Sumário: 00:00 - Proposta do vídeo; 00:23 - Sistemas lineares aplicados no balanceamento de equações químicas (apenas uma ilustração); 00:53 - Propriedade local das superfícies e espaços vetoriais; 01:14 - Sobre Fibrados Vetoriais; 02:44 - Estrutura geométrica em espaço vetorial (produto escalar, comentário de passagem); 03:15 - Espaços de dimensão infinita; Exemplos de espaços vetoriais: 03:35 - Vetores livres do plano; 04:15 - Definição de Espaço Vetorial; 04:36 - O espaço Rn; 05:13 - O espaço das matrizes mxn; 05:31 - Uma pergunta importante (indicação sobre universalidade); 06:44 - Espaço de Polinômios; 07:10 - Exemplos obtidos por analogia. Como a Matemática é descoberta? 07:29 - O Rn como espaço de funções; 07:52 - O espaço das matrizes como espaço de funções; 08:06 - Generalizações; 08:32 - Complicações resultantes das generalizações; 09:29 - Exemplo de conjunto não Hausdorff; 10:24 - Funções de funções; 10:54 - Somas Formais; 12:45 - Rn como espaço vetorial livre sobre o conjunto de índices; 13:03 - Indução de estrutura vetorial em conjunto via pullback; 14:08 - Definição de subespaço vetorial; 14:58 - Subespaço vetorial em R3 e suas interpretações geométricas; 16:54 - Um rápido comentário sobre subespaços de funções; 17:27 - Relação de equivalência + subespaço vetorial = espaço projetivo e variedade grassmanniana; 20:28 - Para que serve essa viagem matemática?
Impressionante como essa abstração cada vez maior da física impulsiona desenvolvimentos na matemática, estava conversando sobre isso com um colega meu um dia desses.
A interação entre Física e Matemática é realmente interessante. Às vezes a Física antecipa a Matemática, outras vezes a Matemática antecipa a Física; elas se retroalimentam.
@@imperativomatematico Isso me lembrou um texto que o Einstein escreveu no seu livro Como Vejo o Mundo, li há algumas semanas atrás e acho que descreve muito bem isso que você diz: O método do teórico implica que, como base em todas as hipóteses, ele utilize aquilo que se chamam princípios, a partir dos quais pode deduzir consequências. Sua atividade portanto se divide principalmente em duas partes. Em primeiro lugar, tem de procurar estes princípios e em seguida desenvolver as consequências inerentes a eles. [...] Mas a primeira chave destas tarefas, quer dizer, a de estabelecer os princípios que servirão de base para sua dedução, se apresenta de maneira totalmente diferente. Porque aqui não existe método que se possa aprender ou sistematicamente aplicar para alcançar um objetivo. O pesquisador tem antes que espiar, se assim se pode dizer, os princípios gerais na natureza, enquanto detecta, através dos grandes conjuntos de fatos experimentais, os traços gerais e exatos que poderão ser explicitados nitidamente. [...] Um completo sistema de física teórica comporta um conjunto de conceitos, de leis fundamentais aplicáveis a tais conceitos, e de proposições lógicas normalmente daí deduzidas. [...] Para justificar esta confiança, sou obrigado a empregar conceitos matemáticos. O mundo físico se representa como um continuum de quatro dimensões. Se suponho neste mundo a métrica de Riemann e me pergunto quais são as leis mais simples que podem ser satisfeitas por tal sistema, obtenho a teoria relativista da gravitação e do espaço vazio. Se, neste espaço, tomo um campo de vetores ou o campo de tensores anti-simétricos que daí pode derivar-se e indago quais as leis mais simples que um tal sistema pode satisfazer, obtenho as equações do espaço vazio de Maxwell. E por ai vai, recomendo em especial o capítulo 5 que é onde ele discute essas coisas :)
Sumário:
00:00 - Proposta do vídeo;
00:23 - Sistemas lineares aplicados no balanceamento de equações químicas (apenas uma ilustração);
00:53 - Propriedade local das superfícies e espaços vetoriais;
01:14 - Sobre Fibrados Vetoriais;
02:44 - Estrutura geométrica em espaço vetorial (produto escalar, comentário de passagem);
03:15 - Espaços de dimensão infinita;
Exemplos de espaços vetoriais:
03:35 - Vetores livres do plano;
04:15 - Definição de Espaço Vetorial;
04:36 - O espaço Rn;
05:13 - O espaço das matrizes mxn;
05:31 - Uma pergunta importante (indicação sobre universalidade);
06:44 - Espaço de Polinômios;
07:10 - Exemplos obtidos por analogia. Como a Matemática é descoberta?
07:29 - O Rn como espaço de funções;
07:52 - O espaço das matrizes como espaço de funções;
08:06 - Generalizações;
08:32 - Complicações resultantes das generalizações;
09:29 - Exemplo de conjunto não Hausdorff;
10:24 - Funções de funções;
10:54 - Somas Formais;
12:45 - Rn como espaço vetorial livre sobre o conjunto de índices;
13:03 - Indução de estrutura vetorial em conjunto via pullback;
14:08 - Definição de subespaço vetorial;
14:58 - Subespaço vetorial em R3 e suas interpretações geométricas;
16:54 - Um rápido comentário sobre subespaços de funções;
17:27 - Relação de equivalência + subespaço vetorial = espaço projetivo e variedade grassmanniana;
20:28 - Para que serve essa viagem matemática?
Seu resumo conceitual ficou muito esclarescedor. Obrigado.
Obrigado, Marcelo!
Muito boooooom
Caramba !!
Salve!!!!
Impressionante como essa abstração cada vez maior da física impulsiona desenvolvimentos na matemática, estava conversando sobre isso com um colega meu um dia desses.
A interação entre Física e Matemática é realmente interessante. Às vezes a Física antecipa a Matemática, outras vezes a Matemática antecipa a Física; elas se retroalimentam.
@@imperativomatematico Isso me lembrou um texto que o Einstein escreveu no seu livro Como Vejo o Mundo, li há algumas semanas atrás e acho que descreve muito bem isso que você diz:
O método do teórico implica que, como base em todas as hipóteses, ele utilize aquilo que se chamam princípios, a partir dos quais pode deduzir consequências. Sua atividade portanto se divide principalmente em duas partes. Em primeiro lugar, tem de procurar estes princípios e em seguida desenvolver as consequências inerentes a eles. [...] Mas a primeira chave destas tarefas, quer dizer, a de estabelecer os princípios que servirão de base para sua dedução, se apresenta de maneira totalmente diferente. Porque aqui não existe método que se possa aprender ou sistematicamente aplicar para alcançar um objetivo. O pesquisador tem antes que espiar, se assim se pode dizer, os princípios gerais na natureza, enquanto detecta, através dos grandes conjuntos de fatos experimentais, os traços gerais e exatos que poderão ser explicitados nitidamente. [...] Um completo sistema de física teórica comporta um conjunto de conceitos, de leis fundamentais aplicáveis a tais conceitos, e de proposições lógicas normalmente daí deduzidas. [...] Para justificar esta confiança, sou obrigado a empregar conceitos matemáticos. O mundo físico se representa como um continuum de quatro dimensões. Se suponho neste mundo a métrica de Riemann e me pergunto quais são as leis mais simples que podem ser satisfeitas por tal sistema, obtenho a teoria relativista da gravitação e do espaço vazio. Se, neste espaço, tomo um campo de vetores ou o campo de tensores anti-simétricos que daí pode derivar-se e indago quais as leis mais simples que um tal sistema pode satisfazer, obtenho as equações do espaço vazio de Maxwell.
E por ai vai, recomendo em especial o capítulo 5 que é onde ele discute essas coisas :)
@@user-ft9nt1vo3i obrigado pela contribuição! Comprei este livro num sebo há muitos anos. Oferece uma leitura bastante agradável.
@@imperativomatematico eu que agradeço pelo excelente conteúdo.
Por isso que o zero pertence ao conjunto dos números naturais.