Нашёл решение через тригонометрию: Высота: h = acos α = bsin 3α (1) Медиана m делит треугольник на два равновеликих. Отсюда: (1/2)bmsin α = (1/2)amsin 3α bsin α = asin 3α (2) Перемножаем (1)•(2) аbsin α cos α = ab sin 3α cos 3α Сокращаем на ab, умножаем на 2, применяем формулу двойного аргумента: sin 2α = sin 6α Если синусы равны, значит, либо углы равны (или отличаются на 360°n), либо их сумма равна 180° (или отличается от этого на 360°n). Легко видеть, что реализуется только вариант, когда сумма углов равна 180°, т.е. 8α = 180°, 4α = 90°.
я предполагаю, как Маэстро будет решать... сводить к окружности, наверно... я выложу тригонометрию... для разнообразия... получилось громоздко... но интересно) думал даже, что не прокатит... в общем, АВ=BK=1... AH=HK=sinα...BH=cosα... cos2α=cosα/BM...BM=cosα/cos2α...по св-ву биссектр из треуга HBM tgα=KM*cos2α/cosα... KM=sinα/cos2α... то есть AM=MC=2sinα+sinα/cos2α... ну заключительный бардак - вписываем теорему синусов для треуга МВС... (угол АСВ=90-3α)... ВМ/sinАСВ=MC/sinα... или (cosα/cos2α)/cos3α=(2sinα+sinα/cos2α)/sinα... на самом деле не очень страшно, много чего сокращается, а тройной косинус в знаменателе раскладывается и один из косинусов сразу сокращается с числителем... в итоге имеем 1/(2cos2α-1)=2cos2α+1... cos2α=√2/2...2α=45 градусов
@@ДмитрийИвашкевич-я8т ну доказывается достаточно просто через описанную окружность. Продолжаем высоту и медиану до пересечения с окружностью и видим, что медиана отсекает дугу 180° (следует как раз из того, что высота пересекает АС под прямым углом). Т.е. медиана это часть диаметра. Т.о. диаметр пересекает хорду (АС) в ее середине. А учитывая то, что хорда эта не перпендикулярна диаметру (очевидно), то она сама является диаметром. Т.о. АБС прямой т.к. опирается на диаметр.
@@OlegVlChДа, наверное Вы правы. Точки пересечения высоты с окружностью и медианы с окружностью вместе с АС образуют равнобедренную трапецию за счет равенства углов, следовательно хорд. Стало быть на продолжение медианы опирается прямой угол, значит продолжение медианы лежит на диаметре. Так даже легче все доказывается. Лишние данные часто уводят от кратчайшего пути. Единственное, мне на ум сначала пришел равносторонний треугольник, как контрпример, но это вырожденный случай. 🙂
Предварительно, устно, сжато: АН = НК = х, КМ = y, МС = 2х + y. Дважды св-во биссектрисы (в тр-ках АВС и КВС). y = x√2. КМ/НК = √2. Угол НВМ = 45. Угол АВС = 90. Подробнее завтра при необходимости, комп далеко, на телефоне писать неудобно и долго.
Спойлер: th-cam.com/video/4LIJzocksWA/w-d-xo.htmlsi=LPBPqYmJfosLjyiG
Нашёл решение через тригонометрию:
Высота: h = acos α = bsin 3α (1)
Медиана m делит треугольник на два равновеликих. Отсюда:
(1/2)bmsin α = (1/2)amsin 3α
bsin α = asin 3α (2)
Перемножаем (1)•(2)
аbsin α cos α = ab sin 3α cos 3α
Сокращаем на ab, умножаем на 2, применяем формулу двойного аргумента:
sin 2α = sin 6α
Если синусы равны, значит, либо углы равны (или отличаются на 360°n), либо их сумма равна 180° (или отличается от этого на 360°n). Легко видеть, что реализуется только вариант, когда сумма углов равна 180°, т.е. 8α = 180°, 4α = 90°.
Ммммм
Это ведь почти 5-12-13? Помню такую штуку с углами.
Снимаю шляпу! ❤
я предполагаю, как Маэстро будет решать... сводить к окружности, наверно... я выложу тригонометрию... для разнообразия... получилось громоздко... но интересно) думал даже, что не прокатит... в общем, АВ=BK=1... AH=HK=sinα...BH=cosα... cos2α=cosα/BM...BM=cosα/cos2α...по св-ву биссектр из треуга HBM tgα=KM*cos2α/cosα... KM=sinα/cos2α... то есть AM=MC=2sinα+sinα/cos2α... ну заключительный бардак - вписываем теорему синусов для треуга МВС... (угол АСВ=90-3α)... ВМ/sinАСВ=MC/sinα... или (cosα/cos2α)/cos3α=(2sinα+sinα/cos2α)/sinα... на самом деле не очень страшно, много чего сокращается, а тройной косинус в знаменателе раскладывается и один из косинусов сразу сокращается с числителем... в итоге имеем 1/(2cos2α-1)=2cos2α+1... cos2α=√2/2...2α=45 градусов
Е и Й пропустили.
Тут биссектриса в общем-то лишняя. Достаточно равенства двух крайних розовых углов, чтобы доказать, что АВС прямой.
Можете обосновать?
@@ДмитрийИвашкевич-я8т ну доказывается достаточно просто через описанную окружность. Продолжаем высоту и медиану до пересечения с окружностью и видим, что медиана отсекает дугу 180° (следует как раз из того, что высота пересекает АС под прямым углом). Т.е. медиана это часть диаметра. Т.о. диаметр пересекает хорду (АС) в ее середине. А учитывая то, что хорда эта не перпендикулярна диаметру (очевидно), то она сама является диаметром. Т.о. АБС прямой т.к. опирается на диаметр.
@@OlegVlChДа, наверное Вы правы. Точки пересечения высоты с окружностью и медианы с окружностью вместе с АС образуют равнобедренную трапецию за счет равенства углов, следовательно хорд. Стало быть на продолжение медианы опирается прямой угол, значит продолжение медианы лежит на диаметре. Так даже легче все доказывается. Лишние данные часто уводят от кратчайшего пути. Единственное, мне на ум сначала пришел равносторонний треугольник, как контрпример, но это вырожденный случай. 🙂
Да, господа, мы это решали месяц назад: th-cam.com/video/4LIJzocksWA/w-d-xo.htmlsi=LPBPqYmJfosLjyiG
AB/BC = |/2 - 1
ВС/sin(90°-α)=AC/sin(4α) ( теорема синусов для тр. АВС)
BC/sin(90°+2α)=AC/(2sinα) (теорема синусов для тр. ОВС)
sin4α*cos2α=2sinα*cosα
sin4α*cos2α=sin2α
2*sin2α*cos2α*cos2α=sin2α
cos2α=1/√2
2α=45°
4α=90°
Отлично. Почему учителя не смотрят такой канал, который специально для них? Для меня - загадка.
Предварительно, устно, сжато:
АН = НК = х,
КМ = y,
МС = 2х + y.
Дважды св-во биссектрисы (в тр-ках АВС и КВС). y = x√2.
КМ/НК = √2.
Угол НВМ = 45.
Угол АВС = 90.
Подробнее завтра при необходимости, комп далеко, на телефоне писать неудобно и долго.
Точно! 👍Два треугольника с одинаковым набором боковых сторон. Так и решал раньше, а нынче вылетело из головы.😅