Buenas, según con la profundidad con que se mire, el tema de los conjuntos compactos puedes ser complicado o no. En los cursos en de introducción al análisis real, se ve la compacidad en los espacios R^{n}, los cuales son todos de dimensión finita (n). Puedes consultar por curiosidad el libro Análisis matemático - Tom Apostol, en el cual se trata el tema en la sección 3.12. La definición de compacto es que de cada recubrimiento abierto que haya del conjunto (un matiz, "recubrimiento abierto" quiere decir recubrimiento por un conjunto que es unión conjuntos abiertos), se puede extraer un subrecubrimiento finito (te puedes quedar con una cantidad finita de conjuntos abiertos de los que forman el "recubrimiento abierto"). Como ejemplo de la definición, se suele comprobar que el conjunto de puntos de la sucesión 1/n no es compacto, pero sin embargo, este mismo conjunto más el 0 sí que es un conjunto compacto (os propongo que demostréis esto, basta encontrar una forma de recubrir con abiertos los puntos 1/n, de la cuál no te puedas quedar con una cantidad finita de ellos que sigan recubriendo el conjunto; y después, ver que si metes el 0, de cualquier manera que lo recubras, te puedes quedar con una cantidad finita). Aunque parece una definición muy macabra, al estar en un espacio de dimensión finita, se simplifica mucho, porque como puedes ver en el mismo libro, se demuestra que en R^{n} la definición de compacto es equivalente a conjunto cerrado y acotado. En las asignaturas más avanzadas de matemáticas, se estudian espacios más genéricos, los llamados espacios de Banach, en los que están incluidos los R^{n}, pero hay muchos más. Los típicos ejemplos de espacios de Banach de dimensión infinita son los espacios (ele minúscula)l^{p} de sucesiones infinitas con norma p finita o los espacios L^{p} de funciones de norma p finita. En estos casos, la definición de compacto no es equivalente a cerrado y acotado por culpa de que se tratan de espacios de dimensión infinita (la afimación "compacto implica cerrado y acotado" casi siempre, más concreto, "compacto implica acotado" se da siempre, y "compacto implica cerrado" se da bajo las condición de que el espacio cumpla uno de los axiomas de separación, creo que era el de Hausdorff; sin embargo, la condición "cerrado y acotado implica compacto" es la que no se cumple por culpa de la dimensión del espacio). De hecho, se trata de una relación de equivalencia: Un espacio normado E es de dimensión finita si, y solo si, todo subconjunto cerrado y acotado es compacto. El libro que yo seguí en clase y donde se pueden obtener muchísimos más detalles es Functional Analysis - Limaye. Espero no haber metido ningún gazapo en el comentario, revisándolo, creo que no. Para todos los nombres raros mencionados, wikipedia siempre tiene algo de información (mucha más en inglés). Un saludo.
Este es el Reto que le puso Javier a los Matemáticos Del grupo, Explicar de manera intuitiva lo siguiente: Un Espacio TopológicoX se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X cualquiera, existe un subrecubrimiento finito del mismo. Buena suerte Amigos
Adalberto L. Una definición equivalente a esta es que X sea cerrado y acotado, cerrado quiere decir (en el caso de subconjuntos de R^n) que la "frontera" está incluida en X (por ejemplo el intervalo ]2,3] no es cerrado porque no incluye a 2), y acotado quiere decir que las normas de estos son acotadas o equivalentemente que ningún valor del conjunto crece indefinidamente llendo a infinito (porejemplo [-3,∞[ no es acotado porque no hay una cota para los valores que este contiene, [-7,2[ si es acotado). Por lo tanto comoacto en general son conjuntos en el espacio tal que no se van a infinito y su frontera está incluida en el conjunto, como el circulo cerrado {(x,y) | x²+y²≤ R² } o esferas o intervalos cerrado. Salu2 c: Por un amiguito de tercer año de física
@@borisnicolasvalderrama6990 muy impresionante explicación, esa no la sabía y la verdad simplemente yo tenía solo una idea intuitiva del concepto y con esto lo tengo más claro, yo soy el amiguito pero de tercero de Kinder, gracias y saludos
@@tensoescalar1 Un placer, igual me faltó agregar algunas presicione, pero para este curso o para la física en general lo veo sufieciente. Espero que se haya entendido ^-^
@@BorisNVM No entendí perfectamente, inclusive eso me recuerda el famoso teorema de que sólo existe una superficie que sea conexa compacta y de clase suficientemente alta para tener la curvatura gaussiana constante es decir las esferas, porque la pseudoesfera no puede ser otra superficie que cumpla con eso? Porque no es compacta, y con tu explicación acerca de Qué debe de ser limitada Entonces ya queda perfectamente clara la idea, muchas gracias y un saludo
@@tensoescalar1 Igual para ser precisos, mentí un poco con la definición de cerrada, porque existen conjuntos cerrados no acotados (como los reales), la verdadera definición de cerrado es que el complemento ( todo lo que no pertenece al conjunto) es abierto ( es decir, para cada punto en este existe una vecindad o bola que está dentro del mismo conjunto), pero para conjuntos acotados el uso de la palabra frontera es útil. Que todo punto en la frontera este dentro del conjunto es lo mismo que decir que el conjunto sea cerrado (por lo menos para los conjuntos acotados euclideos) . Te sugiero buscar alguna ayuda visual para ver cuando un conjunto es cerrado, y cuando es acotado, ya que según solo hay que digerirlo un poquito, seguro que lo entenderas :)
You prolly dont care but does any of you know a method to get back into an instagram account? I somehow lost the login password. I would appreciate any tips you can give me
@Shawn Keenan thanks for your reply. I got to the site on google and im trying it out atm. I see it takes quite some time so I will reply here later with my results.
Otra "función de compresión" que se podría usar para lo explicado en el minuto 36 sería la función error (erf(x)), cuya derivada es la gaussiana y tiene la ventaja para hacer cuentas de que erf (x) aprox = x para -0.7 < x < 0.7. Supongo que los diagramas de Penrose no cambiarían demasiado. Si sigue la "cuar-eterna" tal vez me ponga a hacer las cuentas y lo compruebe. Gracias Javier por las clases.
Sigo poniéndome al día, aquí van las que he identificado:crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/#capitulo-47 Se agradecen las correcciones.
Un conjunto es compacto si dado un conjunto que lo cubra o lo tape, de ese nuevo conjunto mayorante, podemos escoger una cantidad finita de subconjuntos que tapen o cubran al primero. Esto es el teorema de recubrimiento o teorema de Heine Borell. O dicho de otro modo, un conjunto que no está acotado, y dado una pieza que lo tape, de esta pieza no se puede escoger un numero finito de piezas para tapar o cubrir dicho conjunto no acotado. Por lo que en este último caso, no es compacto. O sea lo he puesto de una manera informal para que lo pueda entender una persona que no tenga sólidos conocimientos de matemáticas avanzadas. Notar que aquí en ningun momento he mencionado o introducido la palabra "Topología, ni Espacio Topológico"; porque si no, una persona que no sepa mucha matemática, se perdería en un callejón sin salida. De manera que lo que he hecho aquí es reducir al máximo posible la definición sin perder la idea. Por eso dije más arriba que esto es una explicación lo más informal posible. Sin mucho rigor matemático.
Estoy en 1° de Física y acabo de terminar de ver este vídeo, ¿estoy bien? Lo mejor es que sólo he visto un par de vídeos de la serie y he entendido bastantes cosas. Al menos a nivel matemático. Pd.: Muchas gracias por esta serie tan interesante, tengo ya ganas de que llegue el verano para verla con calma y tomando apuntes. Un abrazo.
Te recomiendo empezar por el primero e ir avanzando. Tu comprensión de conceptos complicados irá mejorando a cada capítulo. La inversión de tiempo vale la pena. Feliz año nuevo y saludos de tu tocayo (Jordi es Jorge en catalán)
Contribución matemática simple al caso que se plantea: espacio compacto(en espacios vectoriales finito dimensionales) es conjunto cerrado y acotado Cerrado: Contiene a su "borde" Acotado: Se puede meter dentro de una bola Intuitivamente hablando un espacio compacto es un espacio que se parece a un espacio finito No creo que sean necesarias las definiciones generales en topología de espacio compacto
Gracias por las respuestas de los compañeros matemáticos. Para un no-matemático como yo, la definición tiene que simplificarse un poco más. 1) una región R compacta no llega al infinito 2) no tiene "agujeros" 3) no tiene "trozos de su frontera eliminados" 4) dicha región tiene la propiedad de ue cualquier secuencia infinita de puntos en R debe "acumularse" dentro de R. P. ej. El plano euclideo infinito no es compacto, mientras que la superficie de una esfera o un toro sí lo son. (Roger Penrose dixit). Perdonad por la grosera explicación.
Tu punto 2) no es correcto. Por ejemplo, en R^{2}, si tomas como conjunto la bola cerrada centrada en cero y de radio dos, y le quitas la bola abierta de radio uno, es un conjunto compacto con un "agujero".
Javier estoy viendo tu video y en el minuto 24 con 32 segundos le pediste a un matemático que explicará de una manera entendible Qué quiere decir el concepto de compacto pero la forma en que lo dijiste ahora sí me hizo no reír Me estoy carcajeando dices de una manera que uno humano lo puede entender jajaja, eso estuvo muy bueno Y bueno pues es que creo que el concepto de espacio compacto que es un concepto topológico es bastante difícil de entender la primera vez pero la idea es bastante intuitiva si la hacemos que se parezca a un espacio cerrado que no es lo mismo pero que tiene un parecido suficiente para tener la idea intuitiva no te parece?
Lo que nunca he entendido es si el espacio tiempo es de cuatro dimensiones la métrica desde el punto de vista matemático es la norma. La suma de los cuadrados de las coordenadas. Porque ct es negativo. Ya se que es para hacer cero la métrica a la velocidad de la luz. Pero sigo sin ver porque es justo la coordenada t negativa
@Gorka Jon cierto. El tiempo no podría ser otra coordenada espacial? Me refiero a que sin son 4 dimensiones espacio temporales. Ser homogéneas entre sí. Pero aún así el tiempo va solo en una dirección y el espacio no. Puede ser que la dirección del tiempo sea el futuro por la flecha cosmológica de expansión y la dirección del espacio sea aumentar por lo mismo.
La otra manera de definirlo sería que un conjunto contenido en Rⁿ es compacto si todo cubrimiento abierto admite un subcubrimiento finito. Sería algo así como si hay un montón de gente y está lloviendo, entonces todo el mundo saca un paraguas, si las personas están compactas entonces solo se necesita que un número finito de personas abra su paraguas, entonces al estar todas muy juntas las pocas que no tienen paraguas no se mojan.
![48 - Curso Relatividad General [Diagrama de Penrose de un AGUJERO NEGRO]](http://i.ytimg.com/vi/MkNmZnCt4zc/mqdefault.jpg)
![48 - Curso Relatividad General [Diagrama de Penrose de un AGUJERO NEGRO]](/img/tr.png)
![18 - Curso de Relatividad General [Cómo construir el espaciotiempo]](http://i.ytimg.com/vi/Ms1vgQwDRgg/mqdefault.jpg)
![36 - Curso Relatividad General [La gravedad según NEWTON]](http://i.ytimg.com/vi/S8TI4yFAG00/mqdefault.jpg)
Buenas, según con la profundidad con que se mire, el tema de los conjuntos compactos puedes ser complicado o no. En los cursos en de introducción al análisis real, se ve la compacidad en los espacios R^{n}, los cuales son todos de dimensión finita (n). Puedes consultar por curiosidad el libro Análisis matemático - Tom Apostol, en el cual se trata el tema en la sección 3.12. La definición de compacto es que de cada recubrimiento abierto que haya del conjunto (un matiz, "recubrimiento abierto" quiere decir recubrimiento por un conjunto que es unión conjuntos abiertos), se puede extraer un subrecubrimiento finito (te puedes quedar con una cantidad finita de conjuntos abiertos de los que forman el "recubrimiento abierto"). Como ejemplo de la definición, se suele comprobar que el conjunto de puntos de la sucesión 1/n no es compacto, pero sin embargo, este mismo conjunto más el 0 sí que es un conjunto compacto (os propongo que demostréis esto, basta encontrar una forma de recubrir con abiertos los puntos 1/n, de la cuál no te puedas quedar con una cantidad finita de ellos que sigan recubriendo el conjunto; y después, ver que si metes el 0, de cualquier manera que lo recubras, te puedes quedar con una cantidad finita). Aunque parece una definición muy macabra, al estar en un espacio de dimensión finita, se simplifica mucho, porque como puedes ver en el mismo libro, se demuestra que en R^{n} la definición de compacto es equivalente a conjunto cerrado y acotado. En las asignaturas más avanzadas de matemáticas, se estudian espacios más genéricos, los llamados espacios de Banach, en los que están incluidos los R^{n}, pero hay muchos más. Los típicos ejemplos de espacios de Banach de dimensión infinita son los espacios (ele minúscula)l^{p} de sucesiones infinitas con norma p finita o los espacios L^{p} de funciones de norma p finita. En estos casos, la definición de compacto no es equivalente a cerrado y acotado por culpa de que se tratan de espacios de dimensión infinita (la afimación "compacto implica cerrado y acotado" casi siempre, más concreto, "compacto implica acotado" se da siempre, y "compacto implica cerrado" se da bajo las condición de que el espacio cumpla uno de los axiomas de separación, creo que era el de Hausdorff; sin embargo, la condición "cerrado y acotado implica compacto" es la que no se cumple por culpa de la dimensión del espacio). De hecho, se trata de una relación de equivalencia: Un espacio normado E es de dimensión finita si, y solo si, todo subconjunto cerrado y acotado es compacto. El libro que yo seguí en clase y donde se pueden obtener muchísimos más detalles es Functional Analysis - Limaye. Espero no haber metido ningún gazapo en el comentario, revisándolo, creo que no. Para todos los nombres raros mencionados, wikipedia siempre tiene algo de información (mucha más en inglés). Un saludo.
Muchas gracias!
Este es el Reto que le puso Javier a los Matemáticos Del grupo, Explicar de manera intuitiva lo siguiente:
Un Espacio TopológicoX se dice compacto si, dado un recubrimiento abierto de X cualquiera, existe un subrecubrimiento finito del mismo.
Buena suerte Amigos
Adalberto L. Una definición equivalente a esta es que X sea cerrado y acotado, cerrado quiere decir (en el caso de subconjuntos de R^n) que la "frontera" está incluida en X (por ejemplo el intervalo ]2,3] no es cerrado porque no incluye a 2), y acotado quiere decir que las normas de estos son acotadas o equivalentemente que ningún valor del conjunto crece indefinidamente llendo a infinito (porejemplo [-3,∞[ no es acotado porque no hay una cota para los valores que este contiene, [-7,2[ si es acotado). Por lo tanto comoacto en general son conjuntos en el espacio tal que no se van a infinito y su frontera está incluida en el conjunto, como el circulo cerrado {(x,y) | x²+y²≤ R² } o esferas o intervalos cerrado. Salu2 c: Por un amiguito de tercer año de física
@@borisnicolasvalderrama6990 muy impresionante explicación, esa no la sabía y la verdad simplemente yo tenía solo una idea intuitiva del concepto y con esto lo tengo más claro, yo soy el amiguito pero de tercero de Kinder, gracias y saludos
@@tensoescalar1 Un placer, igual me faltó agregar algunas presicione, pero para este curso o para la física en general lo veo sufieciente. Espero que se haya entendido ^-^
@@BorisNVM No entendí perfectamente, inclusive eso me recuerda el famoso teorema de que sólo existe una superficie que sea conexa compacta y de clase suficientemente alta para tener la curvatura gaussiana constante es decir las esferas, porque la pseudoesfera no puede ser otra superficie que cumpla con eso? Porque no es compacta, y con tu explicación acerca de Qué debe de ser limitada Entonces ya queda perfectamente clara la idea, muchas gracias y un saludo
@@tensoescalar1 Igual para ser precisos, mentí un poco con la definición de cerrada, porque existen conjuntos cerrados no acotados (como los reales), la verdadera definición de cerrado es que el complemento ( todo lo que no pertenece al conjunto) es abierto ( es decir, para cada punto en este existe una vecindad o bola que está dentro del mismo conjunto), pero para conjuntos acotados el uso de la palabra frontera es útil. Que todo punto en la frontera este dentro del conjunto es lo mismo que decir que el conjunto sea cerrado (por lo menos para los conjuntos acotados euclideos) . Te sugiero buscar alguna ayuda visual para ver cuando un conjunto es cerrado, y cuando es acotado, ya que según solo hay que digerirlo un poquito, seguro que lo entenderas :)
La parte de la validez de (X,T) a partir del minuto 49:33 es programación lineal dada por el matemático ruso Kolmogorov
Wow tres dias, tres videos (dos del curso) ahora que me habia acostumbrado al ritmo anterior esto ha sido un regalo navideño :)
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I somehow lost the login password. I would appreciate any tips you can give me
@Hendrix Quinton instablaster =)
@Shawn Keenan thanks for your reply. I got to the site on google and im trying it out atm.
I see it takes quite some time so I will reply here later with my results.
@Shawn Keenan It did the trick and I actually got access to my account again. Im so happy!
Thanks so much, you saved my ass!
@Hendrix Quinton happy to help :D
Otra "función de compresión" que se podría usar para lo explicado en el minuto 36 sería la función error (erf(x)), cuya derivada es la gaussiana y tiene la ventaja para hacer cuentas de que erf (x) aprox = x para -0.7 < x < 0.7. Supongo que los diagramas de Penrose no cambiarían demasiado. Si sigue la "cuar-eterna" tal vez me ponga a hacer las cuentas y lo compruebe. Gracias Javier por las clases.
Sigo poniéndome al día, aquí van las que he identificado:crul.github.io/CursoRelatividadGeneralJavierGarcia/#capitulo-47
Se agradecen las correcciones.
Un conjunto es compacto si dado un conjunto que lo cubra o lo tape, de ese nuevo conjunto mayorante, podemos escoger una cantidad finita de subconjuntos que tapen o cubran al primero. Esto es el teorema de recubrimiento o teorema de Heine Borell. O dicho de otro modo, un conjunto que no está acotado, y dado una pieza que lo tape, de esta pieza no se puede escoger un numero finito de piezas para tapar o cubrir dicho conjunto no acotado. Por lo que en este último caso, no es compacto. O sea lo he puesto de una manera informal para que lo pueda entender una persona que no tenga sólidos conocimientos de matemáticas avanzadas.
Notar que aquí en ningun momento he mencionado o introducido la palabra "Topología, ni Espacio Topológico"; porque si no, una persona que no sepa mucha matemática, se perdería en un callejón sin salida. De manera que lo que he hecho aquí es reducir al máximo posible la definición sin perder la idea. Por eso dije más arriba que esto es una explicación lo más informal posible. Sin mucho rigor matemático.
Gracias
Muy buen video, muy bellamente explicado, gracias y saludos
Lo puedes ver como en el ejemplo que citas: "intervalos cerrados y acotados".
excelente Javier!!!
Estoy en 1° de Física y acabo de terminar de ver este vídeo, ¿estoy bien? Lo mejor es que sólo he visto un par de vídeos de la serie y he entendido bastantes cosas. Al menos a nivel matemático.
Pd.: Muchas gracias por esta serie tan interesante, tengo ya ganas de que llegue el verano para verla con calma y tomando apuntes. Un abrazo.
Te recomiendo empezar por el primero e ir avanzando. Tu comprensión de conceptos complicados irá mejorando a cada capítulo. La inversión de tiempo vale la pena. Feliz año nuevo y saludos de tu tocayo (Jordi es Jorge en catalán)
En primero no se da ni siquiera tensores que es fundamental para dar relatividad, pero ánimos, que ya los daras. Y si los dais, que universidad es???
Contribución matemática simple al caso que se plantea:
espacio compacto(en espacios vectoriales finito dimensionales) es conjunto cerrado y acotado
Cerrado: Contiene a su "borde"
Acotado: Se puede meter dentro de una bola
Intuitivamente hablando un espacio compacto es un espacio que se parece a un espacio finito
No creo que sean necesarias las definiciones generales en topología de espacio compacto
Gracias Andrés! Muy útil tu explicación!
Gracias por las respuestas de los compañeros matemáticos. Para un no-matemático como yo, la definición tiene que simplificarse un poco más.
1) una región R compacta no llega al infinito
2) no tiene "agujeros"
3) no tiene "trozos de su frontera eliminados"
4) dicha región tiene la propiedad de ue cualquier secuencia infinita de puntos en R debe "acumularse" dentro de R.
P. ej. El plano euclideo infinito no es compacto, mientras que la superficie de una esfera o un toro sí lo son.
(Roger Penrose dixit).
Perdonad por la grosera explicación.
Tu punto 2) no es correcto. Por ejemplo, en R^{2}, si tomas como conjunto la bola cerrada centrada en cero y de radio dos, y le quitas la bola abierta de radio uno, es un conjunto compacto con un "agujero".
@@raspildangui Con el 2) se le llamaría ademas "conexo", no?
Recuerdo de cuando estaba en 2º de físicas.
Creo haber visto algún vídeo del canal de "Derivando" que explica un poco por encima y para todos los públicos que es un conjunto compacto.
Javier estoy viendo tu video y en el minuto 24 con 32 segundos le pediste a un matemático que explicará de una manera entendible Qué quiere decir el concepto de compacto pero la forma en que lo dijiste ahora sí me hizo no reír Me estoy carcajeando dices de una manera que uno humano lo puede entender jajaja, eso estuvo muy bueno Y bueno pues es que creo que el concepto de espacio compacto que es un concepto topológico es bastante difícil de entender la primera vez pero la idea es bastante intuitiva si la hacemos que se parezca a un espacio cerrado que no es lo mismo pero que tiene un parecido suficiente para tener la idea intuitiva no te parece?
Lo que nunca he entendido es si el espacio tiempo es de cuatro dimensiones la métrica desde el punto de vista matemático es la norma. La suma de los cuadrados de las coordenadas. Porque ct es negativo. Ya se que es para hacer cero la métrica a la velocidad de la luz. Pero sigo sin ver porque es justo la coordenada t negativa
@Gorka Jon cierto. El tiempo no podría ser otra coordenada espacial? Me refiero a que sin son 4 dimensiones espacio temporales. Ser homogéneas entre sí. Pero aún así el tiempo va solo en una dirección y el espacio no. Puede ser que la dirección del tiempo sea el futuro por la flecha cosmológica de expansión y la dirección del espacio sea aumentar por lo mismo.
@Gorka Jon me refiero a la expansión del universo (tiempo futuro y espacio estirarse)
z gorrito a gorrito y gorrito al cuadrado ,en mexico lo decimos de forma distinta pero esta gracioso
24:18 cerrado y acotado.
La otra manera de definirlo sería que un conjunto contenido en Rⁿ es compacto si todo cubrimiento abierto admite un subcubrimiento finito.
Sería algo así como si hay un montón de gente y está lloviendo, entonces todo el mundo saca un paraguas, si las personas están compactas entonces solo se necesita que un número finito de personas abra su paraguas, entonces al estar todas muy juntas las pocas que no tienen paraguas no se mojan.
xdddddd
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Gracias
Gracias