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3問目は皆さんの言う通り。でもこれは問題として成立しているのが前提にある。どのような場合でも5×5と一致することを証明する問題としたほうが楽しい。
ふと気づいたのですが、二つの正方形が接する辺を通る補助線mを引き、(接するように小さな正方形を大きな正方形の上にも描き)与えられた正方形の一辺の長さ、それぞれを短辺と長辺にもつ直角三角形を、まず二つ描けば(接戦の交点だろうがなかろうが90°かどうかもさておいて)、対角が等しい菱形が得られるので、そこから求める面積が大きな菱形の面積だと示すには、それぞれ異なる鋭角が原点Oと重なるように『平行移動』すればいいわけで、こうやれば隣り合う辺の長さが同じ菱形は正方形(の面積と同じ)だから、小学生の知識でも説明できるのじゃないですか？
２つの正方形が半円の内側で隣り合うとき、半円と接する２つの頂点をつないだ線ABを考えると、ABを直径にもつ小円が描ける(※1)ので『円に内接する直角三角形の性質』から、ABを底辺とし半円の中心Oからできる三角形は図のような直角二等辺三角形になる ……これなら小学生の知識でいけるよね※1：[2点の中点を求める要領] ABの中点Mと半円の中心Oをとおる補助線mと、正方形が接する辺をとおる補助線nを引き、mnの交点を任意の点Zと仮定すれば、小円と半円の交点を結ぶ線ABがOZと交わる点は任意の2点の中点だから、点MはまたOZの中点にもなっている。……大円を1個ほど省略するから、ちょっとだけ難しいかあ。予備校のふわっと解説はいかんよなあ
2問目 解答ではありませんが①円に内接する正方形書く（対角線が直径となる）②上記①の正方形を45°回転させたもの書くこの図の四等分したものが問題図である①で描いた正方形を直角二等辺三角形4個で分割 → △BEO正方形4個で分割 → □BACOなので 当然同一余談ですが、回転から発生してる図形のため、発生した交点同し、中心等を結ぶとありとあらゆる処に二等辺三角形と合同図形（45°回転位置）が発生しその間にある図形もリバース型の合同図形が生ずる補助線引くの苦手な人には練習台になるかも
小正方形の左上のかどの点Aとし反時計回りに正方形ABCD、大正方形CEFGとします。円の中心OとA、OとF結ぶ二つの半径を引きます。三角形ABOをAを中心に90°反時計回りに回転して正方形の上にのせ三角形ADHとします。ADとBOは平行なので角BOAと角DAOは錯角で等しい。よって角HAOは直角となります。三角形FOEをFを中心に時計回りに回転して正方形の上にのせます。角OFHも同様に直角となり半径を4辺とする正方形AOFHができて求める面積は一つの正方形として5×5=25(cm2)となりました。
問題の制約を守るのなら⬜︎をどこに描いても同じ面積になるはず。結果として対角線が5㎝の⬜︎を2個置けば、すぐ面積は25㎠であることが導けます。
３問目、補助線を引いて三角が合同になるのはわかるのですが、右側の正方形から三角をくり抜いた、矢印を半分にしたような形の面積がなぜわかるのか、がわかりません…
三問目は先生が言うようにすると中心の上に小さな正方形の部分が残ると思うのですがそこは計算しないのですか？三角形が合同なら小さな正方形が残ると思うのです私の答えは25ｃ㎡＋αになると思います
半径 5cmですね では 答え 5×5 で 25cm です 余談ですが 小さい正方形は一辺3cm、大きい正方形は一辺4cmですね シンプルな図形なら目測でわかります
こういう問題は中の四角の大きさを固定する条件がないから両方の四角を同じ大きさにしてしまえばいい。そしたらナナメ5cmの正方形が2つになるから5×5=25で終わり。いじわるに四角の高低差を1cmとか条件付けされてたら大きさを変えれなくなるから俺には解けんw。でも解答に不必要な数字は載せないのが基本w。
最後の問題は、２つの正方形が合同の場合もあると言えるので、同じ半円と四角形を下につけると、円の中に対角線10cmの正方形ができます。その半分の面積なので、10x10÷2÷2=25 でいいでしょうか?
愚直に代数で解きました。一辺aの小さい四角形を左上から左回りにABCD,1辺ｂの大きい四角形を左上から左回りにECFG、円の中心をＰとする。ＰＣをxとして三角形ＡＢＰと三角形ＰＦＧに三平方の定理を適用し、a^2+(a+x)^2=5^2 b^2+(b+x)^2=5^2 上下に並べて引き算をすると(a^2-b^2)+ (a+b)x=0 因数分解して(a+b)(a-b+x)=0 aは-bではないので、a+x=b すなわちAP=b 求める面積はa^2+b^2なので、三角形ABPに三平方を適用したことに等しいのでa^2+b^2=5^2=25㎠となる。
弧ABの円周角が45度になる証明は以下の通り。半円の円周と2つの正方形の接点を左からA,Bとする。また半円の直径を軸に既存図を下に折り返し円を作る。Bを通る大きい正方形の対角線の延長と円周との交点をPとすると∠APB=45度
そもそもこの二つの正方形の大きさを違えた図を描いて説明するのは非常に理解し難い。
3問目、条件からは大きい正方形と小さい正方形の比が出ないので、比が出ないのに面積が求められるということは、どういう比になってもきっと合計の面積は同じになるのだろうとヤマを張って、面積比1:1の正方形2個の面積＝半径×半径×1/2×2=25で出しちゃったｗ
楽しかった！高校の数学もやってくれないですか？社会人が見ても楽しい、つまらんテレビよりこばちゃんの方が良いです。
左の正方形を限りなく小さくしていったとき、右の正方形の面積の極限値は２５なので、合計も２５のはず。出題のされ方から定数であることが明らかだから。１秒で考えろと言われたらこう考えるしかない。
10分くらいでできました。私は長方形を４つ作ってその中に5X5の正方形を作りました。
14:23 「正方形」の対角線なんで45度 が理解できなかったわ中心角が90度の弧の円周角だから45度なのはわかるが、上の「正方形」がどこを意味しているのか誰か教えて
補足説明。既存図を下に折り返すとあるが、既存図とは半円と大小2つの正方形のこと。半円だけ折り返すのではなく2つの正方形も一緒に折り返してください。Bを通り既存図の大きい正方形の対角線と折り返した小さい正方形の対角線は一直線となり対角線と円周との交点Pは折り返した小さい正方形の核の頂点と一致します。さすれば円周角が45度になるのは一目瞭然。
できるだけ、小学生の範囲で考えてみました。おおきな正方形をA、一辺の長さをa、ちいさい正方形をB、一辺の長さをbとする。Aの右側の辺を長さb延長し、Bの左側の辺を長さa延長して、一辺の長さがa＋bの正方形Cを作る。円の中心から上に垂線をひき、正方形Cのうえの線と交わるところまで伸ばす。解説と同様にBの上の辺を延長し、垂線と交わるところまで伸ばす。正方形Aと垂線、正方形Bの上の辺の延長した線で囲まれた小さい四角形を四角形Dとすると、あれこれ補助線を引くことで、四角形Dは一辺の長さがaーbの正方形となることがわかる。（正方形D)あとは、解説と同じように半円の中心から補助線を引くことで、求めたい二つの正方形の面積の合計が、一辺の長さが半径となる正方形と同じになることが説明できると思います。わかりにくい文章ですいません。ざっくり言うとおおきな正方形の上に小さい正方形を乗せて、小さい正方形の上に大きい正方形を乗せて一辺の長さが二つの正方形の合計になる正方形を作ることで、中央に２つの正方形の辺の長さの差となる正方形を作り、あとはその周囲にできる長方形の対角線が、半径と等しくなることを利用して・・・ってうまく説明できなくて申し訳ないです。図で説明できれば簡単なのですが、素人なので文章が稚拙なのはお許しください。よろしくお願いします。
大きな正方形はいいアイデアだと思います。参考にさせて頂いて少し考え方を変えました。一辺の長さがaーbの正方形Dをまず作り、その右辺を下に延長し、大きな正方形の底辺まで到達させる。すると、合同な２つの直角三角形が容易に見つかり、垂線が丁度、円の中心に下ろされていることが分かります。この直角三角形に三平方の定理を適用するとa² ＋b ² = 25って、これそのまま解答になってますねｗ
わかります！三平方の定理を小学校の範囲で説明することにもつながりそうでエレガントな解法だと思いました。
＜動画のもくじ＞0:00 オープニング0:23 今日の内容説明1:14 1問目 正方形に内接した円を使った問題 問題提示1:38 1問目 正方形に内接した円を使った問題 問題解説5:38 2問目 おうぎ形、正方形、直角二等辺三角形を使った問題 問題提示5:52 2問目 おうぎ形、正方形、直角二等辺三角形を使った問題 問題解説8:15 3問目 難問！半円に内接する正方形２つの面積の和 問題提示8:33 3問目 難問！半円に内接する正方形２つの面積の和 かんたんな解説13:17 3問目 難問！半円に内接する正方形２つの面積の和 くわしい解説19:37 まとめ19:59 こばちゃん塾紹介20:27 おすすめ動画紹介
バカ方式の力業でやってみる。正方形の一辺の長さを、x,y（共に正の実数）とすると、√(25－x^2)+√(25－y^2)＝x+y⇔(x+y)^2･(x^2+y^2－25)＝0x+y>0より、x^2+y^2＝25。途中計算めんどくさい（笑）❗
分かりやすいです。
以前の動画（小4レベル、数学オリンピック→ 正方形にしてしまえば簡単。）にもあったのですが、3問目のように極端に条件が少ない問題って、こちらから条件を付加しても成り立たないといけないですよね。例えば２つの正方形が同じ大きさでも成り立たなくてはいけないので、その場合、半径の5cmがその正方形の対角線となるので5×5÷2×2で求められるのではないでしょうか？問題自体に２つの正方形の大きさが同じではないとするとか条件付加が必要な気がします。それならば証明が必要なので。今の条件なら、逆に同じ正方形でも同じ答えが出なければ問題としておかしいということになりますよね。
必要条件と十分条件の話になりますね。途中計算も書くタイプなら十分性も示さないとハネられるかもしれません。答えだけが知りたいなら必要条件のゴリ押しでもOKですが…先の勉強のことも考えるとやはり十分条件も考えるべきかと思います。
@@江戸川こなん-g2y さん、コメントありがとうございました😊。もちろんおっしゃっていることは当然ですね。ただ、学生の時からこの手の問題は不親切な問題だと思っていました。先に答えが出ると証明する意欲が失せちゃうので。いっそ証明問題にしてくれればいいと思っちゃいます🙄。
3番目の問題は私は以下のように解きました、小さい正方形の1辺の長さがa、大きい正方形の1辺の長さがbなら求める面積はa^2+b^2また半円の直径の中点をM、円周と正方形の接点を左からA,Bとすると、AM=BM=5,弧ABの円周角は45度⇒弧ABの中心角は90度⇒∠AMB=90⇒AB^2=(5√2)^2=50---(1)またABをa,bで表すと三平方の定理を使いAB^2=(a+b)^2+(b-a)^2=2(a^2+b^2)---(2)(1)(2)より2(a^2+b^2)=50∴a^2+b^2=25
お見事です。
小学校で習う範囲のみで解説するのは至難の業ですな。
そうですね(-_-;)相当難しく、めちゃくちゃ考えました(^^)
@@katekyo-aspiration 円周角と中心角を用いた解説の部分ですが、小学生にも理解できるように、二等辺三角形を用いて、45°+(45°+△)=X+△X=90°とした方がよいと思いました。この式の意味するところは、先生なら容易に推察できると思います。
@@sunsethorizon7321 なるほど。視覚的に分かりやすいですね(*^^*)
一問目…接点だと思ってって…問題文に書いておこうよ…
教えて下さい1問目で、EとFがなぜそれぞれADとDCの真ん中つまり2センチ地点にあることがわかるのですか？ お教えくださいませ！
はい！コメントありがとうございます！まず、正方形に円が内接しているので、円の中心（以下Oとします）と正方形の対角線の交点は一致します。よって、ODとOCをそれぞれ結ぶと、OD＝OCとなり、三角形DOCは二等辺三角形になります。ここで、DCは円Oの接線なので、OEとDCは垂直となります。「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」ので、点EはDCの真ん中であることがわかります。少し中学校の知識が必要なのですが、これでいかがでしょうか？
2問目の問題、1/4円を4枚張り合わせて円にしてみれば、同じ図形を表しているので、等しいのは自明ですね。
図形の外側に補助線を引くことはなかなか思いつかないタイプなので、積極的に外側にも補助線を引けるようにしていきたいと思います。
私も気づかない事も多いです(≧▽≦)
楽しく拝見しています。接線の交点が小さい正方形の右側の線分の延長線上ににあることがわかりません。アドバイスしていただければ嬉しいです。
接線の交点が延長線上にあるのではなく、結果的にそうなるということですね。
円と正方形二つの問題は色々ある三平方の定理の証明の一つですね。
うーん、何となく斜辺が半径で、大小の正方形が長辺と短辺の長さの正方形っぽいので、三平方の証明になってる雰囲気を感じるんだけど、なぜそれでいいのか分からない・・・
と思って、今見直したら分かりました。半径のところで切り取って、上に載せたら正方形ができるのね。良かった良かった。(試験の時間中に出来なきゃ不合格ですが・・・)
3問目ですが、問題として成立していることを前提とするなら、ズルして同じ大きさの正方形と考えて簡単に算出できます(私もこの方法で済ませました)。逆に問題に疑惑を持つならもっと面倒になる。世の中に出て必要なのは後者ですね。何故なら唯一解があるとは限らないから。前者で済ませた私は完全には解けていないことになりますね。
必要条件と十分条件ですね(>_
サムネの問題は正方形2つでも大きな正方形1つでも面積は変わらないここから読まなくていいので半円を正円にして正方形の対角線=5だから4つの直角二等辺三角形の面積は25/2×4=50cm2んで半円に戻すから25cm2って解いた
１秒は暗記してないと厳しいかな。半円に内接する正方形の問題ですが、設問から2つの正方形が合同の場合でも成立するため、対角線が5cmの正方形2つの面積の合計と考えて２５平方センチメートル。
普段使ってない頭の部分を使ったので疲れたよ〜😅
12:09 正方形の面積＝2つの正方形の合計にはならない。求めてる形が違いませんか？
なりますよ。同じ図を書いて色を塗ってみると分かると思います(^^)
@@かずまる-n4l 色を塗ってみると上に傾けて描いた正方形の中心あたり空白できませんか？ あ、それでいいのか！納得です。
私も、同感です。同じ面積に見えないです。大小の最初の正方形と中心から補助線を引いた時にできる横長の四角形＋横長の四角形で削られた形が変わってしまった元大きい正方形がなぜなら同じ面積なのですか？全く違う形になっていますし、隙間ができているので元の大小の正方形と同じとは思えないです。数学の図形問題は補助線がたくさんある上に、図形をぐるぐる回転させて見る角度を変えたりしないといけないので本当に難しいですね。
@@秘密こっちも秘密 円の中心から真上に引いた補助線を少し延長すると、斜めになっている正方形を[4つの合同な直角三角形]と[真ん中の小さな正方形]に分割する事が出来ますね。その[合同な直角三角形]が下にもあるので、元の正方形2つも、[4つの合同な直角三角形]と[斜めになっている正方形の真ん中の小さな正方形(右側の正方形の左上)]になるので、斜めになっている正方形と同じになるのです。この問題はパズルのようで面白いですね。
@@秘密こっちも秘密 図形が重なってるって思ってるだけでは？
２つの正方形の大きさが指定されていないので、単純化して同じ大きさにして考えてもよい。そうすると、円に内接する対角線10cmの正方形の面積の半分となるから、(10×10/2)×1/2=25cm^2。
めちゃくちゃわかりやすい。こういう先生に授業習いたかったなあ。
最終問題でなんか説明わかりにくいなと思ったら「移動して移動して」って言ってるとこ指してるの逆じゃない？
ありがとうございます！気づきませんでした・・・(-_-;)
2問目だけどAOに線を一本引けばAOとOE同じ長さなんだから見た目で瞬間的に同じだとわかる
10:31 「二つの三角形は合同です」って言い切っちゃったけど根拠示さなくていいの？
ありがとうございます！その後「なぜ合同か」を詳しく説明しているので、良かったら見てください(^_^)
@@katekyo-aspiration ご返信ありがとうございます。また、最後まで動画を見切らないままのコメント失礼いたしました。しかしながら、「疑問に思う人は見てね」ではなく、解法を示すにあたっては「きっちり示したこと」か「自明なこと」しか使ってはいけないのでは、とさらに思います。説明が冗長にならないためのご配慮とは思いますが、やはり説明としては乱暴に感じました。失礼いたしました。
いくらなんでも１秒は無理かな「5cm」を認識するだけで１秒はかかる
最後の問題、これだけの情報で解けるなら全ての条件(二つの正方形で一つの片が接していて？一つの角が演習場にある場合)すべて同じ答えになるのではとか言う糞理論の基同じ正方形と仮定してひし形の公式から出したら答えが合ってしまった
3つ目は真っ先に、２つの正方形が合同の場合、対角線が円の半径と一致するから、5×5÷2×2＝25って解いた。
円周角の定理なんて初耳！😅
このヒトの出す問題は良いのが多いがキャラ的にはうざがられそうで残念。
右正方形ので右上コーナーから円の中心を結んで出来た三角形がもし5:4:3 なら右正方形4×4＝16左正方形3×3＝9 16＋9＝25となる
解説があると 解ります。今回はムズい
そうですね。完全に論理的に解くのは非常に難しい問題でした（＾＾）
説明聞いてもなんとなくしか分からん。悲しい。
コメントありがとうございます！何度も聞いてみてください。きっと理解できます。「読書百遍意自ずから通ず」です(^_^)読書じゃないけど🤣
ううう、1秒じゃ解けない。
「テイク~」は入れないほうが動画に集中できます
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3問目は皆さんの言う通り。でもこれは問題として成立しているのが前提にある。どのような場合でも5×5と一致することを証明する問題としたほうが楽しい。
ふと気づいたのですが、二つの正方形が接する辺を通る補助線mを引き、(接するように小さな正方形を大きな正方形の上にも描き)与えられた正方形の一辺の長さ、それぞれを短辺と長辺にもつ直角三角形を、まず二つ描けば(接戦の交点だろうがなかろうが90°かどうかもさておいて)、対角が等しい菱形が得られるので、そこから求める面積が大きな菱形の面積だと示すには、それぞれ異なる鋭角が原点Oと重なるように『平行移動』すればいいわけで、こうやれば隣り合う辺の長さが同じ菱形は正方形(の面積と同じ)だから、小学生の知識でも説明できるのじゃないですか？
２つの正方形が半円の内側で隣り合うとき、半円と接する２つの頂点をつないだ線ABを考えると、ABを直径にもつ小円が描ける(※1)ので『円に内接する直角三角形の性質』から、ABを底辺とし半円の中心Oからできる三角形は図のような直角二等辺三角形になる ……これなら小学生の知識でいけるよね
※1：[2点の中点を求める要領] ABの中点Mと半円の中心Oをとおる補助線mと、正方形が接する辺をとおる補助線nを引き、mnの交点を任意の点Zと仮定すれば、小円と半円の交点を結ぶ線ABがOZと交わる点は任意の2点の中点だから、点MはまたOZの中点にもなっている。……大円を1個ほど省略するから、ちょっとだけ難しいかあ。
予備校のふわっと解説はいかんよなあ
2問目 解答ではありませんが
①円に内接する正方形書く（対角線が直径となる）
②上記①の正方形を45°回転させたもの書く
この図の四等分したものが問題図である
①で描いた正方形を
直角二等辺三角形4個で分割 → △BEO
正方形4個で分割 → □BACO
なので 当然同一
余談ですが、回転から発生してる図形のため、発生した交点同し、中心等を結ぶと
ありとあらゆる処に二等辺三角形と合同図形（45°回転位置）が発生しその間にある図形もリバース型の合同図形が生ずる
補助線引くの苦手な人には練習台になるかも
小正方形の左上のかどの点Aとし反時計回りに正方形ABCD、大正方形CEFGとします。円の中心OとA、OとF結ぶ二つの半径を引きます。三角形ABOをAを中心に90°反時計回りに回転して正方形の上にのせ三角形ADHとします。ADとBOは平行なので角BOAと角DAOは錯角で等しい。よって角HAOは直角となります。三角形FOEをFを中心に時計回りに回転して正方形の上にのせます。角OFHも同様に直角となり半径を4辺とする正方形AOFHができて求める面積は一つの正方形として
5×5=25(cm2)
となりました。
問題の制約を守るのなら⬜︎をどこに描いても同じ面積になるはず。結果として対角線が5㎝の⬜︎を2個置けば、すぐ面積は25㎠であることが導けます。
３問目、補助線を引いて三角が合同になるのはわかるのですが、右側の正方形から三角をくり抜いた、矢印を半分にしたような形の面積がなぜわかるのか、がわかりません…
三問目は先生が言うようにすると
中心の上に小さな正方形の部分が残ると思うのですがそこは計算しないのですか？
三角形が合同なら小さな正方形が残ると思うのです
私の答えは25ｃ㎡＋αになると思います
半径 5cmですね では 答え 5×5 で 25cm です 余談ですが 小さい正方形は一辺3cm、大きい正方形は一辺4cmですね シンプルな図形なら目測でわかります
こういう問題は中の四角の大きさを固定する条件がないから両方の四角を同じ大きさにしてしまえばいい。そしたらナナメ5cmの正方形が2つになるから5×5=25で終わり。
いじわるに四角の高低差を1cmとか条件付けされてたら大きさを変えれなくなるから俺には解けんw。でも解答に不必要な数字は載せないのが基本w。
最後の問題は、２つの正方形が合同の場合もあると言えるので、同じ半円と四角形を下につけると、円の中に対角線10cmの正方形ができます。
その半分の面積なので、10x10÷2÷2=25 でいいでしょうか?
愚直に代数で解きました。一辺aの小さい四角形を左上から左回りにABCD,1辺ｂの大きい四角形を左上から左回りにECFG、円の中心をＰとする。ＰＣをxとして三角形ＡＢＰと三角形ＰＦＧに三平方の定理を適用し、a^2+(a+x)^2=5^2 b^2+(b+x)^2=5^2 上下に並べて引き算をすると(a^2-b^2)+ (a+b)x=0 因数分解して(a+b)(a-b+x)=0 aは-bではないので、a+x=b すなわちAP=b 求める面積はa^2+b^2なので、三角形ABPに三平方を適用したことに等しいのでa^2+b^2=5^2=25㎠となる。
弧ABの円周角が45度になる証明は以下の通り。
半円の円周と2つの正方形の接点を左からA,Bとする。
また半円の直径を軸に既存図を下に折り返し円を作る。
Bを通る大きい正方形の対角線の延長と円周との交点をPとすると
∠APB=45度
そもそもこの二つの正方形の大きさを違えた図を描いて説明するのは非常に理解し難い。
3問目、条件からは大きい正方形と小さい正方形の比が出ないので、比が出ないのに面積が求められるということは、どういう比になってもきっと合計の面積は同じになるのだろうとヤマを張って、面積比1:1の正方形2個の面積＝半径×半径×1/2×2=25で出しちゃったｗ
楽しかった！高校の数学もやってくれないですか？社会人が見ても楽しい、つまらんテレビよりこばちゃんの方が良いです。
左の正方形を限りなく小さくしていったとき、右の正方形の面積の極限値は２５なので、合計も２５のはず。出題のされ方から定数であることが明らかだから。１秒で考えろと言われたらこう考えるしかない。
10分くらいでできました。私は長方形を４つ作ってその中に5X5の正方形を作りました。
14:23 「正方形」の対角線なんで45度 が理解できなかったわ
中心角が90度の弧の円周角だから45度なのはわかるが、上の「正方形」がどこを意味しているのか誰か教えて
補足説明。既存図を下に折り返すとあるが、既存図とは半円と大小2つの正方形のこと。
半円だけ折り返すのではなく2つの正方形も一緒に折り返してください。
Bを通り既存図の大きい正方形の対角線と折り返した小さい正方形の対角線は
一直線となり対角線と円周との交点Pは折り返した小さい正方形の核の頂点と一致します。
さすれば円周角が45度になるのは一目瞭然。
できるだけ、小学生の範囲で考えてみました。
おおきな正方形をA、一辺の長さをa、ちいさい正方形をB、一辺の長さをbとする。
Aの右側の辺を長さb延長し、Bの左側の辺を長さa延長して、一辺の長さがa＋bの正方形Cを作る。
円の中心から上に垂線をひき、正方形Cのうえの線と交わるところまで伸ばす。解説と同様にBの上の辺を延長し、
垂線と交わるところまで伸ばす。
正方形Aと垂線、正方形Bの上の辺の延長した線で囲まれた小さい四角形を四角形Dとすると、
あれこれ補助線を引くことで、四角形Dは一辺の長さがaーbの正方形となることがわかる。（正方形D)
あとは、解説と同じように半円の中心から補助線を引くことで、求めたい二つの正方形の面積の合計が、
一辺の長さが半径となる正方形と同じになることが説明できると思います。
わかりにくい文章ですいません。ざっくり言うとおおきな正方形の上に小さい正方形を乗せて、
小さい正方形の上に大きい正方形を乗せて一辺の長さが二つの正方形の合計になる正方形を作ることで、
中央に２つの正方形の辺の長さの差となる正方形を作り、あとはその周囲にできる長方形の対角線が、
半径と等しくなることを利用して・・・ってうまく説明できなくて申し訳ないです。
図で説明できれば簡単なのですが、素人なので文章が稚拙なのはお許しください。
よろしくお願いします。
大きな正方形はいいアイデアだと思います。
参考にさせて頂いて少し考え方を変えました。
一辺の長さがaーbの正方形Dをまず作り、その右辺を下に延長し、大きな正方形の底辺まで到達させる。
すると、合同な２つの直角三角形が容易に見つかり、垂線が丁度、円の中心に下ろされていることが分かります。
この直角三角形に三平方の定理を適用するとa² ＋b ² = 25
って、これそのまま解答になってますねｗ
わかります！
三平方の定理を小学校の範囲で説明することにもつながりそうで
エレガントな解法だと思いました。
＜動画のもくじ＞
0:00 オープニング
0:23 今日の内容説明
1:14 1問目 正方形に内接した円を使った問題 問題提示
1:38 1問目 正方形に内接した円を使った問題 問題解説
5:38 2問目 おうぎ形、正方形、直角二等辺三角形を使った問題 問題提示
5:52 2問目 おうぎ形、正方形、直角二等辺三角形を使った問題 問題解説
8:15 3問目 難問！半円に内接する正方形２つの面積の和 問題提示
8:33 3問目 難問！半円に内接する正方形２つの面積の和 かんたんな解説
13:17 3問目 難問！半円に内接する正方形２つの面積の和 くわしい解説
19:37 まとめ
19:59 こばちゃん塾紹介
20:27 おすすめ動画紹介
バカ方式の力業でやってみる。
正方形の一辺の長さを、x,y（共に正の実数）とすると、
√(25－x^2)+√(25－y^2)＝x+y
⇔(x+y)^2･(x^2+y^2－25)＝0
x+y>0より、x^2+y^2＝25。
途中計算めんどくさい（笑）❗
分かりやすいです。
以前の動画（小4レベル、数学オリンピック→ 正方形にしてしまえば簡単。）にもあったのですが、3問目のように極端に条件が少ない問題って、こちらから条件を付加しても成り立たないといけないですよね。例えば２つの正方形が同じ大きさでも成り立たなくてはいけないので、その場合、半径の5cmがその正方形の対角線となるので5×5÷2×2で求められるのではないでしょうか？
問題自体に２つの正方形の大きさが同じではないとするとか条件付加が必要な気がします。それならば証明が必要なので。今の条件なら、逆に同じ正方形でも同じ答えが出なければ問題としておかしいということになりますよね。
必要条件と十分条件の話になりますね。
途中計算も書くタイプなら十分性も示さないと
ハネられるかもしれません。
答えだけが知りたいなら必要条件のゴリ押し
でもOKですが…
先の勉強のことも考えるとやはり十分条件も
考えるべきかと思います。
@@江戸川こなん-g2y さん、コメントありがとうございました😊。もちろんおっしゃっていることは当然ですね。ただ、学生の時からこの手の問題は不親切な問題だと思っていました。先に答えが出ると証明する意欲が失せちゃうので。いっそ証明問題にしてくれればいいと思っちゃいます🙄。
3番目の問題は私は以下のように解きました、
小さい正方形の1辺の長さがa、大きい正方形の1辺の長さがbなら
求める面積はa^2+b^2また
半円の直径の中点をM、円周と正方形の接点を左からA,Bとすると、
AM=BM=5,弧ABの円周角は45度⇒弧ABの中心角は90度
⇒∠AMB=90⇒AB^2=(5√2)^2=50---(1)
またABをa,bで表すと三平方の定理を使い
AB^2=(a+b)^2+(b-a)^2=2(a^2+b^2)---(2)
(1)(2)より2(a^2+b^2)=50∴a^2+b^2=25
お見事です。
小学校で習う範囲のみで解説するのは至難の業ですな。
そうですね(-_-;)
相当難しく、めちゃくちゃ考えました(^^)
@@katekyo-aspiration
円周角と中心角を用いた解説の部分ですが、小学生にも理解できるように、二等辺三角形を用いて、
45°+(45°+△)=X+△
X=90°
とした方がよいと思いました。この式の意味するところは、先生なら容易に推察できると思います。
@@sunsethorizon7321
なるほど。
視覚的に分かりやすいですね(*^^*)
一問目…接点だと思ってって…
問題文に書いておこうよ…
教えて下さい
1問目で、EとFがなぜそれぞれADとDCの真ん中つまり2センチ地点にあることがわかるのですか？ お教えくださいませ！
はい！コメントありがとうございます！
まず、正方形に円が内接しているので、円の中心（以下Oとします）と正方形の対角線の交点は一致します。
よって、ODとOCをそれぞれ結ぶと、OD＝OCとなり、三角形DOCは二等辺三角形になります。
ここで、DCは円Oの接線なので、OEとDCは垂直となります。
「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」ので、点EはDCの真ん中であることがわかります。
少し中学校の知識が必要なのですが、これでいかがでしょうか？
2問目の問題、1/4円を4枚張り合わせて円にしてみれば、同じ図形を表しているので、等しいのは自明ですね。
図形の外側に補助線を引くことはなかなか思いつかないタイプなので、積極的に外側にも補助線を引けるようにしていきたいと思います。
私も気づかない事も多いです(≧▽≦)
楽しく拝見しています。接線の交点が小さい正方形の右側の線分の延長線上ににあることがわかりません。アドバイスしていただければ嬉しいです。
接線の交点が延長線上にあるのではなく、結果的にそうなるということですね。
円と正方形二つの問題は色々ある三平方の定理の証明の一つですね。
うーん、何となく斜辺が半径で、大小の正方形が長辺と短辺の長さの
正方形っぽいので、三平方の証明になってる雰囲気を感じるんだけど、
なぜそれでいいのか分からない・・・
と思って、今見直したら分かりました。
半径のところで切り取って、上に載せたら正方形ができるのね。
良かった良かった。(試験の時間中に出来なきゃ不合格ですが・・・)
3問目ですが、問題として成立していることを前提とするなら、ズルして同じ大きさの正方形と考えて簡単に算出できます(私もこの方法で済ませました)。逆に問題に疑惑を持つならもっと面倒になる。世の中に出て必要なのは後者ですね。何故なら唯一解があるとは限らないから。前者で済ませた私は完全には解けていないことになりますね。
必要条件と十分条件ですね(>_
サムネの問題は正方形2つでも大きな正方形1つでも面積は変わらない
ここから読まなくていい
ので半円を正円にして正方形の対角線=5だから4つの直角二等辺三角形の面積は25/2×4=50cm2
んで半円に戻すから25cm2
って解いた
１秒は暗記してないと厳しいかな。半円に内接する正方形の問題ですが、設問から2つの正方形が合同の場合でも成立するため、対角線が5cmの正方形2つの面積の合計と考えて２５平方センチメートル。
普段使ってない頭の部分を使ったので疲れたよ〜😅
12:09 正方形の面積＝2つの正方形の合計にはならない。求めてる形が違いませんか？
なりますよ。
同じ図を書いて色を塗ってみると分かると思います(^^)
@@かずまる-n4l 色を塗ってみると上に傾けて描いた正方形の中心あたり空白できませんか？ あ、それでいいのか！納得です。
私も、同感です。同じ面積に見えないです。大小の最初の正方形と中心から補助線を引いた時にできる横長の四角形＋横長の四角形で削られた形が変わってしまった元大きい正方形がなぜなら同じ面積なのですか？全く違う形になっていますし、隙間ができているので元の大小の正方形と同じとは思えないです。
数学の図形問題は補助線がたくさんある上に、図形をぐるぐる回転させて見る角度を変えたりしないといけないので本当に難しいですね。
@@秘密こっちも秘密
円の中心から真上に引いた補助線を少し延長すると、斜めになっている正方形を[4つの合同な直角三角形]と[真ん中の小さな正方形]に分割する事が出来ますね。
その[合同な直角三角形]が下にもあるので、元の正方形2つも、[4つの合同な直角三角形]と[斜めになっている正方形の真ん中の小さな正方形(右側の正方形の左上)]になるので、斜めになっている正方形と同じになるのです。
この問題はパズルのようで面白いですね。
@@秘密こっちも秘密
図形が重なってるって思ってるだけでは？
２つの正方形の大きさが指定されていないので、単純化して同じ大きさにして考えてもよい。そうすると、円に内接する対角線10cmの正方形の面積の半分となるから、(10×10/2)×1/2=25cm^2。
めちゃくちゃわかりやすい。こういう先生に授業習いたかったなあ。
最終問題でなんか説明わかりにくいなと思ったら「移動して移動して」って言ってるとこ指してるの逆じゃない？
ありがとうございます！
気づきませんでした・・・(-_-;)
2問目だけどAOに線を一本引けばAOとOE同じ長さなんだから見た目で瞬間的に同じだとわかる
10:31 「二つの三角形は合同です」って言い切っちゃったけど根拠示さなくていいの？
ありがとうございます！
その後「なぜ合同か」を詳しく説明しているので、良かったら見てください(^_^)
@@katekyo-aspiration ご返信ありがとうございます。また、最後まで動画を見切らないままのコメント失礼いたしました。しかしながら、「疑問に思う人は見てね」ではなく、解法を示すにあたっては「きっちり示したこと」か「自明なこと」しか使ってはいけないのでは、とさらに思います。説明が冗長にならないためのご配慮とは思いますが、やはり説明としては乱暴に感じました。失礼いたしました。
いくらなんでも１秒は無理かな
「5cm」を認識するだけで１秒はかかる
最後の問題、これだけの情報で解けるなら全ての条件(二つの正方形で一つの片が接していて？一つの角が演習場にある場合)すべて同じ答えになるのではとか言う糞理論の基同じ正方形と仮定してひし形の公式から出したら答えが合ってしまった
3つ目は真っ先に、２つの正方形が合同の場合、対角線が円の半径と一致するから、5×5÷2×2＝25って解いた。
円周角の定理なんて初耳！😅
このヒトの出す問題は良いのが多いがキャラ的にはうざがられそうで残念。
右正方形ので右上コーナーから円の中心を結んで出来た三角形が
もし5:4:3 なら右正方形4×4＝16
左正方形3×3＝9 16＋9＝25
となる
解説があると 解ります。今回はムズい
そうですね。
完全に論理的に解くのは非常に難しい問題でした（＾＾）
説明聞いてもなんとなくしか分からん。
悲しい。
コメントありがとうございます！
何度も聞いてみてください。
きっと理解できます。
「読書百遍意自ずから通ず」です(^_^)
読書じゃないけど🤣
ううう、1秒じゃ解けない。
「テイク~」は入れないほうが動画に集中できます