35:20 Если надграфик функции f(x) есть выпуклое множество, тогда для любой выпуклой комбинации чисел α1x1+α2x2+...+αnxn и ∑αk=1 выполняется неравенство f(α1x1+α2x2+...+αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+...+αnf(xn) Докажем по индукции, для двух очевидно выполняется f(αx+βy)≤αf(x)+βf(y), α+β=1. Пусть верно для n−1, докажем для n, обозначим β=∑αk и α'k=αk/β где k от 2 до n, тогда β+α1=1 и ∑α'k=1 α1x1+α2x2+...+αnxn = α1x1+β(α'2x2+α'3x3+...+α'nxn)=αx+βy, f(α1x1+α2x2+...+αnxn)=f(αx+βy)≤αf(x)+βf(y)=α1f(x1)+βf(α'2x2+α'3x3+...+α'nxn), ко второму слагаемому применяем индукционное предположение α1f(x1)+βf(α'2x2+α'3x3+...+α'nxn) ≤ α1f(x1)+β( α'2f(x3)+α'3f(x3)+...+α'nf(xn) ) итак доказали формулу f(α1x1+α2x2+...+αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+...+αnf(xn) Среднее геометрическое − среднее арифметическое Обозначим yk=log(xk) и подставим комбинацию в выпуклую вниз функцию f(x)=exp(x) exp(1/n (y1+y2+...+yn)≤1/n ( exp(y1)+exp(y2)+...+exp(yn) ) n_√(exp(y1)exp(y2)...exp(yn)) ≤ 1/n ( exp(y1)+exp(y2)+...+exp(yn) ) возвращаясь обратно к иксам получается известное неравенство n_√(x1x2...xn) ≤ 1/n ( x1+x2+...+xn ) 39:40 Среднее квадратичное неравенство можно переписать как (1/n ( x1+x2+...+xn ) )^2 ≤ 1/n ( x1^2+x2^2+...+xn^2 ) Это верно для функции f(x)=x^2 с выпуклым надграфиком. 43:30 Для кубического корня подходит функция f(x)=x^3 с выпуклым надграфиком и вообще среднее степенное неравенство верно для любой степени m>1, потому что f(x)=x^m выпукла. 1:01:20 Обозначим m=max |a_j|, s_k=∑a_j−∑a_j, где первая сумма берётся от 1 до k, а вторая от k+1 до n. Очевидно, что s_0=−s_n=∑a_j по j от 1 до n. Если |s_0|≤m или |s_n|≤m, то доказывать нечего, поэтому рассмотрим две возможности: s_0 n'(1) и |x_n(2,k)−a_2| < ε_2, n'(2)=n(2,k) и так далее. Найдётся k, что n(m,k) > n'(m−1) и |x_n(m,k)−a_m| < ε_m, n'(m)=n(m,k) Докажем сходимость lim x_n'(k)=a. Возьмём произвольный ε>0, найдётся N, что |a−a_m| < ε/2 и ε_m
отлично что вы начали выкладывать семинарские занятия..Так как без них восприятие материалов лекции без сложно. Особенно лекции Вавилова
Думаю, что практики начали записывать ради студентов, которые не могут посещать пары. Поэтому в некотором смысле это заслуга коронавируса)
Просто Pasha
нет худа без добра)
Не согласен ,как раз Вавилов давал материал с глубиной и пониманием
Было бы отлично если бы выложили семинары с Н.А.Вавиловым
О дааа
Белов на телефон поднялся)))
35:20 Если надграфик функции f(x) есть выпуклое множество, тогда для любой выпуклой комбинации чисел
α1x1+α2x2+...+αnxn и ∑αk=1 выполняется неравенство
f(α1x1+α2x2+...+αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+...+αnf(xn)
Докажем по индукции, для двух очевидно выполняется f(αx+βy)≤αf(x)+βf(y), α+β=1.
Пусть верно для n−1, докажем для n, обозначим β=∑αk и α'k=αk/β где k от 2 до n, тогда β+α1=1 и ∑α'k=1
α1x1+α2x2+...+αnxn = α1x1+β(α'2x2+α'3x3+...+α'nxn)=αx+βy,
f(α1x1+α2x2+...+αnxn)=f(αx+βy)≤αf(x)+βf(y)=α1f(x1)+βf(α'2x2+α'3x3+...+α'nxn), ко второму слагаемому применяем индукционное предположение
α1f(x1)+βf(α'2x2+α'3x3+...+α'nxn) ≤ α1f(x1)+β( α'2f(x3)+α'3f(x3)+...+α'nf(xn) )
итак доказали формулу f(α1x1+α2x2+...+αnxn) ≤ α1f(x1)+α2f(x2)+...+αnf(xn)
Среднее геометрическое − среднее арифметическое
Обозначим yk=log(xk) и подставим комбинацию в выпуклую вниз функцию f(x)=exp(x)
exp(1/n (y1+y2+...+yn)≤1/n ( exp(y1)+exp(y2)+...+exp(yn) )
n_√(exp(y1)exp(y2)...exp(yn)) ≤ 1/n ( exp(y1)+exp(y2)+...+exp(yn) )
возвращаясь обратно к иксам получается известное неравенство
n_√(x1x2...xn) ≤ 1/n ( x1+x2+...+xn )
39:40 Среднее квадратичное неравенство можно переписать как
(1/n ( x1+x2+...+xn ) )^2 ≤ 1/n ( x1^2+x2^2+...+xn^2 )
Это верно для функции f(x)=x^2 с выпуклым надграфиком.
43:30 Для кубического корня подходит функция f(x)=x^3 с выпуклым надграфиком и вообще среднее степенное неравенство верно для любой степени m>1, потому что f(x)=x^m выпукла.
1:01:20 Обозначим m=max |a_j|, s_k=∑a_j−∑a_j, где первая сумма берётся от 1 до k, а вторая от k+1 до n.
Очевидно, что s_0=−s_n=∑a_j по j от 1 до n. Если |s_0|≤m или |s_n|≤m, то доказывать нечего, поэтому рассмотрим две возможности: s_0 n'(1) и |x_n(2,k)−a_2| < ε_2, n'(2)=n(2,k) и так далее.
Найдётся k, что n(m,k) > n'(m−1) и |x_n(m,k)−a_m| < ε_m, n'(m)=n(m,k)
Докажем сходимость lim x_n'(k)=a.
Возьмём произвольный ε>0, найдётся N, что |a−a_m| < ε/2 и ε_m