Очень нравится Казаков своей исключительной добросовестностью. Спасибо, с удовольствием смотрю ваш канал. Иногда даже быстро решаю эти задачи, но далеко не всегда
Уважаемый Валерий, я уже далеко не школьник, но сама математика мне нравится, и я вижу еë красоту. Хочу поблагодарить Вас за ваш канал по геометрии, что касается меня например это лучше любых кроссвордов и полезно с практической точки зрения, я не говорю о том, что это также надо нашим школьникам. Здоровья вам и всего самого хорошего.
Примем ВМ =1. ∡ABH = ∡CBM = α, . ∡HBM = x. Медиана ВМ делит площадь треугольника пополам. Используя формулу площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам, получим уравнение: sin(x +α)/cosα = sinα/cos(x + α) ⟹ sin(2∙α) = sin(2∙x + 2∙α) ⟹ x = 90° - 2∙α = 90° - 2∙32° = 26° . *То есть, если ∡ABH = ∡CBM, то треугольник прямоугольный.* Случай, когда медиана совпадает с высотой тривиален. Это либо равнобедренный прямоугольный, либо просто равнобедренный с углом при вершине 2∙∡ABH.
С описанной окружностью у Вас получилось красивейшее решение! Способ 2. Тригонометрический. Обозначим AM=MC=a, BM=b, угол BAC=58 (из тр-ка ABH), угол BCA=58-alpha (из тр-ка BCH). Тогда, применив теор. синусов к тр-кам BMC и ABM получаем: a/sin32 = b/sin(58-alpha) и a/sin(32+alpha) = b/sin58 Решая эти два уравнения совместно, приходим к уравнению: 2*sin(alpha) * cos(64+alpha) = 0 Тогда либо sin(alpha)=0, либо cos(64+alpha)=0 Решая два последних уравнения, получаем ДВА ответа к задаче: alpha1 = 0, alpha2 = 26 В первом случае треугольник вырождается в равнобедренный с углами 58, 58 и 64 (и в нём медиана и высота совпадают); во втором - прямоугольный с углами 58 и 32. Но поскольку в описании задачи сказано, что высота и медиана не совпадают, то выбираем второй ответ - 26 градусов.
Примем ВН=1, искомый угол α, тогда АВ=1/cos32° ; BC=1/ cos(32°+α) Площади треугольников АВМ и МВС равны, значит АВ*ВМ*sin(α+32°)=BC*BM*sin32° Подставляя значения АВ и ВС, приходим к равенству sin(α+32°)*cos(α+32°)=sin32°*cos32° sin(2α+64°)=sin64° 2α+64=180°-64° α=26°
А я продолжила ВН на её длину до точки Д и точку Д соединила с точками А и С. Получился четырехугольник АВСД. До этого нашла из прямоугольника АВН уголА, равный 58градусов. УголВАД равен 116градусам. Тогда угол.ВСД равен 180-116 равен64градуса. Отсюда угол С равен 32градуса. А из прямоугольного тр. ВНС угол а равен 90-32-32получится 26градусов искомый угол.
Спасибо! Большое! Я вообще сначала подумал как гипотеза, что треугольник АВМ равносторонний и начал это доказывать, а нет не угадал, там оказывается два угла по 58 градусов!!!
@@GeometriaValeriyKazakov из баланса отрезков в основании треугольника. Они выражаются через высоту и тангенсы. Высота треугольника сокращается, остаются одни тангенсы
1. Тоже описал окружность, только факт, что BD-диаметр вывел из того, что: ∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠BAC+∠CBD=58°+32°=90°. 2. Поскольку диаметр делит хорду AC пополам, то возможны два случая: а) либо хорда - тоже диаметр в этом случае ∠ABC=90°, и тогда α=26° б) либо хорда перпендикулярна диаметру в этом случае: α=0° Второе решение вырожденное, и не соответствует чертежу, поэтому отпадает Ответ: α=26°
сложная задача... думаю, что маэстро намекает на то что треуг прямоуг... тогда можно продлить медиану ВМ и построить симметричный треуг... получится параллелограмм... в котором надо через равенство углов при диагоналях... или еще по какому признаку... доказать, что параллелогр вписан в окружность с центром в тчк М... тогда ответ 26... буду смотреть решение
Осталось объяснить почтеннейшей публике, откуда взялась гипотеза. Лично у меня вот откуда: кода-то давно я доказала теорему имени меня о том, что биссектриса прямого угла в пр. треугольнике делит угол между медианой и высотой пополам. А значит, углы между медианой и ближайшей к ней стороной и высотой и ближайшей к ней - равны. Напоминаю, что в прямоугольном треугольнике! Очень красивая задача, спасибо!
Из точки М проводим прямую параллельную BC, с пересечением в АВ в точке О. Тогда О делит АВ пополам так как АМ = МС и МО параллельно ВС. Угол ВМО = 32 и угол ВНО = 32, по свойству что в точке О лежит центр описанной окружности АВН, отсюда следует что около точек ВМНО можно описать окружность и центр ее будет середина ВМ(точка Е). Тогда ЕО = ЕН = ЕВ = ЕМ. ЕО = 0.5АМ, так как соединяет центры АВ и АМ, но и ЕО = 0.5ВМ, отсюда следует что АМ = ВМ, треугольник АМВ - равнобедренный, дальше решение тривиально.
После того, как Вы доказали, что ВМНО можно вписать в окружность, можно немедленно получить искомый угол: ∡ОВМ = 180° - (90° + 32°) = 58° ⟹ х = 58° - 32° = 26°. Симпатичное решение, большой +, что прямое.
Достроить АВС до параллелограмма треугольник АСВ1, и построить еще один треугольник АСВ2, симметричный АВС. Четырехугольник АВСВ2 вписан в окружность по признаку о сумме противолежащих сторон. На дугу СВ1 опираются два равных вписанных угла СВВ1 и САВ1. Они по 32 градуса. Дальше очевидно.
Спасибо за идею, пока непонятно "еще один треугольник АСВ2, симметричный АВС" относительно чего симметрия, точки, прямой, какой точки или прямой? Пояните просто. Вдруг классно получится.
У меня помуторней, но без ад абсурдум. Строим прямный треугольник ВАК так, что угол ВАК прямой, а К лежит на продолжении ВМ. Треугольники АМК и ВМС подобные, откуда (АМ)^2=ВМ*МК. В прямном треугольнике АВС чевиана АМ -- среднее гармоничное отрезков гипотенузы. Т.к. АМ -- не высота, то она может быть только медианой (доказывается алгебраически, что отрезки гипотенузы равны). АМ =МК=ВМ. В треугольнике АВС медиана ВМ равна половине стороны АС , т е. АМ. Откуда треугольник АВС -- прямной. Ответ:26°
Нашол геометрические доказательство того, что чевиана из прямого угла является ср. геометрическим отрезков гипотенузы тогда и только тогда, когда она либо высота, или медиана. Пусть гипотенуза суть диаметр описанной окружности. Тогда из вершины прямого угла можно провести только две хорды, делящиеся пополам гипотенузой-диаметром : перпендикуляр к нему и проходящий через центр окружности второй диаметр. ...... Кстати, из этих рассуждений вылезает еще одно "решение", когда точки Н и М совпадают, и искомый угол равен нулю
Сходу, по моему любимому подобию. ∠А=90-32=58°. Высота отсекает больший подобный ΔВСН, т. е. ∠С тоже равен 32°, ∠СВН=58°. Отсюда оставшийся ∠ВНМ=58-32=26°.
А почему бы не дать задачу в формулировке:"Доказать, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B тогда и только тогда, когда угол ABH равен углу СВМ, где ВН высота, а ВМ медиана"? В одну сторону тривиально, в другую в точности совпадет с решением исходной задачи. Плюс такой формулировки - забавный общий факт и несущественность того, чему равны углы. Минус - не надо догадываться о прямоте угла B. Есть,правда, одна проблема, как указали ниже - это неверно, равнобедренный треугольник тоже подойдет:))) Так что формулировать надо чуть-чуть аккуратнее.
Так вы не говорите никому, что это "задача на доказательство". Сразу начнут смотреть. Не говоря уже о том, что в евклидовой геометрии любое доказательство можно, при желании, свести к механическому счету, поэтому никакой особой выделенной сущности "задачи на доказательство" не образуют.
А если пойти таким путем:1) продлим медиану на расстояние равное длине медианы.Получим точку D и четырехугольник ABCD .Легко доказать, что это параллелограмм. В нем AC и BD его диагонали, а точка М- центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей параллелограмма есть центром его симметрии) кроме того точка М это центр описанной вокруг параллелограмма окружности.В доказательство привожу следующие рассуждения:(AC и BD два ее пересекающиеся диаметра. Но в параллелограмме АС и ВD диагонали. Они равны из следующих соображений: 1)медиана ВС делит тр-к АВС на два равновеликих тр-ка ; 2)диагонали АС и ВD парал-ма делят его на две пары равных треугольников 3) исходя из 1)и 2) имеем. 4 тр-ка равной площади S; 4) тр-ки ВСD и АDC равны, т.к. имеют по две равные стороны ВС=АD( противоположные стороны параллелограмма) ,острому углу (угол САD=углу DВC-как вписанные и опирающиеся на общую сторону DC,которая является хордой в окружности) и имеют равные площади по 2S . Отсюда АС=ВD. Вывод: параллелограмм с равными диагоналями, которые делятся пополам в точке М, может быть только прямоугольником.И теперь нет ошибки в том, что вокруг параллелограмма описана окружность с центром в точке М,( Все его точки А,В, С и D принадлежат окружности с центром в точке М) и доказано, что параллелограмм является прямоугольником. Угол при вершине В =90° 32°+а+32°=90° , а=26°.Тогда ниже следующие рассуждения, действительно, излишни . Хотя, для убедительности, можно еще подчеркнуть : если. 1)АС диаметр окружности с центром в точке М,описанной вокруг тр-ка АВС, и 2)медиана ВМ равна половине диаметра АС , тогда угол АВС, опирающийся на диаметр, - прямой . В=32°+а+32°=90°, откуда а=26°
Как только Вы сказали, что : "...кроме того точка М это центр описанной вокруг параллелограмма окружности" , Вы автоматически положили МА = МВ = МС. А значит Вы априори положили ∠АВС =90. Дальше можно не продолжать! Вокруг параллелограмма невозможно описать окружность, поэтому выражение "...кроме того точка М это центр описанной вокруг параллелограмма окружности" не имеет никакого смысла. Откуда следует, что "параллелограмм вписан в окружность" ?? Что значит : "...если параллелограмм вписан в окружность" ?? Это НЕВОЗМОЖНО! АС и ВД не могут быть диаметрами окружности. Учитель полролика доказывал от противного, что точка М - это центр описанной около треугольника окружности! А у Вас всё так просто.
@@samsungsmart7131 m =n НЕМЕДЛЕННО без всяких фокусов, так как в параллелограмме противоположные углы равны. 2) Указанные Вами треугольники АКВ и ВNC равны(???) по какому признаку? Они подобны! Но никак не равны, так как Вы же сами отметили, что: "( в условии задачи не сказано, что АВ=ВС) "- это цитата. А значит, треугольники НЕ РАВНЫ. Дальнейшее не имеет смысла. Указанные Вами высоты будут равны либо в ромбе, либо в КВАДРАТЕ. В прямоугольнике они не равны. Вы никак таким путем не докажете, что угол В прямой.
@@samsungsmart7131 Вы успели подправить "доказательство", но это не помогает! "Остается второе угол В - прямой." - это цитата. А где первое? А первое в Вашей версии было: "Ромб исключается ( в условии задачи не сказано, что АВ=ВС)". Угол между высотами в параллелограмме всегда равен соответствующему углу между сторонами! Это очевидно. *Но это никак не делает его прямоугольником!!* Вы изменили первоначальную версию (я ее скопировал, она у меня есть!) . На неё я дал Вам ответ выше. На вторую версию дан ответ здесь. Ваше "доказательство", если вчитаться, звучит так : угол В прямой, потому что он прямой, иначе не может быть.
@@SB-7423 Спасибо за комментарий к моему решение. Я изменила записи, в которых показала, что угол АВС прямой. Канва моих рассуждений такова: 1)продляю медиану ВМ на расстояние равное длине медианы; 2)рассматриваю четырехугольник АВСD и доказываю, что это параллелограмм; 3)Доказываю равенство диагоналей параллелограмма; 4)Выхожу на прямоугольник. Если у меня ложный путь или решение , прошу подсказать мне мои заблуждения.Буду вам признательна.
Опустим перпендикуляр из т. М на ВС в т. N . Из т. N проведем прямую параллельную АС , она пересечет ВМ в т. O , а АВ в т.К . Тр. МОN подобен тр. КОВ по трем углам , следовательно МN параллельна КВ , угол КВN= углу MNC=90 . Угол@=90-64=26
@@adept7474 Могли быть 2 точки пересечения, но теореме о пересечении прямых такая точка одна. Я это и отметил. Привычка к строгости. Окружности же могут иметь в пересечении 2 точки.
Решение для старшеклассников. АМ=СМ=х; ∠А=90◦-∠АВН; ∠А=90◦-32◦=58◦; ∠С=90◦-∠СВН; ∠С=90◦-(32◦+𝜶)=58◦-𝜶; В ∆АВМ, т. ВМ/sin∠A=AM/sin∠ABM; BM/sin58◦=x/sin(32◦+𝜶); BM/x=sin58◦/sin(32◦+𝜶); B ∆CBM, BM/sin∠CBM=CM/sin∠CBM; BM/sin(58◦-𝜶)=x/sin32◦; BM/x=sin(58◦-𝜶)/sin32◦; sin58◦/sin(32◦+𝜶)=sin(58◦-𝜶)/sin32◦; sin58◦*sin32◦=sin(32◦+𝜶)*sin(58◦-𝜶); Если высота и медиана совпадают, то ∆АВС--равнобедренний и 𝜶=0◦ -sin58◦*sin32◦=-sin(32◦+𝜶)*sin(58◦-𝜶); cos90◦-cos26◦=cos90◦-cos(2𝜶-26◦); cos26◦=cos(2𝜶-26◦); 26◦=2𝜶-26◦; 2𝜶=52◦; 𝜶=26◦. Ответ: 𝜶=26◦.
Так у нас есть прямоугольный треугольник, и не один, с которыми нужно оперировать, то есть сравнивать на подобие, и будет нам счастье с доказательством гипотезы Валерия Казакова, которая под таким названием р войдёт в историю Геометрии! Это не шутка юмора!
"В тр-ке ABC проведены высота BH и медиана (не совпадают), кот орые образую равные углы по 32 градуса со сторонами AB и BC. Найти угол HBM." Это описание к ролику.
Сказал в ролике "несовпадают", но, вы правы, в общем виде могут быть два корня: а) 0; б) 26. Как вам вообще задача? Понравилась? Наклейте буквы русской клавы. Очень рад, что вы на канале.
![[Live] : ONE 168 วันนี้!! "โจนาธาน vs ซุปเปอร์เล็ก"](http://i.ytimg.com/vi/0jIN65KgJsI/mqdefault.jpg)
![[Re:all TREASURE] EP.6 in 방콕ㅣ🚩 쩡캠의 방콕 투어 빵 마이 와이 👍](http://i.ytimg.com/vi/uyFw-nItA_s/mqdefault.jpg)
Очень нравится Казаков своей исключительной добросовестностью. Спасибо, с удовольствием смотрю ваш канал. Иногда даже быстро решаю эти задачи, но далеко не всегда
Уважаемый Валерий, я уже далеко не школьник, но сама математика мне нравится, и я вижу еë красоту. Хочу поблагодарить Вас за ваш канал по геометрии, что касается меня например это лучше любых кроссвордов и полезно с практической точки зрения, я не говорю о том, что это также надо нашим школьникам. Здоровья вам и всего самого хорошего.
Очень приятно.
Примем ВМ =1. ∡ABH = ∡CBM = α, . ∡HBM = x. Медиана ВМ делит площадь треугольника пополам. Используя формулу площади треугольника по стороне и прилежащим к ней
углам, получим уравнение: sin(x +α)/cosα = sinα/cos(x + α) ⟹ sin(2∙α) = sin(2∙x + 2∙α) ⟹ x = 90° - 2∙α = 90° - 2∙32° = 26° . *То есть, если ∡ABH = ∡CBM, то треугольник прямоугольный.*
Случай, когда медиана совпадает с высотой тривиален. Это либо равнобедренный прямоугольный, либо просто равнобедренный с углом при вершине 2∙∡ABH.
ОТлично.
С описанной окружностью у Вас получилось красивейшее решение!
Способ 2. Тригонометрический. Обозначим AM=MC=a, BM=b, угол BAC=58 (из тр-ка ABH), угол BCA=58-alpha (из тр-ка BCH). Тогда, применив теор. синусов к тр-кам BMC и ABM получаем: a/sin32 = b/sin(58-alpha) и a/sin(32+alpha) = b/sin58
Решая эти два уравнения совместно, приходим к уравнению: 2*sin(alpha) * cos(64+alpha) = 0 Тогда либо sin(alpha)=0, либо cos(64+alpha)=0
Решая два последних уравнения, получаем ДВА ответа к задаче: alpha1 = 0, alpha2 = 26
В первом случае треугольник вырождается в равнобедренный с углами 58, 58 и 64 (и в нём медиана и высота совпадают); во втором - прямоугольный с углами 58 и 32.
Но поскольку в описании задачи сказано, что высота и медиана не совпадают, то выбираем второй ответ - 26 градусов.
Спасибо.
Примем ВН=1, искомый угол α, тогда АВ=1/cos32° ; BC=1/ cos(32°+α)
Площади треугольников АВМ и МВС равны, значит
АВ*ВМ*sin(α+32°)=BC*BM*sin32°
Подставляя значения АВ и ВС, приходим к равенству
sin(α+32°)*cos(α+32°)=sin32°*cos32°
sin(2α+64°)=sin64°
2α+64=180°-64°
α=26°
ili alfa = 0. Vtoroy koren'
@@TomasJknOnYT Конечно! Но в описании к задаче сказано, что медиана и высота не совпадают.
Из условия следует, что не равнобедренный.
Есть ещё свойство, что биссектриса в прямоугольном треугольнике делит угол между медианой и высотой пополам. Поэтому: (45-32)×2=26°
Да, есть такое. Правда, это в прямоугольном, а у нас лишь бы какой по условию.
логически неверное решение
Под условие подходит равнобедренный треугольник, углы при основании по 58°, при вершине 32+32=64°, но у него искомый угол a=0°.
В условии записано, что не равнобедеренный.
А я продолжила ВН на её длину до точки Д и точку Д соединила с точками А и С. Получился четырехугольник АВСД. До этого нашла из прямоугольника АВН уголА, равный 58градусов. УголВАД равен 116градусам. Тогда угол.ВСД равен 180-116 равен64градуса. Отсюда угол С равен 32градуса. А из прямоугольного тр. ВНС угол а равен 90-32-32получится 26градусов искомый угол.
Из чего следует, что Угол ВАД + угол.ВСД = 180 ?
@@ncrean66 вот тоже непонятно, почему угол BCD равен 180 - угол BAD
Спасибо! Большое! Я вообще сначала подумал как гипотеза, что треугольник АВМ равносторонний и начал это доказывать, а нет не угадал, там оказывается два угла по 58 градусов!!!
Бывает.
Чистая тригонометрия: tg32°+tgα=tg(α+32°)-tgα. Преобразуется к виду ctgα=tg64°. α=26°
Спасибо. Напишите, откуда ваше уравнение взялось.
@@GeometriaValeriyKazakov из баланса отрезков в основании треугольника. Они выражаются через высоту и тангенсы. Высота треугольника сокращается, остаются одни тангенсы
1. Тоже описал окружность, только факт, что BD-диаметр вывел из того, что:
∠BAD=∠BAC+∠CAD=∠BAC+∠CBD=58°+32°=90°.
2. Поскольку диаметр делит хорду AC пополам, то возможны два случая:
а) либо хорда - тоже диаметр
в этом случае ∠ABC=90°, и тогда α=26°
б) либо хорда перпендикулярна диаметру
в этом случае: α=0°
Второе решение вырожденное, и не соответствует чертежу, поэтому отпадает
Ответ: α=26°
ОТлично.
Я чувствую,что очень близок к самостоятельному решению.Заработали мозги в 55 лет.Ура.😂
присоединяюсь)... мне 54
@@alexnikola7520
😉👍
@@alexnikola7520хм, молодые ишшо
Какие наши годы?
сложная задача... думаю, что маэстро намекает на то что треуг прямоуг... тогда можно продлить медиану ВМ и построить симметричный треуг... получится параллелограмм... в котором надо через равенство углов при диагоналях... или еще по какому признаку... доказать, что параллелогр вписан в окружность с центром в тчк М... тогда ответ 26... буду смотреть решение
Осталось объяснить почтеннейшей публике, откуда взялась гипотеза. Лично у меня вот откуда: кода-то давно я доказала теорему имени меня о том, что биссектриса прямого угла в пр. треугольнике делит угол между медианой и высотой пополам. А значит, углы между медианой и ближайшей к ней стороной и высотой и ближайшей к ней - равны. Напоминаю, что в прямоугольном треугольнике! Очень красивая задача, спасибо!
У мнея полилучилось, что центр O описанной окружности сопадает с М, то есть лежит на AC. ВСе. Ну, и ваши рассуждения норм.
Из точки М проводим прямую параллельную BC, с пересечением в АВ в точке О. Тогда О делит АВ пополам так как АМ = МС и МО параллельно ВС. Угол ВМО = 32 и угол ВНО = 32, по свойству что в точке О лежит центр описанной окружности АВН, отсюда следует что около точек ВМНО можно описать окружность и центр ее будет середина ВМ(точка Е). Тогда ЕО = ЕН = ЕВ = ЕМ. ЕО = 0.5АМ, так как соединяет центры АВ и АМ, но и ЕО = 0.5ВМ, отсюда следует что АМ = ВМ, треугольник АМВ - равнобедренный, дальше решение тривиально.
После того, как Вы доказали, что ВМНО можно вписать в окружность, можно немедленно получить искомый угол: ∡ОВМ = 180° - (90° + 32°) = 58° ⟹ х = 58° - 32° = 26°.
Симпатичное решение, большой +, что прямое.
Спасибо всем.
Да, тоже красиво получилось 👍
почему угол BHO равен 32 равен ?
@@glisskur8803по свойству описанной окружности вокруг прямого треугольника, ВНО - равнобедренный треугольник
ну да, суперски... я не догадался... но хоть думал в правильном направлении - и то хлеб)
Достроить АВС до параллелограмма треугольник АСВ1, и построить еще один треугольник АСВ2, симметричный АВС. Четырехугольник АВСВ2 вписан в окружность по признаку о сумме противолежащих сторон. На дугу СВ1 опираются два равных вписанных угла СВВ1 и САВ1. Они по 32 градуса. Дальше очевидно.
Спасибо за идею, пока непонятно "еще один треугольник АСВ2, симметричный АВС" относительно чего симметрия, точки, прямой, какой точки или прямой? Пояните просто. Вдруг классно получится.
Относительно АС
Ок, позже посмотрю
Спасибо!
У меня помуторней, но без ад абсурдум.
Строим прямный треугольник ВАК так, что угол ВАК прямой, а К лежит на продолжении ВМ. Треугольники АМК и ВМС подобные, откуда (АМ)^2=ВМ*МК. В прямном треугольнике АВС чевиана АМ -- среднее гармоничное отрезков гипотенузы. Т.к. АМ -- не высота, то она может быть только медианой (доказывается алгебраически, что отрезки гипотенузы равны). АМ =МК=ВМ. В треугольнике АВС медиана ВМ равна половине стороны АС , т е. АМ. Откуда треугольник АВС -- прямной.
Ответ:26°
Нашол геометрические доказательство того, что чевиана из прямого угла является ср. геометрическим отрезков гипотенузы тогда и только тогда, когда она либо высота, или медиана. Пусть гипотенуза суть диаметр описанной окружности. Тогда из вершины прямого угла можно провести только две хорды, делящиеся пополам гипотенузой-диаметром : перпендикуляр к нему и проходящий через центр окружности второй диаметр.
...... Кстати, из этих рассуждений вылезает еще одно "решение", когда точки Н и М совпадают, и искомый угол равен нулю
@@pojuellavid Да, норм.
Сходу, по моему любимому подобию. ∠А=90-32=58°. Высота отсекает больший подобный ΔВСН, т. е. ∠С тоже равен 32°, ∠СВН=58°. Отсюда оставшийся ∠ВНМ=58-32=26°.
Это неправильно. Они подобны только в прямоугольном треугольнике. А это не дано, а нужно доказать!
@@SB-7423 Спасибо.
нннн-у, это мне задание на вечер
А почему бы не дать задачу в формулировке:"Доказать, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом B тогда и только тогда, когда угол ABH равен углу СВМ, где ВН высота, а ВМ медиана"?
В одну сторону тривиально, в другую в точности совпадет с решением исходной задачи.
Плюс такой формулировки - забавный общий факт и несущественность того, чему равны углы.
Минус - не надо догадываться о прямоте угла B.
Есть,правда, одна проблема, как указали ниже - это неверно, равнобедренный треугольник тоже подойдет:))) Так что формулировать надо чуть-чуть аккуратнее.
Вы правы. Но задачи на доказательство в ютубе не смотрят.
Так вы не говорите никому, что это "задача на доказательство". Сразу начнут смотреть.
Не говоря уже о том, что в евклидовой геометрии любое доказательство можно, при желании, свести к механическому счету, поэтому никакой особой выделенной сущности "задачи на доказательство" не образуют.
А если пойти таким путем:1) продлим медиану на расстояние равное длине медианы.Получим точку D и четырехугольник ABCD .Легко доказать, что это параллелограмм. В нем AC и BD его диагонали, а точка М- центр симметрии параллелограмма (точка пересечения диагоналей параллелограмма есть центром его симметрии) кроме того точка М это центр описанной вокруг параллелограмма окружности.В доказательство привожу следующие рассуждения:(AC и BD два ее пересекающиеся диаметра. Но в параллелограмме АС и ВD диагонали. Они равны из следующих соображений: 1)медиана ВС делит тр-к АВС на два равновеликих тр-ка ; 2)диагонали АС и ВD парал-ма делят его на две пары равных треугольников 3) исходя из 1)и 2) имеем. 4 тр-ка равной площади S; 4) тр-ки ВСD и АDC равны, т.к. имеют по две равные стороны
ВС=АD( противоположные стороны параллелограмма) ,острому углу (угол САD=углу DВC-как вписанные и опирающиеся на общую сторону DC,которая является хордой в окружности) и имеют равные площади по 2S . Отсюда АС=ВD. Вывод: параллелограмм с равными диагоналями, которые делятся пополам в точке М, может быть только прямоугольником.И теперь нет ошибки в том, что вокруг параллелограмма описана окружность с центром в точке М,( Все его точки А,В, С и D принадлежат окружности с центром в точке М) и доказано, что параллелограмм является прямоугольником. Угол при вершине В =90° 32°+а+32°=90° , а=26°.Тогда ниже следующие рассуждения, действительно, излишни . Хотя, для убедительности, можно еще подчеркнуть : если. 1)АС диаметр окружности с центром в точке М,описанной вокруг тр-ка АВС, и 2)медиана ВМ равна половине диаметра АС , тогда угол АВС, опирающийся на диаметр, - прямой . В=32°+а+32°=90°, откуда а=26°
Как только Вы сказали, что : "...кроме того точка М это центр описанной вокруг параллелограмма окружности" , Вы автоматически положили МА = МВ = МС. А значит Вы априори положили ∠АВС =90. Дальше можно не продолжать! Вокруг параллелограмма невозможно описать окружность, поэтому выражение "...кроме того точка М это центр описанной вокруг параллелограмма окружности" не имеет никакого смысла. Откуда следует, что "параллелограмм вписан в окружность" ?? Что значит :
"...если параллелограмм вписан в окружность" ?? Это НЕВОЗМОЖНО! АС и ВД не могут быть диаметрами окружности. Учитель полролика доказывал от противного, что
точка М - это центр описанной около треугольника окружности! А у Вас всё так просто.
@@SB-7423Согласен.
@@samsungsmart7131 m =n НЕМЕДЛЕННО без всяких фокусов, так как в параллелограмме противоположные углы равны. 2) Указанные Вами треугольники
АКВ и ВNC равны(???) по какому признаку? Они подобны! Но никак не равны, так как Вы же сами отметили, что: "( в условии задачи не сказано, что АВ=ВС) "-
это цитата. А значит, треугольники НЕ РАВНЫ. Дальнейшее не имеет смысла. Указанные Вами высоты будут равны либо в ромбе, либо в КВАДРАТЕ.
В прямоугольнике они не равны. Вы никак таким путем не докажете, что угол В прямой.
@@samsungsmart7131 Вы успели подправить "доказательство", но это не помогает! "Остается второе угол В - прямой." - это цитата. А где первое? А первое в Вашей версии
было: "Ромб исключается ( в условии задачи не сказано, что АВ=ВС)". Угол между высотами в параллелограмме всегда равен соответствующему углу между сторонами!
Это очевидно. *Но это никак не делает его прямоугольником!!* Вы изменили первоначальную версию (я ее скопировал, она у меня есть!) . На неё я дал Вам ответ выше.
На вторую версию дан ответ здесь. Ваше "доказательство", если вчитаться, звучит так : угол В прямой, потому что он прямой, иначе не может быть.
@@SB-7423 Спасибо за комментарий к моему решение. Я изменила записи, в которых показала, что угол АВС прямой. Канва моих рассуждений такова: 1)продляю медиану ВМ на расстояние равное длине медианы; 2)рассматриваю четырехугольник АВСD и доказываю, что это параллелограмм; 3)Доказываю равенство диагоналей параллелограмма; 4)Выхожу на прямоугольник. Если у меня ложный путь или решение , прошу подсказать мне мои заблуждения.Буду вам признательна.
Опустим перпендикуляр из т. М на ВС в т. N . Из т. N проведем прямую параллельную АС , она пересечет ВМ в т. O , а АВ в т.К . Тр. МОN подобен тр. КОВ по трем углам , следовательно МN параллельна КВ , угол КВN= углу MNC=90 . Угол@=90-64=26
А какие ещё углы равны и почему? (кроме вертикальных). Это поспешный вывод.
Я не расписывал углы .В тр. МОN угол МСN=58-& , угол СМN=32+@ . В тр. МON угол ОNM=90-(58-@)=32+@ . Угол ОМN=180-32-(58-@)-32-@=58 ,угол MON=180-58-32-@=90-@ . В тр. КОВ угол =90-@,угол ОКВ=58, угол КВО32+& . В этих тр. Углы равны , следовательно они подобны.
@@user-rh6mm6mz9d В тр. МОN нет угла
МСN=58-&. Вы имели ввиду тр. МСN ?
@@user-rh6mm6mz9d С подобием разобрались. Откуда следует параллельность? По какому свойству?
Стороны МN и КВ расположены против скрещивают углов и расположены друг против друга , они параллельны.
Пусть АВ=ВС.Точки Н и М совпадают. Угол α=0°. Что я упустил???
ну ты докажи сначала что АВ=ВС
В условии же сказано, что не совпадают высота и медиана и на чертеже нет.
@@GeometriaValeriyKazakov Не сказано.
Тогда угол ABH будет 45, а не 32). Вообще, в условии можно взять любой угол ABH от 0 до 45, решение не меняется, ответ только другой).
Если уж Вы доказали, что ВD - диаметр, то разве недостаточно сказать, что два диаметра пересекаются в центре окр-ти?
АС -хорда делится диаметром на равные части, если она перпендикулярна диаметру или сама является диаметром.
@@user-vm4sz1qn2s Под двумя диаметрами я имел ввиду
ВD и РК, а не ВD и АС.
@@adept7474 Могли быть 2 точки пересечения, но теореме о пересечении прямых такая точка одна. Я это и отметил. Привычка к строгости. Окружности же могут иметь в пересечении 2 точки.
Как можно умудриться прозевать тривиальное решение? Высота и медиана могут совпадать.
Да, можно, если не читать условие задачи (под роликом), не читать название ролика (AB
ВМ - медиана, значит, ВМ=МС, значит, /_МВС=/_МСВ=32°, тогда /_ ВМС=180-32-32=116.°
Следовательно, /_ВМН=180-116=64°, а наша альфа= /_НВМ=180-90-64=26°
ВМ =МС только в прямоугольном треугольнике!
Для начала докажите что угол ACB=32°
@@SB-7423 Спасибо, что я вас попроосил, что будет много Лжедмитриев и вы откликнулись.
Решение для старшеклассников.
АМ=СМ=х;
∠А=90◦-∠АВН; ∠А=90◦-32◦=58◦;
∠С=90◦-∠СВН; ∠С=90◦-(32◦+𝜶)=58◦-𝜶;
В ∆АВМ, т. ВМ/sin∠A=AM/sin∠ABM;
BM/sin58◦=x/sin(32◦+𝜶); BM/x=sin58◦/sin(32◦+𝜶);
B ∆CBM, BM/sin∠CBM=CM/sin∠CBM;
BM/sin(58◦-𝜶)=x/sin32◦; BM/x=sin(58◦-𝜶)/sin32◦;
sin58◦/sin(32◦+𝜶)=sin(58◦-𝜶)/sin32◦;
sin58◦*sin32◦=sin(32◦+𝜶)*sin(58◦-𝜶); Если высота и медиана совпадают, то ∆АВС--равнобедренний и 𝜶=0◦
-sin58◦*sin32◦=-sin(32◦+𝜶)*sin(58◦-𝜶);
cos90◦-cos26◦=cos90◦-cos(2𝜶-26◦);
cos26◦=cos(2𝜶-26◦);
26◦=2𝜶-26◦; 2𝜶=52◦; 𝜶=26◦.
Ответ: 𝜶=26◦.
о-о!
Я уже нашёл, угол альфа равен 26 градусов, век воли не видать!
подписался
Сп.
А ПОЧЕМУ ДВА КАНАЛА ТЕПЕРЬ
Этот ютуб банит, после того как я на ДЗен канал открыл.
Так у нас есть прямоугольный треугольник, и не один, с которыми нужно оперировать, то есть сравнивать на подобие, и будет нам счастье с доказательством гипотезы Валерия Казакова, которая под таким названием р войдёт в историю Геометрии! Это не шутка юмора!
Да, это юмор шутки...
Teryaete korni. Alfa = 0 tozhe vozmozhno. Togda BD sovpadayet s PK, i M != O
"В тр-ке ABC проведены высота BH и медиана (не совпадают), кот орые образую равные углы по 32 градуса со сторонами AB и BC. Найти угол HBM." Это описание к ролику.
The condition under the video says: “In triangle ABC, the height BH and the median (do not coincide) are drawn...
Ah, vizhu v opisanii. No na slovax - neozvuchili. ;-)
Сказал в ролике "несовпадают", но, вы правы, в общем виде могут быть два корня: а) 0; б) 26. Как вам вообще задача? Понравилась? Наклейте буквы русской клавы. Очень рад, что вы на канале.
Zadacha norm, no ya oboshelsja bez prekras - razlomal trigonometriej ;). Bukvy russkoj klavy negde prikleit' :) - s mobily pishu - tut chtoby ru bukvy postavit' nado zamorochit'sja chutka...