Vielen Dank! Hab mir jedes Video auf TH-cam zur Implikation angeguckt und hatte die Logik dahinter nicht verstanden. Dank dir macht es für mich jetzt nun Sinn :p
Sehr, sehr hilfreich - Dankeschön! Das ist das sechste Video zum Thema, dass ich anschaue und erst jetzt verstehe ich endlich, worum es geht mit A ist falsch und B ist wahr/falsch
Macht Sinn. Aber im Grunde doch nur aufgrund der Definition von “Aussage“ im System der formalen Logik. D.h. entweder wahr oder falsch. Eine Aussage über die Realität ( was die nun ist... naja) lässt sich doch so nicht ableiten. Trotz der Öffnung im Sommer kann das Bad auch im Winter geöffnet sein.
Hallo Hans, ich beschränke mich hier auf den Syllogismus in der mathematischen Logik. Die Syllogistik, spielte in der klassischen Logik eine deutlich größere Rolle, hat aber heute, da sie sich auch durch die ausdrucksstärkere Prädikatenlogik darstellen lässt, ihre hervorgehobene Rolle verloren. In der mathematischen Logik bezeichnet man mit dem Syllogismus eigentlich nur noch den Kettenschluss. Also wenn A=>B wahr ist und B=>C wahr ist, dann ist auch A=>C wahr. Das ist sehr nützlich, weil so überhaupt Argumentationsketten in mathematischen Beweisen ermöglicht werden. Eine Schlussregel selbst hat aber keinen Wahrheitswert. Sie sagt unter welchen Umständen eine bestimme logische Konstruktion wahr ist. Da sie selbst keinen Wahrheitswert hat, kann sie auch nicht als Argument verwendet werden. Wenn du eine Kette von Implikationen hast, dann kann diese Kette wahr oder falsch sein, da ja z.B. einzelne Implikationen in der Kette falsch sein könnten. Diese Kette als logische Formel hat also einen Wahrheitswert und kann genauso wie z.B. die Implikation als Argument in einer weiteren Formel verwendet werden. Die Schlussregel des Syllogismus sagt uns aber nur, dass die Kette wahr ist, WENN die einzelnen Implikationen wahr sind. Sie sagt uns aber noch nicht OB die einzelnen Implikationen wahr sind.
3:46 ??? Ebenso wenig können wir aber folgern, dass die Aussage wahr ist. Die identische Argumentation ließe sich also einfach umdrehen und wäre so ein Für für das Falschsymbol und ein Wider für das Wahrheitssymbol. Es müsste demnach korrekterweise ein neutrales Symbol geben.
Ja genau du kannst beides folgern. Das spiegelt sich ja auch in der Wahrheitstabelle wieder. Ein drittes Symbol brauchen wir hier nicht, da somit die Uneindeutigkeit schon abgedeckt ist. Ein wichtiger Punkt hierbei ist, dass man zb aus eben diesem Grund in einem mathematischen Beweis nichts direkt aus falschen Aussagen Schlussfolgerung kann, da diese Schlussfolgerung nicht eindeutig wäre.
Hallo Hans, du kannst eine Implikation auch wieder als Argument verwenden. Also du kannst z.B. aus der Tatsache, dass eine Implikation wahr ist z.B. folgern, dass auch eine andere Aussage wahr ist. Das macht man z.B. bei Kontrapositionsbeweisen. Wenn du zeigen möchtest, dass A=>B wahr ist, es aber schwer sein sollte das direkt zu zeigen, dann kannst du auch zeigen, dass n(B)=>n(A) wahr ist (das n() steht für die Negation). Die beiden Ausdrücke sind Äquivalent. In diesem Zusammenhang nutzt du also die Implikation n(B)=>n(A) als Argument und folgerst daraus, dass A=>B auch wahr ist.
@@Studytorials Danke für die Antwort. Wenn ich eine Zusatzfrage stellen dürfte: Ist eine Prämisse eine Voraussetzung oder eine Behauptung oder eine Annahme? Danke im Voraus für einen Hinweis.
Prämissen sind Voraussetzungen, wobei hier auch die Annahmen zu den Voraussetzungen zählen. Die Prämissen sind also das, aus du logisch das schlussfolgerst, was zu zeigen möchtest. Ich denke die verschiedenen Begriffe drücken aus, dass die Prämissen unterschiedlich zustande kommen bzw. unterschiedlich genutzt werden. Wenn du z.B. eine Aussage über reelle invertierbare Matrizen beweisen möchtest, und dazu ein beliebiges Element nimmst, dann setzt du dir als Voraussetzung, dass dieses Element eine reelle, invertierbare Matrix ist, diese Voraussetzung setzt du, damit der Gegenstand deiner Untersuchung eben zu dem passt, was du zeigen willst. In diesem Beispiel wenn es um reelle Matrizen geht, setzt du z.B. auch die Rechenregeln für reelle Zahlen voraus, auch wenn du die nicht explizit als Voraussetzung hinschreibst. Was man z.B. bei Widerspruchsbeweisen macht ist eine absichtlich falsche Annahme. Du nimmst z.B. an, dass Wurzel(2) als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist und folgerst daraus dann den Widerspruch um zu zeigen, dass deine Annahme falsch gewesen sein muss. Aber in deinem Beweis ist eben diese falsche Annahme auch eine der Prämissen, aus denen du schlussfolgern musst.
Genau da liegt das Problem, etwas was nicht widerlegt wird ist nicht zwingend wahr im echten Leben. Es ist dann bloß möglich. Genauso wie man die Aussage nicht widerlegen kann, kann man sie nicht beweisen. Daraus könnte ich genauso schließen: Ich kann es nicht beweisen also ist es falsch. Ich hoffe irgendwer kann mir das Problem erklären, ansonsten muss ich davon ausgehen das alle Mathematiker einen Denkfehler haben, hilfe. :'(
Die hier vorgestellte Logik eignet sich um Modelle zu bilden. Durch die zwei möglichen Werte ist eine dritte Möglichkeit direkt ausgeschlossen. Für viele mathematische Problemstellungen reicht das aus. Teilweise wird es sogar intensiv genutzt zB bei Widerspruchsbeweisen. Andererseits ist es in der Tat so, dass man damit nicht alle Realweltprobleme sinnvoll modellieren kann, da es wie du ja selbst sagst oft eben doch mehr als zwei Möglichkeiten gibt. Das ist aber kein Problem, solange man sich der Grenzen dieser Logik bewusst ist und seine Modellbildung kritisch hinterfragt, was man sowieso immer machen sollte, egal welche Mittel man nutzt, um ein Modell zu bilden.
Vielen Dank!
Hab mir jedes Video auf TH-cam zur Implikation angeguckt und hatte die Logik dahinter nicht verstanden.
Dank dir macht es für mich jetzt nun Sinn :p
Sehr, sehr hilfreich - Dankeschön! Das ist das sechste Video zum Thema, dass ich anschaue und erst jetzt verstehe ich endlich, worum es geht mit A ist falsch und B ist wahr/falsch
Super Beispiel gewählt!
Danke!
Sehr gut erklärt vielen Dank
Danke habe die Impikation endlich verstanden
Sehr gut erklärt!
Macht Sinn. Aber im Grunde doch nur aufgrund der Definition von “Aussage“ im System der formalen Logik. D.h. entweder wahr oder falsch. Eine Aussage über die Realität ( was die nun ist... naja) lässt sich doch so nicht ableiten. Trotz der Öffnung im Sommer kann das Bad auch im Winter geöffnet sein.
Hab noch mehr kopfschmerzen als davor
😂😂😂
Besten Dank für die ausführliche Antwort auf meine Fragen vor 2 Wochen,
nun ist mir folgende Frage eingefallen:
Ist Syllogismus auch ein Argument?
Hallo Hans,
ich beschränke mich hier auf den Syllogismus in der mathematischen Logik. Die Syllogistik, spielte in der klassischen Logik eine deutlich größere Rolle, hat aber heute, da sie sich auch durch die ausdrucksstärkere Prädikatenlogik darstellen lässt, ihre hervorgehobene Rolle verloren.
In der mathematischen Logik bezeichnet man mit dem Syllogismus eigentlich nur noch den Kettenschluss. Also wenn A=>B wahr ist und B=>C wahr ist, dann ist auch A=>C wahr. Das ist sehr nützlich, weil so überhaupt Argumentationsketten in mathematischen Beweisen ermöglicht werden.
Eine Schlussregel selbst hat aber keinen Wahrheitswert. Sie sagt unter welchen Umständen eine bestimme logische Konstruktion wahr ist. Da sie selbst keinen Wahrheitswert hat, kann sie auch nicht als Argument verwendet werden.
Wenn du eine Kette von Implikationen hast, dann kann diese Kette wahr oder falsch sein, da ja z.B. einzelne Implikationen in der Kette falsch sein könnten. Diese Kette als logische Formel hat also einen Wahrheitswert und kann genauso wie z.B. die Implikation als Argument in einer weiteren Formel verwendet werden.
Die Schlussregel des Syllogismus sagt uns aber nur, dass die Kette wahr ist, WENN die einzelnen Implikationen wahr sind. Sie sagt uns aber noch nicht OB die einzelnen Implikationen wahr sind.
3:46 ??? Ebenso wenig können wir aber folgern, dass die Aussage wahr ist. Die identische Argumentation ließe sich also einfach umdrehen und wäre so ein Für für das Falschsymbol und ein Wider für das Wahrheitssymbol. Es müsste demnach korrekterweise ein neutrales Symbol geben.
Ja genau du kannst beides folgern. Das spiegelt sich ja auch in der Wahrheitstabelle wieder. Ein drittes Symbol brauchen wir hier nicht, da somit die Uneindeutigkeit schon abgedeckt ist.
Ein wichtiger Punkt hierbei ist, dass man zb aus eben diesem Grund in einem mathematischen Beweis nichts direkt aus falschen Aussagen Schlussfolgerung kann, da diese Schlussfolgerung nicht eindeutig wäre.
Danke für das Video, ganz gut erklärt,
nun dazu eine Frage:
Ist eine Implikation auch eine Argument?
Hallo Hans,
du kannst eine Implikation auch wieder als Argument verwenden. Also du kannst z.B. aus der Tatsache, dass eine Implikation wahr ist z.B. folgern, dass auch eine andere Aussage wahr ist.
Das macht man z.B. bei Kontrapositionsbeweisen. Wenn du zeigen möchtest, dass A=>B wahr ist, es aber schwer sein sollte das direkt zu zeigen, dann kannst du auch zeigen, dass n(B)=>n(A) wahr ist (das n() steht für die Negation). Die beiden Ausdrücke sind Äquivalent. In diesem Zusammenhang nutzt du also die Implikation n(B)=>n(A) als Argument und folgerst daraus, dass A=>B auch wahr ist.
@@Studytorials Danke für die Antwort.
Wenn ich eine Zusatzfrage stellen dürfte:
Ist eine Prämisse eine Voraussetzung oder eine Behauptung oder eine Annahme?
Danke im Voraus für einen Hinweis.
Prämissen sind Voraussetzungen, wobei hier auch die Annahmen zu den Voraussetzungen zählen.
Die Prämissen sind also das, aus du logisch das schlussfolgerst, was zu zeigen möchtest. Ich denke die verschiedenen Begriffe drücken aus, dass die Prämissen unterschiedlich zustande kommen bzw. unterschiedlich genutzt werden.
Wenn du z.B. eine Aussage über reelle invertierbare Matrizen beweisen möchtest, und dazu ein beliebiges Element nimmst, dann setzt du dir als Voraussetzung, dass dieses Element eine reelle, invertierbare Matrix ist, diese Voraussetzung setzt du, damit der Gegenstand deiner Untersuchung eben zu dem passt, was du zeigen willst. In diesem Beispiel wenn es um reelle Matrizen geht, setzt du z.B. auch die Rechenregeln für reelle Zahlen voraus, auch wenn du die nicht explizit als Voraussetzung hinschreibst.
Was man z.B. bei Widerspruchsbeweisen macht ist eine absichtlich falsche Annahme. Du nimmst z.B. an, dass Wurzel(2) als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar ist und folgerst daraus dann den Widerspruch um zu zeigen, dass deine Annahme falsch gewesen sein muss. Aber in deinem Beweis ist eben diese falsche Annahme auch eine der Prämissen, aus denen du schlussfolgern musst.
@@Studytorials Vielen Dank!
danke schön
Genau da liegt das Problem, etwas was nicht widerlegt wird ist nicht zwingend wahr im echten Leben.
Es ist dann bloß möglich.
Genauso wie man die Aussage nicht widerlegen kann, kann man sie nicht beweisen.
Daraus könnte ich genauso schließen: Ich kann es nicht beweisen also ist es falsch.
Ich hoffe irgendwer kann mir das Problem erklären, ansonsten muss ich davon ausgehen das alle Mathematiker einen Denkfehler haben, hilfe. :'(
Die hier vorgestellte Logik eignet sich um Modelle zu bilden. Durch die zwei möglichen Werte ist eine dritte Möglichkeit direkt ausgeschlossen. Für viele mathematische Problemstellungen reicht das aus. Teilweise wird es sogar intensiv genutzt zB bei Widerspruchsbeweisen. Andererseits ist es in der Tat so, dass man damit nicht alle Realweltprobleme sinnvoll modellieren kann, da es wie du ja selbst sagst oft eben doch mehr als zwei Möglichkeiten gibt. Das ist aber kein Problem, solange man sich der Grenzen dieser Logik bewusst ist und seine Modellbildung kritisch hinterfragt, was man sowieso immer machen sollte, egal welche Mittel man nutzt, um ein Modell zu bilden.
in dem fall
A => B (A und B) oder (nicht A)