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最後、尺の都合で端折ってしまったcos(α＋β)の導出方法をこちらに書いておきます。少々解説が雑で申し訳ありません..sin(90°−θ)=cosθという性質があるので,θをα＋βに置き換えてsin{90°−(α＋β)}=cos(α＋β)という等式が成り立ちます。sin{90°−(α＋β)}を、sin{(90-α)＋β}として加法定理を適用すると、sin{(90°-α)＋β}=sin(90°−α)cosβ＋cos(90°−α)sinβという式が得られます。sin(90°−α)=cosθcos(90°−β)=sinθなので、sin{(90°-α)-β}=cosαcos(-β)＋sinαsin(-β)、つまりはcos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβが得られます。訂正5:57 こちら、正しくはsinαcosα+sinβcosβです。申し訳ありません..
最後ってマイナスじゃないんですか？
@@らーめん-h6s そうですね..訂正いたします。
間違ってるのは{90-(α+β)}を{(90-α)+β}で置き換えてる所から
数学だから、角度はラジアンでないと違和感ある… せめて90°にしてくれ。
@@クッキー-o3g申し訳ありません..とりあえず度数を入力させていただきました。
東大「てめぇらまさかとは思うが証明出来ない公式なんか使ってねぇだろうな？」という東大からの熱いメッセージ
ていうか、円周率無理数ってちゃんと証明してから使っている？（By 阪大）
授業ちゃんと受けてなかったせいで、加法定理の理解を曖昧なままにしちゃってたから助かります…！
すげえ納得できた！！神動画ありがとうぜひ一般角の方もおなしゃす‼
ありがとうございます！いつになるかは分かりませんが、また一般角での証明方法も紹介いたしますね。
開成でも同様の問題出されてた記憶。円周率の定義とか、解の公式の証明とか。最高峰の学校で、きちんと基礎とか公式の背景まで抑えてるか問われるのは面白い。
ちゃんと小学生からやり直さないとダメだ……なるほど、三角形の面積を求める計算ってこういう事に繋がるんか……うわー、無理だ……
これ内積で出すやつ感動した
皆が暗記している公式の代表格をまさか証明といった形で試してくるとはね。流石、東大です。
教科書的には点A( cos(α), sin(α) )と点B( cos(β), sin(β) )なる点A,Bを定義して線分ABの長さを求めるって感じだったと思う。2点の距離は { (x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}^0.5 で表せるのでAB^2 = ( cos(α) - cos(β) )^2 + ( sin(α) - sin(β) )^2 = 2 - 2 cos(α)cos(β) -2 sin(α)sin(β)幾何的に（余弦定理の証明と同じやり方でやればOK）AB^2 = ( OA・sin(α-β) )^2 + (OB - OA・cos(α-β))^2 = OA^2 + OB^2 -2OA・OBcos(α-β)（0< α, β
いつも楽しませてもらってます。鳥数学シリーズマジで好き。次も楽しみにしてます。
(1)でいかなるΘについてもsin Θ=cos Θ=0と定義すれば楽勝説ほんと好き
これベクトル使うとsinとcosそれぞれの加法定理を簡単かつ一瞬で導けるよね
ベクトルを回転させるってことでしょ？
@@saku-n6z 回転はさせるね。本質は射影または内積だけど。
これ一問目で定義聞いて二問目で定理を証明させるのが面白くて、ちゃんと一問目で答えた定義に則って証明しろよっていうメッセージが隠されているんですよね。小手先のテクニックとか記号的操作に長けているかどうかだけではない、真の数学的素養を問う素晴らしい問題だと思います。
オイラーの公式使うなら三角関数もテイラー展開で定義しとけよっていう意図が見えて面白い。
数学の公式覚えられんくて、ほとんど導出過程を覚えてたけど、加法定理は導出よりも公式の暗記の方が楽で導出覚えてなかった数少ない公式だからテストで出たらマジ泣くわ。
ベクトルのやつが好き、単位円に置いて偏角αのものをβ回転したものが偏角α+β∴cosβ(cosα, sinα)+sinβ(-sinα, cosα)={cos(α+β),sin(α+β)}x成分、y成分比較でそのまま加法定理、βを-βにすればもう一個の形も出る
折角定義からさせてくれてるんだから、冪級数で定義するのが手っ取り早いのかな。東大側の想定のうちの1つでもありそう。素人感なんだけど、幾何学的な定義ってsinx/xの循環とか面倒くさいし、何か嫌ってのはあるかも。
この動画の東大さん、解法を教えてくれて優しい☺️
校舎が喋るとかもうここ4次元なんかな
新しい方向からの発想やな
かっこいい大学いちねんせいになるためのだいがくさんからの試練やぞ
画期的な大学だな(棒)
問題が話してる方がどうかしてるわw
多様性の時代.....(?)
編集お疲れ様です。鳥さんｶﾜﾖｲ
αが90未満ってことは負とπ/2以上は含まれr(弧度法中毒者)
きんも
これまでにやってきた公式を全て証明してからしか使ってはいけないという縛りプレイしてて良かった〜///毎回、公式の途中式を追ったら等しいことの理解はできるんだけどなんで急に変なもの足して来たり引っ張って来るのかわからん…数学者は変態ばっかだな〜♡
オイラーの多面体定理証明しないと使えないのつらすぎる
@@にいと-f8y中二で数3はすげえわ
@@にいと-f8y🤓
>なんで急に変なもの足して来たり引っ張って来るのかわからん…数学者は変態ばっかだな〜♡殆どの場合は問題周辺の膨大な試行錯誤があって，関わった人数も一人だけではない事も多い．うまくいった結果をその苦労した過程を省略して要領よく記述して後世に伝えているだけ．
高校で大学数学学ばなければならなくなるのかわいそう
左に理学部棟映っててすき
理学部が左？（難聴）
昔から東大はこんな感じのど基礎を深堀する問題が伝統芸。変わってない。
普通にベクトルを90度回転して、それともとのベクトルを基底にcos分、sin分進めば、cosとsin同時に証明できるなぁ
そうにきまってる
音と数の神
今だと真っ先に思いつくのこれだけど、高校生時点で思いつけるか怪しい
@@kh_d23高校生ワイ、複素数平面からインスピレーションを得る
リクエスト聞いてくださりありがとうございます！北大ピチピチ建造物目指して頑張ります
半年位経ってしまいましたが、何とか作れて良かったです。リクエストありがとうございました。応援しております！
1:42 信じられないくらいでかい一石投じて来たな....
生き物を投げるな(?)
やっぱ東大くらいに難しい大学になると問題が喋るんやな…
「定義を答えよ」は、どんなもんかと思う。sin, cos の同値な定義はたくさんある。出題は、それを踏まえて、定義を明示してから証明せよって構成なんだとは思うが、(1)を 実数全域で定義された関数で f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(x), g(x+y) = g(x)g(y) - f(x)f(y), lim[x→0] f(x)/x = 1. を満たす f(x) を sin x, g(x) を cos x と定義すると答えられたら、どう採点するのか？
お疲れ様です！
ちょっと理学部1号館が見えてるの面白い
公式は暗記するもんだと思っていると点数がとれなくなりますよと言うメッセージを含んだ設問ですね。受験生は気を付けましょう。
ベクトル(cos (-a), sin(-a))とベクトル(sin b, cos b)の内積がcos(a+b)になるってのが好み。余弦定理しか使っていない
今後出そうな問題「円周率が一定であることを証明せよ」
根本的なところを証明するときって、どこから説明なしに成り立つとしていいか迷うけど「すべての円は相似だから、直径が2倍3倍になればそれにともなって円周も2倍3倍になる。円周率は円周を直径で割った値なので……」な方向性でいいんだろうか
生物だけが生きてるわけじゃないことを証明せよ。
公式の証明を受験問題に使うの4番バッターのスクイズくらい不意打ちだと思う
高一の教科書に普通に載ってるレベルの問題出るんだ...先生によっては定期テストレベルの問題な気がするけど、、、
三角関数の加法定理の証明は、単位ベクトルの内積から求めるのが一番簡単だと思うんだ。でも、問題はどっかでトートロジーになっていないかという疑問がふつふつと。まあ、時間がなかったらそれでやるんだろうけどさ。
明後日どんな問題でるか楽しみ☺️2完半はしたいな
俺ならとけるぞ！
「いいんですか」が「do you understand?」にしか聞こえへん
感謝
感動
きょの鳥さんとぉ校舎さんわぁどこのお国のきゃたですぅかぁ？おきゃぁげさぁまで加法定理のショメイが腑に落ちまぁした〜。アリコトゴザイマシタ〜。😂
行列使った証明になっちゃうけど(cosα,sinα)っていうベクトルをβ回転させるのが一番楽かつ完結だと思う
でも(a,b)をθ回転させたベクトルがcosθ(a,b)+sinθ(-b,a)になるのは幾何的に説明できるので現課程の範囲でもできそうですね
複素数使えば1発じゃない？
@@sk-yx8cjそれ循環論法なってない？大丈夫？
@@zouo-from-Taikonotatsujin複素数上の冪級数で定義するってことならなってないんじゃないかな。普通三角関数とかの初等関数は冪で定義するし、それでやるのが1番早い気がする。
@@sk-yx8cjドモアブルの定義使ったら思いっきり循環論法になりますよ
これを待ってたぜ🎉
一応加法定理の証明教科書に載ってるんだよね....
標準問題精講にあったな
sin（180-（α＋β））🟰sin（α＋β）は加法定理以外で証明できるから循環論法にならないのは知ってるんですがこれどうやって証明するんですか？
そうですね…加法定理を使わないとなると、図やグラフを使った証明になりますかね。
@@pacho731あざます！
とりさんかわいい
この問題なつかしいなえ！いいの？ってみんな驚いてた
ド・モアブルの定理使えば証明できるゾ（循環論法）
三角函数を冪級数で定義した上でオイラーの公式を証明すればいけるぞ。
行列がすぐに思いついた。ベクトルの直接的な回転による証明
これオイラーの公式からの証明を教えてもらった時、その美しさに感動した
4:57 ここのsincosが間違っているので注意ですね。sinAsinB+cosAcosBではなくsinAcosA+sinBcosBが正しいです。
あ..ありがとうございます。訂正いたします。
ですよねー。良かったーsinAsinB+cosAcosBで悩んでしまいました。
加法定理って単位円をベクトルの回転で瞬殺じゃないですか？合ってますか？
瞬殺という感じでもないですが、機械的な感じでかなり楽に証明できますね。
カカポォテェーリーﾃﾞｽｶｰ
これって図形以外の式だけによる解法はあるんですか？あったらめっちゃくそ簡単に概要だけ知りたいです。
図形を使わないで数式だけでの証明だと、オイラーの公式を使った解き方がありますね。e^iθ=isinθ+cosθを用いた証明です。
@@pacho731 ありがとうございます。今度調べてみます！
@@pacho731小問１でe^iθの実部をcosθ、虚部をsinθと定義できたら小問２の加法定理証明は掛け算で簡単に終わりそうですが、小問１の定義のためにe^iθ、cosθ、sinθのマクローリン展開が必要で、マクローリン展開をするためにcosθ、sinθが先に定義されてないといけないように思えて、小泉論法になりそうなので、うまくいく方法があれば教えてください
@@bufferie3810 そうですね..マクローリン展開は三角関数の微分を前提としているので、引っかかるのはlimh→0 sinh/hでしょうか。ここの部分の循環論法が解消されれば大丈夫かと思います。
@@pacho731 この問題、加法定理の証明と見せかけて、「（１）で述べた定義にもとづき」、矛盾や循環論法にならない論述を行いなさい、という問題なのかな、まるで現代文だ。
マトモな受験生が大多数ならこんな馬鹿みたいな問題はでなかったろう
加法定理の証明なのにπ-αとかπ/2-αでのsinとcosの変換を使うのは正直どうかなって思う。これから証明していく定理を使ってるやん。
まあ..三角関数の定義からsin(π/2-θ)=cosθは明らかですので...
1999年と古いとはいえ、過去問じゃなくて授業でやった朧な記憶がある。解法は違うけど。知識問題になりかねない点で悪問な気がする。シンプルな問題はこうなりがち。これ正答率高かったろうな。確実に正答して時間を使わない勝負か。
なんか後半共通テストみたいで頭が痛くなった
本番でページめくったらいきなりこれで頭真っ白になった40代のおっさんが来ましたよー2番複素数（だったかな？）3番確率が比較的解きやすくてそっちを先にやってから落ち着かせて取り組んだ思い出
当時現役なら、同い年で松坂世代
加法定理は内積使ったら一瞬でcos(α-β)は出せるからそのあとは変換公式ゴリ押せばよいかと
加法定理の証明のこのパターンは定期テストレベルじゃね
左下の鳥がいつもレインボーになっていて、まるで777みたいなノリですね
これって実際(1)は0
いえ、東京大学の実際の入試では0＜θ＜180°での範囲を聞かれていました。なので実際の試験では三角関数での定義を答えるのが適切ですね。
うむ。 ←かわいい
ベクトルはすべてを解決する
オイラーの公式だと何点になるんだろう
台形から引くsinAsinB+cosAcosBって違うような・・・
申し訳ございません..編集ミスです..
@@pacho731 いえいえ、sin(A+B)からの証明、参考になりました。cos(α＋β)の証明の方が圧倒的に多いですから。
東大の一問題ごときが東大校舎のこと褒めるの草
オイラーの公式使うとそれの証明が必要になるから難しいですね
そこまで定義を理解してるか？を試したいなら弧度法と360°の度数から初めましょう。
確か共通テストでそういった問題が出てきてましたね。
とある大学が東大に聞こえるのうぇい
ベクトルじゃないといけないという東大がおかしいんだよね。これで良し。
コウイチダケィド、ナニィモﾜｶﾗﾅ-ｲ
この当時もし行列が指導要領に入ってたら回転行列で解けばいいと思ったがダメか。
この年、高3でしたが、数学Cに行列ありましたが、回転行列はなかったような気がします。一つ前の指導要領は一次変換やってましたね。
(cosα,sinα)をβ回転させるのを行列演算するとxにcos(α+β)yにsin(α+β)が出る
加法定理自体は行けるけど、証明は…
真髄やってたら楽勝
2:42 オイラーの公式の定義に三角関数あるから循環にならんの?
オイラーの公式は三角関数の定義に基づきマクローリン展開を用いて証明出来るので、恐らく循環論法にはならないかと思います。
もっと言えば、マクローリン展開を(その定義域を)複素数に拡張した指数関数と三角関数を用いてオイラーの公式は定理と示さるこの立場ではオイラーの公式に加法定理は不要です。
この年に受験しました。割と本気で唖然としたのを覚えています。「天下の東大で加法定理！？」って。あと滅茶苦茶面倒くさい積分計算させられた挙句、その値の大きさを評価(証明)したりしたかな？とにかく時間が足らん。
当時現役なら同い年で松坂世代
ですです。>松坂世代
これたしか標問にのってるよね
かつて高校数学（数学ⅡB）で行列を扱っていたころ、三角関数の加法定理は回転行列の応用として学びました。教科書では回転行列を使って比較的簡潔に導出していました。
オイラーの定理使うとこんな感じe^iθ=cosθ+isinθからe^iα=cosα+isinαe^iβ=cosβ+isinβsin(-θ)=-sinθ cos(-θ)=cosθ よりe^±iβ=cosβ±isinβ (複号同順)これで、オイラーの公式よりcos(α±β)+isin(α±β)=e^i(α±β)=(e^iα)x(e^±iβ)=(cosα+isinα)(cosβ±isinβ)=cosαcosβ∓sinαsinβ+i(sinαcosβ±cosαsinβ)実部と虚部に分けるとcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβsin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ (複号同順)(Q.E.D)
これちょーーど昨日学校の赤本コーナーで2000年とかの赤本見つけて友達と見たわこの問題w
京大「お前の好きな数をお前の入試の点数にしてやるぞ」
0☺️
東大のこの伝説の問題、懐かしいな〜「現代文の」先生がゆってたやつや！笑
複素数の回転で解けたりするんかな
2:50あ、、、安仁屋、、、
皆腰低くて好感が持てますね。
最初は問題ちゃんもご機嫌ヨークシャーテリアとか言う偉そうなお嬢様だったのですが、しっくりこなくてやめました。こっちの方が作ってて気持ちよかったです。
あれ、昔の入試試験じゃなかった？って思ったら昔の問題の解説だった。
今日受験終わって見に来ました。
覚えててよかった(？)
幾何的に求めて一完ってわけにいかないのかな？
回転行列での証明綺麗で好きだったな
単位円書いてαと-βを書いて距離を求めればいい
この問題、マジで嫌い加法定理を満たす連続関数として三角関数を定義するぞ
うるせぇ！鉄球ぶつけんぞ！（未遂
オイラーの公式使うと一瞬
最後、尺の都合で端折ってしまったcos(α＋β)の導出方法をこちらに書いておきます。
少々解説が雑で申し訳ありません..
sin(90°−θ)=cosθという性質があるので,θをα＋βに置き換えて
sin{90°−(α＋β)}=cos(α＋β)という等式が成り立ちます。
sin{90°−(α＋β)}を、sin{(90-α)＋β}として加法定理を適用すると、
sin{(90°-α)＋β}=sin(90°−α)cosβ＋cos(90°−α)sinβという式が得られます。
sin(90°−α)=cosθ
cos(90°−β)=sinθなので、sin{(90°-α)-β}=cosαcos(-β)＋sinαsin(-β)、
つまりはcos(α＋β)=cosαcosβ-sinαsinβが得られます。
訂正5:57 こちら、正しくはsinαcosα+sinβcosβです。申し訳ありません..
最後ってマイナスじゃないんですか？
@@らーめん-h6s そうですね..訂正いたします。
間違ってるのは{90-(α+β)}を{(90-α)+β}で置き換えてる所から
数学だから、角度はラジアンでないと違和感ある… せめて90°にしてくれ。
@@クッキー-o3g申し訳ありません..
とりあえず度数を入力させていただきました。
東大「てめぇらまさかとは思うが証明出来ない公式なんか使ってねぇだろうな？」
という東大からの熱いメッセージ
ていうか、円周率無理数ってちゃんと証明してから使っている？（By 阪大）
授業ちゃんと受けてなかったせいで、加法定理の理解を曖昧なままにしちゃってたから助かります…！
すげえ納得できた！！
神動画ありがとう
ぜひ一般角の方もおなしゃす‼
ありがとうございます！
いつになるかは分かりませんが、また一般角での証明方法も紹介いたしますね。
開成でも同様の問題出されてた記憶。円周率の定義とか、解の公式の証明とか。
最高峰の学校で、きちんと基礎とか公式の背景まで抑えてるか問われるのは面白い。
ちゃんと小学生からやり直さないとダメだ……
なるほど、三角形の面積を求める計算ってこういう事に繋がるんか……
うわー、無理だ……
これ内積で出すやつ感動した
皆が暗記している公式の代表格をまさか証明といった形で試してくるとはね。流石、東大です。
教科書的には
点A( cos(α), sin(α) )と
点B( cos(β), sin(β) )なる点A,Bを定義して
線分ABの長さを求めるって感じだったと思う。
2点の距離は { (x_a - x_b)^2 + (y_a - y_b)^2}^0.5 で表せるので
AB^2 = ( cos(α) - cos(β) )^2 + ( sin(α) - sin(β) )^2 = 2 - 2 cos(α)cos(β) -2 sin(α)sin(β)
幾何的に（余弦定理の証明と同じやり方でやればOK）
AB^2 = ( OA・sin(α-β) )^2 + (OB - OA・cos(α-β))^2 = OA^2 + OB^2 -2OA・OBcos(α-β)
（0< α, β
いつも楽しませてもらってます。鳥数学シリーズマジで好き。
次も楽しみにしてます。
(1)でいかなるΘについてもsin Θ=cos Θ=0と定義すれば楽勝説ほんと好き
これベクトル使うとsinとcosそれぞれの加法定理を簡単かつ一瞬で導けるよね
ベクトルを回転させるってことでしょ？
@@saku-n6z 回転はさせるね。本質は射影または内積だけど。
これ一問目で定義聞いて二問目で定理を証明させるのが面白くて、ちゃんと一問目で答えた定義に則って証明しろよっていうメッセージが隠されているんですよね。
小手先のテクニックとか記号的操作に長けているかどうかだけではない、真の数学的素養を問う素晴らしい問題だと思います。
オイラーの公式使うなら
三角関数もテイラー展開で定義しとけよっていう意図が見えて面白い。
数学の公式覚えられんくて、ほとんど導出過程を覚えてたけど、加法定理は導出よりも公式の暗記の方が楽で導出覚えてなかった数少ない公式だからテストで出たらマジ泣くわ。
ベクトルのやつが好き、
単位円に置いて偏角αのものをβ回転したものが偏角α+β
∴cosβ(cosα, sinα)+sinβ(-sinα, cosα)={cos(α+β),sin(α+β)}
x成分、y成分比較でそのまま加法定理、βを-βにすればもう一個の形も出る
折角定義からさせてくれてるんだから、冪級数で定義するのが手っ取り早いのかな。東大側の想定のうちの1つでもありそう。
素人感なんだけど、幾何学的な定義ってsinx/xの循環とか面倒くさいし、何か嫌ってのはあるかも。
この動画の東大さん、解法を教えてくれて優しい☺️
校舎が喋るとかもうここ4次元なんかな
新しい方向からの発想やな
かっこいい大学いちねんせいになるためのだいがくさんからの試練やぞ
画期的な大学だな(棒)
問題が話してる方がどうかしてるわw
多様性の時代.....(?)
編集お疲れ様です。鳥さんｶﾜﾖｲ
αが90未満ってことは
負とπ/2以上は含まれr(弧度法中毒者)
きんも
これまでにやってきた公式を全て証明してからしか使ってはいけないという縛りプレイしてて良かった〜///
毎回、公式の途中式を追ったら等しいことの理解はできるんだけどなんで急に変なもの足して来たり引っ張って来るのかわからん…数学者は変態ばっかだな〜♡
オイラーの多面体定理証明しないと使えないのつらすぎる
@@にいと-f8y中二で数3はすげえわ
@@にいと-f8y🤓
>なんで急に変なもの足して来たり引っ張って来るのかわからん…数学者は変態ばっかだな〜♡
殆どの場合は問題周辺の膨大な試行錯誤があって，関わった人数も一人だけではない事も多い．
うまくいった結果をその苦労した過程を省略して要領よく記述して後世に伝えているだけ．
高校で大学数学学ばなければならなくなるのかわいそう
左に理学部棟映っててすき
理学部が左？（難聴）
昔から東大はこんな感じのど基礎を深堀する問題が伝統芸。変わってない。
普通にベクトルを90度回転して、それともとのベクトルを基底にcos分、sin分進めば、cosとsin同時に証明できるなぁ
そうにきまってる
音と数の神
今だと真っ先に思いつくのこれだけど、高校生時点で思いつけるか怪しい
@@kh_d23高校生ワイ、複素数平面からインスピレーションを得る
リクエスト聞いてくださりありがとうございます！北大ピチピチ建造物目指して頑張ります
半年位経ってしまいましたが、何とか作れて良かったです。リクエストありがとうございました。
応援しております！
1:42 信じられないくらいでかい一石投じて来たな....
生き物を投げるな(?)
やっぱ東大くらいに難しい大学になると問題が喋るんやな…
「定義を答えよ」は、どんなもんかと思う。
sin, cos の同値な定義はたくさんある。
出題は、それを踏まえて、定義を明示してから証明せよ
って構成なんだとは思うが、(1)を
実数全域で定義された関数で
f(x+y) = f(x)g(y) + g(x)f(x),
g(x+y) = g(x)g(y) - f(x)f(y),
lim[x→0] f(x)/x = 1.
を満たす f(x) を sin x, g(x) を cos x と定義する
と答えられたら、どう採点するのか？
お疲れ様です！
ちょっと理学部1号館が見えてるの面白い
公式は暗記するもんだと思っていると点数がとれなくなりますよと言うメッセージを含んだ設問ですね。受験生は気を付けましょう。
ベクトル(cos (-a), sin(-a))とベクトル(sin b, cos b)の内積がcos(a+b)になるってのが好み。
余弦定理しか使っていない
今後出そうな問題
「円周率が一定であることを証明せよ」
根本的なところを証明するときって、どこから説明なしに成り立つとしていいか迷うけど
「すべての円は相似だから、直径が2倍3倍になればそれにともなって円周も2倍3倍になる。円周率は円周を直径で割った値なので……」な方向性でいいんだろうか
生物だけが生きてるわけじゃないことを証明せよ。
公式の証明を受験問題に使うの
4番バッターのスクイズくらい不意打ちだと思う
高一の教科書に普通に載ってるレベルの問題出るんだ...
先生によっては定期テストレベルの問題な気がするけど、、、
三角関数の加法定理の証明は、単位ベクトルの内積から求めるのが一番簡単だと思うんだ。でも、問題はどっかでトートロジーになっていないかという疑問がふつふつと。まあ、時間がなかったらそれでやるんだろうけどさ。
明後日どんな問題でるか楽しみ☺️
2完半はしたいな
俺ならとけるぞ！
「いいんですか」が「do you understand?」にしか聞こえへん
感謝
感動
きょの鳥さんとぉ校舎さんわぁどこのお国のきゃたですぅかぁ？
おきゃぁげさぁまで加法定理のショメイが腑に落ちまぁした〜。
アリコトゴザイマシタ〜。😂
行列使った証明になっちゃうけど
(cosα,sinα)っていうベクトルをβ回転させるのが一番楽かつ完結だと思う
でも(a,b)をθ回転させたベクトルが
cosθ(a,b)+sinθ(-b,a)になるのは幾何的に説明できるので現課程の範囲でもできそうですね
複素数使えば1発じゃない？
@@sk-yx8cjそれ循環論法なってない？
大丈夫？
@@zouo-from-Taikonotatsujin
複素数上の冪級数で定義するってことならなってないんじゃないかな。普通三角関数とかの初等関数は冪で定義するし、それでやるのが1番早い気がする。
@@sk-yx8cjドモアブルの定義使ったら思いっきり循環論法になりますよ
これを待ってたぜ🎉
一応加法定理の証明教科書に載ってるんだよね....
標準問題精講にあったな
sin（180-（α＋β））🟰sin（α＋β）は加法定理以外で証明できるから循環論法にならないのは知ってるんですがこれどうやって証明するんですか？
そうですね…加法定理を使わないとなると、図やグラフを使った証明になりますかね。
@@pacho731あざます！
とりさんかわいい
この問題なつかしいな
え！いいの？ってみんな驚いてた
ド・モアブルの定理使えば証明できるゾ（循環論法）
三角函数を冪級数で定義した上でオイラーの公式を証明すればいけるぞ。
行列がすぐに思いついた。ベクトルの直接的な回転による証明
これオイラーの公式からの証明を教えてもらった時、その美しさに感動した
4:57 ここのsincosが間違っているので注意ですね。
sinAsinB+cosAcosBではなくsinAcosA+sinBcosB
が正しいです。
あ..ありがとうございます。訂正いたします。
ですよねー。良かったーsinAsinB+cosAcosBで悩んでしまいました。
加法定理って単位円をベクトルの回転で瞬殺じゃないですか？合ってますか？
瞬殺という感じでもないですが、機械的な感じでかなり楽に証明できますね。
カカポォテェーリーﾃﾞｽｶｰ
これって図形以外の式だけによる解法はあるんですか？あったらめっちゃくそ簡単に概要だけ知りたいです。
図形を使わないで数式だけでの証明だと、オイラーの公式を使った解き方がありますね。
e^iθ=isinθ+cosθを用いた証明です。
@@pacho731
ありがとうございます。
今度調べてみます！
@@pacho731
小問１でe^iθの実部をcosθ、虚部をsinθと定義できたら
小問２の加法定理証明は掛け算で簡単に終わりそうですが、
小問１の定義のためにe^iθ、cosθ、sinθのマクローリン展開が必要で、
マクローリン展開をするためにcosθ、sinθが先に定義されてないといけないように思えて、小泉論法になりそうなので、うまくいく方法があれば教えてください
@@bufferie3810
そうですね..マクローリン展開は三角関数の微分を前提としているので、引っかかるのはlimh→0 sinh/hでしょうか。
ここの部分の循環論法が解消されれば大丈夫かと思います。
@@pacho731
この問題、加法定理の証明と見せかけて、
「（１）で述べた定義にもとづき」、矛盾や循環論法にならない
論述を行いなさい、という問題なのかな、まるで現代文だ。
マトモな受験生が大多数ならこんな馬鹿みたいな問題はでなかったろう
加法定理の証明なのにπ-αとかπ/2-αでのsinとcosの変換を使うのは正直どうかなって思う。これから証明していく定理を使ってるやん。
まあ..三角関数の定義からsin(π/2-θ)=cosθは明らかですので...
1999年と古いとはいえ、過去問じゃなくて授業でやった朧な記憶がある。解法は違うけど。
知識問題になりかねない点で悪問な気がする。シンプルな問題はこうなりがち。
これ正答率高かったろうな。確実に正答して時間を使わない勝負か。
なんか後半共通テストみたいで頭が痛くなった
本番でページめくったらいきなりこれで頭真っ白になった40代のおっさんが来ましたよー
2番複素数（だったかな？）3番確率が比較的解きやすくて
そっちを先にやってから落ち着かせて取り組んだ思い出
当時現役なら、同い年で松坂世代
加法定理は内積使ったら一瞬でcos(α-β)は出せるからそのあとは変換公式ゴリ押せばよいかと
加法定理の証明のこのパターンは定期テストレベルじゃね
左下の鳥がいつもレインボーになっていて、まるで777みたいなノリですね
これって実際(1)は0
いえ、東京大学の実際の入試では0＜θ＜180°での範囲を聞かれていました。
なので実際の試験では三角関数での定義を答えるのが適切ですね。
うむ。 ←かわいい
ベクトルはすべてを解決する
オイラーの公式だと何点になるんだろう
台形から引くsinAsinB+cosAcosBって違うような・・・
申し訳ございません..編集ミスです..
@@pacho731 いえいえ、sin(A+B)からの証明、参考になりました。
cos(α＋β)の証明の方が圧倒的に多いですから。
東大の一問題ごときが東大校舎のこと褒めるの草
オイラーの公式使うとそれの証明が必要になるから難しいですね
そこまで定義を理解してるか？を試したいなら
弧度法と360°の度数から初めましょう。
確か共通テストでそういった問題が出てきてましたね。
とある大学が東大に聞こえるのうぇい
ベクトルじゃないといけないという東大がおかしいんだよね。これで良し。
コウイチダケィド、ナニィモﾜｶﾗﾅ-ｲ
この当時もし行列が指導要領に入ってたら回転行列で解けばいいと思ったがダメか。
この年、高3でしたが、数学Cに行列ありましたが、回転行列はなかったような気がします。一つ前の指導要領は一次変換やってましたね。
(cosα,sinα)をβ回転させるのを行列演算すると
xにcos(α+β)
yにsin(α+β)
が出る
加法定理自体は行けるけど、証明は…
真髄やってたら楽勝
2:42 オイラーの公式の定義に三角関数あるから循環にならんの?
オイラーの公式は三角関数の定義に基づきマクローリン展開を用いて証明出来るので、恐らく循環論法にはならないかと思います。
もっと言えば、
マクローリン展開を
(その定義域を)複素数に拡張した
指数関数と三角関数を用いてオイラーの公式は定理と示さる
この立場ではオイラーの公式に加法定理は不要です。
この年に受験しました。
割と本気で唖然としたのを覚えています。
「天下の東大で加法定理！？」って。
あと滅茶苦茶面倒くさい積分計算させられた挙句、
その値の大きさを評価(証明)したりしたかな？
とにかく時間が足らん。
当時現役なら同い年で松坂世代
ですです。>松坂世代
これたしか標問にのってるよね
かつて高校数学（数学ⅡB）で行列を扱っていたころ、三角関数の加法定理は回転行列の応用として学びました。教科書では回転行列を使って比較的簡潔に導出していました。
オイラーの定理使うとこんな感じ
e^iθ=cosθ+isinθから
e^iα=cosα+isinα
e^iβ=cosβ+isinβ
sin(-θ)=-sinθ cos(-θ)=cosθ より
e^±iβ=cosβ±isinβ (複号同順)
これで、オイラーの公式より
cos(α±β)+isin(α±β)=e^i(α±β)
=(e^iα)x(e^±iβ)
=(cosα+isinα)(cosβ±isinβ)
=cosαcosβ∓sinαsinβ+i(sinαcosβ±cosαsinβ)
実部と虚部に分けると
cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ (複号同順)
(Q.E.D)
これちょーーど昨日学校の赤本コーナーで2000年とかの赤本見つけて友達と見たわこの問題w
京大「お前の好きな数をお前の入試の点数にしてやるぞ」
0☺️
東大のこの伝説の問題、懐かしいな〜
「現代文の」先生がゆってたやつや！笑
複素数の回転で解けたりするんかな
2:50
あ、、、安仁屋、、、
皆腰低くて好感が持てますね。
最初は問題ちゃんもご機嫌ヨークシャーテリアとか言う偉そうなお嬢様だったのですが、しっくりこなくてやめました。
こっちの方が作ってて気持ちよかったです。
あれ、昔の入試試験じゃなかった？
って思ったら昔の問題の解説だった。
今日受験終わって見に来ました。
お疲れ様です！
覚えててよかった(？)
幾何的に求めて一完ってわけにいかないのかな？
回転行列での証明綺麗で好きだったな
単位円書いてαと-βを書いて距離を求めればいい
この問題、マジで嫌い
加法定理を満たす連続関数として三角関数を定義するぞ
うるせぇ！鉄球ぶつけんぞ！（未遂
オイラーの公式使うと一瞬