ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 17 ก.ย. 2024
- У цьому відео ми розбираємося з поняттям дуального вектора, що використовується в загальній теорії відносності. Розглядаємо, чому він називається дуальним, або ж коваріантним, як перетворюються його компоненти і базисні вектори, проводимо спрощену аналогію для кращого розуміння абстрактного поняття та розглядаємо приклад.
Посилання на плейліст по ЗТВ:
• Загальна теорія віднос...
Мій телеграм канал:
t.me/aremath_ukr
ОО... я тіки почав дивитися і вже відчуваю, що Нарешті знайшов вивід векторного аналізу через вектори і форми(лінійні функціонали)!!!
Друже, це дуже класно що в україномовному ютюбі стає все більше з'являється відео на STEM тематику, бо нажаль його поки що не так багато, як юи того хотілося. Успіхів тобі)
P.S. Чекаю відео про ряди Фур'є та перетворення Фур'є)
@@innfdtfjord3340 Дякую!)
а я тільки думав щодо продовження теми ЗТВ. Це знак!
6:20 Я не мав і не маю якогось єдиного розуміння дуальності. Хочеться визначитися) В принципі, дуальний вектор, то ковектор такий, що ковектор(вектор)=1.
Інакше, якщо вектори формують базис, то там нескладно показати, що ковектори, які повертають координати векторів по даному базису із векторів - самі формують базис. Дуальний базис, але на відміну від простої умови "= на одиницю" тут ще треба бути нулем на інших базисних векторах. Там має бути так, що для одержання координати у векторному базисі нам треба подіяти одним(відповідним) базисним ковектором на досліджуваний вектор. Тобто для проекції вектора на вектор треба діяти з іншого простору. Геометрично, якщо є базис, то дуальний базис такий, що прямі проєкції на нього дають координати вектора у першому... ну і навпаки теж - прямі проєкції на власний(непрямокутний) базис дають координати в дуальному при чому по координатам пар дуальних векторів у сенсі ω1(е1)=1. Раніше я думав, що це і є "контраваріантність" векторів, але здається, все не зовсім так.
біля 5:30 можна пояснити це тим, що ті лінійні функції можуть повертати якісь потрібні нам числа. От якщо розкладати вектор по базису, то в нас виходить природня відповідність вектор -> число. Але які проблеми, вектор можна представити у власному базисі як.. базисний вектор. Нічого нам не мішає так зробити і мати координати (1,0,0). Тобто один вектор має координату 1 (наш), а решта - 0. Тоді по ідеї, має бути лін.функціонал, який поверне на векторі одиницю: ω(v)=1. Кожному вектору свій. Але якщо інші компоненти вектора ненульові, то ковектор має повернути те саме число, як би ми не розкладали вектор по (трошки іншому) базису. Тому по лінійності під дією ковектора ми маємо повертати суму a1ω(e1)+а2ω(e2)+a3ω(e3). Оскільки має повернутися лише одна координата, то при можливих ненульових інших нам потрібно, щоб функція ω повертала 0 на "непотрібних" базисних векторах. Тоді їх буде благополучно вбито і ми матимемо лише a1ω(e1) на приклад. А щоб це було рівне а1, треба ω(e1)=1.
Дякую за корисні коментарі
Класне відео. Цікаво, скільки користувався градієнтами у фізиці просто як узагальненням похідної для векторних функцій, ніколи не розглядали як дуальний вектор
@@halelujah5707 Та воно і не дуже потрібно, якщо працювати виключно в R^n. Тут вся ця математика гордиться (диференціальна геометрія) бо простір-час має кривизну
Чесно ти пояснюєш краще чем Шон Керол. Чикаю відос про тензори
@@deadblue6064 Дякую! 😌
Я використовую книгу як основу і хронологію тем, але для кожного відео проводжу дослідження додаткових джерел. Наприклад, аналогію з лінійками я прочитав в інтернеті)
17:43 воно не дивне,це насправді просто зовнішня похідна(про яку я думаю ти розкажеш ще :) ) . Це просто узагальнення дифференціалів на многовидах таким чином,щоб сама похідна не залежала від системи координат( що є дуже важливим насправді для фізичних законів)
@@supramayro434 "Дивне" в тому сенсі, що незвичне, можна сплутати з диференціалом
Дякую за корисні коментарі!)
@@aremathukr Це і є диференціал, тому таке і позначення. Градієнт це двоїсна відносно (псевдо)рімановой метріки конструкція.
біля 3:12 на багато краще, якби дуальний простір більше мотивували. Я чув таку версію: Уявимо множину *Всіх* лінійних функцій над векторним простором з числовими значеннями у якоїсь числовій множині , обов'язково, щоб ці числа можна було би без проблем додавати і множити - це потрібна і практична річ. Дійсні числа прекрасно підійдуть. Отже, за лінійністю маємо ω(v1 + v2)=ω(v1)+ω(v2), але якщо побудувати таку суму: ω1(v)+ω2(v) для двох різних ω1, ω2 і одного v ? Згадуємо: ми мислимо УСІ такі функції. Хмм, але ця сума є сума чисел, а вектор той самий.... то може, *повинна існувати така функція, яка поверне Те саме число на Тому ж векторі, яке рівне сумі значень тих двох функцій !*
ω3(v)=ω1(v)+ω2(v) .
А тепер можна подумати - а нащо шукати функцію ω3 ? Ми можемо обчислити її за допомогою ω1 i ω2 ... Тому виникає мотивація вважати, що ω3=ω1+ω2 !
Вітаю! Знайдено спосіб побудувати певну операцію додавання на множині тих функцій! Нескладно додуматися, що ми можемо не тільки додавати, а й множити їх на число. І от тут природньо подумати, що це дійсне число, бо за лінійністю саме вони "виносяться". От і маємо майже всі готові властивості простору цих, майбутніх ковекторів. Замкнутість має бути. Нуль-функція - не проблема. Вона ж очевидно лінійна) Ну і тепер виходить цікава ситуація, бо ми можемо записати так (ω1+ω2)(v)=ω1(v)+ω2(v). Прямо як розкриття дужок! Тільки ліве. Відчуваєте це, чи не так? - шкільне правило розкриття дужок може мати як раз такий оріджин, воно ніби походить саме звідси!
@@nartoomeon9378 Справді, дуже цікавий підхід)
@@aremathukr а ще цікавіше те, що коефіцієнти для функцій можуть бути з інших числових множин) ...тіки от я не знаю як.. в тих лекціях не було. Якщо подумати, то тоді функціонал має виконувати певне відображення між тими числовими множинами. І воно має задовільняти пару умов.. може бієктивність або сур'єктивність. До речі, додавання і множення бувають і в кільцях.. нам для роботи з векторами ділення на початках не треба. А це вже серйозний натяк на Модулі..
09:37 там в символі Кронекер дельта індекси мають бути навпаки,мю зверху а ню знизу )
@@supramayro434 Він симетричний, і крім цього його компоненти однакові у всіх просторах, не тільки в плоскому
Тому наче нема різниці)
@@aremathukr різниці немає,але,скажемо, суму ми проводимо за верхнім і нижнім індексом,тому це трошки 'abuse of notation' 😁
Мене на приклад у свій час вразило, що скалярний добуток на справді проходить між вектором і ковектором. Можливо, це не так і важливо, але раптом розрізняти ці "типи" краще, ніж нерозрізняти?
Фактично дуальні вектори - це лише інша назва функціоналів із функціонального аналізу, а інша назва простору дуальних векторів - це спряжений простір.
жоско