Сумма площадей квдратов 8. Найти площадь треугольника O1O2M, где О1, О2 - центры квадратов, а М - середина нижнего отрезка AB, состоящего из суммы строн двух квадратов.
Действительно красивая задача. Всё заметил, а равенство треугольников и прямой угол проглядел! Вот и пришлось идти по длинному пути. Площадь трапеции О₁О₂DC : 1/2 * (a/2+b/2) * (a/2 + b/2) = (a+b)²/8. Площадь О₁MC: (1/2)*(b/2)*(a/2) = ab/8, площадь О₂MD: (1/2)*(a/2)*(b/2) = ab/8, Искомая площадь: (a+b)²/8-2ab/8 = (a²+b²)/8 = 1.
@@GeometriaValeriyKazakov Насколько я понимаю румынский, политика здесь не при чем. Постараюсь точно перевести: «Большое спасибо, господин преподаватель! Чтобы Вас понять лучше, пожалуйста, дайте более подробное объяснение.»
@@sparkling-cyanide-au Обожаю Румынию, Карпаты, солнце, люди веселые. Буду стараться. Дело в том, что некоторые задачи олимпиадные, их смотрят подготовленные зрители, и пишут, что не нужно лишней детализации. Ютуб ограничивает мой канал для зарубежных зрителей. Поэтому я вынужден ориентрироваться на русскоговорящую аудиторию. Но буду страться давать подробнее решения. Спасибо за совет. (Мою дочь зовут также Мария).
@@sparkling-cyanide-au Iubesc România, Carpații, soarele, oamenii veseli. Voi încerca. Cert este că unele probleme sunt olimpiade, spectatorii pregătiți le urmăresc și scriu că nu este nevoie de detalii inutile. TH-cam restricționează canalul meu la spectatorii străini. Prin urmare, sunt nevoit să mă concentrez pe publicul vorbitor de limbă rusă. Dar voi încerca să dau soluții mai detaliate. Multumesc pentru sfat. (Pe fiica mea o cheamă și Maria).
Координатным методом решается проще чем на видео. Обозначить сторону левого квадрата за 2a, а правого за 2b. тогда координаты точек O1=(a;a) M=(a+b;0) O2=(2a+b;b) Далее, по формуле площади треугольника, заданного 3-мя точками получаем S=1/2*(a²+b²). Из начального условия 4a²+4b²=8. Но видеть геометрическое решение тоже хорошо.
Да эта задача решается устно! Сперва я её (как всегда) решал методом координат, этот метод не подвёл, я получил единицу, но очень уж мне подозрительно стало, что в формуле площади треугольника по трём точкам все огромные выражения с корнями и квадратами начали очень красиво сокращаться. В результате у меня возникло подозрение, что здесь неважна пропорция квадратов. А раз так, и площадь треугольника не зависит от этой пропорции - значит, устремляем значение стороны a - к нулю! В результате точка O1 совпадёт с нижним углом зелёного квадрата, точка M - совпадёт с серединой нижней его стороны. А О2 - останется в центре квадрата. Такой треугольник в восемь раз меньше квадрата. А вся площадь зёлёного квадрата будет 8. Итого площадь треугольника 1 !
Всё правильно, я тут многие задачи Казакова устно таким образом решаю. Но, к сожалению, это не строгое решение. Так сказать частное и надо доказывать, что оно единственное.
@@sergeylopanov1829, почему же нестрогое? Как раз доказывать, что оно единственное - не надо, это следует из расчета. Другое дело, что надо строго доказать, что ответ не зависит от соотношения сторон квадратов. Я чисто исходил из сокращений внутри результирующей формулы, и из того, что в условии это соотношение не дано. Для строгого доказательства надо задаться функцией, где переменная - это соотношение сторон, и далее - показать, что эта функция не влияет на результирующую площадь. Но, как я понимаю, в этой функции как раз все эти сокращения и произойдут, в результате мы будем иметь тождество, которое и докажет, что от соотношения сторон площадь результирующего треугольника не зависит.
Ушёл по похожей задачи в сторону того, что треугольник 1/4 от жёлтого. Но с просонья не обратил внимания, что сторона не на стыке квадратов, а на середине общей длины сторон. Красивая задача!
В прямоугольник со сторонами (a+b)/2; b/2; вписан треугольник. Его площадь S равна: S²=(s1+s2+s3)²-4s1*s2, где s1, s2, s3 площади отсекаемых треугольников. s1=⅛( b-a)(b+a); s2=⅛ab; s3=⅛ba; S=¼b(a+b)-⅛(b²-a²+2ab); S=¼b²-⅛b²+⅛a²; S=⅛(a²+b²)
Нарисуем снизу под Жёлтым ещё один Зелёный, а под Зелёным Жёлтый. Соединим центры квадратов, тогда в середине будет Рыжий квадрат со стороной Р: Р²=(½(b-a))²+(½(b+a))²; S=¼*Р²; S=¼(½b²+½a²); S=⅛(a²+b²)
Можно не доказывать, что треугольники равны, а искомый треугольник прямоугольный. Для этого обозначим х-расстояние от точки М до точки соприкосновения сторон квадратов, из равенства АМ=МВ находим х=(b-a)\2. И из площади трапеции тупо вычесть площади треугольников, S(O1O2M)=(а+b)^2\8-b\2*(b\2-x)-a\2*(a\2+x), S(O1O2M)=(4+ab)\4-ab\4=1. Отсюда также вытекает, что площади треугольников равны, b\2*(b\2-x)=a\2*(a\2+x)=ab\8.
Если решать, используя плоскость координат, центр которой проходит через нижний левый угол маленького квадрата, то решение можно провести таким образом: 1)вначале вычислить площадь трапеции (предварительно опустим перпендикуляры из центров квадратов на ось х), основанием которой будет отрезок длиной а/2, параллельный оси у; другая параллельная сторона будет иметь длину в/2; высота h - (а+в)/2 Площадь такой трапеции S(трапеции)=h×[а/2+в/2]/2=[(а+в)]^2/8 2) потом вычислим сумму площадей 2-х треугольников, а)одни катеты которых лежат на оси х, б)другие идут параллельно оси у, катет одного совпадает с основанием трапеции, катет другого совпадает со стороной трапеции, параллельной основанию. S(∆-ов)=[(а/2)×[(а+в)/2-a/2]]/2 + [[(a+в/2)-((а+в)/2)]×в/2]/2=ав/8+ав/8=2ав/8 3) искомая площадь это разность площади трапеции и суммы площадей треугольников. S(искомая)=S(трапеции) - S(треугольников)=[(а+в)]^2/8-2ав/8 = (a^2+в^2)/8 4) по условию задачи сумма площадей квадратов равна 8, т.е. а^2+в^2=8 5) тогда S(искомая) = (a^2+в^2)/8 = 8/8=1 💐
Введем систему координат с вершиной в точке А. Тогда координаты вершин треугольника будут (a/2, a/2), ((a+b)/2, 0), (a + b/2, b/2). По формуле площади Гаусса получим, что площадь треугольника равна (a^2 + b^2)/8, т.е. 1.
После док-ва равнобедренности и прямоугольности: межцентровое = m, половинки сторон квадратов = x и y. Пиф найдёт: m² = 2(x² + y²), x² + y² = S₀/4 (сумма чекушек квадратов = чекушке их суммы😁), m² = S₀/2. S(▲) = m²/4 = S₀/8. Если и длиннее, то ненамного.
Тут нужно вначале сообразить ("думать нужно меньше, а соображать больше" (С) худ.фильм "Брат 2"). Предположим, что задача имеет решение, тогда получается, что площадь треугольника не зависит от соотношения сторон жёлтого и зелёного квадратов, так как нет условия ограничивающего этот произвол (иначе бы задача не имела решения). В таком случае берём эти квадраты равными. Тогда каждый из них будет площадью по 4 (ибо 4 + 4 = 8). Значит их стороны по 2. Значит расстояние между их центрами (О1О2) будет тоже два. А точка М будет совпадать с одной из общих вершин этих квадратов. Тогда розовый треугольник будет равносторонний, с основанием 2 и высотой 1 - получается его площадь (2*1)/2 = 1
Принимаем сторону большого квадрата -2а , меньшего -2в , опускаем перпендикуляры на общее основание квадратов . Получилась трапеция , площадь ее равна S1=((а+в)/2)(а+в)=(а+в)*2/2 , площадь трапеции также состоит из искомого тр-ка и двух равных между собой прямоугольных тр-ков с катетами а и в и углом 90* между ними , таким образом суммарная их площадь равна S2,3 =ав . Площадь искомого - S=S1-S2,3=(а+в)*2/2-ав=(а*2+2ав+в*2-2ав)/2= (а*2+в*2)/2 (1) , площадь квадратов равна (2а)*2+(2в)*2=8 , а*2+в*2=2 , подставляя в полученное уравнение (1) - S=2/2=1 .
Проведем перпендикуляр из О1 до пересечения с горизонталью из О2 в т.Р.В треугольнике О1РО2 катет РО2=a/2+b/2, O1P=b/2-a/2 . По т. Пифагора О1О2^=(a^+b^)/2=8/2=4 , О1О2=2. Тр.MО1О2 равнобедренный и прямоугольный с диагональю =2 , его катеты=^из 2 , площадь=1
S трапеции (a/2+b/2)/2×(a/2+b/2) =(a+b)^2/8.. S 1го треугольника a/2×(a/2+b/2-a/2)/2=ab/8 S 2го треугольника b/2×(a/2+b/2-b/2)/2=ab/8 Sтр-S1-S2=(a^2+b^2)/8
Задача чисто на логику. Ничего решать не надо. Если дана только сума площадей, значит они могут быть и одинаковые, тоесть 2 квадрата со сторонами по 2. И тут же стало видно, что площадь треугольника 1/4 одного квадрата. Ну и при варианте если площадь одного квадрата стремится к 8 а второго к 0, тогда тоже очевидно что площадь треугольника равна 1/8 большого квадрата.
Обозначайте точки!!!!!! Решил. Легко найти отрезки в два раза больше сторон треугольника.(в треугольниках, где сторона искомого суть средняя линия) Их квадраты равны из пифагор (а и b -- стороны квадрата) (а^2+b^2), (а^2+b^2), ((a+b)^2+(a-b)^2)=(2*(a^2+b^2)) Квадраты сторон искомого 2;2;4. Прямной треугольник площадью 1 Ответ:1
Площадь тр. не зависит от плршадей квадратов, а только от их суммы плрщадей. Берем 2 евалрата пплршадью по 4, их стороны равны по 2. У искомого тр. основание между центрами квадратов будет 2, а высота 1, соответственно плрщадь 2*1/2=1. Далее берем квадрат один площадью 8, площадь второго равна 0. У нас получается, что центр квадрата соединен с серединой нижней стороны и правой нижней вершиной, где располагается центр нулевого квадрата, что образует 1/8 часть всего квадрата, тоже 1.
Действительно красивая задача. Всё заметил, а равенство треугольников и прямой угол проглядел! Вот и пришлось идти по длинному пути. Площадь трапеции О₁О₂DC : 1/2 * (a/2+b/2) * (a/2 + b/2) = (a+b)²/8. Площадь О₁MC: (1/2)*(b/2)*(a/2) = ab/8, площадь О₂MD: (1/2)*(a/2)*(b/2) = ab/8, Искомая площадь: (a+b)²/8-2ab/8 = (a²+b²)/8 = 1.
Mare multumire , domnule profesor ! Ca sa inteleg si eu mai bine , te rog sa faci explicatiiile putin mai detaliate .
We are not involved in politics, we are involved in mathematics. How do you like the task?
@@GeometriaValeriyKazakov Насколько я понимаю румынский, политика здесь не при чем. Постараюсь точно перевести: «Большое спасибо, господин преподаватель! Чтобы Вас понять лучше, пожалуйста, дайте более подробное объяснение.»
De fact, totul este clar din desen. Sincer să fiu, nu ascult niciodată video de matematică. Apropo, cum o intelegi fara subtitrare?
@@sparkling-cyanide-au Обожаю Румынию, Карпаты, солнце, люди веселые. Буду стараться. Дело в том, что некоторые задачи олимпиадные, их смотрят подготовленные зрители, и пишут, что не нужно лишней детализации. Ютуб ограничивает мой канал для зарубежных зрителей. Поэтому я вынужден ориентрироваться на русскоговорящую аудиторию. Но буду страться давать подробнее решения. Спасибо за совет. (Мою дочь зовут также Мария).
@@sparkling-cyanide-au Iubesc România, Carpații, soarele, oamenii veseli. Voi încerca. Cert este că unele probleme sunt olimpiade, spectatorii pregătiți le urmăresc și scriu că nu este nevoie de detalii inutile. TH-cam restricționează canalul meu la spectatorii străini. Prin urmare, sunt nevoit să mă concentrez pe publicul vorbitor de limbă rusă. Dar voi încerca să dau soluții mai detaliate. Multumesc pentru sfat. (Pe fiica mea o cheamă și Maria).
Просто бомба! СПАСИБО большое!!!!❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
Магия какая то.Я очень рад,что мне все понятно.Ух!
Координатным методом решается проще чем на видео.
Обозначить сторону левого квадрата за 2a, а правого за 2b. тогда координаты точек
O1=(a;a)
M=(a+b;0)
O2=(2a+b;b)
Далее, по формуле площади треугольника, заданного 3-мя точками получаем S=1/2*(a²+b²).
Из начального условия 4a²+4b²=8.
Но видеть геометрическое решение тоже хорошо.
Да эта задача решается устно!
Сперва я её (как всегда) решал методом координат, этот метод не подвёл, я получил единицу, но очень уж мне подозрительно стало, что в формуле площади треугольника по трём точкам все огромные выражения с корнями и квадратами начали очень красиво сокращаться. В результате у меня возникло подозрение, что здесь неважна пропорция квадратов.
А раз так, и площадь треугольника не зависит от этой пропорции - значит, устремляем значение стороны a - к нулю! В результате точка O1 совпадёт с нижним углом зелёного квадрата, точка M - совпадёт с серединой нижней его стороны. А О2 - останется в центре квадрата.
Такой треугольник в восемь раз меньше квадрата. А вся площадь зёлёного квадрата будет 8. Итого площадь треугольника 1 !
Всё правильно, я тут многие задачи Казакова устно таким образом решаю. Но, к сожалению, это не строгое решение. Так сказать частное и надо доказывать, что оно единственное.
@@sergeylopanov1829, почему же нестрогое? Как раз доказывать, что оно единственное - не надо, это следует из расчета.
Другое дело, что надо строго доказать, что ответ не зависит от соотношения сторон квадратов. Я чисто исходил из сокращений внутри результирующей формулы, и из того, что в условии это соотношение не дано. Для строгого доказательства надо задаться функцией, где переменная - это соотношение сторон, и далее - показать, что эта функция не влияет на результирующую площадь. Но, как я понимаю, в этой функции как раз все эти сокращения и произойдут, в результате мы будем иметь тождество, которое и докажет, что от соотношения сторон площадь результирующего треугольника не зависит.
Ушёл по похожей задачи в сторону того, что треугольник 1/4 от жёлтого. Но с просонья не обратил внимания, что сторона не на стыке квадратов, а на середине общей длины сторон.
Красивая задача!
посмотрел... да... давненько таких красивых задач не видел
В прямоугольник со сторонами
(a+b)/2; b/2;
вписан треугольник.
Его площадь S равна:
S²=(s1+s2+s3)²-4s1*s2,
где s1, s2, s3 площади отсекаемых треугольников.
s1=⅛( b-a)(b+a);
s2=⅛ab;
s3=⅛ba;
S=¼b(a+b)-⅛(b²-a²+2ab);
S=¼b²-⅛b²+⅛a²;
S=⅛(a²+b²)
Нарисуем снизу под Жёлтым ещё один Зелёный, а под Зелёным Жёлтый.
Соединим центры квадратов, тогда в середине будет Рыжий квадрат со стороной Р:
Р²=(½(b-a))²+(½(b+a))²;
S=¼*Р²;
S=¼(½b²+½a²);
S=⅛(a²+b²)
Можно не доказывать, что треугольники равны, а искомый треугольник прямоугольный. Для этого обозначим х-расстояние от точки М до точки соприкосновения сторон квадратов, из равенства АМ=МВ находим х=(b-a)\2. И из площади трапеции тупо вычесть площади треугольников, S(O1O2M)=(а+b)^2\8-b\2*(b\2-x)-a\2*(a\2+x),
S(O1O2M)=(4+ab)\4-ab\4=1. Отсюда также вытекает, что площади треугольников равны, b\2*(b\2-x)=a\2*(a\2+x)=ab\8.
Если решать, используя плоскость координат, центр которой проходит через нижний левый угол маленького квадрата, то решение можно провести таким образом: 1)вначале вычислить площадь трапеции (предварительно опустим перпендикуляры из центров квадратов на ось х), основанием которой будет отрезок длиной а/2, параллельный оси у; другая параллельная сторона будет иметь длину в/2; высота h - (а+в)/2
Площадь такой трапеции
S(трапеции)=h×[а/2+в/2]/2=[(а+в)]^2/8
2) потом вычислим сумму площадей 2-х треугольников, а)одни катеты которых лежат на оси х, б)другие идут параллельно оси у, катет одного совпадает с основанием трапеции, катет другого совпадает со стороной трапеции, параллельной основанию.
S(∆-ов)=[(а/2)×[(а+в)/2-a/2]]/2 +
[[(a+в/2)-((а+в)/2)]×в/2]/2=ав/8+ав/8=2ав/8
3) искомая площадь это разность площади трапеции и суммы площадей треугольников.
S(искомая)=S(трапеции) - S(треугольников)=[(а+в)]^2/8-2ав/8 = (a^2+в^2)/8
4) по условию задачи сумма площадей квадратов равна 8, т.е. а^2+в^2=8
5) тогда S(искомая) = (a^2+в^2)/8 =
8/8=1 💐
Надо бы другой способ решения поискать.
Как детектив посмотрел :)
Введем систему координат с вершиной в точке А. Тогда координаты вершин треугольника будут (a/2, a/2), ((a+b)/2, 0), (a + b/2, b/2). По формуле площади Гаусса получим, что площадь треугольника равна (a^2 + b^2)/8, т.е. 1.
После док-ва равнобедренности и прямоугольности:
межцентровое = m, половинки сторон квадратов = x и y.
Пиф найдёт: m² = 2(x² + y²), x² + y² = S₀/4 (сумма чекушек квадратов = чекушке их суммы😁), m² = S₀/2. S(▲) = m²/4 = S₀/8.
Если и длиннее, то ненамного.
Если допустить что квадраты одинаковые, то площадь треугольника сразу ясно что 1
Это частный случай. И из него сразу видно, что S тр-ка равна 1. Татьяна, ставлю большой лайк.
А если мелкий стремится к нулю, то тоже 1 получаем
Тут нужно вначале сообразить ("думать нужно меньше, а соображать больше" (С) худ.фильм "Брат 2").
Предположим, что задача имеет решение, тогда получается, что площадь треугольника не зависит от соотношения сторон жёлтого и зелёного квадратов, так как нет условия ограничивающего этот произвол (иначе бы задача не имела решения). В таком случае берём эти квадраты равными. Тогда каждый из них будет площадью по 4 (ибо 4 + 4 = 8). Значит их стороны по 2. Значит расстояние между их центрами (О1О2) будет тоже два. А точка М будет совпадать с одной из общих вершин этих квадратов. Тогда розовый треугольник будет равносторонний, с основанием 2 и высотой 1 - получается его площадь (2*1)/2 = 1
Не равносторонний, а равнобедренный прямоугольный!
красивая задача!
Принимаем сторону большого квадрата -2а , меньшего -2в , опускаем перпендикуляры на общее основание квадратов . Получилась трапеция , площадь ее равна S1=((а+в)/2)(а+в)=(а+в)*2/2 , площадь трапеции также состоит из искомого тр-ка и двух равных между собой прямоугольных тр-ков с катетами а и в и углом 90* между ними , таким образом суммарная их площадь равна S2,3 =ав . Площадь искомого - S=S1-S2,3=(а+в)*2/2-ав=(а*2+2ав+в*2-2ав)/2=
(а*2+в*2)/2 (1) , площадь квадратов равна (2а)*2+(2в)*2=8 , а*2+в*2=2 , подставляя в полученное уравнение (1) - S=2/2=1 .
Проведем перпендикуляр из О1 до пересечения с горизонталью из О2 в т.Р.В треугольнике О1РО2 катет РО2=a/2+b/2, O1P=b/2-a/2 . По т. Пифагора О1О2^=(a^+b^)/2=8/2=4 , О1О2=2. Тр.MО1О2 равнобедренный и прямоугольный с диагональю =2 , его катеты=^из 2 , площадь=1
Вариация вчерашней?
S трапеции (a/2+b/2)/2×(a/2+b/2) =(a+b)^2/8..
S 1го треугольника a/2×(a/2+b/2-a/2)/2=ab/8
S 2го треугольника b/2×(a/2+b/2-b/2)/2=ab/8
Sтр-S1-S2=(a^2+b^2)/8
Площадь треугольника по координатам его вершин:
S{(x𝒶,y𝒶), (x𝒷,y𝒷), (x𝒸,y𝒸)}=½|Det|
|x𝒶 y𝒶 1|
|x𝒷 y𝒷 1|
|x𝒸 y𝒸 1|
Для заданного треугольника:
S{(a/2, a/2), (a+b/2, b/2), (a/2+b/2,0)}=?
Det=
|a/2, a/2, 1|
|a+b/2, b/2, 1|
|(a+b)/2, 0, 1|
Разложением по нижней строке, получаем:
Det=(a+b)/2×(a-b)/2+1×(ab/4-a²/2-ab/4)=
=(a²-b²)/4-2a²/4=-(a²+b²)/4
S=½|-(a²+b²)/4|=(a²+b²)/8=8/8=1
Задача чисто на логику. Ничего решать не надо.
Если дана только сума площадей, значит они могут быть и одинаковые, тоесть 2 квадрата со сторонами по 2. И тут же стало видно, что площадь треугольника 1/4 одного квадрата.
Ну и при варианте если площадь одного квадрата стремится к 8 а второго к 0, тогда тоже очевидно что площадь треугольника равна 1/8 большого квадрата.
ну ответ-то можно сказать сразу) если утрировать рисунок до двух квадратов со стороной 2... S=1... а в общем виде сложно конечно
Обозначайте точки!!!!!!
Решил. Легко найти отрезки в два раза больше сторон треугольника.(в треугольниках, где сторона искомого суть средняя линия)
Их квадраты равны из пифагор (а и b -- стороны квадрата) (а^2+b^2), (а^2+b^2), ((a+b)^2+(a-b)^2)=(2*(a^2+b^2))
Квадраты сторон искомого 2;2;4. Прямной треугольник площадью 1
Ответ:1
Ответ нашол, ищу прямой угол )))))))))))))
1
Площадь тр. не зависит от плршадей квадратов, а только от их суммы плрщадей. Берем 2 евалрата пплршадью по 4, их стороны равны по 2. У искомого тр. основание между центрами квадратов будет 2, а высота 1, соответственно плрщадь 2*1/2=1.
Далее берем квадрат один площадью 8, площадь второго равна 0. У нас получается, что центр квадрата соединен с серединой нижней стороны и правой нижней вершиной, где располагается центр нулевого квадрата, что образует 1/8 часть всего квадрата, тоже 1.
"Площадь тр. не зависит от плршадей квадратов" -- Верное, но необоснованное утверждение.
@alfal4239 все верно, это обывательские решение в уме, не более