertt ...
Symmetrie beinhaltet Spiegelsymmetrie und Rotationssymmetrie. Wenn man das rote Rechteck dreht, geht noch viel mehr.
ich habe direkt die rote Fläche berechnet als a*b, dann a und b durch Pythagoras mit x und (10-x)
Auch ins Ziel gekommen.
Interessant ist aber zu sagen dass gemalt ist die zweite Lösung (5 - sqrt(15)) und die gesuchte liegt natürlich Symmetrisch über die Hälfte (10/2 = 5)
;-)
Hab ich auch so gemacht. 😊
Hab ich auch gemacht, sogar die Seiten mit a und b benamst.
Ich hätte auch den Satz des Pythagoras benutzt, weil es alles rechtwinklige Dreiecke sind. Die Summe hätte ich dann einfach von der Fläche des Quadrates abgezogen und wäre dann auch auf die Fläche des Rechtecks gekommen.
Und gleichschenklig.
Hi susanne wollte sie fragen können sie vielleicht ein viedeo machen mit Monsteraufgaben das sind aufgaben mit brüchen klammern dezimalzahlen plus minus geteilt mal und so wäre mega
Cool.
ich schmuggel taschenrechner rein und falle trotzdem durch
Habe ich geschafft.
Meiner Meinung nach "krankt" diese Aufgabenstellung ein wenig daran, dass man die Lösung auch durch Testen der vorgegebenen Antwortmöglichkeiten ermitteln kann:
(a) Man nimmt nacheinander die 6 Antwortmöglichkeiten jeweils für MR an.
(b) RN ist jeweils die Differenz zwischen MR und den 10 cm Seitenlänge.
(c) Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich aus 100 - (MR)² - (RN)²
(d) Lediglich bei der letzten Antwortmöglichkeit erhält man 20 cm².
@schnuffelchen1976
Warum "krankt" die Aufgabe deshalb?
Ich hab's nie bis Cambridge geschafft (😉), glaube jedoch, dass die Zeit bei solchen Tests eher sehr begrenzt ist. Dann alles wie Susanne perfekt von "A bis Z" durchzurechnen, könnte knapp werden. Vielleicht werden deshalb sogar Überlegungen erwartet, die das Verfahren abkürzen. Zumal hier einige der Antworten sofort rausfallen (A, B, D) und bei den verbleibenden alles für F spricht. Rechnet man also zur Sicherheit zuerst F nach, kommt man recht schnell zur richtigen Lösung... 🙂👻
Das ist ja toll, der Test der Cambridge University ist sogar in Deutsch gehalten ....
Rein technisch hätte ich das nach 50 Jahren noch problemlos geschafft. Kommt aber darauf an, wieviel Zeit zur Verfügung stand.
OK
Keine Ahnung warum ich mir das grad anguck. Aber ich kann auch nicht ausmachen. 😂😂
Irgendwie muß man selektieren, aber wieviele Kandidaten mit großem Potential wurden mit solchen Methoden ausgesiebt, weil ihre Fähigkeiten an sich passen, aber bei dem Test nen My daneben lagen?
Wenn man (wie ich) die Aufgabe nicht vollständig liest, kommt man auf eine Extremwertaufgabe, mit der die Fläche des Rechteck maximal wird und erhält als Lösung x = 5. Damit hätte ich nicht bestanden, weil ich die verdammte Aufgabe nicht richtig gelesen habe. 😂
Leider durch falsches Ausmultiplizieren Lösungsmöglichkeit e) errechnet. Meine Angst vor der Aufgabe war also durchaus begründet.
Bin leider an der Symmetrie gescheitert. Hatte es so verstanden, dass das rote Rechteck symmetrisch sein soll und nicht zwingend die komplette Figur mitsamt äußerem Quadrat. Das ist natürlich ziemlich unsinnig gedacht und dumm gelaufen, wenn man schon die Aufgabenstellung nicht kapiert.
Hallo Susanne, guten Morgen,
Hier mein Vorschlag:
Da hier Strecken gegeben bzw. eine Strecke gesucht ist, sind alle Werte sicher > 0.
Somit D = R>0
Beim Wurzelziehen sind deshalb nur positive Lösungen relevant.
Statt (Quadrat-)Wurzel schreibe ich sqrt.
Wegen der vorgegebenen Symmetrie gilt außerdem:
MR = MU
PT = PU
Zusätzlich geht aus der Aufgabenstellung hervor:
MP = 1/4 * Uquadrat = 1/4 * 40cm = 10cm
PT = MP - MU = 10cm - MU = 10cm - MR
Es soll gelten:
1) Arechteck = RU * TU = 20cm^2
2) Länge MR maximal
Berechnung RU in Abhängigkeit von MR:
RU = sqrt(2 * MR^2) = sqrt(2) * sqrt(MR^2) = sqrt(2) * MR (nur positive Lösung von sqrt(MR^2) relevant)
Berechnung von TU in Abhängigkeit von MR:
TU = sqrt(2 * PT^2) = sqrt(2) * sqrt(PT^2) = sqrt(2) * PT (nur positive Lösung von sqrt(PT^2) relevant)
Da PT = 10cm - MR ist, ist TU = sqrt(2) * (10cm - MR)
Berechnung Flächeninhalt Rechteck in Abhängigkeit von MR
Arechteck = RU * TU = sqrt(2) * MR * sqrt(2) * (10cm - MR) = 20cm^2 | Zusammenfassen und sortieren
Arechteck = sqrt(2) * sqrt(2) * MR * (10cm - MR) = 2 * (10cm - MR) * MR = 20cm^2 |:2
(10cm - MR) * MR = 10cm^2
Jetzt lasse ich zunächst die Einheiten weg.
(10 - MR) * MR = 10 |- 10
10 * MR - MR^2 - 10 = 0 |* (-1) und sortieren
MR^2 - 10 * MR + 10 = 0 |pq-Formel anwenden.
MR1 = 5 + sqrt(25 - 10) = 5 + sqrt(15)
MR2 = 5 - sqrt(25 - 10) = 5 - sqrt(15)
Weil MR maximal, also möglichst groß sein soll, ist MR1 die gesuchte Lösung.
MR ist demnach 5 + sqrt(15) cm
Gerundet auf 2 Nachkommastellen ergibt sich für MR dann:
MR = 8,87 cm
Da jedoch Lösungen vorgegeben sind, kann man sich den letzten Schritt auch sparen und gleich Lösung F hinschreiben 🙂
Dir noch einen schönen Urlaub, falls Du noch Urlaub machst und LG auch an Thomas und deine Schwester aus dem Schwabenland.
Keine der Lösungsmöglichkeiten ist richtig, da die Einheit fehlt. Das war einfach, nächstes!
Die Lösung: F
Die Abbildung zeigt aber die Lösung: 5 - Wurzel(15). Für die Lösung F mit 5 + Wurzel(15) müssten die kurzen Seiten des Rechtecks in den Ecken N und P liegen!
Ganz zu Anfang hatte ich wegen der 5 spontan auf E) oder F) getippt, denn 20cm² sind ein Fünftel des Quadrats
Wer kann folgende Aufgabe lösen: Durch eine massive Kugel wird ein senkrechtes Loch gebohrt. Dadurch verringert sich die Höhe des übrig gebliebenen Körpers auf 6 cm. Wie groß ist das Volumen des übrig gebliebenen Körpers? Es gibt eine intuitive Lösung, aber wer kann den Beweis liefern?