Les courbes planes (Vers La Géométrie Algébrique -- Épisode I)
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- เผยแพร่เมื่อ 4 มิ.ย. 2024
- Cette vidéo est la première d'une série de 6 épisodes dont le but est de fournir une initiation visuelle et concrète à la géométrie algébrique. Lien vers les notes : www.antoinebourget.org/attachm...
- Episode I -- Les courbes planes : • Les courbes planes (Ve...
- Episode II -- La géométrie projective : • La géométrie Projectiv...
- Episode III -- Les complexes entrent en scène : • Les complexes entrent ...
- Episode IV -- Genre et différentielles : • Genre et différentiell...
- Episode V -- Théorème de Riemann-Roch :
- Episode VI -- :
Dans ce premier épisode j'introduis le concept de courbe algébrique et je l'illustre avec de nombreux exemples. On voit ainsi les droites, les cercles, les coniques (ellipse, parabole, hyperbole), les cubiques, etc.
On voit ensuite des liens surprenant avec des équations diophantiennes, les triplets pythagoriciens et le grand théorème de Fermat. Mais des questions sont laissées en suspens: qu'est-ce que ce mystérieux invariant qu'est le genre ? Comment caractériser les intersections entre des courbes algébriques ? Ceci sera vu dans les épisodes suivants...
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Errata et Commentaires :
- Il ne s'agit pas vraiment d'une erreur, j'ai volontairement voulu simplifier la définition des courbes algébriques ici en me restreignant à une équation du type f(x,y)=0, mais il faut être conscient du fait qu'il s'agit seulement de courbes planes (i.e. dans le plan). Cela ne couvre pas toutes les courbes algébriques, je le montrerai dans les épisodes suivants.
- Concernant les triplets pythagoriciens, je vois en revisionnant la vidéo que j'ai pu laisser entendre qu'on les obtiens tous en prenant t entier. Ce n'est pas le cas, je voulais juste dire que t entier est une condition suffisante pour en générer une infinité, mais certains triplets ne sont obtenus qu'en prenant t rationnel.
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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.
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Plan :
00:00 Début
6:23 Exemples introductifs : courbes polynomiales
13:30 Définition des courbes algébriques planes
15:30 Exemples : cercle, coniques, intersections
21:00 Racines des polynômes
23:50 Courbes cubiques
34:02 Motivations en arithmétique : triplets pythagoriciens
40:31 Paramétrisation rationnelle du cercle
51:10 Théorème de Fermat
59:00 Questions sans réponses
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Références :
- Perrin, Géométrie Algébrique
- Shokurov, Riemann surfaces and Algebraic Curves
- Kirwan, Complex Algebraic Curves - วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
Parfait. Merci beaucoup. Vous rendez un vrai service à la culture.
Ah une vidéo en 6 étapes , bon nouveau concept ! Ça fait plaisir de voir une nouvelle vidéo, surtout après ma semaine de bac blanc.
Oui j'avais bien besoin de ça pour un tel sujet! Ça devrait sortir régulièrement, un par semaine !
Mon prof de sup avait fait sa thèse dans ce domaine, il a jamais voulu expliquer de quoi ça parlais concrètement, merci pour t'a vidéo
Merci pour cette introduction à ce sujet fascinant qu'est la géométrie algébrique !
Magnifique, merci pour la dose ! Les effet du manque commençaient à se faire sentir 😁
Ça va venir régulièrement pendant 6 semaines d'affilée ça devrait te rassasier :D
Merci beaucoup !! que du bonheur. J'adore vos vidéos ! Vivement les prochaines.
Très très belle vidéo, j'ai beaucoup appris et absolument tout compris. Tout ça avec une palette graphique et beaucoup de talent. Regardée d'une traite sans voir le temps passer. Un grand merci à vous, j'attends la suite avec impatience !
Merci, c'est ce genre de réactions qui me motivent à continuer, j'espère que la suite vous plaira autant :)
Effectivement, ça commençait à manquer 🧐. Toujours aussi clair, un régal de vous écouter ! Merci
Merci :) ça va continuer régulièrement pendant quelques semaines !
toujours un plaisir de regarder ces vidéos ! merci de votre partage
Merci à toi :)
Très clair pour le moment 😉
Merci, espérons que ça dure !
Cette introduction est superbe, mettant en relation la théorie et la pratique (ou plutôt l'utilité), chose qui est très peu faite (par manque de temps) dans le cursus scolaire de taupe.
Merci, oui j'ai la chance de ne pas être contraint par les programmes, ça laisse plus de liberté pour aller aux points les plus intéressants ! Mais évidemment je ne prétends pas me substituer à un vrai cours, les deux approches sont complémentaires !
Merci de me faire comprendre facilement les bases des domaines compliqué. Aucune formation scientifique, mais j’ai tout compris
Merci pour le commentaire, c'est le but que j'essaye d'atteindre !
Oh génial de la géométrie ! merci pour la vidéo :)
Excellent ! Merci pour ce cours
Merci beaucoup pour le partage. J'attendais un tel sujet avec impatience. Ce fut un délice de recevoir cette première partie. J'ai appris beaucoup de choses. Bon courage pour la suite et force à toi pour partager avec nous ton savoir et savoir-faire. J'espère que ces vidéos tracent un chemin vers la théorie des cordes et autres problèmes ?? Encore merci.
Oui, je compte en effet parler de théorie des cordes juste après ça :) Donc probablement vers avril si tout se passe bien...
@@antoinebrgt Merci bien.
C'était super
Des notions de bases clairement rappelées.
Le nombre de tripodes pythagoriens est il infini?
Oui, il est infini, c'est assez facile à prouver une fois qu'on a la paramétrisation que j'ai donnée dans la vidéo !
Très bonne vidéo, bravo :)
bravo, trés instructif
On attend l'épisode 1 sur la géométrie symplectique à présent :)
Oui, un jour ™ :D
Bravo🎉🎉🎉
Merci pour cette vidéo!
Encore une masterclass, un vrai régal, merci ! Petite question; que se passe-t-il pour les droites t = infini (pour le cercle) et t = 0 (pour la parabole), n'y a-t-l pas aussi un seul point d'intersection avec la courbe ?
Merci! Pour la question je ne suis pas sûr de comprendre, qu'est-ce que t et quelles sont les équations dont vous parlez? Peut-être que la réponse sera dans la vidéo à paraître demain :)
J'ai bien aimé la nécessité d'introduire la géométrie projective. Ça me rappelle certains pbs d'intersection de coniques et de quantiques!
Oui c'est tout à fait ça ! C'est d'ailleurs ce que je fais dans les épisodes suivants :)
formidable !
Merci beaucoup pour ce cours, Comment vous justifiez que si t est rationnel alors x et y sont rationnels?
Merci beaucoup pour cette super vidéo! C'est un sujet très intéressant. Les choses sont toujours très bien présentées! C'est rigolo car je suis en train de lire de Singh sur la conjecture de Fermat ;-) J'ai hâte de voir la suite!
Merci! La suite ne va pas vraiment dans la direction de la conjecture de Fermat mais j'en dirai quelques mots quand même :)
@@antoinebrgt Pas de soucis! Cela m'a déjà énormément bien aidé à comprendre certaines choses. J'ai hâte d'en savoir plus sur la notion de genre. Il faut maintenant que je comprends en quoi consiste la conjecture de Shimura-Taniyama et tout ce qui va autour ;-)
Merci beaucoup pour cette belle vulgarisation. La notion de Base Grobner pourra t'elle permettre l'etude des intersections? Merci.
Oui en effet, j'ai fait une vidéo il y a très longtemps à ce sujet, vous pouvez la retrouver sur la chaîne !
Je viens de commencer le livre de Roger Penrose "A la découverte des lois de l'Univers", livre de vulgarisation des maths pour la physique, je ne sais pas si tu connais mais il y a pas mal de points communs avec ta chaine TH-cam.
Il en a très probablement touché un mot dans sa FAQ 10000 abonnés.
Oui je connais, je le recommande souvent à ceux qui veulent de la bonne vulgarisation en maths/physique !
Bonjour Antoine, j'ai tilté sur x=(1-t²)/(1+t²) et y=2t/(1+t²) expressions égales à cos(z) et sin(z) si t=tan(z/2). Quel est le lien avec la géométrie algébrique ? Pourrais-tu mettre le fichier pdf s'il te plait, c'est plus plus facile pour annoter (aussi pour les vidéos sur la cohomologie). Je te remercie pour tes excellentes vidéos.
En effet il faut que je mette les pdf pour les dernières vidéos, je suis un peu en retard là-dessus!
Concernant les expressions, en effet ce n'est pas du tout une coïncidence, j'y reviendrai dans la suite :) mais déjà sur la construction c'est facile de voir que t est bien la tangente de la moitié de l'angle dans le cercle, d'où ces formules !
Richard Bocherds en PLS face à la qualité de cette introduction. En voilà un bel exemple de progrès! Merci encore!
58:46 Gros Judith Butler temps
Wow c'est le meilleur compliment qu'on puisse me faire !!
Superbement illustré
Merci beaucoup!
Bonjour, merci pour cette superbe vidéo explicative!
Pourriez vous me dire avec quels matériel et logiciels utilisez vous pour réaliser ce genre de vidéo? J'aimerai bien mes notes de mathématiques numériquement. Merci bien.
J'utilise GIMP et une tablette graphique, tout est expliqué dans la vidéo FAQ sur la chaîne!
Merci beaucoup
Belle vidéo, on est d'accord sur les exemples à montrer en premier ! Une remarque : à 44:10, pas besoin de calculer le discriminant, on sait déjà que x = -1 est une des deux solutions.
Oui en effet, bon j'avais la flemme de faire la factorisation :D
@@antoinebrgt On connaît le produit des racines :)
@@DanielFrance81 Certes... Bon d'accord je n'ai pas d'excuse!
bientot les base de groebner, ou la symétrie à la Golubitski :) merci pour tes vidéos c'est trop bien !
J'ai fait une vidéo sur les bases de Groebner il y a très longtemps!
J'ai aussi lu les deux premiers volumes de la série "Minimum théorique", qui complètent bien tes vidéos aussi ...
Oui, je ne l'ai pas lu mais j'avais regardé une partie du cours en vidéo à l'époque! C'est en effet un bon complément
Cool merci
Waow!
les solutions dans Q2, c'est MAG-nif-IQUE !
Merci
l'orthogonalité (triplet pythagoricien) aurait donc à voir avec le dénombrable ?
à 50:24 , le triplet (12, 5, 13) issu de (24, 10 26) on a toutes les ~solutions ... à l'échelle près ...
drôle de stratagème que cette géométrie projective, faut avouer...
tout ça par la conviction que 0+ et 0- c'est la même chose ... alors quid de la fonction 1/x ?
En tous cas MERCI!
hâte pour la suite
@@pascalneraudeau2084 Je n'ai pas compris la question sur la fonction 1/x, mais en tout cas la géométrie projective sera le sujet de la vidéo suivante donc il y aura toutes les réponses sur comment traiter l'infini :)
Bonjour, très belle vidéo merci à vous cependant je ne comprend pas à 28:00 vous avez dessiné une fonction qui a deux images. Y’a pas un soucis ?
C'est que c'est une courbe définie par y^2 = f(x) et pas y = f(x), donc il y a deux solutions + ou - racine de f(x).
@@antoinebrgt Mais quand même, la notion de fonction multivaluée n'est plus du tout utilisée en maths contemporaines, à ma connaissance. On peut parler de ramification, qui parle autant à l'imagination.
@@ducdeblangis3006 oui tout à fait, je ne parle jamais de fonction multivaluée (sauf exceptionnellement dans le cas des surfaces de Riemann justement, où c'est historique). Ici mieux vaut rester sur la forme polynomiale.
💛💛 Géométrie Algébrique, youpiiii 💛💛
la geometrie algebrique est sur la lune
existe il un triplet pythagorien correspondant à un triangle rectangle isocèle?
(à mon humble avis non on est plus dans des rationnels)
Non car racine carrée de 2 est irrationnel !
@@antoinebrgt merci
Depuis petit j'ai une vraie passion pour les maths. J'ai eu un bac général éco maths renforcé mais ce sont de vieux souvenirs et ma vie professionnelle ne m'a plus jamais amené vers les maths.
J'aimerais reprendre mon apprentissage et puis pourquoi pas voir si il y a des débouchés professionnels. J'ai peur de ne pas pouvoir suivre un enseignement universitaire en licence, je travail et suis père de famille.
La formation professionnelle est très orienté emploi. Mais ce que j'aime ce sont les maths pas forcément leur applications immédiates.
Connaissez-vous des structures capables d'enseigner les maths à mon profil ou au moins capable de me renseigner plus ?
Par avance merci !
C'est une question difficile, je ne sais pas trop ce qu'il existe comme formation... Le mieux est peut-être dans un premier temps de regarder ce qu'on peut trouver en ligne, par exemple sur youtube, il y a beaucoup de contenu déjà. Par exemple la chaîne de Richard Borcherds ?
@@antoinebrgt merci beaucoup. Je regarderais. Votre chaîne est très bien. Vous allez suffisamment lentement pour moi. Je vais dévorer votre contenu.
Bonjour. Comment allez-vous ? Je suis un des administrateurs de vos vidéos et je voudrais partager avec vous en privé autour d'un sujet
Bonjour ! Je n’arrive pas à télécharger les notes via ce lien
salut,excusez moi je vous avais laissé une question sur votre email,si vous pouvez me laisser une petite réponse merci.je suis un abonné sur votre site.
Bonjour 👋👋
trilogie en 5 volumes comme la série de de bouquins de Douglas Adams
En effet, il se peut aussi qu'un épisode bis se glisse dans le lot s'il se trouve que j'ai finalement encore plus de choses à montrer !
nous serons des voyageurs dans la galaxie des mathématiques. Espérons qu'il n'y aura pas de Vogons pour détruire la terre pendant ce temps là.
Comment contruire ces courbes?
Je veux des cours qui en parlent
On peut les tracer avec un logiciel de calcul, on peut aussi le faire à la main en étudiant les asymptotes, les variations, etc
@@antoinebrgt
Je sais tracer ça avec des logiciels comme Geogebra.
Mais je n'ai pas une idée de comment y arriver à la main en étudiant les variations.
Par exemple la courbe de l'équation y²= x(x+1)(x-1), je ne sais pas comment j'allais y arriver sans logiciel.
Je rappelle que j'ai un niveau lycéen.
@@jecodedoncjesuis875 en effet ce n'est pas forcément facile, ici on peut résoudre pour y et de ramener à une étude de fonction mais en général c'est pas évident. Une approche brutale est de fixer y et de trouver tous les x correspondants, pour plein de valeurs de y.
@@antoinebrgt merci
Les triplets pythagoricien !! Yes on va pouvoir jouer en société
17² + 8² = 18² vérifiez avec les téléphones ! ou bien le paramètre t rationnel !
🤐
oui c'est 15² et 17² pas de 18