О каких первокурсниках речь? Это задачка из начальной советской школы, для четвертого класса. И решается в уме. Поскольку n^4 растёт намного быстрее, чем n, то под корнями всё, кроме n^4, режем к чёртовой матери, не дожидаясь перитонитов. Получаем сумму арифметической прогрессии с числителями 1, 2, 3, ... n и со знаменателем n^2. Её сумма n(n+1)/2n^2 стремится к 1/2. Всё.
Это оценка сверху (уменьшили знаменатели). Теперь надо сделать оценку снизу: увеличить все знаменатели до √(n⁴+n) и получить опять ½. Ранее такой способ доказательства предложил уже один из комментаторов. Математика наука точная: "n⁴ растёт намного быстрее n" не годится. Обязательно нужно точно найти, насколько быстрее.
@@drdynaniteТак забавно читать комментарии малолетних интеллектуалов, неудосужившихся даже ознакомиться с принятыми на данном канале юмором и сарказмом.
Возникла идея применить предел n→∞ дважды к сумме под знаком предела. Действительно, если существует единождый предел, то второе взятие предела его не изменит. Вынесем в сумме под знаком предела множитель 1/√(n⁴+1) за скобку, тогда в скобке останется ряд 1+ 2•√[(n⁴+1)/(n⁴+2)]+...+ +n•√[(n⁴+1)/(n⁴+n)]. (*) Применяя дважды предел n→∞, заметим, что одиночный и двойной предел одинаковы для величины множителя 1/√(n⁴+1), поэтому его можно вынести за знак второго (внутреннего) предела. Под знаком второго внутреннего предела останется ряд (*). Т.к. пределы √[(n⁴+1)/(n⁴+k)] при k=1, 2, ..., n равны 1, то после взятия внутреннего предела останется простой ряд 1+2+...+n, сумма которого равна n•(n+1)/2. Тогда внешний предел от произведения [1/√(n⁴+1)]•[n(n+1)/2] даст ½. В духе Рамануджана. 😂
можно уйти от двойного предела, применив "теорему о двух милиционерах" - если каждый элемент последовательности заключен между соответствующими элементами двух последовательностей, сходящимися к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу. sum k/√(n⁴+n)
@@vitaliikuzminov2888 Посмотрите ещё в комментариях. Один из комментаторов очень ясно и кратко написал. Двойной предел не очень сложен и позволяет обойтись без оценок. 😀
Согласен, навешивать второй идентичный предел снаружи ничего не меняет, так как внутренний предел уже не зависит от n, однако я утверждаю, что выносить множители, зависящие от n, из внутреннего предела - незаконно. Приведу доказательство с помощью простого примера. lim(n->inf) lim(n->inf) n^2/n = lim(n->inf) n^2 * lim(n->inf) 1/n = lim(n->inf) n^2 * 0 = lim(n->inf) 0 = 0 Хотя изначальный предел равен бесконечности.
@@regulus2033 Если после взятия внутреннего предела получается число, а не выражение, зависящее от n, число автоматически выносится за знак внешнего предела, т.к. не зависит от n.
Сразу хочется отбросить второе слагаемое под корнем, так как оно много меньше первого при больших n. Это приводит к правильному ответу, насколько это строго, не уверен
решил через тейлора, переписал общий член как k/n²(1+k/n⁴)^(-1/2), k от 1 до n. скобку раскрыл по тейлору, дальше получилось, что единственный член, не стремящийся к нулю стремится к 1/2.
@@regulus2033 нет, я рассматриваю конечную сумму c k от 1 до n и устремляю n к бесконечности. ход действий примерно такой, сначала для каждого k разложим скобку по тейлору, получим k/n²(1-k/2n⁴+o(1/n⁷)), раскрываю скобки и складываю все k от 1 до n. получим n(n+1)/2n²-n(n+1)(2n+1)/12n⁶+k³o(1/n5) . не очень корректно тут расписал, но идея в том, что во всех следующих членах сумма всех k^j от 1 до n не сможет противодействовать степеням n в знаменателе и все члены дальше это o(1/n)
Раньше при царе батюшке на Руси люди были все верующие женились рано в 15 лет и имели кучу детей , по восемь по 10 ...Но потом пришли коммунисты и уничтожили православие... И сейчас мы имеем в стране демографический кризис , молодежь ведёт беспорядочные половые связи , поздно женятся, пацаны с девками общаться не могут , детей не хотят , много разводов... Скоро на Руси благодаря комунякам будут жить одни таджики, узбеки ,мастурбеки...
Хо... В Великобритании с мусульманами проблем столько же. И падение рождаемости среди коренных англосаксов такое же. Будущий вице-президент США Вэнс (идёт на выборы на пару с Трампом) назвал Великобританию первой мусульманской страной с ядерным оружием. Тоже коммуняки виноваты?
Любой уважающий себя первокурсник при виде этой задачки сразу подумает о суммах Римана и сведёт предел и сумму к интегралу, за пару минут получив тот же ответ
@@Thesaddestmomentinourlives Этот вопрос к Вам. Не знаете, что делают на математических каналах? Отнюдь не пи...ят. Пи...еть просьба на клоунских каналах, где Вам всегда рады.
@@Alexander_Goosev Ваш инфантилизм меня не особо интересует, меня интересует почему вы вообще накидываетесь на людей(ад гоминемом попахивает) под тем видео, где есть достаточные объяснения? Приписали к чему-то Туркменистан ещё)) Может вы ещё заходите на каналы для 11-классников по опр интегралам и строчите в комментариях про предел по базе?)
Я может чего-то не понимаю, НО. Берём общий член n/sqrt(n^4+n), выносим под радикалом за скобки и заодно из-под радикала n^4, получаем n/sqrt(n^4+n) = n/(n^2*sqrt(1+1/n^3)) = 1/(n*sqrt(1+1/n^3)), устремляем n к бесконечности, и для общего члена получаем НОЛЬ. Общий член последовательности в пределе ноль, соответственно, все члены в пределе ноль, соответственно, вся сумма равна нулю. Откуда у вас одна вторая-то вылезла?
Если ты решил вынести "общий член" за скобки, то в скобках каждый член нужно разделить на "общий член". Последний член в скобках после такого деления будет равен 1. Как он может стремиться к 0 ?? А вообще сумма в этих скобках при n→∞ будет стремиться к частичной сумме 1/n +2/n + 3/n +... n/n= =(1+2+3+...+n)/n=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2, т.е. к бесконечности.
А, ты думаешь, что сумма бесконечного числа положительных слагаемых, стремящихся к 0, не может быть числом, бо́льшим 0. Это ты тогда в каком классе учишься? Оспади, помилуй. 😀
В советское время я не смог решить такую задачу на собеседовании и поэтому меня не приняли в детский сад при Мехмате МГУ.
В роддоме забраковали за нерешение😂😂😂
эх жаль, вижу ты порядочный парень, мы бы могли оказаться в одной группе (
По теореме о двух милиционерах)
Оценка сверху: (1+2+…+n)/n^2 =n(n+1)/2 -> 1/2
Оценка снизу: (1+2+…n)/sqrt(n^4+n) =n(n+1)/(2n^2 sqrt(1+1/n^4)) -> 1/2
Так что у суммы есть предел, равный 1/2.
Михаил Абрамович, поступил я на матмех урфу, очень доволен, ведь буду изучать настоящую математику, совмещая с разработкой в ml и ds))
О, какое направление?
А я собираюсь в Синергию благодаря Борису Абрамовичу. Лучшая реклама😂
@@relesgod6230 комп и инф науки
Ура, ещё одна задача, которую смог решить, поставив на паузу. Просмотр канала делает меня умнее!
О каких первокурсниках речь? Это задачка из начальной советской школы, для четвертого класса. И решается в уме. Поскольку n^4 растёт намного быстрее, чем n, то под корнями всё, кроме n^4, режем к чёртовой матери, не дожидаясь перитонитов. Получаем сумму арифметической прогрессии с числителями 1, 2, 3, ... n и со знаменателем n^2. Её сумма n(n+1)/2n^2 стремится к 1/2. Всё.
Это оценка сверху (уменьшили знаменатели).
Теперь надо сделать оценку снизу: увеличить все знаменатели до √(n⁴+n) и получить опять ½.
Ранее такой способ доказательства предложил уже один из комментаторов.
Математика наука точная: "n⁴ растёт намного быстрее n" не годится. Обязательно нужно точно найти, насколько быстрее.
@@Alexander_GoosevА я, как профессиональный физик со стажем, на математическую точность кладу большой и толстый.
@@romank.6813 В том-то всё дело, что здесь математический канал, а не физический.
И кроме того, здравый смысл иногда подводит. 😀
А чего не ясельной группы?) Так забавно читать эти фантазии совковых динозавров)
@@drdynaniteТак забавно читать комментарии малолетних интеллектуалов, неудосужившихся даже ознакомиться с принятыми на данном канале юмором и сарказмом.
Сразу вспомнил пример из "Основ Математического Анализа" Фихтенгольца
Отличная задача!
Тоже сразу подумалось о теореме о двух (или трех?) милиционерах
Всётаки трёх. Пересмотрел конспекты Петровича.
@@lecombustor3571 не, милиционеров два, третий преступник, которого эти двое в участок тащат (собственно предел)
@@lecombustor3571У нас лектор называл её леммой о двух милиционерах или теоремой о трёх последовательностях
Друзья! Помогите найти видео дебатов Поступашки с Бояршиновым!
Я знал что надо было использовать ментовскую теорему)))
Это даже для 10 или 9 профильного класса будет достаточно просто
Нет
Если к Вам на собеседование придёт странный человек, то вы не серчайте на него, примите уж...
Спасибо.
Возникла идея применить предел n→∞ дважды к сумме под знаком предела.
Действительно, если существует единождый предел, то второе взятие предела его не изменит.
Вынесем в сумме под знаком предела множитель
1/√(n⁴+1) за скобку, тогда в скобке останется ряд
1+ 2•√[(n⁴+1)/(n⁴+2)]+...+
+n•√[(n⁴+1)/(n⁴+n)]. (*)
Применяя дважды предел n→∞, заметим, что одиночный и двойной предел одинаковы для величины множителя
1/√(n⁴+1), поэтому его можно вынести за знак второго (внутреннего) предела.
Под знаком второго внутреннего предела останется ряд (*).
Т.к. пределы √[(n⁴+1)/(n⁴+k)]
при k=1, 2, ..., n
равны 1, то после взятия внутреннего предела останется простой ряд
1+2+...+n,
сумма которого равна n•(n+1)/2.
Тогда внешний предел от произведения
[1/√(n⁴+1)]•[n(n+1)/2]
даст ½.
В духе Рамануджана. 😂
можно уйти от двойного предела, применив "теорему о двух милиционерах" - если каждый элемент последовательности заключен между соответствующими элементами двух последовательностей, сходящимися к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
sum k/√(n⁴+n)
@@vitaliikuzminov2888
Посмотрите ещё в комментариях. Один из комментаторов очень ясно и кратко написал.
Двойной предел не очень сложен и позволяет обойтись без оценок. 😀
Согласен, навешивать второй идентичный предел снаружи ничего не меняет, так как внутренний предел уже не зависит от n, однако я утверждаю, что выносить множители, зависящие от n, из внутреннего предела - незаконно. Приведу доказательство с помощью простого примера.
lim(n->inf) lim(n->inf) n^2/n =
lim(n->inf) n^2 * lim(n->inf) 1/n =
lim(n->inf) n^2 * 0 =
lim(n->inf) 0 = 0
Хотя изначальный предел равен бесконечности.
@@regulus2033 Если после взятия внутреннего предела получается число, а не выражение, зависящее от n, число автоматически выносится за знак внешнего предела, т.к. не зависит от n.
@@Alexander_Goosev что скажете по поводу моих утверждения и примера?
Сразу хочется отбросить второе слагаемое под корнем, так как оно много меньше первого при больших n. Это приводит к правильному ответу, насколько это строго, не уверен
Это оценка сверху. Осталось заменить все знаменатели на √( n⁴+n). Это оценка снизу. Получается тоже ½.
Это единственно строгий способ.
решил через тейлора, переписал общий член как k/n²(1+k/n⁴)^(-1/2), k от 1 до n. скобку раскрыл по тейлору, дальше получилось, что единственный член, не стремящийся к нулю стремится к 1/2.
А поподробнее, какой член стремится к ½ ?
Можно поподробнее плз? Вы каждый член суммы в ряд разложили что ли? Двойной ряд получается? Или как?
@@regulus2033 нет, я рассматриваю конечную сумму c k от 1 до n и устремляю n к бесконечности. ход действий примерно такой, сначала для каждого k разложим скобку по тейлору, получим k/n²(1-k/2n⁴+o(1/n⁷)), раскрываю скобки и складываю все k от 1 до n. получим n(n+1)/2n²-n(n+1)(2n+1)/12n⁶+k³o(1/n5) . не очень корректно тут расписал, но идея в том, что во всех следующих членах сумма всех k^j от 1 до n не сможет противодействовать степеням n в знаменателе и все члены дальше это o(1/n)
Все понятно, но откуда взяли, что 1+2+3 …=n(n+1)/2???
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
Сумма арифметической прогрессии от 1 до n с шагом (или как там 😀) 1.
@@Alexander_Goosev это был сарказм)
@@artemkudryavtsev3424
Ну, Вы написали 1+2+3+...
Непонятно, чем заканчивается. 😀
Решил помочь. 😂
Squeeze theorem
уровень задачек тупеет из раза в раз
Ютуб виснет!
Раньше при царе батюшке на Руси люди были все верующие женились рано в 15 лет и имели кучу детей , по восемь по 10 ...Но потом пришли коммунисты и уничтожили православие... И сейчас мы имеем в стране демографический кризис , молодежь ведёт беспорядочные половые связи , поздно женятся, пацаны с девками общаться не могут , детей не хотят , много разводов... Скоро на Руси благодаря комунякам будут жить одни таджики, узбеки ,мастурбеки...
Хо... В Великобритании с мусульманами проблем столько же. И падение рождаемости среди коренных англосаксов такое же.
Будущий вице-президент США Вэнс (идёт на выборы на пару с Трампом) назвал Великобританию первой мусульманской страной с ядерным оружием.
Тоже коммуняки виноваты?
Дедушка, вы каналом ошиблись, тут математику обсуждают 😢😅
@@Dean-fh8me Дык, автор канала, Михал Абрамыч, любит про коммунизьм художественные отступления устраивать, вот дедулю туда же понесло... 😀
Так живите как Стерлигов батюшка, кто ж вам мешает
@@Alexander_GoosevСправедливости ради леваки всех мастей захватили все места на западе при огромной поддержке из ссср.
Любой уважающий себя первокурсник при виде этой задачки сразу подумает о суммах Римана и сведёт предел и сумму к интегралу, за пару минут получив тот же ответ
Кроме слов, можешь что-то написать? Или ты строчишь из обезьяннего вольера ашхабадского зоопарка?
@@Alexander_Goosevвы, извините, клоун?
@@Thesaddestmomentinourlives Этот вопрос к Вам. Не знаете, что делают на математических каналах?
Отнюдь не пи...ят. Пи...еть просьба на клоунских каналах, где Вам всегда рады.
@@Alexander_Goosev Ваш инфантилизм меня не особо интересует, меня интересует почему вы вообще накидываетесь на людей(ад гоминемом попахивает) под тем видео, где есть достаточные объяснения? Приписали к чему-то Туркменистан ещё)) Может вы ещё заходите на каналы для 11-классников по опр интегралам и строчите в комментариях про предел по базе?)
@@Thesaddestmomentinourlives Давай формулы, имбецил.
Я не люблю зоопарков.
ну и показывай свою рекламу..
Можно использовать интеграл
А что дальше? После этих 3 слов. Что?
Ничего.
Точнее, "чел, я краткий мyдaк, фсё дальнейшее очэвидно для кратких мyдaков. В ютубе фсе мyдaки".
Не фсе. 😂
Как крючок для ловли говна из унитаза?
Нельзя , платно
Я может чего-то не понимаю, НО. Берём общий член n/sqrt(n^4+n), выносим под радикалом за скобки и заодно из-под радикала n^4, получаем n/sqrt(n^4+n) = n/(n^2*sqrt(1+1/n^3)) = 1/(n*sqrt(1+1/n^3)), устремляем n к бесконечности, и для общего члена получаем НОЛЬ. Общий член последовательности в пределе ноль, соответственно, все члены в пределе ноль, соответственно, вся сумма равна нулю. Откуда у вас одна вторая-то вылезла?
Ну, ты возьми не поленись и посчитай сумму 5-ти слагаемых (для n=5) на калькуляторе.
Как такая сумма может стремиться к 0 при n→∞?!
Ты совсем простой?
Что значит "общий член последовательности"? Где ты этого набрался?
Если ты решил вынести "общий член" за скобки, то в скобках каждый член нужно разделить на "общий член".
Последний член в скобках после такого деления будет равен 1. Как он может стремиться к 0 ??
А вообще сумма в этих скобках при n→∞ будет стремиться к частичной сумме
1/n +2/n + 3/n +... n/n=
=(1+2+3+...+n)/n=[n(n+1)/2]/n=(n+1)/2,
т.е. к бесконечности.
А, ты думаешь, что сумма бесконечного числа положительных слагаемых, стремящихся к 0, не может быть числом, бо́льшим 0.
Это ты тогда в каком классе учишься?
Оспади, помилуй. 😀
@@Alexander_Goosev Я давно закончил институт. Прекрати неси дичь