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- เผยแพร่เมื่อ 7 ก.พ. 2025
- 這次是一題英國牛津大學數學系數學考題
題⽬是要我們找這個式子展開式中的某一項x^3．y^5的係數
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這題來自於 2014 Oxford Math Admission Test www.maths.ox.a...
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#數學題 #高中數學 #二項式定理 #李翰數學
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這個李翰老師也太快就解出來了！好猛啊！佩服！
基本題
因為這題吃數感就行
這題的特殊性比較強：xy和y^2只有（xy）^3（y^2）^1 這種組合方式才能得到x^3y^5這個項。所以對原式使用兩次二項式定理就能輕鬆得到x^3y^5的係數了。
Select 3 from n for xy, then Select 1 for the remaining (n-3) for y^2:
C(n, 3) C(n-3, 1)
暴力binomial expansion:
(1+xy+y^2)^n = [ 1 + y(x+y) ]^n
= summation from k=0 to k=n, nCk y^k (x+y)^k
爆開頭4至5項, 就會見到只有k=4的時候, 會產生 x^3 y^5 的一項出來,
i.e. nC4 y^4 (x+y)^4
= nC4 y^4 (x^4 + 👉4 x^3 y👈 + 6 x^2 y^2 + 4 x y^3 +y^4)
記得這好像叫多項式定理（multinomial theorem）
確實，大學的機率有學過
高中生應該也學過
國中排列組合就有這個題目了
只是選項弄成4Cn4 是挺有趣的
n-4個1, 3個xy, 1個y^2
不盡相異物直線排列
n!/((n-4)!3!1!)不化簡就這樣了
化簡: n(n-1)(n-2)(n-3)/6
李老師超級厲害！還在繼續努力消化中...😅
多項式定理為二項式定理的推廣。t=2時為二項式定理。
李老師都解出來，
為什麼1:35紅筆老師這麼驚訝🤣
還要給李老師選項讓他勾選🤣🤣
紅筆老師看不出來嗎？
我覺得可能防止觀眾看不出來
老實說，我算出答案也沒看出來😂
用二项式定理：对（XY+（1+Y^2））^N， C（N，3）（XY）^3（1+Y^2）^（N-3）， 结果就是C（N，3）
厲害的老師
犀利啊!!
這題放在台灣學測也是可以考的題目
這題放在學測應該會是偏難題吧，分科比較有可能放
@@ww-pw7fl 中間吧 甚至用不到二項式定理
拿來放在國中排列組合的進階題還差不多
寫起來感覺最多放到國中資優題
國中確實有這一題😂很多本題庫都有
@@ww-pw7fl沒有 這題算簡單
n!/(n-4)!3!1!=4*n!/(n-4)!4!=4*C(n,4)
can use multinomial theorem directly!
测试系数y²,y³以及y⁴
x³y⁵=(xy)³y²=y⁴(x³y)
(1+xy+y²)ⁿ
(y(x+y)+1)ⁿ
ⁿC₀ yⁿ(x+y)ⁿ+ⁿC₁yⁿ⁻¹(x+y)ⁿ⁻¹+...+ⁿCₙ
y² : ⁿCₙ₋₂ y²(x+y)²
显然不行，因为y²(xy)
y³ : ⁿCₙ₋₃ y³(x+y)³
也是不行 y³(x²y,xy²)
y⁴ : ⁿCₙ₋₄ y⁴(x+y)⁴
(x+y)⁴=x⁴+4x³y+6x²y²+...+y⁴
ⁿCₙ₋₄ y⁴ • 4x³y
4•ⁿCₙ₋₄
去证明ⁿCₙ₋₄=ⁿC₄
這還好吧，因為原式就只有xy一個項目是x和y的相乘積，所以只需要從它下手1次就可以了
有沒有試過直接照相給GPT解？
牛津入学考试和剑桥相比简单好多，感觉只用alevel/ib的内容也可以考到很不错的分数
以下為我的想法，
太久沒讀排列組合，有錯請見諒。
討論以下答案
n=4, 4乘C4取4=4
n=5, 4乘C5取4=20
n=6, 4乘C6取4=60
n=7, 4乘C7取4=140
------------
如果n為4
(1+xy+y^2)(1+xy+y^2)(1+xy+y^2)(1+xy+y^2)
要湊出x^3乘y^5
取3個xy，剩下再取一個y^2
C4取3 乘 C1取1 = 4
如果n為5
(1+xy+y^2)(1+xy+y^2)(1+xy+y^2)(1+xy+y^2)(1+xy+y^2)
取3個xy，剩下再取一個y^2
C5取3 乘 C2取1 = 20
如果n為6
取3個xy，剩下再取一個y^2
C6取3 乘 C3取1= 60
如果n為7
取3個xy，剩下再取一個y^2
C7取3 乘 C4取1= 140
講那麼多幹嘛，重點就只有需要取三個xy跟一個y^2而已
牛逼
我直接用pascal triangle ((1+xy) + y^2)^n去尋找就能用刪去法得到答案了
這個可以用公式解
其實這就多項式定理而已。我想這是華人數學和美國數學的很大差別，我們數學類似的公式很多，快速筆算，對美國來說還是啟發思考為主。
離散數學有教過
這是機率的題目嗎？雖沒提到機率，但看到‘’！‘’就會直覺性想到。😅
巴斯卡三角形
不是機率，是排列組合
國中排列組合😂
其實不難 但我去考一定慌掉
用 RK4 能解嗎？
為什麼 1的次方是(n-4) 意思是有(n-4)個1？ 求解釋🥲🥲
@@Pipionmoon 其他項挑完之後剩下的都只能在括號挑1 比如說 xy項挑了3個 y^2挑了1個 所以在全部n個括號裡面還有n-4個還沒被挑到進行分配律 但又不能挑有未知數的 所以剩下的全部選1 所以是1的n-4次方
前面要記得排列
@@七喜-e9u明白了 謝謝你~
論牛津的程度還是基礎了點
不難的題目
那個等號是錯的
你覺得他們會不知道嗎？硬要挑毛病
@@七喜-e9u 錯就是錯
@@KieranR6 就喜歡你這種死腦筋 沒錯 他錯 太壞了 不認真寫 不應該 讓你就算反應過來了也不行 真的 這邊建議太笨的人不要看這個影片 誤導大眾 看不懂內容 幫你說明了 不用謝
根本不重要好嗎？你怎麼有辦法無聊到注意那種地方
@@吳秀玲-h4u 考試的時候你寫等號看看老師會不會打扣分
請問為什麼後面需要做有相同物的排列
影片有解釋
因為()重得東西都一樣，只是可以從()內選東西，那我()那選一樣的先選後選沒有差別(也就是順序不影響)，所以要把交換除掉，也就是老師舉的abbccc的例子。
@@周育群-n6v 我知道有相同物排列的意思 ，是想問為什麼算某一項的係數，會等於把他們拿來做排列得到的方法數，好像有點知道再幹嘛，但沒有很透徹
@@whoschannel5066 影片中有寫
()內是一樣的東西，為了方便講解下面地例子()內會標上數字，單請記得本質一樣
假設今天是(a+b+1)^n
等價於(1)(2)(3)(4)(5)(6)...(n)
今天要求a³b是不是我從n個()內選出3個()他會乘到a，其中一個是乘b，剩下的都乘1拿請問我在(1)(2)(3)選a,(4)選b
跟我在(2)(3)(4)選a在(1)選b的結果是不是相同？
所以交換了不改變久意味著重複排列所以要除掉。
@@周育群-n6v 了解了謝謝 後來想通因為他們係數都是1，所以算排列樹就等於係數
@@whoschannel5066 係數不為1接乘上係數地次方啊，重複排列一樣搖除掉
🇧🇷👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏🇧🇷👍👍👍👍
糗了...我連這題目的方向都沒有
D
1^(n-4)(xy)^3(y^2)
(1+ xy + y^2)^n = (1 + xy + y^2) ... (1+xy + y^2)
選擇 1 (n-4)次是 C(n, n-4) = C(n,4) , 因為 n - (n-4) = 4, 所以還有四個 (1+xy + y^2)
選擇 y^2 一次現在等於 C(4, 1) = 4 , 現在還有三個 (1 + xy + y^2)
選擇 (xy) 三次現在只有 C(3,3) = 1
(1)(4)(C(n,4)) = 4C(n,4)
對不起，我的中文水平不好
感谢，你的解法其实和李翰老师的解法是等价的，差别仅仅是思路不同。
李翰老师的解法是传统的排列除排列。
你的解法是组合乘组合。
个人更喜欢你的解法。
作2次二項式
((1+xy) + y^2)^n
=.....+C(n,1)(1+xy)^(n-1)*(y^2)^1+......
=.....+C(n,1)[C(n-1,3)(xy)^3]*(y^2)^1+......
=.....+C(n,1)*C(n-1,3)(x^3)(y^5)+......
係數=C(n,1)*C(n-1,3)
國中經典題目😂想必台灣的國中生駕輕就熟
低级解，高级解不是这样🤣
那是不是有解出來嘛
香港中一題目 10秒結束
很基本的題目