C'est possible, dans l'absolu. Dans la pratique, je commence à peine à tester le format « face caméra » pour ce genre de choses, n'ayant fait que des exercices à présent. Ensuite, j'essaierai sûrement de mener une démonstration… et ensuite, on verra 😇.
est ce qu’on peut parler de normes sur des ensembles qui ne sont pas munie d’une structure d’espace vectoriel ? est ce que la distance de levenshtein entre un mot et un mot choisi est bien une norme ? sous quel condition peut-on parler de norme ?
Le plus simple est de commencer à répondre à la troisième question : pour avoir du sens, l'inégalité triangulaire requiert une stabilité par somme, tandis que l'homogénéité requiert une stabilité par multiplication externe. On peut donc se dire, d'une part, qu'une norme sur un ensemble quelconque a de fortes chances de ne pas avoir de sens, et d'autre part, qu'une structure d'espace vectoriel est la plus appropriée pour pouvoir parler de (homogénéité + inégalité triangulaire + séparation). C'est un peu prendre les choses à l'envers, mais peu importe, c'est un chemin de pensée intéressant. Quant à la deuxième question, la réponse est non : l'ensemble des chaînes de caractères n'est pas naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel. Ainsi, d'une norme, on peut récupérer une distance, mais la réciproque n'est pas toujours vraie (notamment si l'ensemble en question n'est pas un espace vectoriel, mais il existe aussi d'autres contre-exemples dans le cas où il l'est).
Attendez, l'ensemble des suites réelles est de dimension finie ?! Comment ? J'étais pas au courant 😮. Du coup il est de quel dimension. Quel est sa base canonique ?
![[EXO#16] Une équation fonctionnelle pour bétonner tes raisonnements (Exercice d'Olympiades)](http://i.ytimg.com/vi/DrIMdLPsmsM/mqdefault.jpg)
![[EXO#16] Une équation fonctionnelle pour bétonner tes raisonnements (Exercice d'Olympiades)](/img/tr.png)
![[UT#77] An illustrated introduction to the concept of distance !](http://i.ytimg.com/vi/vHPqS_Bn9Wk/mqdefault.jpg)
Super !
Tu pourrais faire des points de cours comme ca special agreg ?
C'est possible, dans l'absolu. Dans la pratique, je commence à peine à tester le format « face caméra » pour ce genre de choses, n'ayant fait que des exercices à présent. Ensuite, j'essaierai sûrement de mener une démonstration… et ensuite, on verra 😇.
@@oljenmaths ce format est top en tout cas !
il aurait peut etre était bien de definir ce qu'est une norme (sur un espaec vectoriel)(separation inegalité triangulaire....)
Pour une introduction aux espaces vectoriels normés : th-cam.com/video/tH0zJWdHpK0/w-d-xo.html 👨🏻🏫!
est ce qu’on peut parler de normes sur des ensembles qui ne sont pas munie d’une structure d’espace vectoriel ?
est ce que la distance de levenshtein entre un mot et un mot choisi est bien une norme ?
sous quel condition peut-on parler de norme ?
Le plus simple est de commencer à répondre à la troisième question : pour avoir du sens, l'inégalité triangulaire requiert une stabilité par somme, tandis que l'homogénéité requiert une stabilité par multiplication externe. On peut donc se dire, d'une part, qu'une norme sur un ensemble quelconque a de fortes chances de ne pas avoir de sens, et d'autre part, qu'une structure d'espace vectoriel est la plus appropriée pour pouvoir parler de (homogénéité + inégalité triangulaire + séparation). C'est un peu prendre les choses à l'envers, mais peu importe, c'est un chemin de pensée intéressant.
Quant à la deuxième question, la réponse est non : l'ensemble des chaînes de caractères n'est pas naturellement muni d'une structure d'espace vectoriel. Ainsi, d'une norme, on peut récupérer une distance, mais la réciproque n'est pas toujours vraie (notamment si l'ensemble en question n'est pas un espace vectoriel, mais il existe aussi d'autres contre-exemples dans le cas où il l'est).
Attendez, l'ensemble des suites réelles est de dimension finie ?! Comment ? J'étais pas au courant 😮. Du coup il est de quel dimension. Quel est sa base canonique ?
L'ensemble des suites réelles est de dimension infinie et n'admet pas de base canonique 😉.
@oljenmaths Ah d'accord, donc quand vous mentionnez "R n " c'est R^n donc et non pas R^N l'ensemble des suites réelles ok
Woow