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eの本質→th-cam.com/video/1M7FF1nd25I/w-d-xo.htmlブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のための“数学腕試し”」 amzn.to/2Q7bUvUこの1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8Cオイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
数2履修の人にもわかりやすいように定義からしてくれるの本当にありがたい
ちょうど科挙を受験するところでしたので助かりました。
早く成仏してくれ
科挙に数学あったら歴代中華帝国ももっと良い国になってたかもしれないな
科挙は難しいぞぉ
@@rin-wh4ne 真理
@自由律俳句とかいう無法地帯 そうそう。四書五経に加えて解説書も暗記ね四書五経をメインの科目にして文化人を官僚に登用すること自体は反対しないんだけど、一定の自然科学や数学の知識を科目に組み込むことは清朝の時代ぐらいにまでなれば出来たのでは無いかな？と思うそれが、出来てれば西洋に対する理解も少しは違ったのかな？と思う
ちょうど中国人民大学を受験する夢を見ましたので助かります。
私は、東京大学の合格者発表の会場で胴上げされている夢を、40年くらい前によく見ましたよ。「私が受験生だった頃に貫太郎チャンネルがあったなら、夢ではなかったろうに！」って、英作文の問題ではなく、"前提が事実でなければ、結論として何をいっても許される" っていう "アレ" ですね。
仮定が偽の命題は恒真ですね。
科挙っぽい感じだったんだろうなぁ
こんな夢を見た。
私はよく警察に捕まる夢を見ます。やましい所などないのにナゼでしょう。
いつも基本に立ち返っての解説ありがとうございます。分かりやすいです。
鈴木先生の名声は黄河の大陸まで聞き及んでいましたか。今回のe感じな講義もお見事でございます
過不足のない解説で、分かりやすいです。
この問題を見た瞬間lim[n→∞](1-1/n)^n が思い浮かんだので瞬殺でしたね。
昨日の問題はチェコ共和国の問題で、今日は中華人民共和国の問題。海外の問題もいいですね。
ちょっと回りくどいですが，対数とって処理しました。 lim [ x → ∞ ] [ ln { x^2/(x^2 - 1) }^x ]= lim [ x → ∞ ] [ ln { x^2/(x^2 - 1) }^(x^2/x)]= lim [ x → ∞ ] [ (1/x) * ln { (1 - 1/x^2)^( - x^2) } ]x^2 = tと置くと、題意からx > 0と考えてよいので= lim [ t → ∞ ] [ (1/√t) * ln { (1 - 1/t)^( - t) } ] = lim [ t → ∞ ] [ (1/√t) * ln { (t - 1)/t)^ ( - t) } ]= lim [ t → ∞ ] [ (1/√t) * ln { t/(t - 1) } ^ t ]t - 1 = sと置くと= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln { (s + 1)/s } ^ (s + 1) } ]= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln { (1 + 1/s ) ^ (s + 1) } ]= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln { (1 + 1/s ) ^ s * (1 + 1/s ) } ]= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln (e * 1)= 0対数をとった極限が0になるということは，真数に当たる元の式の極限は1である。
補足兼ねた訂正対数とるときに，真数条件考えると正確には絶対値をとる必要がありますが上記解答では真数が負になるような状況は生まれていないので，修正はしませんが絶対値をとってると脳内補完していただければと思います。
凄！
@@coscos3060 さんありがとうございます😃まあ，対数とるまでもない問題でしたね😅
@@KT-tb7xm さん 本当に多くの技を持っていて羨ましいかぎりです
@@coscos3060 さんありがとうございます😃実はこのチャンネルで知った技もたくさんあります😄
(時刻8:26~) まあどちらでもいいですが、ここは置き換えずに逆数の極限に帰着させるほうが手早いですね。~~~~~~~~~~~~~~~~~{x/(x+1)}^x = {(x+1)/x}^(-x) = 1/(1 + 1/x)^x → 1/e （x→ +∞）■。
定義からしっかり説明してくれて助かります😎
極限を求めるときに予想を立てるのは大事ですよね〜
アプリに式を突っ込んでグラフ描いてみるとイメージしやすいですね。
メイプル教授の出番ですね。
eの定義の式を覚え直さないとなと思った問題でした。無理矢理式変形してまとめてポン！お前はeだ！って感じの解放が見てて面白かったので実践でガツガツ使っていきたいと思います
出題式の分数部分の分母分子をまずx^2で割り、その分母を和と差の積に因数分解すれば、もう少し簡単になるかも。
Nice hair cut!
備忘録50G"【 ( 1＋○ )^1/○ → e ( ○は同じ関数で 0に近づくもの ) 】〖 別解→ 分子/分母 を x² で 約分して、〗(与式)＝ lim 1／{ 1＋1／(－x²) }^x ＝ lim 1／[ { 1＋1／(－x²) }^(－x²) ]^1/(－x) ＝ 1／eº ＝ 1 ■
参考👏 1＝ 最小の自然数, 正の約数が一つの自然数, 素数でも合成数でもない自然数, 乗法単位元 ☆ 2＝ 最小の素数, 唯一の偶素数 3＝ 最小の奇素数 －1＝ e^πi ☆, 1の平方根の一つ 0＝ 正でも負でもない実数, 約数が無数にある整数, 加法単位元 ☆
6:20〜この辺の議論ってどうなんでしょう。（1/eに収束する関数）×（1に収束する関数）=1/eを簡単に認めると、eの定義式自体が（1に収束する関数）の積だから1！が正しくなってしまう
有限回の積と無限回の積
ここ私もモヤモヤしてました
a(n)→α、b(n)→βのとき、a(n)b(n)→αβを使ってるだけか。
eの定義は、とある、(1に収束する関数)の(無限に発散する関数)乗(定数に収束する関数)の積は、その定数の積全然違う。
おお、このチャンネルもワールドワイドになって来たねぇｗただ、この問題、分母が因数分解できる（分子は言わずもがな）…ので、結果として生成される二つの式がどういう形で発散するのかを比較検討すれば、あとはいつもの『無限はゴミ』で答えは１…でもそんなに問題はないような気もしなくもない。しかし、きちんと『発散するまでの過程』を論証したうえでの回答なら、より印象がいいことは言うまでもない。日本の大学でも出されたら結構手こずる人が多い問題じゃないでしょうか？
ついに、海外の大学の問題が！
f=f(x)として…f/(1+f)を見かけたらf/(1+f)=1-1/(1+f)を試すべしこの問題なら自然対数の底の定義から解けるようになるし積分の問題なら置換しなくても積分できるようになる
カリキュラムの内容がよくわからないですが、中国人民大学は文系大学なので数Ⅲの範囲は難しかったのかな？与式の対数の極限を考え、lim[x→∞]{2xlogx-xlog(x+1)-xlog(x-1)}=lim[x→∞]{-log(1+1/x)ˣ-log(1-1/x)ˣ}=-e+e=0から求めるのが一番簡単に思えました。問題の内容はともかく、「中国人の視聴者」というのが気になった。どこで見てるんでしょうね？
TH-camぐらいみんな見てますね…「無修正のHな動画は日本にはない」と同じ
@@kg2155 なるほど。この動画を見るのは、無修正のHな動画を見るのと同じか😅
中国人ですが普通に見ています。
人口が10倍も居るんだから、この動画を観てる可能性は普通に高い。
私も中国人ですが、普通にみてます日本在住だからですが(笑)中国本土からも、ちょっと遅いけど、まぁ見れると思います
やっぱり極限は面白い。
いつも見させてもらってます。とても分かりやすい説明ですね。、
予想は当たってたけれど、上手く処理できず…定義のことをすっかり抜けてたので復習します。
逆数で考えても良いのかな
無限の力とかいうパワーワード
"限り無い力" で「無限の力」、"鬼を滅ぼす刃" で「鬼滅の刃」後者は「メッキの…」では様になりませんが…。
対数とって、極限が0になるのでe^0=1で瞬殺でした！
ついに国境を越えた
分母の次数>分子の次数にしたいのでその流れに沿って変形し基本公式limt→∞(1+1/t)^tに当てはめると自然と解けました。
ついに鈴木貫太郎先生も世界進出か
一目、まず指数をx²×(1/x)に直して…とか考えたけど、ややこしかった。1に近づく力と、∞になる力の戦い、面白いですね。
素直にx²で分母分子割って因数分解して自然対数の底の定義でやってみました
みんなそうやっちゃいますよね。ふつうは
f(x) × g(x) がそれぞれ e と e^-1 に収束するとしても、収束する速度が違うケースもあると思うので、単純に収束結果の掛け算にならないこともあると思うのですがどうなんでしょ。
「数列の極限の性質」から大丈夫だと思ってました。
@@ストローマン310は59 さん その通りですね。極限は、差f-gが無限大に行くのに比f/gは1に行ったりする、そんな奇妙な世界なんですよ(うわータモリさん出てきちゃう！)。
対数とるとわかりやすいと思います。ln { f(x) * g(x) = ln| f(x) | + ln| g(x) |となるので，f(x)→e，g(x)→1/eならln| f(x) | → 1ln| g(x) | → - 1で，各々を足すと0になるので，真数に当たる元の式の極限は1であると見なして良さそうです。
いつかε-δを駆使した証明を書いてみたいと思います。ってかスマホは便利だけど、数式打つのには本当に向いてないね😅
収束の値が定数(∞でない)なら、収束速度にかかわらず、和差積商(べき乗も？)そのまま計算していいでしょう。1^∞とか、∞/∞とかになると収束速度が大切だけど。知らんけど
ついに中国の高考の問題にも進出したんですか
ロピタル定理使ってしまった...。
正負の数のマイナスと分数のマイナスが同じように扱われるのが不思議だなと思ったのですが、同じように考えていいという決まりなんですよね。なんか感覚的に理解し辛いですが、決まってるものと割り切って使うべきなんですよね。
変形してlim(x→∞)[{1+1/(x²-1)}^(x²-1)]^{x/(x²-1)}lim(x→∞)e^{x/(x²-1)}だから1、っていう考えはいいのかな
極限求める時って、logで考えるのはダメなんですか？
中国人民大学は北京にあるそこそこ良い大学ですが、私は中国語留学で入学しました
台湾人ですが、動画ありがとうございます♪
自然対数は解き慣れてないので、最初から説明してくださるのがわかりやすいです。自分は右側の式を(1+1/(x^2-1))^xとして、 答えは1っぽいけどこっからどーしよーとか思ってました。
{(1+1/(x^2-1))^(x^2-1)}^(x/(x^2-1))と変形できるので、極限を取るとe^0=1と求める事が出来ます！
@@kureakurekure お、そんなふうに更に変形するんですね、なるほどです！ありがとうございます。
分子をx^2x、分母を(x^2-1)^xと書いてから二項展開（最初の方だけ）して、上下をx^2xで割れば1/(1-1/x+...)->1ってなる。
部分分数分解じゃなかったか。x^2をxとxに分けるのは見えなかった。間違うのでeを1に近いものの無限大乗と覚えない方がいいと思う
これ何度もみたくなる！
{1+1/(x ^2-1)}^{(x^2-1)*(x/(x ^2-1))}→e^0=1じゃだめなんですか？
x^2= t+1とおいてこれを式に代入してやったら解けたような気がします。lim (1 + 1/t)^( root(t+1))= lim (1 + 1/t)^t * root(t+1) / t= lim e ^ root(t+1) / tここで lim root(t+1) / t = 0 なのでe^0 = 1で解けた、と思っています。
n-1=t と置く がポイントです😃
(1+1/n)^n に注目したんなら、x^2/(x^2-1) = 1 + 1/(x^2-1) から y = x^2-1 とおいて(x^2/(x^2-1))^x = ( (1+1/y)^y )^(x/y) → e^0 = 1 とかどお？
良問ですね。とってもＥ話だったので、高評価入れます！
鈴木貫太郎という名の人間は皆優秀だな。
うそつけ
@@いわごん-y5r 嘘も何も史実ですが。
@@kk-pj5to そっちの貫太郎は日本を救った英雄だけど、youtubeの数学おじさんの貫太郎は経歴的には全く優秀じゃないやろ
@@いわごん-y5r いや主語がないからあなたが何方を指してるか分からないだろ。キレ気味で言われても困る。
@@いわごん-y5r 夜中に布団被って泣いてそう
海外の受験問題とかも取り上げてほしいな
eを使わない解法。x^2-1=n とおくと (x^2/(x^2-1))^(x^2)=((n+1)/n)^(n+1)=(1+1/n)^n(1+1/n)。(1+1/n)^n = 1 + (n/1!)/n + {n(n-1)/2!}/n^2 + ‥ + {n(n-1)‥(n-(n-1))/n!}/n^n= 1 + 1/1! + (1-1/n)/2! + ‥ + (1-1/n)‥(1-(n-1)/n)/n! < 1 + 1/1! + 1/2! + ‥ + 1/n! < 3。x≧√2 のとき、(x^2/(x^2-1))^(x^2) ≦ 3(1+1/1) = 6 だから (x^2/(x^2-1))^x ≦ 6^(1/x)。x^2/(x^2-1) > 1 より (x^2/(x^2-1))^x > 1 。 ∴ 1 ≦ lim[x→0](x^2/(x^2-1))^x ≦ 6^0 = 1。なお、1 + 1/1! + 1/2! + ‥ + 1/n! < 3 である理由は、1/2! + ‥ + 1/n! < (1/2)^1 + ‥ + (1/2)^(n-1) = (1/2-(1/2)^n)/(1-1/2) < (1/2)/(1-1/2)) = 1だからです。P.S. 修正前、lim[x→∞](x^2/(x^2-1))^(x^2)≦3 なら lim[x→∞]{(x^2/(x^2-1))^(x^2)^(1/x)}≦3^lim[x→∞](1/x)としてたのですが、これは自明ではないので、これを使わない形に修正しました。
おそらく受験生レベルだと分母分子をひっくり返した{(ｘ^2－１）／ｘ^2｝^xの極限が１になる方が計算が簡単かな？という気はする。あと受験生にはｘが十分大きいときｘ/(ｘ+1)≒ (ｘ-1)/ｘだという感覚を身に付けておいて欲しいな。
物理でよく使う2次の微小量を無視した1次近似！
積の極限 と 極限の積 って一致するんですか？
直感で1って思ったら合ってたけど、答案としてはくそバツや
そうだよ
そうだよ(ドリカムの歌)そうだよ(野獣先輩)その他の用法はそうだよ(曖昧さ回避)を参照。
ﾗﾏﾇｼﾞｬﾝなら、｢明らかに1｣(終) てしそう。
@@so.6483 教授「うーんラマヌジャンなら合格！www」
ラマヌジャン「女神が正しいって言ってんだから合ってるに決まってんだろjk」
f(x)=((x^2)/((x^2)-1))^xで、lim_{x→∞}exp(log(f(x)))にして、無理やりeを定義から作れば結構楽に出るゾ〜
対数とって2xln(x)-xln(x+1)-xln(x-1)=-xln(1+1/x)-xln(1-1/x)極限取って-ln(e)+ln(e)=0最後にexp(0)=1。たしかにめっちゃ楽。
ぱっと見 e 絡みの極限だったので貫太郎先生と同じように因数分解してそれぞれ極限を求めました。自分は分子分母をxで割りましたが、（1−1/x)^(-x) の極限については結論ありきなところがあったので貫太郎先生のように明示すべきと反省しております。lim a･b=(lim a)(lim b)については結果だけ教えられて証明は省かれてますから、貫太郎先生の仰る「なぜそうなるか、理由を理解しろ」という精神からはちょっとモヤモヤするところですね。これの証明を教わったとき ε−N論法の威力を思い知らされたことを今でも覚えています。本日も勉強になりました。ありがとうございました。
e=2.71828…ですので2.71より2.72のほうが良いと思います（個人的に2.72で使っているので違和感がある）
元の式を変形して（1+1/1－x^2)^x終局的にはe^｛1/(1/x-x)｝となりe^0=1解答みたら、あってはいるのだけれど？よかったら誰かコメント下さい。
X^2で約分して1^xって持っていったらバツですかね？
指数が、x^2、x^3のときはどうなりますか？それぞれ解は違います。
もっと簡単な方法があります！以下のように：x^2/(x^2-1) = 1 + 1/(x^2-1);x = (x^2-1) * x/(x^2-1);ですから：lim(x^2/(x^2-1)) = lim(1 + 1/(x^2-1))^ [(x^2-1) * x/(x^2-1)] = e ^ lim[x/(x^2-1)] = e ^ 0 =1
x^2-1を置換してもいけそうですね。
ロピタルの定理でゴリ押しました！
1は素数ではないよと教えられたもののじゃあなんなんですか？って聞きそびれてしまったんですが乗法単位元という答えが正解なんでしょうか？
素数の定義は「1とその数以外に約数を持たない数」だから、素数の約数は2つです。対して、1は約数が1つだけなので素数でないのです。他にも、素因数分解するときに1を素数に含めてしまうと、30=2×3×5 なのが30=2×3×5×1×1×1×1とも表せてしまい、一意性がなくなってしまいます。これらの理由で1は素数でないと定義されるのです。
だから「乗法単位元だから」でもいいかと思いますが、さらに何故乗法単位元だと素数でないのかも答えに含めた方が良いかもですね。
でも１って素数の方が似合ってるよね
"素数ではない" → "乗法単位元" 、議論がワープしているような気が、…。そうか、"素因数分解の一意性" が "ワームホール" なのか❗（"数学の素人" の独り言です。お気になさらずに…。）
論理的に素数の定義に反するからというより、素因数分解の一意性を担保するために、1を素数から外しています。いわば、2^0=1とか0!=1と理由は同じで、整合性のある理論を構築するのに邪魔なんで、1を素数から外したのです。追記:この書き方からも分かるように、数学史的には、1が素数と考えられていた時代もあるようです。
x^2/(x^2-1)=1+1/(x^2-1)として、あとは二項定理使って展開すれば証明出来そうな気もするけどどうなんだろう？
僕もおんなじこと思った
それ使うと、xが+で大きいときにほとんど1+1/xと一致(正確には比の極限が1に収束)するの言えそうな気がする。今のところ、感覚だけど
てっきり、二項定理って指数部分が整数のときだけ成り立つものだと思ってました。
@@ストローマン310は59 さん 大学の解析学で、二項係数を一般化したうえで、二項定理を一般化します。
分母二項定理、分母分子を x^2x で割ってオーダー
今日はゴミじゃなくて鼻くそだった
一応ヨシッ❗(x^2/(x^2－1))^xをx^2－1＝tと置くと、x＝√(t+1)（∵x>0）より、与式は、lim〔t→∞〕((1+1/t)^t)^(√(t+1)/t)＝e^0＝1では、ダメなんだろうか？
おれもそうやったeの1/(x-1/x)乗で1になった
中身ひっくり返してeの定義通りにやっても出来る？
答えは一瞬でわかるんですけど証明が面白いですね
おはようございます。数学の式表現は、世界共通なのでしょうか。式変形の底深さを、堪能しました。貫太郎先生ありがとうございました。
"１＋２＝３" を、「壱足す弐は参」と私たちは読みます（わざと"大字" にしてみました。）が、これは所謂直訳ですよねぇ。本来の日本語では、「１に２を足すと３になる。」ですから、これを記号で書くと、「１（に）２（を）＋〈足す〉（と）３＝〈になる〉」つまり「１ 2 ＋3 ＝」という順になるはずですね。確か、ポーランド式か逆ポーランド式とか、私たちの本来の読み方を反映した表記法があったと思います。（蛇足ですが、）私が予備校で英語を習った先生は、「f(x) なんて書くのは、英語のにおいがプンプンしてケシカラン。漢字圏では、"関（変）" とでも書くべきだ！」とおっしゃっていましたよ。
@@HachiKaduki0501 様 貴重なメッセージに感謝します。とても興味深く拝読し、勉強になりました。 ありがとう😆💕✨ございました。
@@HachiKaduki0501 実は「関数」も正しい字ではなく元は「函数」("函"は"箱"の意味)であったので、日本語で正確に書くならば「函(変)」になりますね(笑)
式ではなく数にはなりますが、小数を書くときに 1.234 と書く国と、1,234 と書く国がある、というような違いならあるですね。
海外の動画を見ると、少し違う書き方をしているのがありますね。よく見るのはln(自然対数)とlog(常用対数)（日本ではlnはあまり見ない）。あと定積分の計算で[ ]を使わない書き方（右側に｜を書いてその上下に積分区間を書く）を見たことがあります。
おはようございます。e という数は、確か複利計算の極限の計算で登場したんですよねぇ。年利100％で、１年後に２倍。付利の期間を短くし、金利をそれに比例させると極限は e 倍になるのですよね。将棋の世界で、「終盤は村山（聖名誉九段）に聞け。」なんて言われたそうですが、私の中では、「e のことはもっちゃんに聞け。 」です（笑）👉 th-cam.com/video/z43zenOGmxs/w-d-xo.html
確かに統計学(明らかに社会科学が生んだ数学である)の世界も、ネイピア数だらけですよね…。
ローレンツ展開してみたいな
おはようございます☀︎*.｡
(与式)=lim[x->∞]((x^2-1+1)/(x^2-1))^x=lim[x->∞](1+1/(x^2-1))^x=lim[x->∞]{(1+1/(x^2-1))^(x^2-1)}^(x/(x^2-1))=lim[x->∞]e^(x/(x^2-1))=lim[x->∞]e^((1/x)/(1-1/x^2))=e^0=1
マイナス無限でもイーの？
サムネから解法を考えてから動画を見ました。なるほどと納得してしまう鮮やかな解法ですね。自分は(x^2/(x^2-1))^ε(x^2-1)→e^εから上界を1としてはさみうちの原理を考えましたが、厳密さは定かではありません。
lim(x→∞)(x^2/(x^2-1))^xについて、(x^2/(x^2-1))^x=(1+1/(x^2-1))^xよりこれがx≧2のとき 1+2x/(x^2-1)＞(1+1/(x^2-1))^x＞1+x/(x^2-1)なのでlim(x→∞)(1+2x/(x^2-1))=1lim(x→∞)(1+x/(x^2-1))=1よりlim(x→∞)(x^2/(x^2-1))^x=1と言えるみたいな感じ？
いや視聴者層、広すぎwwww
数学は国境がないと深く感じました。中国人より。
(x^2/(x^2-1))^x＝(1+1/(x^2-1))^x＝{(1+1/(x^2-1)^(x^2-1)｝(x/(x^2-1))。x→∞ならば、{ }内はeになり、｛ ｝にかかる指数は1/(x-(1/x))に等しく、0になる。したがって、e^0＝1。・・・・・これじゃ駄目ですか？
x^2/(x^2-1)=1/(1-1/x^2)と分母分子をx^2で割ってlim[x→∞]{1/(1-1/x^2)}^x=1^∞=1という解法では不十分ですかね？
これってx²で割って1の部分がゼロに収束するから1分の1のx乗になって答えが1になるっていうのはだめなんですか？誰か教えてください。
lim[n→∞](1+1/n)ⁿ=e (eの定義)からもわかる通り、1の無限乗の形は1に収束するとは限りません。
@@channel_Lili なるほど…まだeを習ってなかったのでありがとうございます！
中国人民大学って初めて聞いた。清華大学とか北京大学は知ってるけど。どんくらいのレベル？
x²/(x²-1)=x/(x-1) *x/(x+1)=(1-1/x)^(-1)(1+1/x)^(-1)とやってeに行く極限を使えばいい
私文のワイ死亡（確かまず中国は文系3科目受験は絶対に有り得ないんやった、正解やぞ……それで）
eの定義式って導きだすのなんか覚えにくい
もう、コメントが百を越えている。私の出る幕では、ない。eとは何かの動画を2本、何べんも見てから出直します。私も先生のヘア・カットに見とれていました。
分子のx^2を x^2-1+1 に変形してx^2-1/(x^2-1)と1/(x^2-1)に分けるとlim［｛1+1/(x^2-1)｝^x］指数を(x^2-1)・x/(x^2-1)に変形してeの定義？を適用するとlim｛e^x/(x^2-1)｝指数にある式の極限は0なのでe^0=1
答えはあってはいましたが、途中がぐたぐたで明確な方針が見いだせないままでした。センスがないと実感しました。
最後の分母を t、sと置き換えるスキル 鮮やかです。
x^2/(x^2-1)を分解して 1 x xー×(ーーー+ーー）＝1+{1/2(x-1)}ー{1/2(x+1)}２ x+1 x-1として計算しました。1の後ろは0に収束して1は何乗しても1なので答えは1と出ました。
私もそうしました。eなんかまったく出てきませんがすっきりした解ですよね。
「1の後ろは0に収束して1は何乗しても1なので」はダメですその理屈でいくと(1+1/x)^xも極限を取ると1になってしまいますが、実際はeですxを無限大に飛ばすという極限の操作は全部同時に行わないといけないです先に1/xを0にしてから、そのあと1を∞乗する みたいなことは出来ないということです
ロピタルの定理は覚えていた。
ぱっと見で分母と分子の次数が同じだから1^∞=1
指数がx^2やx^3だとどうなるか考えてみて下さい。
{x^2/(x^2-1)}^x={(x^2-1)/x^2}^(-x)={1+(-1/x^2)}^(-x)=[{1+(-1/x^2)}^(-x^2)]^(1/x)→e^0=1 (x→∞)ではだめですかね
数学は世界の共通言語だね
1はなん乗しても1だから1かな？と思ってたら予想通りでしたな…
1^∞の形になっていても1にならないことはありますよ。
@@drgrip4544 完全な定数であれば1なのでは？x^y (x→1,y→∞)とかなら別ですが…
江戸川こなん では(1+h)^(1/h)のh→0の極限は1ですか？
@@drgrip4544 極限と定数だと話がかわりますよ。1/x=∞（x→0）1/0は定義できないみたいにh→0はhが限りなく0に近づくだけで0になったわけではないですから…
江戸川こなん x^/(x^2-1)も1になるわけではありませんが…例えば、lim(x→∞)(x/(x-1))^xは1になりません。
二項定理を使うと一瞬で解けました
これで赤点取りました。
eの本質→th-cam.com/video/1M7FF1nd25I/w-d-xo.html
ブルーバックス「大学入試数学 不朽の名問100 大人のため
の“数学腕試し”」 amzn.to/2Q7bUvU
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識
でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。
www.ttrinity.jp/p/248613/
数2履修の人にもわかりやすいように定義からしてくれるの本当にありがたい
ちょうど科挙を受験するところでしたので助かりました。
早く成仏してくれ
科挙に数学あったら歴代中華帝国ももっと良い国になってたかもしれないな
科挙は難しいぞぉ
@@rin-wh4ne 真理
@自由律俳句とかいう無法地帯
そうそう。四書五経に加えて解説書も暗記ね
四書五経をメインの科目にして文化人を官僚に登用すること自体は反対しないんだけど、
一定の自然科学や数学の知識を科目に組み込むことは清朝の時代ぐらいにまでなれば出来たのでは無いかな？と思う
それが、出来てれば西洋に対する理解も少しは違ったのかな？と思う
ちょうど中国人民大学を受験する
夢を見ましたので助かります。
私は、東京大学の合格者発表の会場で胴上げされている夢を、40年くらい前によく見ましたよ。
「私が受験生だった頃に貫太郎チャンネルがあったなら、夢ではなかったろうに！」って、英作文の問題ではなく、"前提が事実でなければ、結論として何をいっても許される" っていう "アレ" ですね。
仮定が偽の命題は恒真ですね。
科挙っぽい感じだったんだろうなぁ
こんな夢を見た。
私はよく警察に捕まる夢を見ます。
やましい所などないのにナゼでしょう。
いつも基本に立ち返っての解説ありがとうございます。分かりやすいです。
鈴木先生の名声は黄河の大陸まで聞き及んでいましたか。
今回のe感じな講義もお見事でございます
過不足のない解説で、分かりやすいです。
この問題を見た瞬間
lim[n→∞](1-1/n)^n
が思い浮かんだので瞬殺でしたね。
昨日の問題はチェコ共和国の問題で、今日は中華人民共和国の問題。海外の問題もいいですね。
ちょっと回りくどいですが，対数とって処理しました。
lim [ x → ∞ ] [ ln { x^2/(x^2 - 1) }^x ]
= lim [ x → ∞ ] [ ln { x^2/(x^2 - 1) }^(x^2/x)]
= lim [ x → ∞ ] [ (1/x) * ln { (1 - 1/x^2)^( - x^2) } ]
x^2 = tと置くと、題意からx > 0と考えてよいので
= lim [ t → ∞ ] [ (1/√t) * ln { (1 - 1/t)^( - t) } ]
= lim [ t → ∞ ] [ (1/√t) * ln { (t - 1)/t)^ ( - t) } ]
= lim [ t → ∞ ] [ (1/√t) * ln { t/(t - 1) } ^ t ]
t - 1 = sと置くと
= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln { (s + 1)/s } ^ (s + 1) } ]
= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln { (1 + 1/s ) ^ (s + 1) } ]
= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln { (1 + 1/s ) ^ s * (1 + 1/s ) } ]
= lim [ s → ∞ ] [ (1/√(s + 1)) * ln (e * 1)
= 0
対数をとった極限が0になるということは，真数に当たる元の式の極限は1である。
補足兼ねた訂正
対数とるときに，真数条件考えると正確には絶対値をとる必要がありますが
上記解答では真数が負になるような状況は生まれていないので，修正はしませんが
絶対値をとってると脳内補完していただければと思います。
凄！
@@coscos3060 さん
ありがとうございます😃
まあ，対数とるまでもない問題でしたね😅
@@KT-tb7xm さん 本当に多くの技を持っていて羨ましいかぎりです
@@coscos3060 さん
ありがとうございます😃
実はこのチャンネルで知った技もたくさんあります😄
(時刻8:26~) まあどちらでもいいですが、ここは置き換えずに逆数の極限に帰着させるほうが手早いですね。
~~~~~~~~~~~~~~~~~
{x/(x+1)}^x = {(x+1)/x}^(-x) = 1/(1 + 1/x)^x → 1/e （x→ +∞）■。
定義からしっかり説明してくれて助かります😎
極限を求めるときに予想を立てるのは大事ですよね〜
アプリに式を突っ込んでグラフ描いてみるとイメージしやすいですね。
メイプル教授の出番ですね。
eの定義の式を覚え直さないとなと思った問題でした。
無理矢理式変形してまとめてポン！お前はeだ！って感じの解放が見てて面白かったので実践でガツガツ使っていきたいと思います
出題式の分数部分の分母分子をまずx^2で割り、その分母を和と差の積に因数分解すれば、もう少し簡単になるかも。
Nice hair cut!
備忘録50G"
【 ( 1＋○ )^1/○ → e ( ○は同じ関数で 0に近づくもの ) 】
〖 別解→ 分子/分母 を x² で 約分して、〗
(与式)＝ lim 1／{ 1＋1／(－x²) }^x
＝ lim 1／[ { 1＋1／(－x²) }^(－x²) ]^1/(－x)
＝ 1／eº ＝ 1 ■
参考👏
1＝ 最小の自然数,
正の約数が一つの自然数,
素数でも合成数でもない自然数,
乗法単位元 ☆
2＝ 最小の素数,
唯一の偶素数
3＝ 最小の奇素数
－1＝ e^πi ☆,
1の平方根の一つ
0＝ 正でも負でもない実数,
約数が無数にある整数,
加法単位元 ☆
6:20〜
この辺の議論ってどうなんでしょう。
（1/eに収束する関数）×（1に収束する関数）=1/eを簡単に認めると、
eの定義式自体が（1に収束する関数）の積だから1！が正しくなってしまう
有限回の積と無限回の積
ここ私もモヤモヤしてました
a(n)→α、b(n)→βのとき、
a(n)b(n)→αβを使ってるだけか。
eの定義は、
とある、(1に収束する関数)の(無限に発散する関数)乗
(定数に収束する関数)の積は、その定数の積
全然違う。
おお、このチャンネルもワールドワイドになって来たねぇｗ
ただ、この問題、分母が因数分解できる（分子は言わずもがな）…ので、結果として生成される二つの式がどういう形で発散するのかを比較検討すれば、あとはいつもの『無限はゴミ』で答えは１…でもそんなに問題はないような気もしなくもない。
しかし、きちんと『発散するまでの過程』を論証したうえでの回答なら、より印象がいいことは言うまでもない。
日本の大学でも出されたら結構手こずる人が多い問題じゃないでしょうか？
ついに、海外の大学の問題が！
f=f(x)として…
f/(1+f)
を見かけたら
f/(1+f)=1-1/(1+f)
を試すべし
この問題なら自然対数の底の定義から解けるようになるし積分の問題なら置換しなくても積分できるようになる
カリキュラムの内容がよくわからないですが、中国人民大学は文系大学なので数Ⅲの範囲は難しかったのかな？
与式の対数の極限を考え、
lim[x→∞]{2xlogx-xlog(x+1)-xlog(x-1)}
=lim[x→∞]{-log(1+1/x)ˣ-log(1-1/x)ˣ}
=-e+e=0
から求めるのが一番簡単に思えました。
問題の内容はともかく、「中国人の視聴者」というのが気になった。
どこで見てるんでしょうね？
TH-camぐらいみんな見てますね…
「無修正のHな動画は日本にはない」と同じ
@@kg2155 なるほど。
この動画を見るのは、無修正のHな動画を見るのと同じか😅
中国人ですが普通に見ています。
人口が10倍も居るんだから、この動画を観てる可能性は普通に高い。
私も中国人ですが、普通にみてます
日本在住だからですが(笑)
中国本土からも、ちょっと遅いけど、まぁ見れると思います
やっぱり極限は面白い。
いつも見させてもらってます。とても分かりやすい説明ですね。、
予想は当たってたけれど、上手く処理できず…
定義のことをすっかり抜けてたので復習します。
逆数で考えても良いのかな
無限の力とかいうパワーワード
"限り無い力" で「無限の力」、"鬼を滅ぼす刃" で「鬼滅の刃」
後者は「メッキの…」では様になりませんが…。
対数とって、極限が0になるのでe^0=1で瞬殺でした！
ついに国境を越えた
分母の次数>分子の次数にしたいのでその流れに沿って変形し基本公式limt→∞(1+1/t)^tに当てはめると自然と解けました。
ついに鈴木貫太郎先生も世界進出か
一目、まず指数をx²×(1/x)に直して…とか考えたけど、ややこしかった。1に近づく力と、∞になる力の戦い、面白いですね。
素直にx²で分母分子割って因数分解して自然対数の底の定義でやってみました
みんなそうやっちゃいますよね。ふつうは
f(x) × g(x) がそれぞれ e と e^-1 に収束するとしても、収束する速度が違うケースもあると思うので、
単純に収束結果の掛け算にならないこともあると思うのですがどうなんでしょ。
「数列の極限の性質」から大丈夫だと思ってました。
@@ストローマン310は59 さん その通りですね。
極限は、差f-gが無限大に行くのに比f/gは1に行ったりする、そんな奇妙な世界なんですよ(うわータモリさん出てきちゃう！)。
対数とるとわかりやすいと思います。
ln { f(x) * g(x) = ln| f(x) | + ln| g(x) |
となるので，f(x)→e，g(x)→1/eなら
ln| f(x) | → 1
ln| g(x) | → - 1
で，各々を足すと0になるので，真数に当たる元の式の極限は1であると見なして良さそうです。
いつかε-δを駆使した証明を書いてみたいと思います。
ってかスマホは便利だけど、数式打つのには本当に向いてないね😅
収束の値が定数(∞でない)なら、収束速度にかかわらず、和差積商(べき乗も？)そのまま計算していいでしょう。
1^∞とか、∞/∞とかになると収束速度が大切だけど。
知らんけど
ついに中国の高考の問題にも進出したんですか
ロピタル定理使ってしまった...。
正負の数のマイナスと分数のマイナスが同じように扱われるのが不思議だなと思ったのですが、
同じように考えていいという決まりなんですよね。
なんか感覚的に理解し辛いですが、決まってるものと割り切って使うべきなんですよね。
変形して
lim(x→∞)[{1+1/(x²-1)}^(x²-1)]^{x/(x²-1)}
lim(x→∞)e^{x/(x²-1)}だから1、っていう考えはいいのかな
極限求める時って、logで考えるのはダメなんですか？
中国人民大学は北京にあるそこそこ良い大学ですが、私は中国語留学で入学しました
台湾人ですが、動画ありがとうございます♪
自然対数は解き慣れてないので、最初から説明してくださるのがわかりやすいです。
自分は右側の式を(1+1/(x^2-1))^xとして、 答えは1っぽいけどこっからどーしよーとか思ってました。
{(1+1/(x^2-1))^(x^2-1)}^(x/(x^2-1))
と変形できるので、極限を取ると
e^0=1
と求める事が出来ます！
@@kureakurekure お、そんなふうに更に変形するんですね、なるほどです！ありがとうございます。
分子をx^2x、分母を(x^2-1)^xと書いてから二項展開（最初の方だけ）して、上下をx^2xで割れば1/(1-1/x+...)->1ってなる。
部分分数分解じゃなかったか。x^2をxとxに分けるのは見えなかった。
間違うのでeを1に近いものの無限大乗と覚えない方がいいと思う
これ何度もみたくなる！
{1+1/(x ^2-1)}^{(x^2-1)*(x/(x ^2-1))}
→e^0=1
じゃだめなんですか？
x^2= t+1とおいてこれを式に代入してやったら解けたような気がします。
lim (1 + 1/t)^( root(t+1))
= lim (1 + 1/t)^t * root(t+1) / t
= lim e ^ root(t+1) / t
ここで lim root(t+1) / t = 0 なので
e^0 = 1
で解けた、と思っています。
n-1=t と置く がポイントです😃
(1+1/n)^n に注目したんなら、x^2/(x^2-1) = 1 + 1/(x^2-1) から y = x^2-1 とおいて
(x^2/(x^2-1))^x = ( (1+1/y)^y )^(x/y) → e^0 = 1 とかどお？
良問ですね。
とってもＥ話だったので、高評価入れます！
鈴木貫太郎という名の人間は皆優秀だな。
うそつけ
@@いわごん-y5r 嘘も何も史実ですが。
@@kk-pj5to そっちの貫太郎は日本を救った英雄だけど、youtubeの数学おじさんの貫太郎は経歴的には全く優秀じゃないやろ
@@いわごん-y5r いや主語がないからあなたが何方を指してるか分からないだろ。
キレ気味で言われても困る。
@@いわごん-y5r 夜中に布団被って泣いてそう
海外の受験問題とかも取り上げてほしいな
eを使わない解法。x^2-1=n とおくと (x^2/(x^2-1))^(x^2)=((n+1)/n)^(n+1)=(1+1/n)^n(1+1/n)。
(1+1/n)^n = 1 + (n/1!)/n + {n(n-1)/2!}/n^2 + ‥ + {n(n-1)‥(n-(n-1))/n!}/n^n
= 1 + 1/1! + (1-1/n)/2! + ‥ + (1-1/n)‥(1-(n-1)/n)/n! < 1 + 1/1! + 1/2! + ‥ + 1/n! < 3。
x≧√2 のとき、(x^2/(x^2-1))^(x^2) ≦ 3(1+1/1) = 6 だから (x^2/(x^2-1))^x ≦ 6^(1/x)。
x^2/(x^2-1) > 1 より (x^2/(x^2-1))^x > 1 。 ∴ 1 ≦ lim[x→0](x^2/(x^2-1))^x ≦ 6^0 = 1。
なお、1 + 1/1! + 1/2! + ‥ + 1/n! < 3 である理由は、
1/2! + ‥ + 1/n! < (1/2)^1 + ‥ + (1/2)^(n-1) = (1/2-(1/2)^n)/(1-1/2) < (1/2)/(1-1/2)) = 1
だからです。
P.S. 修正前、
lim[x→∞](x^2/(x^2-1))^(x^2)≦3 なら lim[x→∞]{(x^2/(x^2-1))^(x^2)^(1/x)}≦3^lim[x→∞](1/x)
としてたのですが、これは自明ではないので、これを使わない形に修正しました。
おそらく受験生レベルだと分母分子をひっくり返した{(ｘ^2－１）／ｘ^2｝^xの極限が１になる方が
計算が簡単かな？という気はする。
あと受験生にはｘが十分大きいときｘ/(ｘ+1)≒ (ｘ-1)/ｘだという感覚を身に付けておいて欲しいな。
物理でよく使う2次の微小量を無視した1次近似！
積の極限 と 極限の積 って一致するんですか？
直感で1って思ったら合ってたけど、答案としてはくそバツや
そうだよ
そうだよ(ドリカムの歌)
そうだよ(野獣先輩)
その他の用法はそうだよ(曖昧さ回避)を参照。
ﾗﾏﾇｼﾞｬﾝなら、｢明らかに1｣(終) てしそう。
@@so.6483 教授「うーんラマヌジャンなら合格！www」
ラマヌジャン「女神が正しいって言ってんだから合ってるに決まってんだろjk」
f(x)=((x^2)/((x^2)-1))^xで、
lim_{x→∞}exp(log(f(x)))にして、
無理やりeを定義から作れば結構楽に出るゾ〜
対数とって
2xln(x)-xln(x+1)-xln(x-1)
=-xln(1+1/x)-xln(1-1/x)
極限取って-ln(e)+ln(e)=0
最後にexp(0)=1。
たしかにめっちゃ楽。
ぱっと見 e 絡みの極限だったので貫太郎先生と同じように因数分解してそれぞれ極限を求めました。
自分は分子分母をxで割りましたが、（1−1/x)^(-x) の極限については結論ありきなところがあったので貫太郎先生のように明示すべきと反省しております。
lim a･b=(lim a)(lim b)については結果だけ教えられて証明は省かれてますから、貫太郎先生の仰る「なぜそうなるか、理由を理解しろ」という精神からはちょっとモヤモヤするところですね。
これの証明を教わったとき ε−N論法の威力を思い知らされたことを今でも覚えています。
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
e=2.71828…ですので
2.71より2.72のほうが良いと思います（個人的に2.72で使っているので違和感がある）
元の式を変形して
（1+1/1－x^2)^x終局的には
e^｛1/(1/x-x)｝となり
e^0=1
解答みたら、あってはいるのだけれど？
よかったら誰かコメント下さい。
X^2で約分して1^xって持っていったらバツですかね？
指数が、x^2、x^3のときはどうなりますか？それぞれ解は違います。
もっと簡単な方法があります！以下のように：
x^2/(x^2-1) = 1 + 1/(x^2-1);
x = (x^2-1) * x/(x^2-1);
ですから：lim(x^2/(x^2-1)) = lim(1 + 1/(x^2-1))^ [(x^2-1) * x/(x^2-1)] = e ^ lim[x/(x^2-1)] = e ^ 0 =1
x^2-1を置換してもいけそうですね。
ロピタルの定理でゴリ押しました！
1は素数ではないよと教えられたものの
じゃあなんなんですか？って聞きそびれてしまったんですが
乗法単位元という答えが正解なんでしょうか？
素数の定義は「1とその数以外に約数を持たない数」
だから、素数の約数は2つです。
対して、1は約数が1つだけなので素数でないのです。
他にも、素因数分解するときに1を素数に含めてしまうと、
30=2×3×5 なのが
30=2×3×5×1×1×1×1
とも表せてしまい、
一意性がなくなってしまいます。
これらの理由で1は素数でないと定義されるのです。
だから「乗法単位元だから」でもいいかと思いますが、
さらに何故乗法単位元だと素数でないのかも答えに含めた方が良いかもですね。
でも１って素数の方が似合ってるよね
"素数ではない" → "乗法単位元" 、議論がワープしているような気が、…。そうか、"素因数分解の一意性" が "ワームホール" なのか❗
（"数学の素人" の独り言です。お気になさらずに…。）
論理的に素数の定義に反するからというより、素因数分解の一意性を担保するために、1を素数から外しています。
いわば、2^0=1とか0!=1と理由は同じで、整合性のある理論を構築するのに邪魔なんで、1を素数から外したのです。
追記:
この書き方からも分かるように、数学史的には、1が素数と考えられていた時代もあるようです。
x^2/(x^2-1)=1+1/(x^2-1)として、あとは二項定理使って展開すれば証明出来そうな気もするけどどうなんだろう？
僕もおんなじこと思った
それ使うと、xが+で大きいときに
ほとんど1+1/xと一致(正確には比の極限が1に収束)するの言えそうな気がする。
今のところ、感覚だけど
てっきり、二項定理って指数部分が整数のときだけ成り立つものだと思ってました。
@@ストローマン310は59 さん 大学の解析学で、二項係数を一般化したうえで、二項定理を一般化します。
分母二項定理、分母分子を x^2x で割ってオーダー
今日はゴミじゃなくて鼻くそだった
一応ヨシッ❗
(x^2/(x^2－1))^xをx^2－1＝tと置くと、x＝√(t+1)（∵x>0）より、
与式は、lim〔t→∞〕((1+1/t)^t)^(√(t+1)/t)＝e^0＝1
では、ダメなんだろうか？
おれもそうやったeの1/(x-1/x)乗で1になった
中身ひっくり返してeの定義通りにやっても出来る？
答えは一瞬でわかるんですけど証明が面白いですね
おはようございます。数学の式表現は、世界共通なのでしょうか。式変形の底深さを、堪能しました。貫太郎先生ありがとうございました。
"１＋２＝３" を、「壱足す弐は参」と私たちは読みます（わざと"大字" にしてみました。）が、これは所謂直訳ですよねぇ。
本来の日本語では、「１に２を足すと３になる。」ですから、これを記号で書くと、
「１（に）２（を）＋〈足す〉（と）３＝〈になる〉」つまり「１ 2 ＋3 ＝」という順になるはずですね。
確か、ポーランド式か逆ポーランド式とか、私たちの本来の読み方を反映した表記法があったと思います。
（蛇足ですが、）私が予備校で英語を習った先生は、
「f(x) なんて書くのは、英語のにおいがプンプンしてケシカラン。漢字圏では、"関（変）" とでも書くべきだ！」とおっしゃっていましたよ。
@@HachiKaduki0501 様 貴重なメッセージに感謝します。とても興味深く拝読し、勉強になりました。
ありがとう😆💕✨ございました。
@@HachiKaduki0501 実は「関数」も正しい字ではなく元は「函数」("函"は"箱"の意味)であったので、日本語で正確に書くならば「函(変)」になりますね(笑)
式ではなく数にはなりますが、小数を書くときに 1.234 と書く国と、1,234 と書く国がある、というような違いならあるですね。
海外の動画を見ると、少し違う書き方をしているのがありますね。よく見るのはln(自然対数)とlog(常用対数)（日本ではlnはあまり見ない）。あと定積分の計算で[ ]を使わない書き方（右側に｜を書いてその上下に積分区間を書く）を見たことがあります。
おはようございます。
e という数は、確か複利計算の極限の計算で登場したんですよねぇ。
年利100％で、１年後に２倍。
付利の期間を短くし、金利をそれに比例させると極限は e 倍になるのですよね。
将棋の世界で、「終盤は村山（聖名誉九段）に聞け。」なんて言われたそうですが、私の中では、
「e のことはもっちゃんに聞け。 」です（笑）👉 th-cam.com/video/z43zenOGmxs/w-d-xo.html
確かに統計学(明らかに社会科学が生んだ数学である)の世界も、ネイピア数だらけですよね…。
ローレンツ展開してみたいな
おはようございます☀︎*.｡
(与式)
=lim[x->∞]((x^2-1+1)/(x^2-1))^x
=lim[x->∞](1+1/(x^2-1))^x
=lim[x->∞]{(1+1/(x^2-1))^(x^2-1)}^(x/(x^2-1))
=lim[x->∞]e^(x/(x^2-1))
=lim[x->∞]e^((1/x)/(1-1/x^2))
=e^0
=1
マイナス無限でもイーの？
サムネから解法を考えてから動画を見ました。
なるほどと納得してしまう鮮やかな解法ですね。
自分は(x^2/(x^2-1))^ε(x^2-1)→e^εから上界を1としてはさみうちの原理を考えましたが、厳密さは定かではありません。
lim(x→∞)(x^2/(x^2-1))^xについて、
(x^2/(x^2-1))^x=(1+1/(x^2-1))^xより
これがx≧2のとき 1+2x/(x^2-1)＞(1+1/(x^2-1))^x＞1+x/(x^2-1)なので
lim(x→∞)(1+2x/(x^2-1))=1
lim(x→∞)(1+x/(x^2-1))=1
より
lim(x→∞)(x^2/(x^2-1))^x=1と言える
みたいな感じ？
いや視聴者層、広すぎwwww
数学は国境がないと深く感じました。中国人より。
(x^2/(x^2-1))^x＝(1+1/(x^2-1))^x＝{(1+1/(x^2-1)^(x^2-1)｝(x/(x^2-1))。
x→∞ならば、{ }内はeになり、｛ ｝にかかる指数は1/(x-(1/x))に等しく、0になる。したがって、e^0＝1。・・・・・これじゃ駄目ですか？
x^2/(x^2-1)
=1/(1-1/x^2)
と分母分子をx^2で割って
lim[x→∞]{1/(1-1/x^2)}^x=1^∞=1
という解法では不十分ですかね？
これってx²で割って1の部分がゼロに収束するから1分の1のx乗になって答えが1になるっていうのはだめなんですか？
誰か教えてください。
lim[n→∞](1+1/n)ⁿ=e (eの定義)
からもわかる通り、1の無限乗の形は1に収束するとは限りません。
@@channel_Lili なるほど…
まだeを習ってなかったのでありがとうございます！
中国人民大学って初めて聞いた。清華大学とか北京大学は知ってるけど。どんくらいのレベル？
x²/(x²-1)=x/(x-1) *x/(x+1)=(1-1/x)^(-1)(1+1/x)^(-1)とやってeに行く極限を使えばいい
私文のワイ死亡（確かまず中国は文系3科目受験は絶対に有り得ないんやった、正解やぞ……それで）
eの定義式って導きだすのなんか覚えにくい
もう、コメントが百を越えている。私の出る幕では、ない。eとは何かの動画を2本、何べんも見てから出直します。私も先生のヘア・カットに見とれていました。
分子のx^2を x^2-1+1 に変形して
x^2-1/(x^2-1)と1/(x^2-1)に分けると
lim［｛1+1/(x^2-1)｝^x］
指数を(x^2-1)・x/(x^2-1)に変形して
eの定義？を適用すると
lim｛e^x/(x^2-1)｝
指数にある式の極限は0なので
e^0=1
答えはあってはいましたが、途中がぐたぐたで明確な方針が見いだせないままでした。センスがないと実感しました。
最後の分母を t、sと置き換えるスキル 鮮やかです。
x^2/(x^2-1)を分解して
1 x x
ー×(ーーー+ーー）＝1+{1/2(x-1)}ー{1/2(x+1)}
２ x+1 x-1
として計算しました。
1の後ろは0に収束して1は何乗しても1なので
答えは1と出ました。
私もそうしました。eなんかまったく出てきませんがすっきりした解ですよね。
「1の後ろは0に収束して1は何乗しても1なので」はダメです
その理屈でいくと(1+1/x)^xも極限を取ると1になってしまいますが、実際はeです
xを無限大に飛ばすという極限の操作は全部同時に行わないといけないです
先に1/xを0にしてから、そのあと1を∞乗する みたいなことは出来ないということです
ロピタルの定理は覚えていた。
ぱっと見で分母と分子の次数が同じだから1^∞=1
指数がx^2やx^3だとどうなるか考えてみて下さい。
{x^2/(x^2-1)}^x={(x^2-1)/x^2}^(-x)={1+(-1/x^2)}^(-x)=[{1+(-1/x^2)}^(-x^2)]^(1/x)
→e^0=1 (x→∞)
ではだめですかね
数学は世界の共通言語だね
1はなん乗しても1だから1かな？と思ってたら
予想通りでしたな…
1^∞の形になっていても1にならないことはありますよ。
@@drgrip4544
完全な定数であれば1なのでは？
x^y (x→1,y→∞)とかなら別ですが…
江戸川こなん では(1+h)^(1/h)のh→0の極限は1ですか？
@@drgrip4544
極限と定数だと話がかわりますよ。
1/x=∞（x→0）
1/0は定義できない
みたいに
h→0はhが限りなく0に近づくだけで0になった
わけではないですから…
江戸川こなん x^/(x^2-1)も1になるわけではありませんが…
例えば、lim(x→∞)(x/(x-1))^xは1になりません。
二項定理を使うと一瞬で解けました
これで赤点取りました。