➤Vê o VÍDEO ATUALIZADO DE LIMITES: th-cam.com/video/m40pQ1e6Mlk/w-d-xo.html ⭐LINKS IMPORTANTES, ERROS E NOTAS⭐ ====🔴LINKS IMPORTANTES🔴==== ✅ O MEU LIVRO DE MATEMÁTICA A: loja.ricardo-ferreira.pt/produto/exame-matematica-a/ ✅ TIRA DÚVIDAS NO DISCORD: discord.gg/S6JZ48wzuf ✅ PLAYLIST DE MATEMÁTICA A: th-cam.com/play/PLmXHtzilUbISk011NSfFmmnffTWbzJnLO.html =====🟡ERROS E NOTAS🟡======
É bom saber, Tiago! Curiosamente, o meu problema tem sido exatamente esse: decidir o que fazer daqui para a frente - as possibilidades são muitas! Mas acho que é bom sinal. Continuação de bom trabalho, Tiago! E toca a bombar! 😁🔥
Muito obrigado pelo esclarecimento. Tinha bastantes dúvidas nesta matéria, com este vídeo fiquei a entender melhor os truques que são necessários principalmente para chegar a limites notáveis. Obrigado amigo
Ainda bem que pude ajudar! Era mesmo esse o objetivo deste vídeo - resolver limites torna-se fácil quando nós sabemos quais são os truques ao nosso dispor! Tudo de bom, amigo. E se fores a exame, toca a esmigalhar! 😁🔥
Aiinn que deliciaaaa de vídeoooo :))) Falando a sério estou apaixonada wtf hshdhdjjdjdhdj A tua empolgação faz me perder o nervosismo para o exame(?) Muito obrigada por fazeres estes vídeos! Em apenas um nanosegundo de vídeo arrasaste com qualquer um dos meus professores (queria estar a mentir sjjsjsjs) Ps: amei a tecnica proibida.. e vamos de usá-la até eu desviver dhhdhdhd
Adoro o teu entusiasmo, Catarina! 😍 E fico muito contente que estejas a perder o nervosismo! Mesmo que os teus professores não sejam os melhores, o que interessa és tu - com o teu empenho, tens tudo para arrasar no exame! 😉🔥 PS: Ótimas notícias, Catarina! Teremos novo vídeo muito em breve (em que eu resolvo um exame e explico todo o meu raciocínio e estratégia). Espero que gostes! 😁
@@Ricardo-Ferreira de nadaaa eu estou a ver todos os videos :))) sedenta estou para ver esse vídeo novo também.. tenho a certeza que vai ser mais um video icónico com os teus truques manhosos kskskdjj
Muito obrigado, Alexandrina! Foi a pensar nos estudantes que criei estes vídeos (lembro-me que era muito difícil rever toda a matéria para o exame - mas com estes vídeos, fica fácil!!!) Tudo de bom, Alexandrina, e tenha uma ótima semana!
Muito obrigada, pelo trabalho que tiveste a desenvolver estes videos no teu canal. Estão ótimos! Super esclarecedores e são uma otima maneira de rever os conteudos mais relevantes para o exame! Tudo de bom!
Conheço sim! Podias me dizer qual o teu Instagram? Teria todo o prazer em divulgar-te também por lá! Se quizeres, claro. Gostei mesmo dos teus vídeos, são super úteis. O pessoal precisa de te conhecer.
Adoro o teu entusiasmo, Beatriz! Desde já agradeço toda a ajuda - acho que faremos uma bela equipa! Nunca tinha pensado em criar Instagram - achas que seria uma boa ideia?
@@dids1860 Ainda bem que gostaste, DIDS!!! Mais ideias geniais estão a caminho! (espero eu :P). E se tu próprio tiveres ideias para novos vídeos, diz-me que eu quero saber! De qualquer modo, que tudo te corra na melhor (e se não for pedir, faz uma propangadinha ao vídeo ;P). Diverte-te :)
Encontrei um erro no 6:50,no terceiro exemplo onde limite de X →infinito ficou mal escrito para limite de x →0 , alem disso o resultado tambem deu mais infinito sobre zero(nao sei se fiz calculos mal ou esta ai qualquer coisa ma). Mas obrigado na msm pelo o seu video !^^
Bingo, Kainé! Vou já colocar uma nota nos comentários a avisar do erro (e claro, com um agradecimento especial para ti! 😁🔥). Tens razão, Kainé: o limite dá +infinito/0^+. E isso não é problema nenhum! Porque +infinito/0^+ é igual a +infinito! PORQUÊ? Repara que +infinito/0^+ é o mesmo que (+infinito)x(1/0^+). Mas lembra-te que 1/0^+ é igual a +infinito. Por isso, fica (+infinito)x(+infinito), que é igual a +infinito! Muito obrigado pela dica Kainé! E já sabes: se precisares, cá estarei! 😁🔥
Estamos juntos, João😁🔥 Agora, 3 missões: 1. Vê também a minha nova explicação de limites, que é mais completa: th-cam.com/video/m40pQ1e6Mlk/w-d-xo.html 2. Compra o meu livro "Arrasa no Exame: em 7 dias - Matemática A" porque te ensina toda a matéria do zero através de exercícios: loja.ricardo-ferreira.pt/produto/exame-matematica-a/ 3. Partilha este canal com todos os teus amigos, familiares e desconhecidos, porque mais pessoas precisam de saber disto! Continua o bom trabalho, João. E se for caso disso, esmigalha-me esse exame! 😁🔥
Ainda bem que ajudou, Luísa! Espreita também: ➤ Novo vídeo de Limites: th-cam.com/video/m40pQ1e6Mlk/w-d-xo.html ➤ Ficha Grátis de Limites: ricardo-ferreira.pt/wp-content/uploads/2022/11/Ficha-Exercicios-Limites-de-Funcoes-11-12-ano-Matematica.pdf ➤ Mais exercícios, testes, vídeos, resumos, TUDO: ricardo-ferreira.pt/recursos/secundario/ ➤ Meu livro de Matemática A: loja.ricardo-ferreira.pt/produto/exame-matematica-a/ Continua o bom trabalho, Luísa! E já sabes: eu estarei cá para o que precisares! 😁🔥
Olá denovo, estou a gostar muito dos teus videos espero que continues com o teu bom trabalho, no entanto queria confirmar se no minuto 13:55, o limite apresentado assim não nos vai dar indeterminaçao do tipo inf*inf(+inf/0)? neste caso poderiamos usar a tecnica da corrida para +inf quando o limite tem a forma de lim x->inf(e^x/ln(x)) já que nos foi dito que ln(x) é o mais lento e e^x o mais rapido? uma sugestão seria o uso da regra de l'hôpital para escolhas multiplas/confirmação de respostas visto que é uma regra simples fácil e eficaz! obrigado desde já :D
Oi oi de novo Mateus! E eu gosto das tuas perguntas porque dão-me sempre que pensar!
(1) Primeiro ponto: inf*inf (ou então, +inf/0) não é uma indeterminação! Isto porque os limites "concordam" - tanto um infinito (+inf) como o outro infinito (1/0) estão a ir para infinito, por isso o limite é infinito. Indeterminação é quando os limites "discordam", - por exemplo, na indeterminação 0*inf, um está a querer ficar super pequeno (o 0) e o outro está a querer ficar super grande (por isso não podemos dizer imediatamente qual é que "ganha"). Mas no caso inf*inf, os dois querem ir para o mesmo lado, por isso "ganham" os dois e por isso nós sabemos o limite. Talvez já reparaste nisto, mas na verdade só existem duas indeterminações (uma para somas, outra para multiplicações). Estas são o inf-inf e o 0*inf (isto porque 0/0, inf/inf e 0*inf são todos a mesma indeterminação, em que um quer ficar muito pequeno, e o outro muito grande). A indeterminação inf-inf é a mesma questão, um quer ficar muito pequeno (-inf) e o outro muito grande (+inf). Pessoalmente, eu não gosto de falar sobre indeterminações - para mim a única coisa que interessa é se dá para substituir logo ou não. Se der ótimo. Se não, temos de arranjar um limite notável.
(2) Segundo ponto: Intuitivamente é essa a ideia: o e^x é o mais rápido e o ln(x) é o mais lento, por isso o e^x “ganha” e o limite é infinito (acho ótimo pensares em limites desta maneira!). Para uma resposta formal, acho mais correto usar os limites notáveis - à partida, nós não sabemos que o e^x é o mais rápido e o lnx o mais lento. Mas nós sabemos (pelos limites notáveis) que o e^x é mais rápido que o x e que o x é mais rápido que o ln(x). Por isso é que nós fazemos aparecer o x/x. Ao fazer aparecer o x/x e usar os limites notáveis, nós estamos basicamente a dizer que “não sabemos comparar diretamente o e^x e o ln(x), mas sabemos comparar o e^x com o x e o x com o ln(x)”. De certo modo, a ideia é “falar com matemática” em vez de “falar com palavras” (as palavras são boas para percebermos o que se está a passar, e depois a matemática é boa para garantir que a nossa intuição estava correta).
(3) Terceiro ponto: A regra de l’hôpital é sem dúvida um truque gostoso, especialmente como “sanity check”, ou seja, para verificar se a tua resposta está correta. Tenho andado a pensar em que contexto faria sentido falar esta regra (sem dúvida num “resumo de análise matemática ensino superior”, talvez num vídeo de “truques avançados para verificar respostas” ou talvez numa versão atualizada de “truques de limites”). Claro, se tiveres alguma sugestão, tenho todo o gosto em ouvir!
Espero que tenhas gostado do testamento, Mateus 😋 (pelo que consegui ver da tua personalidade, acho que sim!) E se tiveres mais perguntas gostosas, venham elas! 😁🔥
@@Ricardo-Ferreira Boa noite ricardo! mas se nós metermos o limite de baixo para o lado ficando 1*Ln x/x isso tende para 0 ou seja fica a indeterminação inf*0, estarei a pensar da maneira correta?
@@goncaloalmeida8846 Escapou-te um pormenor importante, Gonçalo: tens uma dupla fração, por isso se meteres o limite de baixo para o lado, fica 1/(Ln x/x), ou por outras palavras, x/Lnx. Este limite é inf (e não 0). Regra geral, quando temos dúvidas se estamos certos ou não, a primeira coisa a fazer é questionar as nossas suposições (normalmente quando erramos, a nossa lógica até estava correta, mas partimos de suposições erradas). Isto até é útil quando estás à caça de erros nos teus exercícios de Matemática (os erros normalmente aparecem quando supões que algo que é verdade mas que afinal não é - por isso se estás à caça de erros, é nas tuas suposições que deves procurar primeiro). Espero que estejas mais esclarecido. Tudo de bom, Gonçalo! 😁
Obrigada antes de mais pelo video. Até ao teu video, mesmo com explicações e professor de matemática não percebia muito bem os limites. Sabes se a "Técnica Proibida " é aceite em exame ou temos que demonstrar utilizando os limites notáveis e mudanças de variável e este método fica só para garantirmos que o nosso exercício está correto? Para mim, esta técnica é bastante mais fácil por causa das derivadas. Obrigada
Oi oi, Inês! A técnica proibida não tem nada de proibida! No fundo, só estás a aplicar a definição de derivada. Como tanto a definição de derivada como os teus conhecimentos de derivadas estão no programa, então não há nenhuma razão para não a poderes usar. O meu único conselho é que expliques muito bem o que estás a fazer, para que quem está a corrigir perceba que tu percebes. Já sabes, Inês, cá estarei para o que precisares. Toca a esmigalhar! 😁🔥
Olá professor Ricardo, estava aqui a preparar me para a segunda fase deste ano e no minuto 19:28 tenho uma dúvida, não percebo como vou aplicar o limite notável do seno! Obrigado pela a ajuda e continuação de bom trabalho!
Oi oi Flávio! Lembra-te da fórmula fundamental da trigonometria: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Graças a ela, podes substituir o 1-cos^2(x) que está no numerador por sin^2(x). Agora já fizeste aparecer o seno no numerador, por isso já temos o nosso limite notável! 😁🔥 🔴 TRATA-ME POR RICARDO! Já agora, Flávio, trata-me só por Ricardo (ser chamado de Professor faz-me sentir um idoso 😂). 🔴 QUERES EXERCÍCIOS PARA TREINAR? E já agora, Flávio, se queres praticar mais exercícios de limites para o exame, eu tenho a solução perfeita! Uma ficha de exercícios com soluções, resumos teóricos e links para explicações em vídeo! ✅drive.google.com/file/d/17BhvPKYmuswv97-mvkMJ5mRflF9d5qUk/view?usp=sharing E se gostares desta ficha, eu estou a criar um "livro" de exercícios com toda a matéria. ➡️ VOLUME I: Geometria, Trigonometria e Complexos go.hotmart.com/X58713299X ➡️ VOLUME II Sucessões, Funções e Limites go.hotmart.com/N58755419N 🔴BOM TRABALHO! Continua o ótimo trabalho, Flávio! E já sabes: cá estarei para o que precisares! 😁🔥
Obrigado Ricardo, o teu vídeo ajudou-me imenso a perceber os limites, passei 1 ano a dar esta matéria e não consegui captar nada e agora num vídeo de 28 minutos consegui captar tudo! Muito obrigado mesmo, continuação de bom trabalho, abraço!
@Flávio Sobral Nunca me canso de ouvir histórias como a tua, Flávio! É isso que faz tudo valer a pena! Tenho de admitir que este vídeo já está um pouco desatualizado - já tenho uma visão ainda mais simples dos limites: 🔴Primeiro de tudo, tentas substituir! (vê se sabes bem o que é e o que não é indeterminação!) 🔴Se for indeterminação, há dois jogos que podes jogar: o jogo dos limites x->a e o jogo dos limites x->±inf. ✅No jogo dos limites x->±inf, a estratégia é sempre "pôr os monómios mais fortes em evidência" (Vê o capítulo "Truques IV: Pôr em evidência" da minha ficha de limites: drive.google.com/file/d/17BhvPKYmuswv97-mvkMJ5mRflF9d5qUk/view?usp=sharing). Depois, é só usar os limites notáveis ln x/x e e^x/x^p para eliminar os monómios mais fracos. (no fundo estes limites notáveis dizem-nos a rapidez: e^x é mais rápido que x^p, que é mais rápido que ln x) ✅No jogo dos limites x->a, primeiro de tudo, fazemos uma mudança de variável para ficar y->0 (já que todos os nossos limites notáveis são quando x->0). Depois, é só fazer aparecer um limite notável sin x/x ou (e^x-1)/x e está feito. (Estes limites notáveis dizem-nos que, quando x está "perto" perto de 0, as funções x, sin x, e^x-1 são "iguais". ⚠️CUIDADO: Em situações excecionais como x(ln x) quando x tende para 0^+, tens de fazer a mudança de variável y=1/x (ou seja, passas de um jogo x->0 para um jogo x->±infty) 🟡CURIOSIDADE Por curiosidade, calculando os limites de ln(x+1)/x e de tan(x)/x quando x->0 dá 1, ou seja, a função ln(x+1) e tan(x) também são "iguais" a x, sin x, e^x-1 perto de 0). Por causa disto, há um truque que podes fazer para verificar rapidamente se os teus limites x->0 estão certos: onde estiver sin(x), e^x-1, tan(x), ln(x+1), podes imediatamente substituir por x. Por exemplo, qual é o limite de sin(2x)/(e^(3x)-1)? Ora o sin(2x) podemos trocar por 2x e o e^(3x)-1 podemos trocar por 3x. Ficamos então com 2x/3x, ou seja, o limite é 2/3! (mas claro, esta técnica é só para verificar!) Esmigalha o estudo, Flávio! E vemo-nos por cá! 😁🔥
olá amigo será que me podes esclarecer uma dúvida? Eu reparei que na técnica proibida tu usaste 3 limites com o denominador sendo só x Então a minha dúvida é "eu só posso usar a técnica proibida quando o denominador do limite em questão é só x?" Agradecia que me esclarecesses amigo
Bem visto, António! A "técnica proibida" que apresentei só se usa quando o denominador é x. Mas de facto, nós podemos usar a definição de derivada também para calcular limites quando o denominador é x-a. Para isso, basta verificarmos que o numerador é f(x)-f(a). E depois, pela definição de derivada, concluímos que o limite é igual à derivada f'(a). Conclusão: a "técnica proibida" do vídeo é o caso especial em que a=0. Mas de facto, podemos usar a definição de derivada para calcular qualquer limite com denominador x-a. Espero que eu me tenha feito entender. Tudo de bom, António! 😁
Oi oi, Ricardo! Claro que é possível: basta que a função tenha o domínio certo. Por exemplo, a função 1/x, com domínio ]0,+inf[, apenas tem limite lateral x->0+
Excelente vídeo, só tenho uma dúvida, a "técnicas proibida" pode ser utilizada para resolver os limites sem qualquer desvalorização ou serve apenas para rascunho e verificar se temos o valo correto?
Oi oi Pedro! Ainda bem que pude ser útil! A "técnica proibida" só usa matéria que está no Programa, por isso eu diria que podes usar tanto em teste como em exame sem qualquer desvalorização (basta explicares bem o teu raciocínio) . Mas claro, o professor é que corrige, por isso, na dúvida, mais vale perguntares ao teu professor. Boas férias e tudo a bombar com a escola!
A chamada "técnica proibida" não tem nada de mais, é simplesmente a definição de derivada, pelo que não há qualquer razão para os professores impedirem o seu uso; será mais difícil de aplicar pois é preciso descobrir qual poderá ser o f(x) a considerar, mas não tem nada de proibido.
@@olivaiscoimbra Não podia ter dito melhor, Jaime! O "proibida" em a "técnica proibida" é uma mera manobra de marketing :P (mas claro, eu prefiro dizer "consulta o teu professor" para depois não virem atrás de mim :P)
Pela algebra de limites, o limite da divisão é a divisão dos limites. Por isso, lim A/B = (lim A)/(lim B) (Aqui, lim A é o limite notavel e^x/x e lim B é o limite notavel ln x/x)
😁🔥 PS: Se vais fazer o exame e queres a melhor nota possível , então eu nem pensaria duas vezes e compraria logo o meu livro de preparação para exame, porque este te ensina toda a matéria do zero através de exercícios - e a única verdadeira maneira de aprender matemática é fazendo exercícios :) Espreita aqui o livro: loja.ricardo-ferreira.pt/produto/exame-matematica-a/
Como só estás a aplicar a definição de derivada, Carlos, não há nenhuma razão para não poderes usar. Garante só que explicas bem todos os passos. Vê também a minha nova explicação de limites, que é mais completa do que esta: th-cam.com/video/m40pQ1e6Mlk/w-d-xo.html Continua o bom trabalho, Carlos, e esmigalha-me esse exame!
Boa noite, não sei se é a mesma coisa essa tcnica proibida, mas eu perguntei a minha professora, se poderia usar a regra de lhopital para resolver indeterminações, e ela disse que não. Que no exame de matematica A, era mesmo peciso fazer o levantamento das indeterminações e resover! Essa regra proibida tem a ver com a regra de lhopital (exclamação) ( não tenho o símbolo no meu teclado kkk). E se é mesmo permitido usar no exame. Muito obrigado.
Ahahah, Manuel - acho que precisaa de um novo teclado (se bem que eu vejo ali um ponto de exclamação em "resover!" 😋). Para responder á tua pergunta, esta "técnica proibida" não tem a ver com a regra de lhopital. Não podes usar a regra de lhopital porque não está no programa. Mas esta "técnica proibida" é apenas a definição de derivada no ponto 0, ou seja, f'0), por isso não há razão para não poderes usá-la no exame. Para mais informações, podes ver o comentário principal deste vídeo - tem lá umas explicações extra. Continuação de bom trabalho, Manuel! E não te esqueças: no Natal, pede à mãe um novo teclado 😂
Não (o valor de b tem de ser um número, não pode ser infinito). Já agora, Miguel, qual é que foi o problema em que te deu m como um número diferente de 0 mas +/- infinito ao calcular o b? (é que tenho um feeling de que isso nem é possível acontecer)
Vou supor que só o x está ao quadrado, ou seja, 2 ln x/ x^2. Já deves ter percebido que aplicas o limite notável ln x/x. Como queres aparecer só um x, deixas só um x e tiras o outro x para fora, ou seja, fica lim (2/x) * lim (ln x/x). O limite da esquerda fica 0, o da direita fica 0 (porque é o limite notável). Tens então 0*0, ou seja, 0. No fundo, Daniel, o truque é sempre "isola o limite notável, tudo o resto vai para fora". Daniel, recomendo que vás aqui no meu website para treinares mais: ricardo-ferreira.pt/limites-12o-ano/
Oi oi Pedro! A resposta é não. O que tudo dizes é verdade se o limite tender para 0 (aqui está a demonstração com sucessões: th-cam.com/video/DBDuf-mPrQk/w-d-xo.html (e como é verdade para sucessões, então é verdade para funções: vê um exemplo aqui: th-cam.com/video/pAzn5msVxyQ/w-d-xo.html). Agora, se uma função for limitada e a outra tender para infinito, o que significa isso? Significa que uma das funções está a ficar “parada” enquanto que a outra está a ficar muito muito grande. Intuitivamente, a multiplicação delas deve ficar muito muito grande, ou seja, deve ir para os infinitos. De facto, pode tanto ir para +infinito, como para - infinito, como pode não ter limite - tudo depende do *sinal* da nossa função limitada.
Por exemplo, vamos chamar a função f a nossa função que tende para +infinito e g a nossa função limitada. 🔴 Se g>N, em que o N é um número *positivo* e diferente de zero (ou seja, o minorante é maior que 0), então o limite de fg é +infinito. Isto porque lim (fg)>N.lim(f)=+infinito 🔴Se g
@@Ricardo-Ferreira Olá Ricardo, obrigado pela tua resposta. Isto surgiu-me ao ver a resolução da prova do MathSucess, onde quando a função tendia para -infinito, a resolução numa parte final dizia "pelo que, como o limite de um infinitésimo por uma função limitada é 0" a prova era esta: www.mathsuccess.pt/matematica-12-ano/img/exame9.pdf ex.12.3 Não sei se explicitei bem a minha dúvida
@@IsaacG4mingPT Ah, já vi Pedro - pensava que querias dizer que o limite em si era infinito (em vez de o limite ser quando x tende para infinito!) Sendo assim, é como disse no primeiro parágrafo do último comentário: Se o limite da função quando x tende para infinito é 0, e a outra função é limitada, então o limite da multiplicação é 0. Por outras palavras, "o limite de um infinitésimo por uma função limitada é 0". "Infinitésimo" é outra maneira de dizer "função cujo limite é 0 quando x tende para infinito". Para perceberes melhor este resultado, aqui está a demonstração com sucessões: th-cam.com/video/DBDuf-mPrQk/w-d-xo.html (e como é verdade para sucessões, então é verdade para funções: vê um exemplo aqui: th-cam.com/video/pAzn5msVxyQ/w-d-xo.html). Já agora, para a próxima, se a tua dúvida vier de algo concreto como um exercício, é melhor partilhares logo de início - quanto mais específica for a tua pergunta, mais facilmente consigo responder àquilo que queres mesmo saber. Tudo de bom, Pedro e boa sorte para os exames 😀🔥
Acho que é todos, David! 😂 (Se bem que tenho a vaga esperança que alguns vêm por amor à camisola 😋). Continuação de bom trabalho, David, e toca a esmigalhar no exame! 😁🔥
@@pedrorocha3848 Eu é que agradeço, Pedro! Se for caso disso, boa sorte para o exame! E se conheceres alguém que possa gostar do vídeo, partilha com eles! 😉
Bem visto, Jaime! Vou já colocar uma nota nos comentários!!! Tudo de bom para ti, Jaime e se for caso disso, boa sorte para o exame! De certeza que vais arrasar! 😁🔥
![[LIMITES] Aprende DO ZERO como calcular Limites de Funções e Sucessões (COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS!)](http://i.ytimg.com/vi/m40pQ1e6Mlk/mqdefault.jpg)
![[LIMITES] Aprende DO ZERO como calcular Limites de Funções e Sucessões (COM EXERCÍCIOS RESOLVIDOS!)](/img/tr.png)
![[DERIVADAS] Revisão de 11º e 12º ano - Definição, Monotonia e Concavidade (EXPLICAÇÃO ÚNICA!)](http://i.ytimg.com/vi/xYD3jzQPGbY/mqdefault.jpg)
![[COMBINATÓRIA] Resumo de Revisão de Cálculo Combinatório Matemática A 12º ano 2021 (COM TRUQUES!!!)](/img/n.gif)
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Tens futuro como professor ou no que tu quiseres fazer daqui para a frente, a maneira como explicas é qualquer coisa.
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PS: Ótimas notícias, Catarina! Teremos novo vídeo muito em breve (em que eu resolvo um exame e explico todo o meu raciocínio e estratégia). Espero que gostes! 😁
@@Ricardo-Ferreira de nadaaa eu estou a ver todos os videos :))) sedenta estou para ver esse vídeo novo também.. tenho a certeza que vai ser mais um video icónico com os teus truques manhosos kskskdjj
Parabéns pelo trabalho que tem feito.
Muito bom para os estudantes.
Muito obrigado, Alexandrina! Foi a pensar nos estudantes que criei estes vídeos (lembro-me que era muito difícil rever toda a matéria para o exame - mas com estes vídeos, fica fácil!!!)
Tudo de bom, Alexandrina, e tenha uma ótima semana!
Muito obrigada, pelo trabalho que tiveste a desenvolver estes videos no teu canal. Estão ótimos! Super esclarecedores e são uma otima maneira de rever os conteudos mais relevantes para o exame! Tudo de bom!
Muito obrigado Beatriz, já alegraste o meu dia!!! E se conheceres alguém que possa gostar dos vídeos, partilha com eles! :D Tudo de bom!
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Adoro o teu entusiasmo, Beatriz! Desde já agradeço toda a ajuda - acho que faremos uma bela equipa! Nunca tinha pensado em criar Instagram - achas que seria uma boa ideia?
@@Ricardo-Ferreira uma ideia genial!
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E se tu próprio tiveres ideias para novos vídeos, diz-me que eu quero saber! De qualquer modo, que tudo te corra na melhor (e se não for pedir, faz uma propangadinha ao vídeo ;P). Diverte-te :)
Encontrei um erro no 6:50,no terceiro exemplo onde limite de X →infinito ficou mal escrito para limite de x →0 , alem disso o resultado tambem deu mais infinito sobre zero(nao sei se fiz calculos mal ou esta ai qualquer coisa ma).
Mas obrigado na msm pelo o seu video !^^
Bingo, Kainé! Vou já colocar uma nota nos comentários a avisar do erro (e claro, com um agradecimento especial para ti! 😁🔥).
Tens razão, Kainé: o limite dá +infinito/0^+. E isso não é problema nenhum! Porque +infinito/0^+ é igual a +infinito!
PORQUÊ? Repara que +infinito/0^+ é o mesmo que (+infinito)x(1/0^+). Mas lembra-te que 1/0^+ é igual a +infinito. Por isso, fica (+infinito)x(+infinito), que é igual a +infinito!
Muito obrigado pela dica Kainé! E já sabes: se precisares, cá estarei! 😁🔥
@@Ricardo-Ferreira meu deus ja percebi ;p
es sempre o melhor kkk!!
Obrigado eu pelo vídeo e atenção
@@toga5320 Nada de kkk, Kainé! È a pura das verdades! 😂😂😂
@@Ricardo-Ferreira pois pois
Fantástico professor
salvaste me a vida . VENERO TE🙏🙏🙏
Estamos juntos, João😁🔥 Agora, 3 missões:
1. Vê também a minha nova explicação de limites, que é mais completa: th-cam.com/video/m40pQ1e6Mlk/w-d-xo.html
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Continua o bom trabalho, João. E se for caso disso, esmigalha-me esse exame! 😁🔥
muito obrigada a sério, ajudou imenso :))
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Continua o bom trabalho, Luísa! E já sabes: eu estarei cá para o que precisares! 😁🔥
Mto Obrigadaa 🤩🤩 ajudou mee imensooo
Espetáculo, Melissa!!! Toca a arrasar! 😄🔥
Olá denovo, estou a gostar muito dos teus videos espero que continues com o teu bom trabalho, no entanto queria confirmar se no minuto 13:55, o limite apresentado assim não nos vai dar indeterminaçao do tipo inf*inf(+inf/0)? neste caso poderiamos usar a tecnica da corrida para +inf quando o limite tem a forma de lim x->inf(e^x/ln(x)) já que nos foi dito que ln(x) é o mais lento e e^x o mais rapido?
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obrigado desde já :D
Oi oi de novo Mateus! E eu gosto das tuas perguntas porque dão-me sempre que pensar!
(1) Primeiro ponto: inf*inf (ou então, +inf/0) não é uma indeterminação! Isto porque os limites "concordam" - tanto um infinito (+inf) como o outro infinito (1/0) estão a ir para infinito, por isso o limite é infinito. Indeterminação é quando os limites "discordam", - por exemplo, na indeterminação 0*inf, um está a querer ficar super pequeno (o 0) e o outro está a querer ficar super grande (por isso não podemos dizer imediatamente qual é que "ganha"). Mas no caso inf*inf, os dois querem ir para o mesmo lado, por isso "ganham" os dois e por isso nós sabemos o limite.
Talvez já reparaste nisto, mas na verdade só existem duas indeterminações (uma para somas, outra para multiplicações). Estas são o inf-inf e o 0*inf (isto porque 0/0, inf/inf e 0*inf são todos a mesma indeterminação, em que um quer ficar muito pequeno, e o outro muito grande). A indeterminação inf-inf é a mesma questão, um quer ficar muito pequeno (-inf) e o outro muito grande (+inf).
Pessoalmente, eu não gosto de falar sobre indeterminações - para mim a única coisa que interessa é se dá para substituir logo ou não. Se der ótimo. Se não, temos de arranjar um limite notável.
(2) Segundo ponto: Intuitivamente é essa a ideia: o e^x é o mais rápido e o ln(x) é o mais lento, por isso o e^x “ganha” e o limite é infinito (acho ótimo pensares em limites desta maneira!). Para uma resposta formal, acho mais correto usar os limites notáveis - à partida, nós não sabemos que o e^x é o mais rápido e o lnx o mais lento. Mas nós sabemos (pelos limites notáveis) que o e^x é mais rápido que o x e que o x é mais rápido que o ln(x). Por isso é que nós fazemos aparecer o x/x. Ao fazer aparecer o x/x e usar os limites notáveis, nós estamos basicamente a dizer que “não sabemos comparar diretamente o e^x e o ln(x), mas sabemos comparar o e^x com o x e o x com o ln(x)”. De certo modo, a ideia é “falar com matemática” em vez de “falar com palavras” (as palavras são boas para percebermos o que se está a passar, e depois a matemática é boa para garantir que a nossa intuição estava correta).
(3) Terceiro ponto: A regra de l’hôpital é sem dúvida um truque gostoso, especialmente como “sanity check”, ou seja, para verificar se a tua resposta está correta. Tenho andado a pensar em que contexto faria sentido falar esta regra (sem dúvida num “resumo de análise matemática ensino superior”, talvez num vídeo de “truques avançados para verificar respostas” ou talvez numa versão atualizada de “truques de limites”). Claro, se tiveres alguma sugestão, tenho todo o gosto em ouvir!
Espero que tenhas gostado do testamento, Mateus 😋 (pelo que consegui ver da tua personalidade, acho que sim!) E se tiveres mais perguntas gostosas, venham elas! 😁🔥
@@Ricardo-Ferreira Boa noite ricardo! mas se nós metermos o limite de baixo para o lado ficando 1*Ln x/x isso tende para 0 ou seja fica a indeterminação inf*0, estarei a pensar da maneira correta?
@@goncaloalmeida8846 Escapou-te um pormenor importante, Gonçalo: tens uma dupla fração, por isso se meteres o limite de baixo para o lado, fica 1/(Ln x/x), ou por outras palavras, x/Lnx. Este limite é inf (e não 0).
Regra geral, quando temos dúvidas se estamos certos ou não, a primeira coisa a fazer é questionar as nossas suposições (normalmente quando erramos, a nossa lógica até estava correta, mas partimos de suposições erradas). Isto até é útil quando estás à caça de erros nos teus exercícios de Matemática (os erros normalmente aparecem quando supões que algo que é verdade mas que afinal não é - por isso se estás à caça de erros, é nas tuas suposições que deves procurar primeiro).
Espero que estejas mais esclarecido. Tudo de bom, Gonçalo! 😁
Obrigada antes de mais pelo video.
Até ao teu video, mesmo com explicações e professor de matemática não percebia muito bem os limites.
Sabes se a "Técnica Proibida " é aceite em exame ou temos que demonstrar utilizando os limites notáveis e mudanças de variável e este método fica só para garantirmos que o nosso exercício está correto?
Para mim, esta técnica é bastante mais fácil por causa das derivadas.
Obrigada
Oi oi, Inês! A técnica proibida não tem nada de proibida! No fundo, só estás a aplicar a definição de derivada. Como tanto a definição de derivada como os teus conhecimentos de derivadas estão no programa, então não há nenhuma razão para não a poderes usar. O meu único conselho é que expliques muito bem o que estás a fazer, para que quem está a corrigir perceba que tu percebes.
Já sabes, Inês, cá estarei para o que precisares. Toca a esmigalhar! 😁🔥
obrigada :)
Obrigado, Ana :) Tudo de bom com a escola (e com a vida também)!
Entretanto, se tiveres alguma sugestão para novos vídeos, eu quero saber! Love!
Olá professor Ricardo, estava aqui a preparar me para a segunda fase deste ano e no minuto 19:28 tenho uma dúvida, não percebo como vou aplicar o limite notável do seno! Obrigado pela a ajuda e continuação de bom trabalho!
Oi oi Flávio! Lembra-te da fórmula fundamental da trigonometria: sin^2(x)+cos^2(x)=1. Graças a ela, podes substituir o 1-cos^2(x) que está no numerador por sin^2(x). Agora já fizeste aparecer o seno no numerador, por isso já temos o nosso limite notável! 😁🔥
🔴 TRATA-ME POR RICARDO!
Já agora, Flávio, trata-me só por Ricardo (ser chamado de Professor faz-me sentir um idoso 😂).
🔴 QUERES EXERCÍCIOS PARA TREINAR?
E já agora, Flávio, se queres praticar mais exercícios de limites para o exame, eu tenho a solução perfeita! Uma ficha de exercícios com soluções, resumos teóricos e links para explicações em vídeo! ✅drive.google.com/file/d/17BhvPKYmuswv97-mvkMJ5mRflF9d5qUk/view?usp=sharing
E se gostares desta ficha, eu estou a criar um "livro" de exercícios com toda a matéria.
➡️ VOLUME I: Geometria, Trigonometria e Complexos
go.hotmart.com/X58713299X
➡️ VOLUME II Sucessões, Funções e Limites
go.hotmart.com/N58755419N
🔴BOM TRABALHO!
Continua o ótimo trabalho, Flávio! E já sabes: cá estarei para o que precisares! 😁🔥
Obrigado Ricardo, o teu vídeo ajudou-me imenso a perceber os limites, passei 1 ano a dar esta matéria e não consegui captar nada e agora num vídeo de 28 minutos consegui captar tudo! Muito obrigado mesmo, continuação de bom trabalho, abraço!
@Flávio Sobral Nunca me canso de ouvir histórias como a tua, Flávio! É isso que faz tudo valer a pena!
Tenho de admitir que este vídeo já está um pouco desatualizado - já tenho uma visão ainda mais simples dos limites:
🔴Primeiro de tudo, tentas substituir! (vê se sabes bem o que é e o que não é indeterminação!)
🔴Se for indeterminação, há dois jogos que podes jogar: o jogo dos limites x->a e o jogo dos limites x->±inf.
✅No jogo dos limites x->±inf, a estratégia é sempre "pôr os monómios mais fortes em evidência" (Vê o capítulo "Truques IV: Pôr em evidência" da minha ficha de limites: drive.google.com/file/d/17BhvPKYmuswv97-mvkMJ5mRflF9d5qUk/view?usp=sharing). Depois, é só usar os limites notáveis ln x/x e e^x/x^p para eliminar os monómios mais fracos. (no fundo estes limites notáveis dizem-nos a rapidez: e^x é mais rápido que x^p, que é mais rápido que ln x)
✅No jogo dos limites x->a, primeiro de tudo, fazemos uma mudança de variável para ficar y->0 (já que todos os nossos limites notáveis são quando x->0). Depois, é só fazer aparecer um limite notável sin x/x ou (e^x-1)/x e está feito. (Estes limites notáveis dizem-nos que, quando x está "perto" perto de 0, as funções x, sin x, e^x-1 são "iguais".
⚠️CUIDADO: Em situações excecionais como x(ln x) quando x tende para 0^+, tens de fazer a mudança de variável y=1/x (ou seja, passas de um jogo x->0 para um jogo x->±infty)
🟡CURIOSIDADE
Por curiosidade, calculando os limites de ln(x+1)/x e de tan(x)/x quando x->0 dá 1, ou seja, a função ln(x+1) e tan(x) também são "iguais" a x, sin x, e^x-1 perto de 0).
Por causa disto, há um truque que podes fazer para verificar rapidamente se os teus limites x->0 estão certos: onde estiver sin(x), e^x-1, tan(x), ln(x+1), podes imediatamente substituir por x.
Por exemplo, qual é o limite de sin(2x)/(e^(3x)-1)? Ora o sin(2x) podemos trocar por 2x e o e^(3x)-1 podemos trocar por 3x. Ficamos então com 2x/3x, ou seja, o limite é 2/3! (mas claro, esta técnica é só para verificar!)
Esmigalha o estudo, Flávio! E vemo-nos por cá! 😁🔥
se tivesses sido meu professor não tava aqui à rasca!
Ainda estás a tempo! Mãos à obra!
olá amigo será que me podes esclarecer uma dúvida?
Eu reparei que na técnica proibida tu usaste 3 limites com o denominador sendo só x
Então a minha dúvida é "eu só posso usar a técnica proibida quando o denominador do limite em questão é só x?"
Agradecia que me esclarecesses amigo
Bem visto, António! A "técnica proibida" que apresentei só se usa quando o denominador é x. Mas de facto, nós podemos usar a definição de derivada também para calcular limites quando o denominador é x-a. Para isso, basta verificarmos que o numerador é f(x)-f(a). E depois, pela definição de derivada, concluímos que o limite é igual à derivada f'(a).
Conclusão: a "técnica proibida" do vídeo é o caso especial em que a=0. Mas de facto, podemos usar a definição de derivada para calcular qualquer limite com denominador x-a.
Espero que eu me tenha feito entender. Tudo de bom, António! 😁
Olá de novo, Ricardo! Uma questão: é possível uma função ter apenas um limite lateral? Por exemplo apenas x-> 1+
Oi oi, Ricardo! Claro que é possível: basta que a função tenha o domínio certo. Por exemplo, a função 1/x, com domínio ]0,+inf[, apenas tem limite lateral x->0+
Posso usar a tecnica proibida no exame? Mostro em cálculo auxiliar?
SIm, desde que incluas todos os dados.
Excelente vídeo, só tenho uma dúvida, a "técnicas proibida" pode ser utilizada para resolver os limites sem qualquer desvalorização ou serve apenas para rascunho e verificar se temos o valo correto?
Oi oi Pedro! Ainda bem que pude ser útil! A "técnica proibida" só usa matéria que está no Programa, por isso eu diria que podes usar tanto em teste como em exame sem qualquer desvalorização (basta explicares bem o teu raciocínio) . Mas claro, o professor é que corrige, por isso, na dúvida, mais vale perguntares ao teu professor.
Boas férias e tudo a bombar com a escola!
A chamada "técnica proibida" não tem nada de mais, é simplesmente a definição de derivada, pelo que não há qualquer razão para os professores impedirem o seu uso; será mais difícil de aplicar pois é preciso descobrir qual poderá ser o f(x) a considerar, mas não tem nada de proibido.
@@olivaiscoimbra Não podia ter dito melhor, Jaime! O "proibida" em a "técnica proibida" é uma mera manobra de marketing :P (mas claro, eu prefiro dizer "consulta o teu professor" para depois não virem atrás de mim :P)
13:59 nao percebi como é que vamos utilizar a algebra de limites para isolar os casos notaveis poderia explicar ?
Pela algebra de limites, o limite da divisão é a divisão dos limites. Por isso, lim A/B = (lim A)/(lim B)
(Aqui, lim A é o limite notavel e^x/x e lim B é o limite notavel ln x/x)
REI DESTA MERSA TODA
😁🔥
PS: Se vais fazer o exame e queres a melhor nota possível , então eu nem pensaria duas vezes e compraria logo o meu livro de preparação para exame, porque este te ensina toda a matéria do zero através de exercícios - e a única verdadeira maneira de aprender matemática é fazendo exercícios :) Espreita aqui o livro: loja.ricardo-ferreira.pt/produto/exame-matematica-a/
Só estou a encontrar esse vídeo no dia de teste😭
Pode-se usar a técnica proibida no exame?
Como só estás a aplicar a definição de derivada, Carlos, não há nenhuma razão para não poderes usar. Garante só que explicas bem todos os passos.
Vê também a minha nova explicação de limites, que é mais completa do que esta: th-cam.com/video/m40pQ1e6Mlk/w-d-xo.html
Continua o bom trabalho, Carlos, e esmigalha-me esse exame!
Boa noite, não sei se é a mesma coisa essa tcnica proibida, mas eu perguntei a minha professora, se poderia usar a regra de lhopital para resolver indeterminações, e ela disse que não. Que no exame de matematica A, era mesmo peciso fazer o levantamento das indeterminações e resover! Essa regra proibida tem a ver com a regra de lhopital (exclamação) ( não tenho o símbolo no meu teclado kkk). E se é mesmo permitido usar no exame. Muito obrigado.
Ahahah, Manuel - acho que precisaa de um novo teclado (se bem que eu vejo ali um ponto de exclamação em "resover!" 😋).
Para responder á tua pergunta, esta "técnica proibida" não tem a ver com a regra de lhopital. Não podes usar a regra de lhopital porque não está no programa. Mas esta "técnica proibida" é apenas a definição de derivada no ponto 0, ou seja, f'0), por isso não há razão para não poderes usá-la no exame.
Para mais informações, podes ver o comentário principal deste vídeo - tem lá umas explicações extra.
Continuação de bom trabalho, Manuel! E não te esqueças: no Natal, pede à mãe um novo teclado 😂
@@Ricardo-Ferreira Muitíssimo obrigado!
Nas assintotas oblíquas, quando m dá um número (diferente de 0) e o b dá igual a +/- infinito existe assintota oblíqua?
Não (o valor de b tem de ser um número, não pode ser infinito). Já agora, Miguel, qual é que foi o problema em que te deu m como um número diferente de 0 mas +/- infinito ao calcular o b? (é que tenho um feeling de que isso nem é possível acontecer)
Ricardo como fazria o lim x tende pra +infinito de 2 ln x / x ao quadrado ?
Vou supor que só o x está ao quadrado, ou seja, 2 ln x/ x^2. Já deves ter percebido que aplicas o limite notável ln x/x. Como queres aparecer só um x, deixas só um x e tiras o outro x para fora, ou seja, fica
lim (2/x) * lim (ln x/x).
O limite da esquerda fica 0, o da direita fica 0 (porque é o limite notável). Tens então 0*0, ou seja, 0.
No fundo, Daniel, o truque é sempre "isola o limite notável, tudo o resto vai para fora".
Daniel, recomendo que vás aqui no meu website para treinares mais: ricardo-ferreira.pt/limites-12o-ano/
Olá Ricardo! A multiplicação de um limite que tenda para mais infinito com uma função limitada, dá sempre 0? Obrigado
Oi oi Pedro! A resposta é não. O que tudo dizes é verdade se o limite tender para 0 (aqui está a demonstração com sucessões: th-cam.com/video/DBDuf-mPrQk/w-d-xo.html (e como é verdade para sucessões, então é verdade para funções: vê um exemplo aqui: th-cam.com/video/pAzn5msVxyQ/w-d-xo.html).
Agora, se uma função for limitada e a outra tender para infinito, o que significa isso? Significa que uma das funções está a ficar “parada” enquanto que a outra está a ficar muito muito grande. Intuitivamente, a multiplicação delas deve ficar muito muito grande, ou seja, deve ir para os infinitos. De facto, pode tanto ir para +infinito, como para - infinito, como pode não ter limite - tudo depende do *sinal* da nossa função limitada.
Por exemplo, vamos chamar a função f a nossa função que tende para +infinito e g a nossa função limitada.
🔴 Se g>N, em que o N é um número *positivo* e diferente de zero (ou seja, o minorante é maior que 0), então o limite de fg é +infinito. Isto porque lim (fg)>N.lim(f)=+infinito
🔴Se g
@@Ricardo-Ferreira Olá Ricardo, obrigado pela tua resposta. Isto surgiu-me ao ver a resolução da prova do MathSucess, onde quando a função tendia para -infinito, a resolução numa parte final dizia "pelo
que, como o limite de um infinitésimo por uma função limitada é
0" a prova era esta: www.mathsuccess.pt/matematica-12-ano/img/exame9.pdf ex.12.3 Não sei se explicitei bem a minha dúvida
@@IsaacG4mingPT Ah, já vi Pedro - pensava que querias dizer que o limite em si era infinito (em vez de o limite ser quando x tende para infinito!)
Sendo assim, é como disse no primeiro parágrafo do último comentário: Se o limite da função quando x tende para infinito é 0, e a outra função é limitada, então o limite da multiplicação é 0. Por outras palavras, "o limite de um infinitésimo por uma função limitada é
0". "Infinitésimo" é outra maneira de dizer "função cujo limite é 0 quando x tende para infinito".
Para perceberes melhor este resultado, aqui está a demonstração com sucessões: th-cam.com/video/DBDuf-mPrQk/w-d-xo.html (e como é verdade para sucessões, então é verdade para funções: vê um exemplo aqui: th-cam.com/video/pAzn5msVxyQ/w-d-xo.html).
Já agora, para a próxima, se a tua dúvida vier de algo concreto como um exercício, é melhor partilhares logo de início - quanto mais específica for a tua pergunta, mais facilmente consigo responder àquilo que queres mesmo saber.
Tudo de bom, Pedro e boa sorte para os exames 😀🔥
Quem mais está aqui pelo exame na terça?😅
Acho que é todos, David! 😂 (Se bem que tenho a vaga esperança que alguns vêm por amor à camisola 😋).
Continuação de bom trabalho, David, e toca a esmigalhar no exame! 😁🔥
A técnica proibida só funciona caso o denominador seja X, certo ?
Ótima observação, Pedro! 😁 O denominador é sempre x e depois vemos se o numerador tem a forma certa.
@@Ricardo-Ferreira Obrigado pela ajuda e continuação do bom trabalho!
@@pedrorocha3848 Eu é que agradeço, Pedro! Se for caso disso, boa sorte para o exame! E se conheceres alguém que possa gostar do vídeo, partilha com eles! 😉
O denominador pode ser x-A, neste caso temos de procurar um numerador na forma f(x) - f(A). Será mais difícil, mas é possível.
Bem visto, Jaime! Vou já colocar uma nota nos comentários!!!
Tudo de bom para ti, Jaime e se for caso disso, boa sorte para o exame! De certeza que vais arrasar! 😁🔥