Professor que conteúdo incrível, caiu um exercício para provar que √3 não era racional numa lista de exercícios, depois descobri que precisava reduzir ao absurdo. Agora descobri o seu canal e fui logo nesse vídeo, demais ver que foram os pitagóricos a enfrentarem esse problema e descobrirem os irracionais.
Fernando, a grande verdade é que vale a Lei da Oferta e Demanda. Somos carentes desse tipo de conteúdo, porque somos carentes de pessoas interessadas 😂 A maioria quer e precisa de conteúdo de matemática para passar em provas e concursos.
Este vídeo contém basicamente a apresentação da descoberta do problema que foi um dos maiores desafios na história da Matemática: entender como os números reais preenchem a reta. A primeira vista, isso pode parecer um problema de pouca utilidade prática, mas, como veremos mais adiante, ele é muito fundamental e está na base dos "saltos de fé" ao longo da história da física teórica. Sumário do vídeo: ----------------------------- - 00:08 - Sobre Tales e sua influência; - 00:49 - Uma breve biografia de Pitágoras; - 02:05 - Números Antigos - Uma breve descrição da concepção da noção de números e a invenção dos numerais; - 04:04 - Sobre os pitagóricos e os números; - 05:30 - Sobre como os pitagóricos associavam a Geometria a Aritmética (como interpretavam geometricamente os números e suas operações); - 11:20 - O problema de 2400 anos; - 11:46 - Os pitagóricos e os números na natureza; - 13:21 - A Grande Descoberta - O Teorema de Pitágoras; - 15:32- Uma Verdade Inconveniente - Sobre a consequência mais perturbadora do Teorema de Pitágoras; - 19:20 - Uma atitude anticientífica. ------------------------------
9:30 Concordo plenamente, todavia, substituiria o termo demiurgo. A Razão da qual as coisas procedem é perfeita de mais para ser equiparado a um ser tão inferior... (a pesar de não saber ao certo se Ela é dotada de pessoalidade ou não)
Parabéns pelo canal. Me tira uma dúvida professor. Eu li num livro de história da matemática, acho que foi da professora Tatiana Roque, que a multiplicação de segmentos na época de Pitágoras só poderia resultar em áreas. Ou seja, eles respeitavam a homogeneidade dos objetos matemáticos; superfície era diferente de reta. Só quase 2000 anos mais tarde, Descartes e Fermat ao fundar a geometria analítica usando a técnica algébrica veio permitir que a multiplicação de dois segmentos resultasse em outro segmento. Estou maratonando a sua série, mais uma vez parabéns.
Oi, Cristovão. Eu encontrei o livro da professora Tatiana e dei uma olhada, mas não encontrei a afirmação que você fez (talvez eu não tenha procurado direito). Eu não sou especialista em história da Matemática, mas achei essa afirmação um pouco estranha. Se a gente olha nos Elementos de Euclides, parece bastante razoável supor que as duas interpretações geométricas eram conhecidas pelos gregos. No livro VII, temos as seguintes definições: --- Definição - 1 A unidade é aquilo segundo o que cada uma das coisas existentes é dita “uma”. Dessa definição segue outras em que Euclides sugere a ideia de medição em termos de unidade. --- Definição - 2 O número é uma multiplicidade composta de unidades. --- Definição -3 Um número é uma parte de um número, o menor do maior, quando ele mede o maior --- Definição 5 O maior número é um MÚLTIPLO do menor quando é medido pelo menor. --- Definição 6 Um número par é aquele que é divisível em duas partes iguais. (2x ...). --- Definição - 15 Diz-se que um número multiplica outro quando este último é adicionado tantas vezes quantas as unidades do primeiro. Nesta última definição, em linha com o que já vinha sendo apresentado nas outras, nada nos impede de considerar concatenações de segmentos produzindo segmentos que são múltiplos de outros. Agora, por exemplo, se considerarmos o Teorema de Tales e desenharmos triângulos semelhantes com lados 3 para 9 e 1 para 3, facilmente identificamos um segmento dado como múltiplo de outros dois 9 = 3.3. Ou seja, estamos exibindo um segmento que mede outro segmento: o maior, 9, é múltiplo do menor, 3. Eu não consigo conceber uma realidade onde os gregos têm essas ideias circulando e não conseguem conectá-las. Agora, também existem definições que sugerem a outra interpretação geométrica para a multiplicação: --- Definição - 16 E, quando dois números tendo-se multiplicado um ao outro formam algum número, o número assim produzido é chamado de plano, e seus lados são os números que se multiplicaram um ao outro. O mesmo na seguinte... --- Definição - 17 E, quando três números, tendo-se multiplicado um ao outro, formam algum número, o número assim produzido é chamado de sólido, e seus lados são os números que se multiplicaram. Essas definições de fato sugerem algo semelhante ao seu comentário, mas as primeiras definições do livro VII sugerem que eles também tinham conhecimento da outra noção. Agora, a gente encontra uma afirmação interessante no livro da professora Tatiana: "Tanto as grandezas quanto os números são simbolizados por segmentos de reta. No entanto, os números são agrupamentos de unidades que não são divisíveis e as grandezas geométricas são divisíveis em partes da MESMA natureza (uma linha é dividida em linhas, uma superfície em superfícies, etc.)" Isso é assim pelo menos desde Eudoxo. Como eu disse em outro vídeo: não faz sentido comparar áreas e comprimentos (uma porção de área não é maior, igual ou menor a um segmento dado). Isso é levado em conta por Eudoxo na Teoria das Proporções, por exemplo. As grandezas devem ser manipuladas e comparadas dentro da mesma categoria. Portanto, eu penso que é perfeitamente razoável que os gregos tenham trabalhado com as duas interpretações geométricas sem nenhum problema... Eu prefiro não insultar a inteligência dos gregos antigos 😂
Boa noite, eu tava assistindo, eu consegui acompanhar bastante o raciocínio, mas oq seria um segmento primordial? E segmentos unitários comuns? Essa parte me pegou pq não sabendo disso eu não consegui acompanhar o restante. Obrigado
Oi, André. Vou tentar detalhar mais o que está por trás dessa história. É o seguinte. Se você voltar a parte 6:05, verá o método utilizado pelos pitagóricos para encontrar um segmento comum entre dois segmentos quaisquer. O segmento encontrado funciona como unidade de medida naquele caso, algo como 1 cm ou 1 m, para AMBOS OS SEGMENTOS. No final do processo, um segmento é 8 vezes o segmento unitário e o outro é 5 vezes o segmento unitário. Pois bem! Esse procedimento fornece o segmento unitário para ambos os segmentos, mas o que aconteceria se alguém apresentasse um terceiro segmento? Neste caso, você perceberia que, não necessariamente, o segmento unitário anteriormente encontrado será unidade de medida para esse terceiro segmento. O que você faria neste caso? Bom, bastaria você repetir o procedimento entre o segmento apresentado pela pessoa e o "segmento unitário" anteriormente encontrado. Resultaria desse processo um segmento unitário que é comum aos três segmentos apresentados (um segmento que seria unidade comum para os três segmentos apresentados). O que aconteceria se continuassem lhe apresentando novos segmentos quaisquer? Você continuaria seguindo com o procedimento pitagórico e o segmento comum a eles todos seria muito pequeno, mas, NA VISÃO DOS PITAGÓRICOS, esse segmento ainda existiria. Nesse sentido, o segmento que chamei de PRIMORDIAL seria um segmento que funcionaria como unidade para todos os segmentos possíveis e imagináveis. Os pitagóricos acreditavam que tal segmento existia. O que Hippasus descobriu é que tão segmento NÃO EXISTE nem mesmo para DOIS SEGMENTOS DADOS SE ELES FOREM INCOMENSURÁVEIS. Aqui está a palavra: INCOMENSURÁVEIS (NÃO HÁ segmento que funciona como unidade de medida para ambos!). Em outras palavras, os pitagóricos acreditavam que todos os segmentos possíveis e imagináveis são COMENSURÁVEIS. Dizendo de outra forma, eles acreditavam que sempre era possível encontrar a razão entre dois segmentos pelo procedimento pitagórico, bastando para isso um número FINITO DE PASSOS NO PROCESSO DE COMPARAÇÃO, mas o problema é que, quando dois segmentos são incomensuráveis, o processo de comparação entre os dois segmentos não termina nunca (NÃO EXISTE MÚLTIPLO DE CADA UM DOS SEGMENTOS QUE SEJAM IGUAIS POR COMPARAÇÃO). Essa necessidade de um número infinito de etapas está na alma dos irracionais. Uma última observação que você não verá no ensino médio. Esse segmento hipotético que chamei de PRIMORDIAL é o que os Físicos chamam de INFINITESIMAL. Eles usam esse conceito para encontrar fórmulas matemáticas para a Física que, sem ele, seria muito mais complicado achar. Quando Isaac Newton inventou a disciplina matemática chamada Cálculo, considerou informalmente a existência desses segmentos infinitesimais e o matemático e filósofo Gottfried Leibniz representou esse "segmento" por dx (como já disse, esse "segmento" não existe na matemática PADRÃO). No século XX, um matemático chamado Abraham Robinson inventou uma Matemática NÃO-PADRÃO onde esses infinitesimais fazem sentido, mas, grosseiramente falando, ele teve que considerar que existe mais coisas no conjunto dos números reais (teve que definir o conjunto dos números hiper-reais) e essa já é uma outra história. Enfim, a matemática do ensino médio é somente a ponta do Iceberg kkkk, ela é muito mais legal do que parece... Obrigado pela pergunta inteligente. Se ainda tem alguma dúvida, fique a vontade para perguntar. Até!
Então, isso significa que nem sempre a matemática pode traduzir o universo real? Por exemplo nesse caso, em que a reta parece não ter fim na matemática, mas no universo real sim, é apenas uma reta finita.
@@andregustavo2086 não é que os incomensuráveis sejam infinitos. É como se a "régua" que mede EXATAMENTE dois segmentos incomensuráveis AO MESMO TEMPO são infinitamente pequenas, enquanto que a régua que mede exatamente dois segmentos comensuráveis NÃO É infinitamente pequena.
Oi, Inominado. A racionalização da Matemática no sentido lógico surgiu na Grécia. Antes dos gregos, os egípcios e babilônicos observavam fatos matemáticos de maneira prática e particular, eles não produziam teoremas. Eles observavam fatos matemáticos em vários contextos e aceitavam a validade por indução, não buscavam uma justificação lógica no sentido de produzir prova partindo de primeiros princípios (axiomas). Tales e Pitágoras produziram os primeiros teoremas na Matemática raciocinando com bom senso, mas foi Aristóteles que desenvolveu a lógica como disciplina. Além disso, o primeiro tratado matemático escrito de maneira lógica e sistemática, com conceitos primitivos, definições, proposições e teoremas... foi os Elementos de Euclides. Isso tudo está exposto na série Uma Não Tão Breve História do Espaço.
A aparente simplicidade da forma como o documentário foi mostrado, revela a dificuldade como o mesmo foi construído. Parabéns.
Estou fascinado pelo seu canal! Por favor volte a postar mais conteúdo.
Professor que conteúdo incrível, caiu um exercício para provar que √3 não era racional numa lista de exercícios, depois descobri que precisava reduzir ao absurdo. Agora descobri o seu canal e fui logo nesse vídeo, demais ver que foram os pitagóricos a enfrentarem esse problema e descobrirem os irracionais.
Para de postar não pow!!!
Esse conteúdo e dessa forma como está sendo apresentado é de Super Importância pra os amantes da matemática!
Como somos carentes de conteúdos assim....parabéns professor!
Fernando, a grande verdade é que vale a Lei da Oferta e Demanda. Somos carentes desse tipo de conteúdo, porque somos carentes de pessoas interessadas 😂
A maioria quer e precisa de conteúdo de matemática para passar em provas e concursos.
Este vídeo contém basicamente a apresentação da descoberta do problema que foi um dos maiores desafios na história da Matemática: entender como os números reais preenchem a reta. A primeira vista, isso pode parecer um problema de pouca utilidade prática, mas, como veremos mais adiante, ele é muito fundamental e está na base dos "saltos de fé" ao longo da história da física teórica.
Sumário do vídeo:
-----------------------------
- 00:08 - Sobre Tales e sua influência;
- 00:49 - Uma breve biografia de Pitágoras;
- 02:05 - Números Antigos - Uma breve descrição da concepção da noção de números e a invenção dos numerais;
- 04:04 - Sobre os pitagóricos e os números;
- 05:30 - Sobre como os pitagóricos associavam a Geometria a Aritmética (como interpretavam geometricamente os números e suas operações);
- 11:20 - O problema de 2400 anos;
- 11:46 - Os pitagóricos e os números na natureza;
- 13:21 - A Grande Descoberta - O Teorema de Pitágoras;
- 15:32- Uma Verdade Inconveniente - Sobre a consequência mais perturbadora do Teorema de Pitágoras;
- 19:20 - Uma atitude anticientífica.
------------------------------
Muito obrigado pelo conteúdo!!!!
9:30 Concordo plenamente, todavia, substituiria o termo demiurgo. A Razão da qual as coisas procedem é perfeita de mais para ser equiparado a um ser tão inferior... (a pesar de não saber ao certo se Ela é dotada de pessoalidade ou não)
Ótimo vídeo, prende a atenção fácil. Obrigado por ter feito.
Vou salvar para assistir mais tarde. Parece-me um conteúdo muito bom. Ansioso para assistir e ver esse canal crescer!
Legal! Seja bem-vindo! Também estou torcendo pelo crescimento do canal. Seguirei postando na medida do possível.
Muito bom, professor! Parabéns pelo excelente vídeo.
👏👏👏
Excelente.
muito bom o vídeo!!!!
Obrigado, Aparicio!
Parabéns pelo canal. Me tira uma dúvida professor. Eu li num livro de história da matemática, acho que foi da professora Tatiana Roque, que a multiplicação de segmentos na época de Pitágoras só poderia resultar em áreas. Ou seja, eles respeitavam a homogeneidade dos objetos matemáticos;
superfície era diferente de reta. Só quase 2000 anos mais tarde, Descartes e Fermat ao fundar a geometria analítica usando a técnica algébrica veio permitir que a multiplicação de dois segmentos resultasse em outro segmento. Estou maratonando a sua série, mais uma vez parabéns.
Oi, Cristovão. Eu encontrei o livro da professora Tatiana e dei uma olhada, mas não encontrei a afirmação que você fez (talvez eu não tenha procurado direito). Eu não sou especialista em história da Matemática, mas achei essa afirmação um pouco estranha. Se a gente olha nos Elementos de Euclides, parece bastante razoável supor que as duas interpretações geométricas eram conhecidas pelos gregos.
No livro VII, temos as seguintes definições:
--- Definição - 1
A unidade é aquilo segundo o que cada uma das
coisas existentes é dita “uma”.
Dessa definição segue outras em que Euclides sugere a ideia de medição em termos de unidade.
--- Definição - 2
O número é uma multiplicidade composta de unidades.
--- Definição -3
Um número é uma parte de um número, o menor
do maior, quando ele mede o maior
--- Definição 5
O maior número é um MÚLTIPLO do menor quando é medido pelo menor.
--- Definição 6
Um número par é aquele que é divisível em duas partes iguais. (2x ...).
--- Definição - 15
Diz-se que um número multiplica outro quando este último é adicionado tantas vezes quantas as unidades do primeiro.
Nesta última definição, em linha com o que já vinha sendo apresentado nas outras, nada nos impede de considerar concatenações de segmentos produzindo segmentos que são múltiplos de outros.
Agora, por exemplo, se considerarmos o Teorema de Tales e desenharmos triângulos semelhantes com lados 3 para 9 e 1 para 3, facilmente identificamos um segmento dado como múltiplo de outros dois 9 = 3.3. Ou seja, estamos exibindo um segmento que mede outro segmento: o maior, 9, é múltiplo do menor, 3.
Eu não consigo conceber uma realidade onde os gregos têm essas ideias circulando e não conseguem conectá-las.
Agora, também existem definições que sugerem a outra interpretação geométrica para a multiplicação:
--- Definição - 16
E, quando dois números tendo-se multiplicado um ao outro formam algum número, o número assim produzido é chamado de plano, e seus lados são os números que se multiplicaram um ao outro.
O mesmo na seguinte...
--- Definição - 17
E, quando três números, tendo-se multiplicado um ao outro, formam algum número, o número assim produzido é chamado de sólido, e seus lados são os números que se multiplicaram.
Essas definições de fato sugerem algo semelhante ao seu comentário, mas as primeiras definições do livro VII sugerem que eles também tinham conhecimento da outra noção.
Agora, a gente encontra uma afirmação interessante no livro da professora Tatiana:
"Tanto as grandezas quanto os números são simbolizados por segmentos de reta. No entanto, os números são agrupamentos de unidades que não são divisíveis e as grandezas geométricas
são divisíveis em partes da MESMA natureza (uma linha é dividida em linhas,
uma superfície em superfícies, etc.)"
Isso é assim pelo menos desde Eudoxo. Como eu disse em outro vídeo: não faz sentido comparar áreas e comprimentos (uma porção de área não é maior, igual ou menor a um segmento dado). Isso é levado em conta por Eudoxo na Teoria das Proporções, por exemplo. As grandezas devem ser manipuladas e comparadas dentro da mesma categoria.
Portanto, eu penso que é perfeitamente razoável que os gregos tenham trabalhado com as duas interpretações geométricas sem nenhum problema... Eu prefiro não insultar a inteligência dos gregos antigos 😂
Boa noite, eu tava assistindo, eu consegui acompanhar bastante o raciocínio, mas oq seria um segmento primordial? E segmentos unitários comuns? Essa parte me pegou pq não sabendo disso eu não consegui acompanhar o restante. Obrigado
Desculpe não conhecer alguns assuntos, estou (estava antes do corona) começando o ensino médio
Oi, André. Vou tentar detalhar mais o que está por trás dessa história. É o seguinte. Se você voltar a parte 6:05, verá o método utilizado pelos pitagóricos para encontrar um segmento comum entre dois segmentos quaisquer. O segmento encontrado funciona como unidade de medida naquele caso, algo como 1 cm ou 1 m, para AMBOS OS SEGMENTOS. No final do processo, um segmento é 8 vezes o segmento unitário e o outro é 5 vezes o segmento unitário. Pois bem! Esse procedimento fornece o segmento unitário para ambos os segmentos, mas o que aconteceria se alguém apresentasse um terceiro segmento? Neste caso, você perceberia que, não necessariamente, o segmento unitário anteriormente encontrado será unidade de medida para esse terceiro segmento. O que você faria neste caso? Bom, bastaria você repetir o procedimento entre o segmento apresentado pela pessoa e o "segmento unitário" anteriormente encontrado. Resultaria desse processo um segmento unitário que é comum aos três segmentos apresentados (um segmento que seria unidade comum para os três segmentos apresentados). O que aconteceria se continuassem lhe apresentando novos segmentos quaisquer? Você continuaria seguindo com o procedimento pitagórico e o segmento comum a eles todos seria muito pequeno, mas, NA VISÃO DOS PITAGÓRICOS, esse segmento ainda existiria. Nesse sentido, o segmento que chamei de PRIMORDIAL seria um segmento que funcionaria como unidade para todos os segmentos possíveis e imagináveis. Os pitagóricos acreditavam que tal segmento existia. O que Hippasus descobriu é que tão segmento NÃO EXISTE nem mesmo para DOIS SEGMENTOS DADOS SE ELES FOREM INCOMENSURÁVEIS. Aqui está a palavra: INCOMENSURÁVEIS (NÃO HÁ segmento que funciona como unidade de medida para ambos!). Em outras palavras, os pitagóricos acreditavam que todos os segmentos possíveis e imagináveis são COMENSURÁVEIS. Dizendo de outra forma, eles acreditavam que sempre era possível encontrar a razão entre dois segmentos pelo procedimento pitagórico, bastando para isso um número FINITO DE PASSOS NO PROCESSO DE COMPARAÇÃO, mas o problema é que, quando dois segmentos são incomensuráveis, o processo de comparação entre os dois segmentos não termina nunca (NÃO EXISTE MÚLTIPLO DE CADA UM DOS SEGMENTOS QUE SEJAM IGUAIS POR COMPARAÇÃO). Essa necessidade de um número infinito de etapas está na alma dos irracionais. Uma última observação que você não verá no ensino médio. Esse segmento hipotético que chamei de PRIMORDIAL é o que os Físicos chamam de INFINITESIMAL. Eles usam esse conceito para encontrar fórmulas matemáticas para a Física que, sem ele, seria muito mais complicado achar. Quando Isaac Newton inventou a disciplina matemática chamada Cálculo, considerou informalmente a existência desses segmentos infinitesimais e o matemático e filósofo Gottfried Leibniz representou esse "segmento" por dx (como já disse, esse "segmento" não existe na matemática PADRÃO). No século XX, um matemático chamado Abraham Robinson inventou uma Matemática NÃO-PADRÃO onde esses infinitesimais fazem sentido, mas, grosseiramente falando, ele teve que considerar que existe mais coisas no conjunto dos números reais (teve que definir o conjunto dos números hiper-reais) e essa já é uma outra história. Enfim, a matemática do ensino médio é somente a ponta do Iceberg kkkk, ela é muito mais legal do que parece... Obrigado pela pergunta inteligente. Se ainda tem alguma dúvida, fique a vontade para perguntar. Até!
@@imperativomatematico Aaaaaaaa então os incomensuráveis são infinitos porque são irracionais
Então, isso significa que nem sempre a matemática pode traduzir o universo real? Por exemplo nesse caso, em que a reta parece não ter fim na matemática, mas no universo real sim, é apenas uma reta finita.
@@andregustavo2086 não é que os incomensuráveis sejam infinitos. É como se a "régua" que mede EXATAMENTE dois segmentos incomensuráveis AO MESMO TEMPO são infinitamente pequenas, enquanto que a régua que mede exatamente dois segmentos comensuráveis NÃO É infinitamente pequena.
Pesquisa "empírica" matemática? Pensei que eram pressupostos provenientes de lógica dedutiva. Então, é possível pesquisa empírica em matemática?
Oi, Inominado. A racionalização da Matemática no sentido lógico surgiu na Grécia. Antes dos gregos, os egípcios e babilônicos observavam fatos matemáticos de maneira prática e particular, eles não produziam teoremas. Eles observavam fatos matemáticos em vários contextos e aceitavam a validade por indução, não buscavam uma justificação lógica no sentido de produzir prova partindo de primeiros princípios (axiomas). Tales e Pitágoras produziram os primeiros teoremas na Matemática raciocinando com bom senso, mas foi Aristóteles que desenvolveu a lógica como disciplina. Além disso, o primeiro tratado matemático escrito de maneira lógica e sistemática, com conceitos primitivos, definições, proposições e teoremas... foi os Elementos de Euclides. Isso tudo está exposto na série Uma Não Tão Breve História do Espaço.