@@TheMathsTailor Oui super. J’avais essayé de poser une nouvelle suite Un=Bn- l’équivalent de Bn mais cela n’aboutissait pas (je n’avais pas le bon équivalent de Bn).
Oui vu que sa limite est plus l’infini on peut pas faire pareil. A la limite on aurait pu tenter un=1/betan pour avoir un truc qui tend vers 0. Mais là ça me semblait le plus simple
Pour moi la bonne méthode de départ, attendue par l'auteur de l'exercice, c'est de passer au log (x est forcément positif si on est dans R). Il n'a pas du le voir, et sa méthode est très juste, mais le fait qu'elle consiste en un petit bricolage au début alors qu'il existe une méthode plus naturelle (on a des puissances des deux côtés donc on a envie de passer au log népérien) porte à croire que ce n'était pas l'idée initiale. Ceci dit, ce n'est qu'un tout petit détail, un jury de concours sait valuer la créativité de ce genre de procédé et j'ai bien aimé la remarque sur l'erreur fatale qu'on aurait tous faite.
Trouver la vers quoi converge alpha est assez simple si on prend la racine nx-eme de l'équation de base (la limite de racine n-eme de e tend clairement vers 1 en prenant la definition par limite de e)
Il y'a eu un examen national au Maroc c'était 2011 session normal où le but était de connaître la limite de la solution de cette équation à l'aide de la fonction f(x)=x/ln(x), je l'ai même résolue sur ma chaîne youtube Un exercice assez intéressant
On a alpha n > 1 pour tout n car e^x est à valeurs dans [1,e] sur [0,1] (et 1 uniquement en 0) alors que x^n est à valeur dans [0,1]sur [0,1] (et uniquement 1 en 1) donc elles ne peuvent pas se croiser sur [0,1]. Pour la décroissance, alpha n est défini comme le plus petit réel positif tel que e^(alpha n) = (alpha n)^n. On sait que pour pour n fixé, sur l'intervalle [1,alpha n[ on a e^x > x^n (inégalité stricte). Si on veut le démontrer proprement c'est une application directe de la contraposée du TVI. Regardons en n+1, donc sur [1,alpha n+1[ on a e^x > x^(n+1) > x^n (car x > 1). Si alpha n appartenait à cette intervalle on aurait e^(alpha n) > (alpha n)^n = e^(alpha n), contradiction. Si on n'aime pas trop les preuves par contradiction, soit f(x) = e^x - x^n (avec n >= 3). f(0) = 1 > 0 et f(3) = e^3 - 3^n < e^3 -3^3 < 0 et par le TVI il existe une racine, alpha n étant la plus petite positive, elle se trouve entre 0 et 3. De là, on définir A_n = {x dans [1,3] tels que e^x >= x^n}. L'égalité n'est atteinte que pour alpha n (car l'autre racine beta_n > n >= 3) et donc A_n = [1,alpha n]. Soit x dans A_n+1 on a e^x >= x^(n+1) > x^n et donc x appartient à A_n et donc A_n+1 est inclus dans A_n, et comme l'inégalité précédente est stricte, alpha n+1 < alpha n. La convergence est acquise (suite décroissante bornée inférieurement), et vu que tu avais évité les ln jusqu'ici je vais la faire la limite sans passage au logarithme. Alors (n . alpha n)^n = n^n . (alpha n)^n = n^n . e^(alpha n) < n^n . e^3 < n^n . 3^3 < 27 n^n < 27 (n+1)^n Et donc n < n . alpha n < (n+1) . 27^(1/n) ce qui implique 1< alpha n < 27^(1/n) . (1+1/n). Pris n sandwich entre deux suites convergentes vers 1, notre suite converge vers 1.
méthode hors programme (à ne pas reproduire au concours sauf s'il y a consentement d'un jury à l'X) : on utilise la fonction de Lambert et on trouve rapidement x = -n*W(-1/n) avec W la notation de cette fonction. Démo : e^x = x^n e^x/x^n = 1 (pour x différent de 0) e^x * x^(-n) = 1 e^(-x/n) * x = 1 (on prend à la puissance -1/n de part et d'autre de l'équation) (-x/n)*e^(-x/n) = -1/n (avec n >= 1) W((-x/n)*e^(-x/n)) = W(-1/n) -x/n = W(-1/n) x = -n*W(-1/n) S = {-n*W(-1/n)}
trois remarques (à chaud): 1) exp(x) = x n'a pas de solution dans R mais a bien des solutions dans C; par exemple : exp(0,318... + i 1,337...) = 0,318... + i 1,337... 2) x^n a un point fixe en (1;1) et une dérivée en ce point qui vaut n; donc il est évident (par la comparaison des courbes exp(x) et x^n ) que alpha_n est supérieur à 1 et décroit avec n 3) pour le calcul de alpha_n, pourquoi tu n'utilises pas la fonction de Lambert ? en écrivant (-x/n).exp(-x/n) = -1/n ce qui permet de calculer immédiatement le alpha_n par l'expression suivante qui converge pour n> e: alpha_n = n.SOMME [pour k=1 à l'infini]de{k^(k-1).(1/k!).(1/n^k)}
Dans la partie "on conclut sur croissance de alpha(n)" on se demande est-ce que a_{n+1} est avant ou après la racine a_n, ce qui est traduit par les intervalles [0;a_n] ou [a_n;n]. Mais on omet d'envisager que a_{n+1} soit dans [n;n+1], même éventuellement dans [b_n;n+1] (vu qu'on ne sait pas grand chose de (b_n)) Ceci ne peut-il pas poser problème lorsque l'on déduit f_n(a_{n+1}) < 0 implique a_{n+1}
Salut, très bonne remarque ! non c'est une erreur de sa part. Mais tu peux laisser n*o(u_n) et ensuite diviser tout par le (n-1) qu'il obtient à la ligne suivante. Comme (n-1)/n est convergent donc borné, ça donne bien un o(u_n). ;-)
On peut mais on cherche ici les solutions sur R+ avec la fonction W on pourra difficilement différencier les racines réelles et complexes dans l'infinité qu'il y a avec W
@@xj_jgesgdgs bien sûr que si on peut utiliser la fonction de Lambert ! notamment pour le calcul de alpha_n ! l'égalité exp(x) = x^n entraine (-x/n).exp(-x/n) = -1/n ce qui permet d'utiliser la fonction de Lambert et d'obtenir l'expression suivante qui converge pour n> e: alpha_n = n.SOMME [pour k=1 à l'infini]de{k^(k-1).(1/k!).(1/n^k)}
@@joshssn_867 bien sûr que si on peut utiliser la fonction de Lambert ! notamment pour le calcul de alpha_n ! l'égalité exp(x) = x^n entraine (-x/n).exp(-x/n) = -1/n ce qui permet d'utiliser la fonction de Lambert et d'obtenir l'expression suivante qui converge pour n> e: alpha_n = n.SOMME [pour k=1 à l'infini]de{k^(k-1).(1/k!).(1/n^k)}
On veut quelque chose en 0 pour appliquer les formules donc ça rend plus claires les choses, mais après ce n'est pas obligé-obligé ;) C'est la manière qui évite les risques et se communique le mieux à l'oral je pense !
@@TheMathsTailor ...c'est même beaucoup mieux !!!! l'étude de x/ln(x) permet immédiatement de montrer que alpha_n décroit en tendant vers 1 et que bêta_n croît vers l'infini....
@@mayeulchapus3774 Le premier c'etait sur des valeurs propres de matrices, fallait penser à utiliser la matrice Jr et c'etait vraiment chaud. Le deuxieme était un exo de probas beaucoup plus abordable ou il fallait juste etre très rigoureux. J'ai pas eu trop le temps d'avancer le troisième mais c'etait une étude d'une intégrale à paramètre (integrale de 0 à +inf de 1/(x+t) dt il me semble) et fallait donner des equivalents en 0 et +inf (assez classique donc).
Y a quelques vidéos - vu que j’ai souvent orienté la chaîne terminale + j’en ai fait moins. Je fais plus de contenu sup depuis quelques temps donc pourquoi pas en effet !
Toujours sympa de suivre vos vidéos :) Une bonne sélection de petits problèmes qui me font toujours sortir mon bout de papier et mon stylo :D Et ça me rappelle quand il a fallu bosser pour de vrai, après les études, et que j'ai compris qu'on ne pouvait pas passer sa vie à juste résoudre des livres d'exercices ^^'
Faites beaucoup de vidéos sur la réflexion face à un exercice svp, surtout le comment essayer chacune des formules en rapport avec le thème abordé dans une question précise
De tête donc à confirmer beta_n converge plus rapidement que n (n/ln(n)) mais moins rapidement que disons exp(n) (exp(n)/n) on peut s’attendre à un comportement en n*ln(n) ce qui est cohérent avec l’évaluation de f en n*ln(n)
Quel est le developement asymptotique de Bn en + l'infini?
Il est pas facile je peux vous le faire en TH-cam short si ça vous dit!
Oui avec grand plaisir, J'ai essaye differents trucs mais ca ne marche pas bien @@TheMathsTailor
En attendant je vous ai fait ça ici à l’écrit
shorturl.at/eFL39
@@TheMathsTailor Oui super.
J’avais essayé de poser une nouvelle suite Un=Bn- l’équivalent de Bn mais cela n’aboutissait pas (je n’avais pas le bon équivalent de Bn).
Oui vu que sa limite est plus l’infini on peut pas faire pareil. A la limite on aurait pu tenter un=1/betan pour avoir un truc qui tend vers 0. Mais là ça me semblait le plus simple
Pour moi la bonne méthode de départ, attendue par l'auteur de l'exercice, c'est de passer au log (x est forcément positif si on est dans R).
Il n'a pas du le voir, et sa méthode est très juste, mais le fait qu'elle consiste en un petit bricolage au début alors qu'il existe une méthode plus naturelle (on a des puissances des deux côtés donc on a envie de passer au log népérien) porte à croire que ce n'était pas l'idée initiale.
Ceci dit, ce n'est qu'un tout petit détail, un jury de concours sait valuer la créativité de ce genre de procédé et j'ai bien aimé la remarque sur l'erreur fatale qu'on aurait tous faite.
Oui j’avoue le ln c’est pas mal du tout ! Je suis tout le temps en train de dire qu’il faut y penser et je suis passé à côté 😅
Trouver la vers quoi converge alpha est assez simple si on prend la racine nx-eme de l'équation de base (la limite de racine n-eme de e tend clairement vers 1 en prenant la definition par limite de e)
Il y'a eu un examen national au Maroc c'était 2011 session normal où le but était de connaître la limite de la solution de cette équation à l'aide de la fonction f(x)=x/ln(x), je l'ai même résolue sur ma chaîne youtube
Un exercice assez intéressant
excellent
On a alpha n > 1 pour tout n car e^x est à valeurs dans [1,e] sur [0,1] (et 1 uniquement en 0) alors que x^n est à valeur dans [0,1]sur [0,1] (et uniquement 1 en 1) donc elles ne peuvent pas se croiser sur [0,1].
Pour la décroissance, alpha n est défini comme le plus petit réel positif tel que e^(alpha n) = (alpha n)^n. On sait que pour pour n fixé, sur l'intervalle [1,alpha n[ on a e^x > x^n (inégalité stricte). Si on veut le démontrer proprement c'est une application directe de la contraposée du TVI.
Regardons en n+1, donc sur [1,alpha n+1[ on a e^x > x^(n+1) > x^n (car x > 1). Si alpha n appartenait à cette intervalle on aurait e^(alpha n) > (alpha n)^n = e^(alpha n), contradiction.
Si on n'aime pas trop les preuves par contradiction, soit f(x) = e^x - x^n (avec n >= 3).
f(0) = 1 > 0 et f(3) = e^3 - 3^n < e^3 -3^3 < 0 et par le TVI il existe une racine, alpha n étant la plus petite positive, elle se trouve entre 0 et 3. De là, on définir A_n = {x dans [1,3] tels que e^x >= x^n}. L'égalité n'est atteinte que pour alpha n (car l'autre racine beta_n > n >= 3) et donc A_n = [1,alpha n]. Soit x dans A_n+1 on a e^x >= x^(n+1) > x^n et donc x appartient à A_n et donc A_n+1 est inclus dans A_n, et comme l'inégalité précédente est stricte, alpha n+1 < alpha n.
La convergence est acquise (suite décroissante bornée inférieurement), et vu que tu avais évité les ln jusqu'ici je vais la faire la limite sans passage au logarithme. Alors (n . alpha n)^n = n^n . (alpha n)^n = n^n . e^(alpha n) < n^n . e^3 < n^n . 3^3 < 27 n^n < 27 (n+1)^n
Et donc n < n . alpha n < (n+1) . 27^(1/n) ce qui implique 1< alpha n < 27^(1/n) . (1+1/n). Pris n sandwich entre deux suites convergentes vers 1, notre suite converge vers 1.
je serais incappable de le refaire mais c'est tres intéressant plus la vidéo est chill c top vrmt
Merci!
La même équation a été posé dans un bac sm de maroc je crois que c'était 2011
méthode hors programme (à ne pas reproduire au concours sauf s'il y a consentement d'un jury à l'X) : on utilise la fonction de Lambert et on trouve rapidement x = -n*W(-1/n) avec W la notation de cette fonction.
Démo : e^x = x^n
e^x/x^n = 1 (pour x différent de 0)
e^x * x^(-n) = 1
e^(-x/n) * x = 1 (on prend à la puissance -1/n de part et d'autre de l'équation)
(-x/n)*e^(-x/n) = -1/n (avec n >= 1)
W((-x/n)*e^(-x/n)) = W(-1/n)
-x/n = W(-1/n)
x = -n*W(-1/n)
S = {-n*W(-1/n)}
pourquoi vous n'avez vous pas étudié la fonction à partir de - l'infini?
L’exo était comme ça ! En soi il y aurait une autre solution pour les n pairs.
trois remarques (à chaud):
1) exp(x) = x n'a pas de solution dans R mais a bien des solutions dans C;
par exemple : exp(0,318... + i 1,337...) = 0,318... + i 1,337...
2) x^n a un point fixe en (1;1) et une dérivée en ce point qui vaut n; donc il est évident (par la comparaison des courbes exp(x) et x^n ) que alpha_n est supérieur à 1 et décroit avec n
3) pour le calcul de alpha_n, pourquoi tu n'utilises pas la fonction de Lambert ? en écrivant (-x/n).exp(-x/n) = -1/n ce qui permet de calculer immédiatement le alpha_n par l'expression suivante qui converge pour n> e:
alpha_n = n.SOMME [pour k=1 à l'infini]de{k^(k-1).(1/k!).(1/n^k)}
Je pense que c’est parce que ces vidéos sont adressées à des lycéens/sup
@@Hugo-j3k ah pardon.... je croyais qu'elles s'adressaient à de potentiels futurs ingénieurs
Dans la partie "on conclut sur croissance de alpha(n)" on se demande est-ce que a_{n+1} est avant ou après la racine a_n, ce qui est traduit par les intervalles [0;a_n] ou [a_n;n]. Mais on omet d'envisager que a_{n+1} soit dans [n;n+1], même éventuellement dans [b_n;n+1] (vu qu'on ne sait pas grand chose de (b_n))
Ceci ne peut-il pas poser problème lorsque l'on déduit f_n(a_{n+1}) < 0 implique a_{n+1}
Ha en effet ! Il faudrait soit étudier fn(n+1) dans ce cas je pense. J'aurais dû faire plus attention !
A la fin peut on réellement écrire que n * o(u_n) = o(u_n) ? Surtout lorsque qu'on conclut que u_n équivalent à quelque chose en 1/n ?
Salut, très bonne remarque ! non c'est une erreur de sa part. Mais tu peux laisser n*o(u_n) et ensuite diviser tout par le (n-1) qu'il obtient à la ligne suivante. Comme (n-1)/n est convergent donc borné, ça donne bien un o(u_n). ;-)
Oups oui j'ai fait une gaffe :D ! Merci à vous !
c'est un exo de bac ça non ?
il me dit un truc
N’est t’il pas envisageable d’utiliser la fonction W de Lambert ?
On peut mais on cherche ici les solutions sur R+ avec la fonction W on pourra difficilement différencier les racines réelles et complexes dans l'infinité qu'il y a avec W
@@xj_jgesgdgs ahh d’accord merci !!
@@xj_jgesgdgs bien sûr que si on peut utiliser la fonction de Lambert !
notamment pour le calcul de alpha_n !
l'égalité exp(x) = x^n entraine (-x/n).exp(-x/n) = -1/n ce qui permet d'utiliser la fonction de Lambert et d'obtenir l'expression suivante qui converge pour n> e:
alpha_n = n.SOMME [pour k=1 à l'infini]de{k^(k-1).(1/k!).(1/n^k)}
@@joshssn_867 bien sûr que si on peut utiliser la fonction de Lambert !
notamment pour le calcul de alpha_n !
l'égalité exp(x) = x^n entraine (-x/n).exp(-x/n) = -1/n ce qui permet d'utiliser la fonction de Lambert et d'obtenir l'expression suivante qui converge pour n> e:
alpha_n = n.SOMME [pour k=1 à l'infini]de{k^(k-1).(1/k!).(1/n^k)}
23:14 c'est pas o(u_n) mais plutôt o(n u_n) !
Ha oui je pense avoir été un peu trop vite sur cette partie :D merci !
Bonjour, petite question: est-il vraiment nécessaire de poser la fonction u_n lors de la recherche de l'équivalent?
On veut quelque chose en 0 pour appliquer les formules donc ça rend plus claires les choses, mais après ce n'est pas obligé-obligé ;)
C'est la manière qui évite les risques et se communique le mieux à l'oral je pense !
Personnellement, j'ai pris le ln, j'arrive à x / ln x = n. On n'a plus qu'à étudier la fonction simple x / ln x et tout coule de source.
Très bonne idée !
@@TheMathsTailor ...c'est même beaucoup mieux !!!!
l'étude de x/ln(x) permet immédiatement de montrer que alpha_n décroit en tendant vers 1
et que bêta_n croît vers l'infini....
"Vous allez me dire: "Effe n de alpha n+1 c'est relou"" 😭😁
😂
T étudiant en math ? Tu es prof de math ?
Prof de stats à la fac et prof particulier maths physique en lycée prépa ;)
Vidéo des 10000 abonnés il y a un an pour plus de détails !
Pourquoi tous les matheux écrivent mal ? 😂😂
Parce que c’était en live et que pas le temps pas le temps pas le temps 😂
Promis je vais faire des efforts haha
@@TheMathsTailor je comprends ! En tout cas, continue comme ça. Super vidéo 😉
Ca serait si vous parliez plus distinctement et écriviez mieux
Merci du conseil !
C'est le charme du mumblecore
L'oral des mines c'est ultra aléatoire... J'ai eu un exo hyper simple et l'autre vraiment impossible (conclusion j'ai eu 14 ca passe)
C'était quoi tes exos ?
Tu viens de quelle prépa?
@@mayeulchapus3774 Le premier c'etait sur des valeurs propres de matrices, fallait penser à utiliser la matrice Jr et c'etait vraiment chaud. Le deuxieme était un exo de probas beaucoup plus abordable ou il fallait juste etre très rigoureux. J'ai pas eu trop le temps d'avancer le troisième mais c'etait une étude d'une intégrale à paramètre (integrale de 0 à +inf de 1/(x+t) dt il me semble) et fallait donner des equivalents en 0 et +inf (assez classique donc).
@@adrienchauderon3007 Blaise Pascal à Orsay
@@winazu3814 ouai, c'est une prépa plutot coté ça?
aussi moi j'avais eu l'idee de passer au log pour etudier e^x = x^n et donc on a f_n(x) = x - nln(x)
J’avoue ça peut marcher pas mal aussi!
c'est dommage qu'il n'y ait pas plus d'exos d'algèbre linéaire sur la chaine! c'est aussi très cool :)
Y a quelques vidéos - vu que j’ai souvent orienté la chaîne terminale + j’en ai fait moins. Je fais plus de contenu sup depuis quelques temps donc pourquoi pas en effet !
@@TheMathsTailor trop cool! vive la sup!
Toujours sympa de suivre vos vidéos :)
Une bonne sélection de petits problèmes qui me font toujours sortir mon bout de papier et mon stylo :D
Et ça me rappelle quand il a fallu bosser pour de vrai, après les études, et que j'ai compris qu'on ne pouvait pas passer sa vie à juste résoudre des livres d'exercices ^^'
Faites beaucoup de vidéos sur la réflexion face à un exercice svp, surtout le comment essayer chacune des formules en rapport avec le thème abordé dans une question précise
Yes j’essaie !
@@TheMathsTailor merci pour tous ce que vous faites pour nous vos apprenants et abonnés 🤲🏾
J’ai eu à quelque chose près le même exo en terminal spé 😅
Puis après on voit le développement de l'exponentielle c'est ça :D ?
Oui en série entière - easy pour des terminales 😋
sympathique
Merci pour ce cours. Peut-on avoir aussi l'étude de la suite beta_n ?
De tête donc à confirmer beta_n converge plus rapidement que n (n/ln(n)) mais moins rapidement que disons exp(n) (exp(n)/n) on peut s’attendre à un comportement en n*ln(n) ce qui est cohérent avec l’évaluation de f en n*ln(n)
C est vrai que les limites servent dans la vie quotidienne..
Tous les jours surtout quand je fais mes courses 😂
@@TheMathsTailor très bon mais limites finies alors!
Haha exactement oui 😋
Quel logiciel jtilises tu ?
Notability! Cf la description pour plus de détails ;)
@@TheMathsTailor merci vos vidéos sont juste excellentes
Merci!
là je fais le physicien. 🤣
Toujours 😂
hhh le physicien
😅