On peut additionner les deux conditions d ⩾ |1+ℓ| et d ⩾ |1-ℓ|, puis appliquer l'inégalité triangulaire 2d ⩾ |1+ℓ+1-ℓ| = 2. Cette méthode a l'avantage de rester valable dans ℂ (où le signe de ℓ n'aurait pas de sens).
🕊 Raccourci possible à 11:41 : La distance d est à la fois plus grande que |1-l| et |1+l|, donc plus grande que max(|1-l|, |1+l|). Or, l'une de ces deux valeurs absolues est plus grande que 1 (il suffit de distinguer deux cas selon le signe de l pour constater cela), donc d est elle-même plus grande que 1.
Exercice intéressant qui se généralise rapidement sur le fait que la distance entre une suite ayant 2 valeurs d'adhérence et l'espace des suites convergentes muni de la norme inf sera la distance entre ces deux valeurs divisée par 2. Merci pour votre travail
Superbe de pouvoir expliquer le bon sens par la rigueur math. Juste pour le fun : [ | 1- L | ⩽ a et | 1+ L | ⩽ a [1-2L+L² ⩽ a² et 1+2L+L² ⩽ a²] puis en faisant différence dans les deux sens il vient -4L⩽0 donc L⩾0 et 4L ⩽ 0 donc L⩽0 =>L=0
Malheureusement on ne peut pas faire de différence d'inégalités comme ceci : 1≤2 et 0≤2 donc selon vous 1≤0 et -1≤0, ça ne fonctionne pas. On peut en réalité sommer membre à membre deux inégalités mais pour la soustraction, qui est une somme avec un facteur -1 et bien le facteur -1 change le sens de l'inégalité et rien ne va plus.
j’ai envie de le faire par disjonction de cas. soit la limite de la suite c’est 0 et à ce moment là on raison par l’absurde et on prouve que la norme c’est au moins 1 et si la limite n’est pas 0 on appelle la limite l et on prend la suite a partir de rang N ou la suite est comprise entre l/2 et 3l/2 et à ce moment la la norme vaut au moins 1 + |l/2| donc plus que 1
@ en fait, je serais revenu plus sur la définition de la limite, avec les epsilons et tout, c’est probablement plus difficile que la solution proposée dans la vidéo
@@vinceguemat3751 Oui ; c'est l'autre penchant de la démonstration. Lorsque je disais l'avoir « vue », cela n'aurait pas suffi tel quel : il aurait resté la mise en œuvre technique, potentiellement laborieuse, de ce qui a été vu 😇.
Je vais venir avec un point de vue un peu différent. Il y a plein de propriétés des suites qui sont similaire à des propriété sur les fonctions, par exemple, des histoires de séries ou d'intégrales, où alors sur la continuité. Qu'est-ce qu'une suite réelle sinon une fonction de N->R. On ne définie pas de notion de continuité pour les suites parce que l'ensemble des entiers n'est pas « continu ». Mais dire qu'une suite a une limite, ou dire qu'une fonction R->R a une limite en +infini, c'est en fait très proche. Et la notion de limite en +infini, c'est très proche de la notion de continuité en un point x0. Bref, dire qu'une suite u_n converge, c'est dire que u_n est « continue en +infini ». Attention, ici, rien n'est vraiment formel. Ça peut se rendre propre mais ce n'est absolument pas le but. Ceci dit, l'intuition est intéressante. Si je parle de ça, c'est parce qu'à plein d'endroit, on fait des approximations « à la physicienne ». On défini f=O(g), f=o(g). On fait des développement limités… Dire qu'une fonction est continue en x0, c'est dire qu'on peut l'approximer par une fonction constante dans le voisinage de x0. Dans cet exercice, on a très peu d'hypothèse. Donc chacune doit être très importante. Or, d'une certaine façon, dire qu'une suite u_n est convergente, c'est dire qu'elle est « continue en +infini », et comme dans le cas d'une limite de fonction en x0, on peut approximer u_n au voisinage de l'infini par une fonction constante ; u_n s'écrit u_n=cst+v_n et, pour n assez grand, v_n est très proche de zéro. Si tout se passe bien, on devrait continuer à faire des approximations et le résultat général ne devrait pas être si différent que ça pour la suite u_n et la suite constante cst. À partir de là, ben la vidéo est très bien.
Merci pour le partage 🙏🏻! Oui, en mathématiques, il n'y a pas du tout besoin de « réfléchir parfaitement rationnellement ». On s'appuie souvent sur des représentations « fausses », l'enjeu majeur étant surtout de savoir « comment elles sont fausses » pour retomber sur quelque chose de correct. Tous les petits dessins que l'on fait en topologie sont une illustration de ce phénomène très intéressant 👨🏻🏫.
@@oljenmaths Au passage, c'est un des intérêts de travailler son calcul. Au bout d'un moment, on fini par avoir une intuition de ce qu'il faut faire. Il n'y a rien de parfaitement rationnel dans l'approche qu'on a mais, « ça marche ».
Bonjour et merci pour vos explications. Vous serait-il possible, s'il vous plaît, de nous faire en exercice sous la forme d'une démonstration par récurrence de la formalisation du calcul de la dérivée d'un produit de n fonctions. Ex : (u * v * w * x)' ? Merci par avance.
Bonjour, merci pour cette suggestion 🙏🏻! Je l'ai notée consciencieusement, mais sachez qu'elle se range aux côtés des centaines d'autres que j'ai pu recevoir au fil des années, et que je n'ai pas encore pu exaucer. Nulle promesse, donc 😇.
En partant de l'idée de Perceval Soit w une suite convergeante (de C) telle que ||w - ((-1)^n)||oo 1 d_2n+1 = |-1 - u_2n+1| ---> 1 (d_2n) et (d_2n+1) convergent tous deux vers 1 donc (d_n) converge vers 1 {d_n ; n € N} est majorée par 1 par le choix de ( w_n) et il existe une suite d'éléments de cet ensemble, en effet c'est (d_n), qui converge vers 1. 1 est la borne supérieure de cet ensemble (caractérisation séqientielle de la borne supérieure), donc la norme infinie de (d_n)
Merci pour le partage 🙏🏻 ! Pour de futurs lecteurs, voici dans les grandes lignes, le résumé de ce qui est proposé en deux parties : 🔹 Une distance plus petite que 1 entre la suite ((-1)ⁿ) et une suite de C ne peut être obtenue qu'avec une suite de C qui converge vers 0. 🔹 En distinguant les termes pairs et impairs d'une telle suite, on démontre que la distance correspondante est plus grande que 1. Plus petit, plus grand, le compte est bon.
Je dirais, en guise de réponse courte : pratiquer l'étude des exercices sans se contenter de les résoudre. Se poser des questions, réfléchir au « pourquoi du comment », se demander s'il n'existe pas d'autres solutions, faire des dessins…
Bel exo merci Monsieur, Je voulais vous demander quel logiciel vous utilisez pour écrire d'une façon aussi propre sur un écran. J'ai obtenu une tablette graphique récemment et je suis à la recherche de logiciel pour faire des maths avec 😅
Au plaisir 😁! J'utilise Photoshop, mais il n'y a aucune « assistance à l'écriture » là-dessus. En pratique, le stylo glisse sur la tablette graphique, et cela dégrade mon écriture naturelle assez considérablement 😬.
Intuitivement j'aurais dis 1, étant donné que U_n converge au sens de Césaro vers 0, tout en étant toujours éloigné de 0 d'au maximum 1. Coup de chance ? Ou cela pourrait constituer une autre approche pour formaliser une démonstration ?
Intuitivement, je répondrais « chance », dans la mesure où ((-1)ⁿ) est « tellement simple » qu'on peut difficilement obtenir une conjecture différente de 1, en fait, maintenant que j'y pense 🤣. Cela dit, je n'écarterais pas l'idée de Cesàro de mon esprit pour autant : cela permet d'imaginer et de réfléchir.
![[EXO#19] Régalade : une bonne vieille tranche de calcul à l'ancienne (Exercice)](http://i.ytimg.com/vi/C_PKxxFcPoA/mqdefault.jpg)
![[EXO#19] Régalade : une bonne vieille tranche de calcul à l'ancienne (Exercice)](/img/tr.png)
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On peut additionner les deux conditions d ⩾ |1+ℓ| et d ⩾ |1-ℓ|, puis appliquer l'inégalité triangulaire 2d ⩾ |1+ℓ+1-ℓ| = 2. Cette méthode a l'avantage de rester valable dans ℂ (où le signe de ℓ n'aurait pas de sens).
Bien vu! J’allais écrire le même commentaire
Parfait, c'est encore mieux : j'épingle ce commentaire en guise de raccourci favorisé à 11:41 😇! Merci pour le partage 🙏🏻!
🕊 Raccourci possible à 11:41 :
La distance d est à la fois plus grande que |1-l| et |1+l|, donc plus grande que max(|1-l|, |1+l|). Or, l'une de ces deux valeurs absolues est plus grande que 1 (il suffit de distinguer deux cas selon le signe de l pour constater cela), donc d est elle-même plus grande que 1.
Exercice intéressant qui se généralise rapidement sur le fait que la distance entre une suite ayant 2 valeurs d'adhérence et l'espace des suites convergentes muni de la norme inf sera la distance entre ces deux valeurs divisée par 2. Merci pour votre travail
Et merci pour cette suggestion de généralisation 😁!
Très cool, comme d'habitude 👍
Superbe de pouvoir expliquer le bon sens par la rigueur math.
Juste pour le fun : [ | 1- L | ⩽ a et | 1+ L | ⩽ a [1-2L+L² ⩽ a² et 1+2L+L² ⩽ a²] puis en faisant différence dans les deux sens il vient
-4L⩽0 donc L⩾0 et 4L ⩽ 0 donc L⩽0 =>L=0
Malheureusement on ne peut pas faire de différence d'inégalités comme ceci : 1≤2 et 0≤2 donc selon vous 1≤0 et -1≤0, ça ne fonctionne pas.
On peut en réalité sommer membre à membre deux inégalités mais pour la soustraction, qui est une somme avec un facteur -1 et bien le facteur -1 change le sens de l'inégalité et rien ne va plus.
Magnifique.
Raccourci : |1 ± l| est plus grand que 1±l, puis on obtient le résultat souhaité en sommant les deux inégalités.
Chouette, merci pour le partage 🙏🏻!
j’ai envie de le faire par disjonction de cas. soit la limite de la suite c’est 0 et à ce moment là on raison par l’absurde et on prouve que la norme c’est au moins 1
et si la limite n’est pas 0 on appelle la limite l et on prend la suite a partir de rang N ou la suite est comprise entre l/2 et 3l/2 et à ce moment la la norme vaut au moins 1 + |l/2| donc plus que 1
Ah oui, je la « vois » sur le dessin, cette solution ! Très chouette 😇!
@ en fait, je serais revenu plus sur la définition de la limite, avec les epsilons et tout, c’est probablement plus difficile que la solution proposée dans la vidéo
@@vinceguemat3751 Oui ; c'est l'autre penchant de la démonstration. Lorsque je disais l'avoir « vue », cela n'aurait pas suffi tel quel : il aurait resté la mise en œuvre technique, potentiellement laborieuse, de ce qui a été vu 😇.
Je vais venir avec un point de vue un peu différent.
Il y a plein de propriétés des suites qui sont similaire à des propriété sur les fonctions, par exemple, des histoires de séries ou d'intégrales, où alors sur la continuité.
Qu'est-ce qu'une suite réelle sinon une fonction de N->R. On ne définie pas de notion de continuité pour les suites parce que l'ensemble des entiers n'est pas « continu ». Mais dire qu'une suite a une limite, ou dire qu'une fonction R->R a une limite en +infini, c'est en fait très proche. Et la notion de limite en +infini, c'est très proche de la notion de continuité en un point x0. Bref, dire qu'une suite u_n converge, c'est dire que u_n est « continue en +infini ». Attention, ici, rien n'est vraiment formel. Ça peut se rendre propre mais ce n'est absolument pas le but. Ceci dit, l'intuition est intéressante.
Si je parle de ça, c'est parce qu'à plein d'endroit, on fait des approximations « à la physicienne ». On défini f=O(g), f=o(g). On fait des développement limités… Dire qu'une fonction est continue en x0, c'est dire qu'on peut l'approximer par une fonction constante dans le voisinage de x0.
Dans cet exercice, on a très peu d'hypothèse. Donc chacune doit être très importante. Or, d'une certaine façon, dire qu'une suite u_n est convergente, c'est dire qu'elle est « continue en +infini », et comme dans le cas d'une limite de fonction en x0, on peut approximer u_n au voisinage de l'infini par une fonction constante ; u_n s'écrit u_n=cst+v_n et, pour n assez grand, v_n est très proche de zéro. Si tout se passe bien, on devrait continuer à faire des approximations et le résultat général ne devrait pas être si différent que ça pour la suite u_n et la suite constante cst.
À partir de là, ben la vidéo est très bien.
Merci pour le partage 🙏🏻! Oui, en mathématiques, il n'y a pas du tout besoin de « réfléchir parfaitement rationnellement ». On s'appuie souvent sur des représentations « fausses », l'enjeu majeur étant surtout de savoir « comment elles sont fausses » pour retomber sur quelque chose de correct. Tous les petits dessins que l'on fait en topologie sont une illustration de ce phénomène très intéressant 👨🏻🏫.
@@oljenmaths Au passage, c'est un des intérêts de travailler son calcul. Au bout d'un moment, on fini par avoir une intuition de ce qu'il faut faire. Il n'y a rien de parfaitement rationnel dans l'approche qu'on a mais, « ça marche ».
Ne pouvait on pas conclure à l'aide d'une disjonction de cas suivant le signe de l ?
Si, tout à fait. J'étais lancé dans la topologie et dans mes petits dessins, j'ai oublié de freiner 😉.
Bonjour et merci pour vos explications. Vous serait-il possible, s'il vous plaît, de nous faire en exercice sous la forme d'une démonstration par récurrence de la formalisation du calcul de la dérivée d'un produit de n fonctions. Ex : (u * v * w * x)' ? Merci par avance.
Bonjour, merci pour cette suggestion 🙏🏻! Je l'ai notée consciencieusement, mais sachez qu'elle se range aux côtés des centaines d'autres que j'ai pu recevoir au fil des années, et que je n'ai pas encore pu exaucer. Nulle promesse, donc 😇.
@oljenmaths Merci pour votre réponse.
En partant de l'idée de Perceval
Soit w une suite convergeante (de C) telle que ||w - ((-1)^n)||oo 1
d_2n+1 = |-1 - u_2n+1| ---> 1
(d_2n) et (d_2n+1) convergent tous deux vers 1 donc (d_n) converge vers 1
{d_n ; n € N} est majorée par 1 par le choix de ( w_n) et il existe une suite d'éléments de cet ensemble, en effet c'est (d_n), qui converge vers 1.
1 est la borne supérieure de cet ensemble (caractérisation séqientielle de la borne supérieure), donc la norme infinie de (d_n)
Merci pour le partage 🙏🏻 ! Pour de futurs lecteurs, voici dans les grandes lignes, le résumé de ce qui est proposé en deux parties :
🔹 Une distance plus petite que 1 entre la suite ((-1)ⁿ) et une suite de C ne peut être obtenue qu'avec une suite de C qui converge vers 0.
🔹 En distinguant les termes pairs et impairs d'une telle suite, on démontre que la distance correspondante est plus grande que 1.
Plus petit, plus grand, le compte est bon.
par ou commencer pour développer ses intuitions pour un autodidacte qui aime les mathématiques de niveau mpsi ?
Je dirais, en guise de réponse courte : pratiquer l'étude des exercices sans se contenter de les résoudre. Se poser des questions, réfléchir au « pourquoi du comment », se demander s'il n'existe pas d'autres solutions, faire des dessins…
Bel exo merci Monsieur, Je voulais vous demander quel logiciel vous utilisez pour écrire d'une façon aussi propre sur un écran.
J'ai obtenu une tablette graphique récemment et je suis à la recherche de logiciel pour faire des maths avec 😅
Au plaisir 😁! J'utilise Photoshop, mais il n'y a aucune « assistance à l'écriture » là-dessus. En pratique, le stylo glisse sur la tablette graphique, et cela dégrade mon écriture naturelle assez considérablement 😬.
Intuitivement j'aurais dis 1, étant donné que U_n converge au sens de Césaro vers 0, tout en étant toujours éloigné de 0 d'au maximum 1. Coup de chance ? Ou cela pourrait constituer une autre approche pour formaliser une démonstration ?
Intuitivement, je répondrais « chance », dans la mesure où ((-1)ⁿ) est « tellement simple » qu'on peut difficilement obtenir une conjecture différente de 1, en fait, maintenant que j'y pense 🤣. Cela dit, je n'écarterais pas l'idée de Cesàro de mon esprit pour autant : cela permet d'imaginer et de réfléchir.