*Dieses GeometrierÃĪtsel ist sooo wunderschÃķn, dass es natÞrlich auch den Weg in mein NAGELNEUEN Geometrie-RÃĪtselheft gefunden hat. Das Heft kommt zum 1. Dezember heraus (Achtung! Super Weihnachtsgeschenk!! ð) und kann schon jetzt im Shop vorbestellt werden. Freue mich riesig, dass es bald so weit ist - es ist suuuperschÃķn geworden und eine hervorragende Ãbung fÞr alle geometriebegeisterten Gehirnjogging-Fans und solche, die es werden wollen.* Hier geht's zur Vorbestellung: www.magdaliebtmathe.com/shop
Das geht doch viel einfacher: Das VerhÃĪltnis der RechteckflÃĪchenzu einander muss gleich sein. Es gilt also A=1/2 Ã 108 x 135/(2 Ã 81)=45. Probe: 108/(2Ã81)=(2Ã45)/135 qed
Die Dreiecke links und rechts sind halbe Rechtecke mit der gleichen Grundseite der jeweiligen vollstÃĪndigen Rechtecke und unterscheiden sich hier in der HÃķhe (zweite Rechteckseite). Man muss also nur die halbe RechteckflÃĪche rechts ins VerhÃĪltnis setzen zur rechten DreiecksflÃĪche und mit der HÃĪlfte der linken RechteckflÃĪche multiplizieren: A = (135 mÂē / 2) / 81 mÂē = 0,8333 x (108 mÂē / 2) = 45 mÂē
So habe ich es im 2. Ansatz auch gemacht. Im ersten so ÃĪhnlich wie Magda: b*l*x*y = 108*135; by =81*2=162 => blxy/by=108*135/162=90 => lx = 90. Die gesuchte FlÃĪche ist lx/2 = 45
@@Alfi-rp6il Leider muss ich gestehen, dass ich mir Magdas Lsg. gar nicht angesehen habe, mir aber ziemlich sicher war, dass es so recht einfach und schnell zu lÃķsen ist. Es freut mich allerdings zu lesen, dass dieser Ansatz offenbar auch von anderen genutzt wurde. Besten Dank fÞr das positive Feedback!
Hallo Magda, guten Abend. Hier mein LÃķsungsvorschlag Ich lasse zunÃĪchst die Einheiten weg. Es soll gelten: a sei die kÞrzere Seite des Rechteck links oben b sei die lÃĪngere Seite des Rechteck links oben a ist gleichzeitig die kÞrzere Seite des Dreiecks rechts oben c sei die lÃĪngere Seite des Dreiecks rechts oben. c ist gleichzeitig die lÃĪngere Seite des Rechteck rechts unten d sei die kÞrzere Seite des Rechtecks rechts unten d ist gleichzeitig die kÞrzere Seite der gesuchten gelben DreiecksflÃĪche b ist gleichzeitig die lÃĪngere Seite der gesuchten gelben DreiecksflÃĪche Daraus ergeben sich die Gleichungen 1) a * b = 108 2) 1/2 * a * c = 81 ---> a * c = 162 3) c * d = 135 Es soll auÃerdem lt. Skizze gelten: a
LÃķsung im Kopf Oben rechts 81mÂē zum Rechteck erweitern = 162mÂē hierzu 108mÂē ins VerhÃĪltnis setzen, 108mÂē ist 2/3 von 162mÂē Also wÃĪre links unten ein Rechteck wÃĪre, wÃĪre es 2/3 von 135mÂē, das Dreieck ist die HÃĪlfe also 1/3 von 135mÂē = 45mÂē
FÞllen wir jetzt einfach mal die rechte obere Ecke. Aus dem Dreieck mit 81 wird jetzt ein Rechteck mit 162 (ich spare mir die Einheiten). Das ist gleich hoch wie das Rechteck mit 108, aber 1,5 mal so breit. Jetzt nehmen wir uns die untere Ecke vor und machen daraus ein Rechteck mit der FlÃĪche 2 Fragezeichen. Das Recheck rechts unten ist gleich hoch und 1,5 mal so breit, also hat das Rechteck links unten die FlÃĪche von 90. Das gesuchte Dreieck hat also die FlÃĪche von 45.
Um ehrlich zu sein, habe ich erst Þberlegt, ob der obere Teil gleich hoch ist wie der untere Teil. Sieht auf dem Bild ja so aus, war aber nicht ausdrÞcklich angesagt. Also erstmal davon ausgegangen, dass es NICHT so ist. Ist auch tatsÃĪchlich vÃķllig schnullifax, hat mich nur sinnlos aufgehalten.
In einem unterteilten Rechteck gilt: A B C D A * D = B * C In unserem Fall gilt also: 108 * 135 = (2 * 81) * C 108 * 135 = 162 * C C = 108 * 135 / 162 C = 54 * 135 / 81 C = 2 * 135 / 3 C = 2 * 45 = 90 Gesucht: C/2 = 90 / 2 = 45 [mÂē]
Jepp. Und diese Formel ergibt sich daraus, dass sowohl das linke als auch das rechte groÃe Rechteck unabhÃĪngig von der Breite horizontal im selben VerhÃĪltnis geteilt werden: (LO + RO) : (LU + RU) = LO : LU = RO : RU. Wenn man auf beiden Seiten mit LU und RU multipliziert, bekommt man LO â RU = RO â LU. NatÞrlich geht das auch mit dem oberen und unteren groÃen Rechteck (LO + LU) : (RO + RU) = LO : RO = LU : RU.
Also, ich mache es kurz: 108 mÂē â 81 mÂē / (4 â 81 mÂē) = 45 mÂē ErklÃĪrung: Wenn es sich um ein Fensterkreuz handelt, dann gilt: LO â RU = RO â LU. Da in diesem Fall aber RO und LU nur halbe Rechtecke sind, gilt in diesem Fall: LO â RU = 2 RO â 2 LU. Das Ganze nach LU umgestellt ergibt: LU = LO â RU / (4 â RO).
So ÃĪhnlich habe ich es auch gemacht. Wenn man die FlÃĪcheninhaltsformeln der Dreiecke multipliziert, erhÃĪlt man 1/4 * abxy = 81z, wobei a, b, x, y die Seiten der Rechtecke sind und z die gesuchte FlÃĪche. Dann einfach die zwei Rechtecke multiplizieren und man erhÃĪlt abxy = 108*135. Einsetzen und auflÃķsen: z = 45.
@@m.h.6470 Im Grunde ist so, dass die horizontale und vertikale Linie links und rechts bzw. oben und unten im selben VerhÃĪltnis teilt: LO:LU = RO:RU = (LO+RO):(LU:RU) bzw. LO:RO = LU:RU = (LO+LU):(RO+RU). Wenn man das umstellt, bekommt man LO â RU = RO â LU
@@Nikioko Schon klar, aber selbst wenn man das nicht sieht, kann man einfach die Gleichungen multiplizieren und kann sie ineinander einsetzen. Das kommt natÞrlich aus der Tatsache, dass die Gleichungen jeweils die gegensÃĪtzlichen Variablen enthalten: ab * xy = ay * bx (das Gleiche wie deine Gleichungen, nur andere Buchstaben...).
@@walter_kunz Wenn man sich sicher ist welche Einheit herauskommt, ist es nur unnÃķtige Arbeit, diese von Anfang bis Ende durchzuschleppen... Sobald es unklar ist, welche Einheit rauskommt, oder es unterschiedliche Einheiten gibt (km vs m, etc.), rechnet man natÞrlich mit den Einheiten.
Ermittelt wurden folgende ArealgrÃķssen: Gegeben waren 108+81+135; (ÎĢ=405). Dadurch konnten die restlichen Areale durch analogem Vergleich der einzelnen LÃĪngen nÃĪherungsweise ermittelt werden bis schlieÃlich nachvollziehbar und ersichtlich fÞr den Suchenden, sich die restlichen FlÃĪcheninhalte ergeben haben, mit 63 das gelbe Dreieck und 468 die GesamtflÃĪche.
Ich bekomme l = 108/b, x= 5/6 * b, y = 162/b mit b > 0 heraus. Da fÞr "b" jede beliebige positive Zahl eingesetzt werden kann, gibt es unendlich viele Ergebnisse, die alle auf l * x/2 = 45 fÞhren, da sich dort das "b" herauskÞrzt.
Die Loesung ist sehr einfach, wenn man erst einmal die richtige Idee hat ... Wenn an das 81 m^2 Dreieck zu einem Rechteck ergaenzt, so dieses Rechteck den Flaecheninhalt 2*81=162 m^2. Dieses Rechteck hat it demm darunter liegenden Rechteck mit 135 m^2 Flaeche eine Seite eeinsa, also ist das Verhaeltnis der Flaecheninhalte gleich dem Verhhaeltnis der Laengen der nicht gemeinsamen Seite. Damit ist die senkrechte Seite des 135 m^2 Rechtecks gleich dem 135/162=5/6 fachen der senkrechten Kathete des 81 m^2 Dreiecks. Diese Rechteckseite ist aber gleichzeitig die eine Kathete des gesuchten Dreiecks. Auf demm selben Weg laesst sich die waagerechte Seite des 108 m^2 Rechtecks ermitteln: das 108/162=2/3 fache der waagerechten Kathete des 81 m^2 Deiecks. Damit verhalten sich die Flaechheninhhalte der Deiecke zueinander wie das Produkt der Verhaeltnisse der jeweiligen Katheten, also (5/6)*(2/3)=10/18. Da die Flaeche deseinen Deiecks bereits bekannt ist (81 m^2),betraegt die Flaeche des gesuchten Dreiecks 10/18*81 m^2=45 m^2. Es ist voellig ueberfluessig, die genauen Seitenlaengen der Dreiecke zu ermitteln, es genuet die Verhaeltnisse der jeweiligen Katheten zueinander zu bestimmen.I Ist einem das erst einmal klar, und hhat an darueber hhinaus den Weg erkannt, wie man diese Verhaeltnisse bestimmen kann (ueber die Verhaeltnise der Flaechen der jeweils vorgegebenen Rechtecke mit dem Rechteck, das sich durch Ergaenzung des 81 m^2 Deiecks zu einem Rechteck ergibt), dann ist die Aufgabe trivial.
Hallo Freunde des Rechensports. Rechnerisch komme ich mit zwei unterschiedlichen Berechnungen auf 64,8 m2, hier eine davon: Das rechte Dreieck (81 m2) und das rechte Rechteck (135 m2) stehen zueinander im VerhÃĪltnis Dreieck 0,6 zu Rechteck 1. Ãbertragen auf die linke Seite mÞsste es heiÃen 108 m2 zu ?, also 1 zu 0,6, 108 m2 * 0,6 = 64,8 m2. Mache ich mit dieser Rechnung einen Fehler? WÞrde mich sehr interessieren was Ihr dazu sagt. Auch rein optisch mÞsste das gelbe Dreieck durch seine rechte lÃĪngere SeitenlÃĪnge gegenÞber der rechten SeitenlÃĪnge des 108 m2-Quadrat grÃķÃer als 54 m2 sein, aber es geht ja ums Rechnerische...
@entschworungspraktiker: Ja, Sie rechnen falsch. Wenn Sie rechts Dreieck oben durch Rechteck unten teilen (= 0,6), dann mÞssen Sie auch links Dreieck oben zu Rechteck unten rechnen. Also: (108 / 2) / (2 à ?) = 0,6 damit ? = (108 / 2) / (2 à 0,6) = 45 Am Bild lassen sich Þbrigens die FlÃĪche VerhÃĪltnisse leider nicht richtig erkennen, weil die Skizze nicht maÃstabsgerecht ist. Die kurzen Seiten der unteren Figuren sind in Wirklichkeit viel kleiner als dargestellt. ððŧ
Wenn du schon den Dreimalneunklugen geben muÃt, putz die Brille. Das zum Rechteck ergÃĪnzte ? ist genauso breit wie die 108, aber hÃķher. Das sieht man mit dem bloÃen Auge. Habs aber auch nachgemessen, das Verh. ist etwa 15:14. Also ist die gelbe FlÃĪche etwa 116/2, nicht 108/2. Aber warum Þberhaupt maÃstabsgerecht? Die Herausforderung ist doch, daà es eben alles unbekannte GrÃķÃen sind, die, auch wenn es so ausschaut, nicht grÃķÃer, kleiner oder gleich groà wie andere sind, sondern eben alle nur eines: unbekannt. MaÃstÃĪblichkeit ist hier nicht nur unangebracht, sondern auch tendenziell irrefÞhrend.
Ich lege ein groÃes Rechteck drÞber mit den LÃĪngen x und y, wobei x=a+b und y=c+d ist. I: a*c=2*A(Gelb) II: b*d=2*81 III: a*d=108 IV: b*c=135 I*II: a*b*c*d=2*2*81*A(Gelb) III*IV: a*b*c*d=108*135 Da erkennt man schÃķn, dass das Produkt der FlÃĪchen, die sich diagonal gegenÞberliegen gleich groà ist. Dieses Wissen hÃĪtte man gleich nutzen kÃķnnen. I*II=III*IV plus Faktorisierung 81=9*9=3*3*3*3 108=2*54=2*6*9=2*2*3*3*3 135=3*45=3*9*5=3*3*3*5 2^2*3^4*A(Gelb)=2^2*3^6*5 A(Gelb)=3^2*5 A(Gelb)=9*5 A(Gelb)=45 FE Sehr schÃķne Aufgabe. Top ausgewÃĪhlt von Magda. Hat Spaà gemacht ððĪ LG Gerald Zusatz: Die Seiten a, b, c und d kann man nicht exakt ausrechnen, weil es da mehrere LÃķsungen gibt. Es liegt ja ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 5 Unbekannten vor. Daher nicht exakt lÃķsbar. MÃķgliche LÃķsungen. WÃĪhle d=9: Dann ist a=108:9 a=12 b=162:9 b=18 c=135:18 c=270:36 c=30:4 c=7,5 Oder WÃĪhle d=6: Dann ist a=108:6 a=18 b=162:6 b=27 c=135:27 c=270:54 c=30:6 c=5
@@timurkodzov718 Ja, solche Aufgaben habe ich auch schon gemacht. Ein altbekanntes Beispiel, dass gerne zu Mathe-Olympiaden gegeben wird. Aber immer wieder schÃķn, diese Aufgaben zu Þben. LG Gerald
Meine LÃķsung: Gesucht ist A=(x*l)/2. Ich kenne die Werte von b*l = 108, (b*y)/2 = 81 und x*y =135. Wenn es mir gelÃĪnge, z.B. l aus Vielfaches von y auszudrÞcken, erscheint in der Formel fÞr A der Ausdruck x*y, dessen Wert ich einfach einsetzen kann. Konkret: l/y = (b*l)/(b*y) = (b*l)/(2*((b*y)/2))= (108)/(2*81)=108/162 = 2/3. Also gilt: l=(2/3)*y Eingesetzt in die Formel fÞr A ergibt sich: A=(x*l)/2 = (x*(2/3)*y)/2=(2/(2*3))*(x*y)=(x*y)/3 = 135/3 = 45 Finde ich etwas einfacher als deinen LÃķsungsweg. Aber der Ansatz Þber das VerhÃĪltnis der RechteckflÃĪchen ist natÞrlich der eleganteste.
und ich wollte unbedingt b und x ausrechnen und kam da nicht weiter, aber du zeigst ja es geht ohne b und x zu kennen.ð b*l=108 -> b*y=162 -> x*y=135 -> 108/b=162/y -> b=x?
Ich bekomme l = 108/b, x= 5/6 * b, y = 162/b heraus. Da Du fÞr "b" jede beliebige positive Zahl einsetzen kannst, hast Du nun unendlich viele Ergebnisse, die alle auf l x/2 = 45 fÞhren, da sich dort das "b" herauskÞrzt.
Oh, ich dachte man kann sich das PDF kostenlos runterladen. Hatte schon vor, fÞr die MÞhe 5 Euro zu spenden. Dann sehe ich, dass das Buch 29 kostet. Ãh, dann will ich es doch nicht. HÃĪtte man auch gleich sagen kÃķnnen, dass es zum Kauf angeboten wird, nicht zum download.
Mit der Investition UND dem Durcharbeiten des Heftes kommst Du in Mathe sehr sicher in die richtige Spur, bekommst bessere Noten, ab Weihnachten 24 wohl bessere Weihnachtsgeschenke, machst ein gutes Abi, darfst studieren, bekommst einen guten Job, fÞhrst ein erfolgreiches Leben und verlÃĪÃt uns unter ZurÞcklassung glÞcklicher Erben. Und das alles fÞr 29 âŽ! Sag selbst: DafÞr sind 29 ⎠doch ein Witz. Oder?
LÃķsung: Wir kennen keine der HÃķhen und Breiten, daher nehmen wir folgendes als Ausgangsbasis: a = Breite des linken Rechtecks b = HÃķhe des linken Rechtecks x = Breite des rechten Rechtecks y = HÃķhe des rechten Rechtecks Damit haben wir folgende Gleichungen: (I) a * b = 108 (II) x * y = 135 (III) 1/2 * b * x = 81 (IV) 1/2 * a * y = z (I) * (II) (V) a * b * x * y = 108 * 135 (III) * (IV) (VI) 1/2 * b * x * 1/2 * a * y = 81 * z (VI) 1/4 * a * b * x * y = 81z (V) in (VI) (VII) 1/4 * 108 * 135 = 81z (VII) 27 * 135 = 81z |:9 :9 (VII) z = 3 * 15 = 45 [mÂē]
![[ėīėžėŽėŽ] [ė2] [24]](/img/n.gif)
*Dieses GeometrierÃĪtsel ist sooo wunderschÃķn, dass es natÞrlich auch den Weg in mein NAGELNEUEN Geometrie-RÃĪtselheft gefunden hat. Das Heft kommt zum 1. Dezember heraus (Achtung! Super Weihnachtsgeschenk!! ð) und kann schon jetzt im Shop vorbestellt werden. Freue mich riesig, dass es bald so weit ist - es ist suuuperschÃķn geworden und eine hervorragende Ãbung fÞr alle geometriebegeisterten Gehirnjogging-Fans und solche, die es werden wollen.* Hier geht's zur Vorbestellung: www.magdaliebtmathe.com/shop
Das geht doch viel einfacher: Das VerhÃĪltnis der RechteckflÃĪchenzu einander muss gleich sein. Es gilt also A=1/2 Ã 108 x 135/(2 Ã 81)=45. Probe: 108/(2Ã81)=(2Ã45)/135 qed
Ja, stimmt. Ich hÃĪtte dir das auch ohne Probe geglaubt, da man sowas schnell herleiten kann.
Genau das war mein erster Gedanke
Die Dreiecke links und rechts sind halbe Rechtecke mit der gleichen Grundseite der jeweiligen vollstÃĪndigen Rechtecke und unterscheiden sich hier in der HÃķhe (zweite Rechteckseite). Man muss also nur die halbe RechteckflÃĪche rechts ins VerhÃĪltnis setzen zur rechten DreiecksflÃĪche und mit der HÃĪlfte der linken RechteckflÃĪche multiplizieren:
A = (135 mÂē / 2) / 81 mÂē = 0,8333 x (108 mÂē / 2) = 45 mÂē
Oben rechts zum Rechteck erweitern (162), unten links auch (2?). Dann die VerhÃĪltnisse gleichsetzen: 162/135 (rechts) = 108/2? (links). Also 6/5 = 108/2?. Daraus folgt: 2? = 90, bzw. ? = 45. ð
Bisher die schÃķnste LÃķsung. Ich hab's etwas komplizierter gemacht.
Genau so
So habe ich es im 2. Ansatz auch gemacht. Im ersten so ÃĪhnlich wie Magda: b*l*x*y = 108*135; by =81*2=162
=> blxy/by=108*135/162=90 => lx = 90. Die gesuchte FlÃĪche ist lx/2 = 45
@@Alfi-rp6il Leider muss ich gestehen, dass ich mir Magdas Lsg. gar nicht angesehen habe, mir aber ziemlich sicher war, dass es so recht einfach und schnell zu lÃķsen ist. Es freut mich allerdings zu lesen, dass dieser Ansatz offenbar auch von anderen genutzt wurde. Besten Dank fÞr das positive Feedback!
Danke Magda. Das war echt eine super schÃķne Aufgabe. ð
Hallo Magda, guten Abend.
Hier mein LÃķsungsvorschlag
Ich lasse zunÃĪchst die Einheiten weg.
Es soll gelten:
a sei die kÞrzere Seite des Rechteck links oben
b sei die lÃĪngere Seite des Rechteck links oben
a ist gleichzeitig die kÞrzere Seite des Dreiecks rechts oben
c sei die lÃĪngere Seite des Dreiecks rechts oben.
c ist gleichzeitig die lÃĪngere Seite des Rechteck rechts unten
d sei die kÞrzere Seite des Rechtecks rechts unten
d ist gleichzeitig die kÞrzere Seite der gesuchten gelben DreiecksflÃĪche
b ist gleichzeitig die lÃĪngere Seite der gesuchten gelben DreiecksflÃĪche
Daraus ergeben sich die Gleichungen
1) a * b = 108
2) 1/2 * a * c = 81 ---> a * c = 162
3) c * d = 135
Es soll auÃerdem lt. Skizze gelten:
a
LÃķsung im Kopf
Oben rechts 81mÂē zum Rechteck erweitern = 162mÂē hierzu 108mÂē ins VerhÃĪltnis setzen, 108mÂē ist 2/3 von 162mÂē
Also wÃĪre links unten ein Rechteck wÃĪre, wÃĪre es 2/3 von 135mÂē, das Dreieck ist die HÃĪlfe also 1/3 von 135mÂē = 45mÂē
FÞllen wir jetzt einfach mal die rechte obere Ecke. Aus dem Dreieck mit 81 wird jetzt ein Rechteck mit 162 (ich spare mir die Einheiten). Das ist gleich hoch wie das Rechteck mit 108, aber 1,5 mal so breit. Jetzt nehmen wir uns die untere Ecke vor und machen daraus ein Rechteck mit der FlÃĪche 2 Fragezeichen. Das Recheck rechts unten ist gleich hoch und 1,5 mal so breit, also hat das Rechteck links unten die FlÃĪche von 90. Das gesuchte Dreieck hat also die FlÃĪche von 45.
Um ehrlich zu sein, habe ich erst Þberlegt, ob der obere Teil gleich hoch ist wie der untere Teil. Sieht auf dem Bild ja so aus, war aber nicht ausdrÞcklich angesagt. Also erstmal davon ausgegangen, dass es NICHT so ist. Ist auch tatsÃĪchlich vÃķllig schnullifax, hat mich nur sinnlos aufgehalten.
Ich kÃķnnte eeeeewig zuschauen und zuhÃķren ððĨ°ððððĪðđðđðđðđðđðđðđðđðđðđðđðđðđ
Mein LÃķsungsvorschlag âķ
a*b= 108 mÂē
b*d/2= 81 mÂē
bd= 162 mÂē
c*d= 135 mÂē
â
gefragt wird: Agelb= a*c/2
bd/cd= 162/135
b/c= (162/3 / 135/3)
b/c= 54/45= 18/15= 6/5
5b= 6c
c= (5/6)b
â
ab= 108
ac/2= a*(5/6)b /2 = (5/12)ab
Agelb= (5/12)*108
Agelb= 5*9
Agelb= 45 mÂē
Genau, es geht einfacher. In cca. 2 Minuten habe ich 45 m2 raus. Super Video. ð
In einem unterteilten Rechteck gilt:
A B
C D
A * D = B * C
In unserem Fall gilt also:
108 * 135 = (2 * 81) * C
108 * 135 = 162 * C
C = 108 * 135 / 162
C = 54 * 135 / 81
C = 2 * 135 / 3
C = 2 * 45 = 90
Gesucht:
C/2 = 90 / 2 = 45 [mÂē]
Jepp. Und diese Formel ergibt sich daraus, dass sowohl das linke als auch das rechte groÃe Rechteck unabhÃĪngig von der Breite horizontal im selben VerhÃĪltnis geteilt werden: (LO + RO) : (LU + RU) = LO : LU = RO : RU. Wenn man auf beiden Seiten mit LU und RU multipliziert, bekommt man LO â RU = RO â LU.
NatÞrlich geht das auch mit dem oberen und unteren groÃen Rechteck (LO + LU) : (RO + RU) = LO : RO = LU : RU.
Bei mir hats do funktioniert:
1. 9 x 12 = 108
2. 1/2 x 9 x 18 = 81
3. 18 x 7,5 = 135
4. 1/2 x 12 x 7,5 = 45
Q.e.d.ð
Sehr gut! Das ist smart und schnell! ðð
Also, ich mache es kurz:
108 mÂē â 81 mÂē / (4 â 81 mÂē) = 45 mÂē
ErklÃĪrung:
Wenn es sich um ein Fensterkreuz handelt, dann gilt: LO â RU = RO â LU. Da in diesem Fall aber RO und LU nur halbe Rechtecke sind, gilt in diesem Fall: LO â RU = 2 RO â 2 LU. Das Ganze nach LU umgestellt ergibt: LU = LO â RU / (4 â RO).
So ÃĪhnlich habe ich es auch gemacht.
Wenn man die FlÃĪcheninhaltsformeln der Dreiecke multipliziert, erhÃĪlt man 1/4 * abxy = 81z, wobei a, b, x, y die Seiten der Rechtecke sind und z die gesuchte FlÃĪche.
Dann einfach die zwei Rechtecke multiplizieren und man erhÃĪlt abxy = 108*135.
Einsetzen und auflÃķsen: z = 45.
@@m.h.6470 Im Grunde ist so, dass die horizontale und vertikale Linie links und rechts bzw. oben und unten im selben VerhÃĪltnis teilt: LO:LU = RO:RU = (LO+RO):(LU:RU) bzw. LO:RO = LU:RU = (LO+LU):(RO+RU). Wenn man das umstellt, bekommt man LO â RU = RO â LU
Mal jemand, der mit Einheiten rechnet! ð
@@Nikioko Schon klar, aber selbst wenn man das nicht sieht, kann man einfach die Gleichungen multiplizieren und kann sie ineinander einsetzen. Das kommt natÞrlich aus der Tatsache, dass die Gleichungen jeweils die gegensÃĪtzlichen Variablen enthalten: ab * xy = ay * bx (das Gleiche wie deine Gleichungen, nur andere Buchstaben...).
@@walter_kunz Wenn man sich sicher ist welche Einheit herauskommt, ist es nur unnÃķtige Arbeit, diese von Anfang bis Ende durchzuschleppen...
Sobald es unklar ist, welche Einheit rauskommt, oder es unterschiedliche Einheiten gibt (km vs m, etc.), rechnet man natÞrlich mit den Einheiten.
Ermittelt wurden folgende ArealgrÃķssen: Gegeben waren 108+81+135; (ÎĢ=405). Dadurch konnten die restlichen Areale durch analogem Vergleich der einzelnen LÃĪngen nÃĪherungsweise ermittelt werden bis schlieÃlich nachvollziehbar und ersichtlich fÞr den Suchenden, sich die restlichen FlÃĪcheninhalte ergeben haben, mit 63 das gelbe Dreieck und 468 die GesamtflÃĪche.
Wow wie tricky die Aufgabe war. Im Leben wÃĪre ich nicht darauf gekommen
Ãbung macht den Meister, Tommy!
Ich bekomme l = 108/b, x= 5/6 * b, y = 162/b mit b > 0 heraus. Da fÞr "b" jede beliebige positive Zahl eingesetzt werden kann, gibt es unendlich viele Ergebnisse, die alle auf l * x/2 = 45 fÞhren, da sich dort das "b" herauskÞrzt.
LÃķsung:
Blaues Dreieck: a = waagerechte Seite, b = senkrechte Seite.
a*b/2 = 81 âđ a*b = 162.
FlÃĪche des gelben Dreiecks = 108/b*135/a*1/2 = 7290/(a*b) = 7290/162 = 45[m Âē]
Die Loesung ist sehr einfach, wenn man erst einmal die richtige Idee hat ...
Wenn an das 81 m^2 Dreieck zu einem Rechteck ergaenzt, so dieses Rechteck den Flaecheninhalt 2*81=162 m^2. Dieses Rechteck hat it demm darunter liegenden Rechteck mit 135 m^2 Flaeche eine Seite eeinsa, also ist das Verhaeltnis der Flaecheninhalte gleich dem Verhhaeltnis der Laengen der nicht gemeinsamen Seite. Damit ist die senkrechte Seite des 135 m^2 Rechtecks gleich dem 135/162=5/6 fachen der senkrechten Kathete des 81 m^2 Dreiecks. Diese Rechteckseite ist aber gleichzeitig die eine Kathete des gesuchten Dreiecks. Auf demm selben Weg laesst sich die waagerechte Seite des 108 m^2 Rechtecks ermitteln: das 108/162=2/3 fache der waagerechten Kathete des 81 m^2 Deiecks. Damit verhalten sich die Flaechheninhhalte der Deiecke zueinander wie das Produkt der Verhaeltnisse der jeweiligen Katheten, also (5/6)*(2/3)=10/18. Da die Flaeche deseinen Deiecks bereits bekannt ist (81 m^2),betraegt die Flaeche des gesuchten Dreiecks 10/18*81 m^2=45 m^2. Es ist voellig ueberfluessig, die genauen Seitenlaengen der Dreiecke zu ermitteln, es genuet die Verhaeltnisse der jeweiligen Katheten zueinander zu bestimmen.I
Ist einem das erst einmal klar, und hhat an darueber hhinaus den Weg erkannt, wie man diese Verhaeltnisse bestimmen kann (ueber die Verhaeltnise der Flaechen der jeweils vorgegebenen Rechtecke mit dem Rechteck, das sich durch Ergaenzung des 81 m^2 Deiecks zu einem Rechteck ergibt), dann ist die Aufgabe trivial.
Hallo Freunde des Rechensports.
Rechnerisch komme ich mit zwei unterschiedlichen Berechnungen auf 64,8 m2, hier eine davon:
Das rechte Dreieck (81 m2) und das rechte Rechteck (135 m2) stehen zueinander im VerhÃĪltnis Dreieck 0,6 zu Rechteck 1. Ãbertragen auf die linke Seite mÞsste es heiÃen 108 m2 zu ?, also 1 zu 0,6, 108 m2 * 0,6 = 64,8 m2. Mache ich mit dieser Rechnung einen Fehler? WÞrde mich sehr interessieren was Ihr dazu sagt.
Auch rein optisch mÞsste das gelbe Dreieck durch seine rechte lÃĪngere SeitenlÃĪnge gegenÞber der rechten SeitenlÃĪnge des 108 m2-Quadrat grÃķÃer als 54 m2 sein, aber es geht ja ums Rechnerische...
@entschworungspraktiker:
Ja, Sie rechnen falsch. Wenn Sie rechts Dreieck oben durch Rechteck unten teilen (= 0,6), dann mÞssen Sie auch links Dreieck oben zu Rechteck unten rechnen. Also:
(108 / 2) / (2 Ã ?) = 0,6
damit
? = (108 / 2) / (2 Ã 0,6) = 45
Am Bild lassen sich Þbrigens die FlÃĪche VerhÃĪltnisse leider nicht richtig erkennen, weil die Skizze nicht maÃstabsgerecht ist. Die kurzen Seiten der unteren Figuren sind in Wirklichkeit viel kleiner als dargestellt.
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81*2/108=1,5
135/1,5/2=45
Ergebnis 45.
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Kannst du das gesamte Gebilde mal MaÃstabgerecht zeichnen?
Weil so sieht es optisch so aus als wÃĪre das ? = 108/2 ð
Wenn du schon den Dreimalneunklugen geben muÃt, putz die Brille. Das zum Rechteck ergÃĪnzte ? ist genauso breit wie die 108, aber hÃķher. Das sieht man mit dem bloÃen Auge. Habs aber auch nachgemessen, das Verh. ist etwa 15:14. Also ist die gelbe FlÃĪche etwa 116/2, nicht 108/2. Aber warum Þberhaupt maÃstabsgerecht? Die Herausforderung ist doch, daà es eben alles unbekannte GrÃķÃen sind, die, auch wenn es so ausschaut, nicht grÃķÃer, kleiner oder gleich groà wie andere sind, sondern eben alle nur eines: unbekannt. MaÃstÃĪblichkeit ist hier nicht nur unangebracht, sondern auch tendenziell irrefÞhrend.
81 * 2 : 135 = 1.2 108 : 1.2 : 2 = 45
Ich lege ein groÃes Rechteck drÞber mit den LÃĪngen x und y, wobei x=a+b und y=c+d ist.
I: a*c=2*A(Gelb)
II: b*d=2*81
III: a*d=108
IV: b*c=135
I*II: a*b*c*d=2*2*81*A(Gelb)
III*IV: a*b*c*d=108*135
Da erkennt man schÃķn, dass das Produkt der FlÃĪchen, die sich diagonal gegenÞberliegen gleich groà ist. Dieses Wissen hÃĪtte man gleich nutzen kÃķnnen.
I*II=III*IV plus Faktorisierung
81=9*9=3*3*3*3
108=2*54=2*6*9=2*2*3*3*3
135=3*45=3*9*5=3*3*3*5
2^2*3^4*A(Gelb)=2^2*3^6*5
A(Gelb)=3^2*5
A(Gelb)=9*5
A(Gelb)=45 FE
Sehr schÃķne Aufgabe.
Top ausgewÃĪhlt von Magda.
Hat Spaà gemacht ððĪ
LG Gerald
Zusatz: Die Seiten a, b, c und d kann man nicht exakt ausrechnen, weil es da mehrere LÃķsungen gibt. Es liegt ja ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 5 Unbekannten vor. Daher nicht exakt lÃķsbar.
MÃķgliche LÃķsungen.
WÃĪhle d=9:
Dann ist
a=108:9 a=12
b=162:9 b=18
c=135:18
c=270:36
c=30:4 c=7,5
Oder
WÃĪhle d=6:
Dann ist
a=108:6 a=18
b=162:6 b=27
c=135:27
c=270:54
c=30:6 c=5
So eine ÃĪhnliche Aufgabe gab es auf deinem Kanal, nur viel schwerer.
@@timurkodzov718 Ja, solche Aufgaben habe ich auch schon gemacht.
Ein altbekanntes Beispiel, dass gerne zu Mathe-Olympiaden gegeben wird.
Aber immer wieder schÃķn, diese Aufgaben zu Þben.
LG Gerald
Alternativ:
(l*x)*(y*b) = (l*b)*(y*x)
(2*?)*(2*81) = (108)*(135)
? = 45
Meine LÃķsung: Gesucht ist A=(x*l)/2. Ich kenne die Werte von b*l = 108, (b*y)/2 = 81 und x*y =135.
Wenn es mir gelÃĪnge, z.B. l aus Vielfaches von y auszudrÞcken, erscheint in der Formel fÞr A der Ausdruck x*y, dessen Wert ich einfach einsetzen kann.
Konkret: l/y = (b*l)/(b*y) = (b*l)/(2*((b*y)/2))= (108)/(2*81)=108/162 = 2/3. Also gilt: l=(2/3)*y
Eingesetzt in die Formel fÞr A ergibt sich:
A=(x*l)/2 = (x*(2/3)*y)/2=(2/(2*3))*(x*y)=(x*y)/3 = 135/3 = 45
Finde ich etwas einfacher als deinen LÃķsungsweg.
Aber der Ansatz Þber das VerhÃĪltnis der RechteckflÃĪchen ist natÞrlich der eleganteste.
und ich wollte unbedingt b und x ausrechnen und kam da nicht weiter, aber du zeigst ja es geht ohne b und x zu kennen.ð
b*l=108 -> b*y=162 -> x*y=135 -> 108/b=162/y -> b=x?
Ich bekomme l = 108/b, x= 5/6 * b, y = 162/b heraus. Da Du fÞr "b" jede beliebige positive Zahl einsetzen kannst, hast Du nun unendlich viele Ergebnisse, die alle auf l x/2 = 45 fÞhren, da sich dort das "b" herauskÞrzt.
@@lara-wag ist mir ja auch aufgefallen, mein Ansatz war falsch.
Oh, ich dachte man kann sich das PDF kostenlos runterladen. Hatte schon vor, fÞr die MÞhe 5 Euro zu spenden. Dann sehe ich, dass das Buch 29 kostet. Ãh, dann will ich es doch nicht. HÃĪtte man auch gleich sagen kÃķnnen, dass es zum Kauf angeboten wird, nicht zum download.
Wer alles gratis haben will, fÞr den war jede Bildung umsonst.
Mit der Investition UND dem Durcharbeiten des Heftes kommst Du in Mathe sehr sicher in die richtige Spur, bekommst bessere Noten, ab Weihnachten 24 wohl bessere Weihnachtsgeschenke, machst ein gutes Abi, darfst studieren, bekommst einen guten Job, fÞhrst ein erfolgreiches Leben und verlÃĪÃt uns unter ZurÞcklassung glÞcklicher Erben. Und das alles fÞr 29 âŽ!
Sag selbst: DafÞr sind 29 ⎠doch ein Witz. Oder?
LÃķsung:
Wir kennen keine der HÃķhen und Breiten, daher nehmen wir folgendes als Ausgangsbasis:
a = Breite des linken Rechtecks
b = HÃķhe des linken Rechtecks
x = Breite des rechten Rechtecks
y = HÃķhe des rechten Rechtecks
Damit haben wir folgende Gleichungen:
(I) a * b = 108
(II) x * y = 135
(III) 1/2 * b * x = 81
(IV) 1/2 * a * y = z
(I) * (II)
(V) a * b * x * y = 108 * 135
(III) * (IV)
(VI) 1/2 * b * x * 1/2 * a * y = 81 * z
(VI) 1/4 * a * b * x * y = 81z
(V) in (VI)
(VII) 1/4 * 108 * 135 = 81z
(VII) 27 * 135 = 81z |:9 :9
(VII) z = 3 * 15 = 45 [mÂē]
lol habe es komplett anders gemacht hat keine Minute gedauert 108*135/162 Ergebniss durch 2 gleich 45
..
ð