J'ai toujours un problème avec la présentation de cette preuve, qui en fait repose sur la complétude du corps (valué donc topologique et séparé) de référence, cette information est ici contenue (et cachée!) dans l'utilisation de Bolzano-Weierstrass dont la preuve repose essentiellement sur la complétude des réels. Souvent cachée aux étudiants de première et deuxième année, car pas au programme (pour une bonne raison). Pour les étudiants présents ici : Il faudrait préciser constamment "En dim. finie sur R ou C, toutes les normes sont équivalentes." J'ai déjà vu des étudiants tomber dans le panneau en khôlle. Ayez toujours en tête le corps de référence que vous utilisez. Aucun problème avec cette très (très, comme toujours) bonne vidéo cela dit, puisque cela est mentionné dans l'énoncé du théorème au début. Sinon, on peut donner des contre-exemples avec un EV sur Q: Considérons Q², la norme infinie ||(x,y)|| = max(|x|,|y|) et une norme pondérée par un irrationnel quelconque comme N'((x,y))=|x+v2 .y|. Ces deux normes ne sont PAS équivalentes bien que Q² soit de dim. 2 sur Q.
Merci pour le partage et pour le contre-exemple sur Q² 🙏🏻! En effet, en première et deuxième année, le corps de référence est si souvent R ou C qu'il est facile de prendre pour acquis, à tort, les propriétés topologiques intéressantes que possèdent ces corps, ainsi que leurs conséquences 👨🏻🏫.
Le fait que [-1,1] soit un fermé de R , est immédiat, c’est borné par M=1 et pour u_n-> l par passage à la limite on a conservation des inégalités larges -1
Tout ce qui est écrit est juste, mais c'est dans la suite que les choses se passent réellement : le fait que (borné + fermé) implique (compact) n'est pas immédiat, et on peut établir cette implication aisément dès lors qu'on s'appuie sur le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Salutations ! En fait, il y a plein d'isomorphismes de E dans R^n. Dès lors que vous disposez d'une base de E - et il y en a une infinité, à moins de choisir E = {0} - vous disposez d'un isomorphisme consistant à envoyer un vecteur de E sur le vecteur de R^n constitué de ses composantes dans la base choisie 👨🏻🏫.
La norme d'un scalaire est le scalaire en question. Ici N(||x||_inf) = ||x||_inf. ça vient de l'homogénéité de la norme. N(a*x) = |a|*N(x) (avec ici a un scalaire, et x un vecteur)
Dire que S était un sous ensemble de [-1,1]^n justifiait la caractère borné est ce bien cela? Puis pour la fermeture on peut dire que c'est l'image réciproque de {1} par l'applicaiton qui à x associe la norme de x? Ou est ce trop puissant, ou y'a t-il un autre moyen de voir?
Plutôt, dire que S est un sous-ensemble de [-1,1]^n me permet d'utiliser ensuite le fait que [un sous-ensemble fermé d'un ensemble compact est lui-même compact]. Et pour démontrer que S est fermé, oui, le coup de l'image réciproque fonctionne parfaitement 👍🏻.
Merci, je m'en doutais un peu quand même mais vous venez de me montrer que j'ai « un peu » progressé depuis on passage en prépa. Je ne me souvenais absolument plus de la preuve mais ma première réaction a été: la boule unité d'un R^n espace vectoriel est compact, fonction continue, minoration… Mais comme je ne me souvenais plus des dépendances entre ces théorèmes « de base », je n'étais pas sûr de ne pas avoir glissé un raisonnement circulaire. Et puis, comme vous l'avez montré, cet argument est totalement sous justifié à en être faux. Si on a cette idée générale de preuve, alors le fait de normaliser le vecteur devient totalement naturel. Ce que je trouve très intéressant, c'est que mon approche et la votre, bien que très proche, sont en fait différentes: Vous faites essentiellement un raisonnement « bottom up » en montrant autant que possible des résultats de base et en raisonnant toujours sur des bases solides. Moi, je fais l'inverse. J'ai eu une approche « top down » en me disant que j'avais envie d'utiliser un résultats précis et construisant ensuite, les bases. Ce qui est intéressant, c'est que dans ma recherche, j'utilise depuis quelques temps, un logiciel de preuve formelle avec lequel l'approche top down est beaucoup plus naturelle. Et j'ai du me forcer à faire des preuves « à l'envers ». Bien évidemment, quelle que soit l'approche, au final, on a une preuve complète. Mais je trouve intéressant de pointer ces deux approches.
Merci pour ce commentaire très intéressant 🙏🏻! En effet, je présente les démonstrations dans un ordre « chronologique » par souci de compréhensibilité, et pour maintenir un certain suspense au cours du visionnage. Cela dit, on pourrait très bien me rétorquer qu'avancer à tâtons sans comprendre là où je vais est justement ce qui peut rendre la démonstration incompréhensible pour qui la voit la première fois. Quant t tend vers +\infty, cela n'a que peu d'importance puisque je recommande ensuite dans ma méthodologie d'identifier la charpente de la démonstration, et de se demander « pourquoi aurait-on pu avoir envie d'aller par là » à chaque étape, ce qui correspond alors à une approche « top down ». Mais assurément, c'est un point très intéressant que vous épinglez là 👍🏻.
Bonjour c'est vraiment passionnant, mais je me demandais si vous pourriez faire des vidéos qui dépassent le bac+2, comme de l'analyse complexe, de l'intégration munie de la théorie de la mesure, de la théorie des corps, des probabilités, de l'analyse de fourier...?
Salutations ! À l'époque, j'avais fait quelques vidéos d'analyse complexe : 🔸 Équations de Cauchy-Riemann : th-cam.com/video/aodAeFaFv-w/w-d-xo.html 🔸 Fonctions localement constantes : th-cam.com/video/EfJz5K4hydA/w-d-xo.html 🔸 Holomorphie des fonctions analytiques : th-cam.com/video/IVE0GaWeyww/w-d-xo.html Cela dit, cela me demande plus de temps, s'adresse à un public plus restreint, pour un plaisir que je prends quasiment identique à celui qui correspond aux autres vidéos. Ainsi, il y a fort à parier que je resterai dans les environs de la terminale, bac +1/+2 pour la grande majorité des vidéos.
Tout à fait ! Dit dans l'autre sens : sur un espace vectoriel de dimension infinie, on peut toujours exhiber deux normes qui ne sont pas équivalentes 👍🏻.
![[CRS#1] Pourquoi parle-t-on de normes équivalentes ? (Cours)](http://i.ytimg.com/vi/-75LY3J4_vg/mqdefault.jpg)
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Génial la preuve très bien expliquée
Superbe, un résultat si important et si bien démontré, bon boulot 👍
Si bien expliqué, bravo
J'ai toujours un problème avec la présentation de cette preuve, qui en fait repose sur la complétude du corps (valué donc topologique et séparé) de référence, cette information est ici contenue (et cachée!) dans l'utilisation de Bolzano-Weierstrass dont la preuve repose essentiellement sur la complétude des réels. Souvent cachée aux étudiants de première et deuxième année, car pas au programme (pour une bonne raison).
Pour les étudiants présents ici : Il faudrait préciser constamment "En dim. finie sur R ou C, toutes les normes sont équivalentes." J'ai déjà vu des étudiants tomber dans le panneau en khôlle. Ayez toujours en tête le corps de référence que vous utilisez.
Aucun problème avec cette très (très, comme toujours) bonne vidéo cela dit, puisque cela est mentionné dans l'énoncé du théorème au début.
Sinon, on peut donner des contre-exemples avec un EV sur Q:
Considérons Q², la norme infinie ||(x,y)|| = max(|x|,|y|) et une norme pondérée par un irrationnel quelconque comme N'((x,y))=|x+v2 .y|. Ces deux normes ne sont PAS équivalentes bien que Q² soit de dim. 2 sur Q.
Merci pour le partage et pour le contre-exemple sur Q² 🙏🏻! En effet, en première et deuxième année, le corps de référence est si souvent R ou C qu'il est facile de prendre pour acquis, à tort, les propriétés topologiques intéressantes que possèdent ces corps, ainsi que leurs conséquences 👨🏻🏫.
Comment est-ce que ça se passe en dimension infinie ?🤔
On peut toujours trouver une paire de normes qui ne sont pas équivalentes l'une et l'autre 😉.
Très clair
Bravo
Le fait que [-1,1] soit un fermé de R , est immédiat, c’est borné par M=1 et pour u_n-> l par passage à la limite on a conservation des inégalités larges -1
Tout ce qui est écrit est juste, mais c'est dans la suite que les choses se passent réellement : le fait que (borné + fermé) implique (compact) n'est pas immédiat, et on peut établir cette implication aisément dès lors qu'on s'appuie sur le théorème de Bolzano-Weierstrass.
Très bonne démo
Bonjour,
L'isomorphisme Phi n'est-il pas unique ?
Salutations ! En fait, il y a plein d'isomorphismes de E dans R^n. Dès lors que vous disposez d'une base de E - et il y en a une infinité, à moins de choisir E = {0} - vous disposez d'un isomorphisme consistant à envoyer un vecteur de E sur le vecteur de R^n constitué de ses composantes dans la base choisie 👨🏻🏫.
Je n'ai pas compris la première équivalence à 6:53
La norme d'un scalaire est le scalaire en question. Ici N(||x||_inf) = ||x||_inf. ça vient de l'homogénéité de la norme. N(a*x) = |a|*N(x) (avec ici a un scalaire, et x un vecteur)
@@hogokage2433 Ah oui j'y vois plus clair sur le "1" dans l'inégalité. Merci
À partir de ||x||oo
Dire que S était un sous ensemble de [-1,1]^n justifiait la caractère borné est ce bien cela?
Puis pour la fermeture on peut dire que c'est l'image réciproque de {1} par l'applicaiton qui à x associe la norme de x?
Ou est ce trop puissant, ou y'a t-il un autre moyen de voir?
Plutôt, dire que S est un sous-ensemble de [-1,1]^n me permet d'utiliser ensuite le fait que [un sous-ensemble fermé d'un ensemble compact est lui-même compact]. Et pour démontrer que S est fermé, oui, le coup de l'image réciproque fonctionne parfaitement 👍🏻.
Merci, je m'en doutais un peu quand même mais vous venez de me montrer que j'ai « un peu » progressé depuis on passage en prépa.
Je ne me souvenais absolument plus de la preuve mais ma première réaction a été: la boule unité d'un R^n espace vectoriel est compact, fonction continue, minoration…
Mais comme je ne me souvenais plus des dépendances entre ces théorèmes « de base », je n'étais pas sûr de ne pas avoir glissé un raisonnement circulaire. Et puis, comme vous l'avez montré, cet argument est totalement sous justifié à en être faux.
Si on a cette idée générale de preuve, alors le fait de normaliser le vecteur devient totalement naturel.
Ce que je trouve très intéressant, c'est que mon approche et la votre, bien que très proche, sont en fait différentes:
Vous faites essentiellement un raisonnement « bottom up » en montrant autant que possible des résultats de base et en raisonnant toujours sur des bases solides.
Moi, je fais l'inverse. J'ai eu une approche « top down » en me disant que j'avais envie d'utiliser un résultats précis et construisant ensuite, les bases.
Ce qui est intéressant, c'est que dans ma recherche, j'utilise depuis quelques temps, un logiciel de preuve formelle avec lequel l'approche top down est beaucoup plus naturelle. Et j'ai du me forcer à faire des preuves « à l'envers ». Bien évidemment, quelle que soit l'approche, au final, on a une preuve complète. Mais je trouve intéressant de pointer ces deux approches.
Merci pour ce commentaire très intéressant 🙏🏻!
En effet, je présente les démonstrations dans un ordre « chronologique » par souci de compréhensibilité, et pour maintenir un certain suspense au cours du visionnage. Cela dit, on pourrait très bien me rétorquer qu'avancer à tâtons sans comprendre là où je vais est justement ce qui peut rendre la démonstration incompréhensible pour qui la voit la première fois.
Quant t tend vers +\infty, cela n'a que peu d'importance puisque je recommande ensuite dans ma méthodologie d'identifier la charpente de la démonstration, et de se demander « pourquoi aurait-on pu avoir envie d'aller par là » à chaque étape, ce qui correspond alors à une approche « top down ». Mais assurément, c'est un point très intéressant que vous épinglez là 👍🏻.
Bonjour c'est vraiment passionnant, mais je me demandais si vous pourriez faire des vidéos qui dépassent le bac+2, comme de l'analyse complexe, de l'intégration munie de la théorie de la mesure, de la théorie des corps, des probabilités, de l'analyse de fourier...?
Salutations ! À l'époque, j'avais fait quelques vidéos d'analyse complexe :
🔸 Équations de Cauchy-Riemann : th-cam.com/video/aodAeFaFv-w/w-d-xo.html
🔸 Fonctions localement constantes : th-cam.com/video/EfJz5K4hydA/w-d-xo.html
🔸 Holomorphie des fonctions analytiques : th-cam.com/video/IVE0GaWeyww/w-d-xo.html
Cela dit, cela me demande plus de temps, s'adresse à un public plus restreint, pour un plaisir que je prends quasiment identique à celui qui correspond aux autres vidéos. Ainsi, il y a fort à parier que je resterai dans les environs de la terminale, bac +1/+2 pour la grande majorité des vidéos.
La réciproque est aussi vraie : si dans un espace normé toute les normes sont équivalentes alors l'espace est de dimension finie.
Tout à fait ! Dit dans l'autre sens : sur un espace vectoriel de dimension infinie, on peut toujours exhiber deux normes qui ne sont pas équivalentes 👍🏻.
je viens de le faire ajd
"Sois le bienvenu" 😔
Question de Perceval 😵💫
À la prochaine 👨🏻🏫 !
boss .
Aussi lisse que le crâne de Marcel
XD
Je ne me rappelle plus quand j'avais sorti cette énormité, mais ça m'a bien fait rire, ça m'évoque des souvenirs 😇.
Wow, is this your face? You are handsome, man. So much it is hard to concentrate. Haha. Oh no, I can't fall in love, I have many things to do!