長方形と半円 3通りで解説しました
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 13 ต.ค. 2024
- オンラインプロ家庭教師しています。数学を個別に習いたい方は是非！
zoomを利用して指導します。
気になる方は、こちら！！
sites.google.c...
数学を解く楽しさを伝えたい
数が苦→数楽に！！
チャンネル登録はこちら▶︎ bit.ly/39v2H5B /
Twitterはこちら
/ cefojw7wwv5x6z0
ハリネズミと生活してます🦔
動画はこちら▶︎ • ハリネズミのログ
インスタもやってます！川端哲平で検索を！
川端哲平の自己紹介
昼は、私立の中高一貫校の非常勤講師、夜は、塾講師として数学を教えて math
問題の解説のリクエストは基本的に受け付けていません。ご了承下さい。
学校は、明大明治、本郷、洗足学園、山手学院、かえつ有明などで教えていました。
塾は、大学時代から、個別指導のトーマスで指導を始め、２０歳から早稲田アカデミーで高校入試、大学入試の数学を教えていました。
良かったらチャンネル登録よろしくお願いします。
![โรงเรียนดัดสันดาน นักเรียนเถื่อน..!! [โรงเรียนไดเม่]](http://i.ytimg.com/vi/vRKPeXn4Fl4/mqdefault.jpg)
ｘがもわからず、Rもわからないのに解けるわけ無いじゃんっておもってたらｒｘがいつのまにかわかってて、思わず「あーーー」
次に、合同で解くってどうやって解くんだよと思ってたら魔法のようにずばっと。これまた「あーーー」
一つの問題の解法で2回も叫んだのは初めてでした。良問ですね
まるバツ90度のリズムが頭から離れない🤣🤣
これ好き😁
でも直角三角形の時、ホントこれ使えますよね！
まずヨコシマな解き方として、与えられた斜辺8をABに重ねたり、長方形を一辺rの正方形にしたりして32を導きました😅
で、半円の中心をOとしてOA=x, AF=y と置くと、三平方の定理で (x+r)^2 + y^2 = 8^2
ここで補助線OFを引くとその長さは半径なので、ここも三平方の定理で x^2 + y^2 = r^2
後者から y^2 = r^2 - x^2 を出し、それを前者の y^2 に代入
(x+r)^2 + (r^2 - x^2) = 64
x^2 + 2rx + r^2 + r^2 - x^2 = 64
2rx + 2r^2 = 64
rx + r^2 = 32
r(x+r) = 32 ←これがちょうど長方形の面積にあたります。
そして、ドヤ顔で動画を開いて相似や合同であっさり解けると知って悔しがるまでが俺のワンセットです😂
三平方の定理を使って計算しました。半径をx、中心からAまでの距離(OA)をyと置くと、AFは三平方の定理を使って、「x^2-y^2と、8^2-（x+y)^2」という風に2つの形で表現できます。これらが等しいので等式で結べます。一方、求める長方形の面積は、xと(x+y)の積なので、x^2+yとなります。で、上記の等式を整理すると、2x^2＋2xy＝64となって、つまりx^2+xy＝32と求まります。
相似と三平方の定理の２通りで解きました😉
補助線は１番目と同じところに引きました。
川端先生の動画で今までも思い切って2文字使って解ける問題があったので今回もやってみたらスラスラと解けました。
でも合同は思いつかなかったです。
言われてみれば確かに等積変形で行けますね。
これからは等積変形の解き方も取り入れようと思います。
いつもながらの圧倒的なわかりやすさ。公立の先生もこうでなくっちゃ。
図形の条件からなる色々な特性を上手く活用すると、簡単に解ける事が分かりました。
EA=α,AB=βとした時にパッと見でFA=√αβだなと思ったので、αβ+β^2=64だな〜と思った時に、円の半径は(α+β)/2なので面積はβ(α+β)/2=64/2=32だなぁと思いました
解説の解答の方が綺麗でいいなと思いました
BDとBOがrって分かっているから、残り知りたいのは、AOの長さ(aとする)で、それさえ分かれば長方形が求まるから、そのaを出すのに、先生の解説の図でいうと、FOに線を引いて三角形FAOにします。
長方形は、S=r×(r+a)で求めます。
先程の三角形FAOは、
aの2乗+bの2乗=rの2乗
から、aの2乗を移行して解き進めていくと、
r×(r+a)=32
と出ました。
ちなみにこれは、私ひとりで考えたように見えますが、補助線を引くアイデアや計算方法のアイデアなど、旦那さんと知恵を出し合って考えました。✌️😏😎✨
どうでしょう？
テストだと満点だと思いますが、計算の過程でたまたまr(r+a)が出てきたのならば、解法としては教えにくいと思います。計算前に、r(r+a)がスッキリ残ると見通せていたとしたら、相当数学力が高いと思います。
私自身はしょっちゅう行き当たりばったりでたまたま答えが出てラッキーってなりますが、先を見通せない時点で何か大事な知識や能力が欠けてると自認してます。ときどき方程式を立てて計算していったらa=aみたいな結果になって、またやっちまった、、ってなります…笑
@@Couch-Tomato さん
ありがとうございます。
これちょっと悩みました。解説の最初の方法でした。12時間かかったけど、解けてスッキリ
精神と時の部屋かな？
@@えるこんえるこん-e7b どうやらタイムリープしたみたいです。(￣∇￣)
Fがどこにあっても面積が一定なら、∠BOF=90°（FがCD上）のとき、∠BOF=180°（FがAB上）のとき、いずれでも面積が簡単に求められるので答えの数字だけ出すのは、まあ何とか。
サムネだけ見て、補助線1つだけでいける、1番目のやり方で解きました。r、xの文字の置き方まで一緒(笑)。
FがCと重なった時はすぐに思い付いたけど、Eと重なった時のほうが更に簡単ですね確かに
長方形の縦(=円の半径)をX、横をYとおいて、△ABFと△AOFの2つから、三平方でAFを表して、XYの値=面積を出しました。後は、これはやや邪道ですが、瞬間で答え出すだけなら、Fの位置は決まっていないので、円の中心Oの真上にして、8x8/2=32。（Eにしたら8x4=32）
∠EBFをθ、BEをxとする。
長方形の長辺は8cosθ、短辺はx/2だから、面積は4xcosθ･･･①。
ここで、xcosθ=8よりx=8/cosθだから、
①に代入して4×(8/cosθ)×cosθ=32
半径も与えられてないのに解けるのか？？と初めは思いましたが僕も相似な三角形を探したりと取りあえず手探りで試行錯誤しているとrx=32の式に辿り着き、あれ？rxってそもそも長方形の面積じゃね？？と気付きました。
rとxの値には全く依存しないんですね。非常に面白い問題でした
直角三角形がいっぱい見えるので、いろんな直角三角形に三平方の定理を使って両辺引き算すれば2乗差＝和と差の積が出てきそうだと思いましたが、そんなことはありませんでした
マークシートなら相似とか合同とか説明する必要なくて
ABとFBのなす角（＝〇）の大きさはどうでもいい（決まらない）ので、点Fが点Cに一致している状況を
考えるに、長方形ABDC（すなわちABDF）は対角線の長さが８の正方形なので面積は 8x8/2=32 暗算で。
川端さんの動画を見るようになって初めて知ることがたくさんあるなぁ…
相似比の内側どうしと外側どうしを掛けるって何？なのってくらいで…
受験勉強していないから分からないことが多いなぁ…
「F=Cの時とF=Eの時で答えが一致するの確認してから、とりあえず半径であるOFに補助線引いて二等辺三角形を作り、H出してBH=HF=4、まで条件反射的に図に書き込む」をルーチンというか習慣でやった後に「この情報で解けるか？」と考えたので2番目の方法でした。1番目はまだしも、3番目はどういう見立てて考えると辿り着くかな……三角形BDFが見えた上でDI出す方法を探すとかかな。1番面白い解法だけど。
これも問題の条件から直径8の円が内接する正方形の半分の長方形の面積求めても四角形ABCDの面積と等しくなるので4*8=32と求めてしまってから考えました。
1つ目のやり方と全く同じでした。F=Cみたいな特殊な場合を考えるやり方は過去の動画でも叩かれがちなようですが、答えが見えていると戦略も立てやすいので個人的には良いやり方だと思ってます。
整数問題において小さい値で実験するのと何も変わりませんからね。
三平方の定理を駆使して解きました。😁
2つ目の解法を最初に思いつきました。(この相似がわたしには一番見えやすかった)
解法が3つということで、他の解法を考えると1つ目も発見。あと一つがなかなか見えず、無理矢理対角線が8の正方形で考える？ただ、あまりにも論理性に欠けるし、問題が長方形なのに特別な状態の正方形とすることで一般化できるのか？という疑問もあり、却下。結局、動画を見るまで、合同は見えませんでした。
もしかしたら、「半径が使えるし、直角も出てくるので相似で何とかなるのでは？」という先入観があったために合同が見えなかったのかもしれません。なので、同じような問題をあまりしなれていない方が3つめは見つけられるのかもしれませんね。
素晴らしい〜
相似使うのは何となく察したから合同はどうなるんだろと思ったら最後等積変形でびっくりした。
２番目の方法で解きました。３番目はミラクルですね。気がつきません。
小中学生向けの解法ではないですが、円の中心をO、∠FOA=θ、円の半径をrとし、余弦定理で1発で出ますね
長方形を横に伸ばして半円がすっぽり入るようにして8×4=32
三平方の定理を利用して解けたけど，相似が一番簡単かな？
この手の問題は半径に因らないことが自明であるので、半径が8の場合を想定すると半径×直径＝4×8＝32
とした。
自由度のある図形だったので直径と長方形の一辺が重なるようにして求めました。
こういうのを防ぐために全く使わないところの長さや角度与えられたらどうなるんだろうｗ
他の数学動画でもこういう解き方してる人は時々見かけるけど、
回答の数値(今回は面積値)さえ合っていればいいというマークシート式受験の攻略法として有用なだけで、学問を楽しむ趣旨には合っていないよね。
というか記述式テストだとおそらく0点だね。点A＝E＝Fだったときに長方形の形が8x4になるという説明をしただけであって、点AとEとFが別の位置だった時も同じ面積値が得られるという一般性の根拠を示していないからね。
ほぼ満点の部分点はもらえるからね多少はね。
@@sakakkiedx5052 正直に「すごい！この柔軟なアイデアが出てこなかった自分が悔しいです」って言えばいいのに……
仮にこの問題がマークシート方式だったとしても本当に図形を変形しても面積は一定か頭の中で整理してからじゃないとリスキーすぎて本番のテストじゃ無理
これが出来る人は図形の性質を理解した上で煩雑な計算するより楽な解法を選んだだけ
こういう人に限って普段何気なく使っている定理がなぜそうなるのか厳密な証明は疎かざっくりにでも人に説明できない人が多い
@@kn8331
いや彼が言ってるのは事実だよ。
それにこの手の解法とその欠点はかなり有名な話だから、
ある程度受験数学を理解している人にとっては当然の発想。
ただそんな解き方は邪道だし面白くないし数学力がつくわけじゃないから、
受験生への注意喚起としては良いと思う。
貴方の言いたいことも正しいしわかるけど、
それは貴方が「問題を解くこと」だけを目的としているから。
彼は「数学力をつけること」を目的として指摘してるんだから、貴方の指摘はズレてるわけ。
ここのチャンネルは受験生向けに「数学力をつけること」を目的としてるのは明らかだし。
繰り返すけど、貴方の言ってることも間違ってはいない。
でも相手の意も汲まずに、変な妄想と偏見で否定するのはどうかと思うよ。
幾何拘束が緩い系は答えから先に出し、解き方は検算的に考えます。
AB=xとおくと
BD=OA
=HB×(BF/BA)
=4×8/x=32/x
∵△FAB∽△OHB
円の中心の点をOとした時、
補助線OFをひいたら
△AOFと△ABFは相似になりますか？
なんとなーく1：2：√3かなーって
この問題は、Ｆがどの位置にあってもいいと言ってるよ。
だから、△ＥＦＢが直角二等辺三角形になるとことへ、Ｆを置いてみる。
すると正方形の対角線が８だから８Ｘ８÷２で３２．瞬殺
対角線が8？
ＦがＥにあるとすると、直径が８で、高さが４だから、８ｘ４＝３２。瞬殺
これ、中学受験算数として出てきた方が迷いなく答えに行き着ける気がします。
一見ぎょっとしますが、どんな思考でも解けるので正解は出しやすそう
Fの位置が決定してないのでFとCを重ねて正方形に変形。
8×8÷2で32。反則ですな。
F=AとF=Cのときで32になるからFがどこにいようが答え同じなんだろうなと思って1の方法でAB求めたらAB=32/rだったって感じで示しました
悲しいことに中学の知識では解けませんでした。。
高校の知識を使うと、∠FBA=αと置くと、求める長方形の底辺は8cosα、高さは4/cosα。なので掛け合わせると常に32となります。
※ただし、サムネの図形の形を満たすのは、0 ＜α ≦ 45°に限られますけどね。
8cmを直径においても四角形が正方形だとしても32cm2だったので32cm2としちゃいました
He is Mao's hidden son !
rxといえばRX78ｰ2
合同あたまいい
EF補助線引けませんでした…
どうせ32くらいだろうと思ってたら合ってた
rとx。
クソ雑魚文系だからFをAまでもってって8×4＝32しか思いつかなかった。
うぽつです
老いたな、俺も。
1
答えは、問題を見た瞬間にBFを直径にして2秒で出た。
そのあと、１つ目の解き方をで解くのに３分かかった。
解説ありがとうございました。クャシ～
解3がもっとも数学的な気がします。