バーゼル問題 出題されてから91年後にオイラーが解決
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- เผยแพร่เมื่อ 17 ต.ค. 2024
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parlorpっっdーfってわけ
pーf
フーリエ展開を用いたバーゼル問題の解法（貫太郎さんのモノマネ付き）
th-cam.com/video/O-Jvfugs7-E/w-d-xo.html
いいパーカー着てますね。将棋やってるかい？
本物だ
これを思いつくのは本当にすごいですよね😄
「出題されてから91年後にオイラが解決」に見えて、いやいや貫太郎さんではないだろと思ったらオイラーだった
このコメ草
美しい関係ですね。
知ってても人に説明するとなると、かなりハードルが…
わたしも発想の魅力を伝えれるようにしたいものです。
面白い！
バーゼルだけでなく、大学の一般教養でやったsinxの式ってこうして出たんだと分かりました。当時いきなりこんな式が出てきてチンプンカンプンでした。当時この動画があればという気持ちになりました😌
オイラーは数字のお遊びが得意だったのですね、eとかiやjは今は三角関数と微分や積分や複素数で電気理論に必要なものになっていますね。 数学者は再現性と効率化を求めて一生懸命公式を作っていた偉大な人ですね。
π^2ですが、身近なところではドーナツの体積で出てきますね。
理系を選択しても高校では学習しないというのは意外でした。
一応積分とかで求めるやり方とかで学習しますけども、その他ではあまり出てこないし珍しいねというはなしだと思いますよ
おはようございます。書棚にある「オイラーの贈物」という本にオイラーの言葉が載っています。「今日知られている数の性質は、大部分が観察によって明るみに出たのであり、それが真実であることが厳密な証明によって確かめられるよりずっと前に分っていたのである」
明日もよろしくお願いします。
面白いです！ありがたいです！
これからも好奇心くすぐるような解説楽しみにしてますね〜
大学の期末でcos^2n(x)とx^2cos^2n(x)の積分からバーゼル問題の証明する問題熱かった
それは面白そうですね
@@みかみか-f2r 誘導は凄かったですけど確かに証明できてとても面白かったです！
@@みかみか-f2r 両方とも０からπ/2の積分で、an＝In/Jnと置いて証明していく問題でした。（In＝∮cos^2n(x)、Jn＝∮x^2cos^2n(x)）
知らんかった
感動しました
おはようございます。
本日は「講義」ですね。
毎日、「今日は自分の力で太刀打ちできるか？」と戦々恐々としている自分には「ホッと一息」が正直なところ･･･。
とそんな弱気ではいつまでたっても数学力を高めることはできませんね。
視力を失ってもなお、数学の研究に没頭したオイラーを少しは見習わなくては･･･です。
おはよう御座います。
サインをべき関数で表すの凄いですね。
関数電卓の中身もきっとこれを応用ですかね。
サインを微分するとコサインも勉強出来て、高校数学の復習が出来ますね。
微分すると導関数が求まるので子サインとか考えてしまいました。最後の因数分解の形が美しすぎますね。21次関数は21世紀、2021年にかけられているのかなって考えてしまいました。
今日の授業有難うございました。
まさにサインはVですね！行ってきます。
馬鹿なんで何度でも感動します。ありがとうございますm(_ _)m
チャンネル登録のきっかけとなった最初の問題です。本編よりもずっと前に同じ動画を見ました。本編はよりスマートな説明の印象です。マクローリン展開について説明したロングバージョンも期待しています。
備忘録 2周目 〖 3次の項に着目して、係数比較する。〗
sinx＝ 1・x －1/3!・x³ ＋･･････ ･･･① ＝ ( マクローリン無限級数展開 )
sinx＝ 1・x・( 1－x²/π²)･( 1－x²/2²π²)･( 1－x²/3²π²)･( 1－x²/4²π²)･･････ ･･･②
＝ ( 1次の係数を調整した 因数定理による無限因数分解 )
①② の 3次の項を係数比較して、
－ 1/3! ＝ － ( 1/π² ＋1/2²π² ＋1/3²π² ＋1/4²π² ＋ ･･････ )
⇔ π²/3! ＝ 1/1² ＋1/2² ＋1/3² ＋1/4² ＋ ･････････ 【 バーゼル問題 】
Leonhard Euler
スイス バーゼル生
1707－1783
このバーゼル問題は当時の数学界では大問題だったとか。
ただ、オイラーが若かりし頃はようやっと微積分が定着するかどうかだったと思うから、むしろSin関数（Cos関数でもいいが）を整数的に表せないかと試していてこの問題にひっかかったんじゃないかと予想。
バーゼル問題の証明自体は現代では数ⅡA,Bくらいの知識があればできなくもないとかだが、何事も”最初にやる”のが大変なんでなぁ。
あのフェルマーの大定理でさえ、ワイルズが証明して以降は幾つか別解が出ているそうだし。
数学の歴史を繙けば、色々面白い問題がまだまだあるのでしょうね。
フェルマーの最終定理別解出てるんだすごいな
最初の調和級数の発散性について、比較判定法を用いて示されているのですが、素人のわたしにはいまいち納得がいきません。
2^i毎に和を比較するものですが、i→∞に置いて収束する可能性はないのは自明なこととしていいのでしょうか？
積分判定法等により、調和級数の発散性については承知しているのですが、前者の方法での疑問が解決されず悩んでおります。
どなたかご聡明な方にご教示いただければ幸いです。
大学入試風だと、この級数が2未満の値に収束することを示せっていうのがよく出ますね
0:58 でもそのように話をされてますね。
光源からの光を利用した証明方法しか知らなかったから、勉強になりました
その方法有名なんだ…。
オイラｰの数学的発想力と計算力には、驚嘆しました。また貫太郎先生の数学への飽くなき情熱にも、敬服しました。ありがとうございました。
芳沢光雄先生の「AI時代に生きる数学力の鍛え方」を読んでいます。
タイトルに興味を惹かれて早速 A○azon でポチりました。
読んでいない本がだいぶ溜まってはいますが、興味を持った本はその時点で手元に置いておかないと後になってからでは入手困難ということも珍しくありませんから。
この手の本を購入する際の一つの基準として出版社はどこか？というのがあって本書は東洋経済新報社。学生時代、数理統計の教科書に使っていた本の出版社ですから安心です！
ありがとうございました。
@@mips70831 さん
お役に立てて幸いです‼️
この問題を見るたびにいつもなんか騙されたような気がしているのは僕だけなんでしょうね。
銀行に勤めていた頃「バーゼル規制」という金融機関の経営に関する規制を知りました。（私が勤めていたのはメガバンクではなかったので、直接は関係ありませんでしたが、「当時」の親会社がメガバンクでしたので･･･）「バーゼルという地名はこんなところにも登場するのか」と思った記憶があります。
貫太郎先生のバーゼル問題解説、いくつかのバージョンを拝見していますが、段々と「ネタが繰れてる」なぁ･･･です。
やはり、何事も反復が大事ですなぁ。
@@NatureJapan3776 さん
同じ「銀行」という括りでも、メガバンクと地銀では別物ですからねぇ。
地銀は数があるから、銀行間で経営体力にも差がありますし。
ただ、メガバンクの職員の凄い仕事量がその銀行を支えているというのは肌で感じました。
親銀行から出向してきた人は宴会終わったら銀行に戻ってまた仕事してましたから･･･。
解くまでの全ての工程が美しい
おはようございます。
大事な大事な、アタックチャ~ンス！
不思議な不思議な、バーゼル問題。
バーゼル問題の証明、
本動画みたいに sinx のマクローリン展開利用する方法のほか、
x^2 のフーリエ展開とか
逆ピタゴラス定理とか
色々ありますよね。
sinxをマクローリン展開する時、xの収束範囲が∞ですよね
見終わったとき、心の中で拍手しました。
唐突に井崎脩五郎出てきて草。
貫太郎さんは競馬されるのかな。
井崎脩五郎、ウケた！
確か去年の慶應医学部でバーゼル問題出てた気がする
高校生なので詳しくは知らないけどマクローリン展開ってやつか
マクローリン展開（テーラー展開の特殊なものであって、x=0のまわりでテーラー展開したもの）とフーリエ級数展開とは別物ですね。後者は周期関数に対して定義されるものです（前者にはその縛りはないです）。テーラー展開の方がフーリエ級数展開より厳密な証明は易しいですね。
天才すぎる笑
いつもありがとうございます。
sinxの因数分解の式に
x＝π/2を入れたら
2/π＝3/4•15/16•35/36•63/64•••
となったのですが、これはまだ
証明されていないんですか？
th-cam.com/video/2kR2isyyR2I/w-d-xo.html
級数に関する驚きの１つですね。
問題が単純だからと言って答えが厳密に求まるとは限らない。
たとえば、arcsinの級数展開(１＋1/2・1/3＋3/8・1/5＋...)
ならすでに関孝和が求めてたくらいなのに、この1/(n^2)の和は
まだ求められていなかった。
もっと高校生的に言えば、1/(n(n+1))の和なら一番最初に
習うのに、、ってことですね。
積分でも示せますよね、2より小さいこと
オイラー強すぎやろ
すんげえ
今日、割と広告挿入多めでしたね。もうかなりの優良コンテンツと判定されたのかな？ｗ
単位を付けて追っかけていかないと
πが角度のことを言ってるのか
単なる円周率を表す定数のことを言ってるのか
わからなくなりますね
弧度法だと一緒くたにしても差し支えないのかもしれませんが
60と60°では意味が違ってくると思うんですけど
解析、微積の角度はだいたいラジアンよね。
@@kutsu_
ほぼほぼ位相から出て来てるπだよね√1－ｘ^2を積分するときにめんどくさいからπr^2で代用しちゃったりするんだけど、このπははたしてどっちなんだろう？って迷ってしまいます（笑）
長さの２乗かける角度の形になっているのでこのπも強いて言えばラジアンなんでしょうね
もう一回自分でやってみます。
何べん見ても、飽きない！
ありがとうございます。
納得し、すごいと感じましたが、sinxがバーゼル問題の前提となる下記の式
sinx = a0+a1x+a2x^2+・・・
sinx = x(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)・・・
になぜ展開できるのかを深く理解できていないことに気がつけました。ありがとうございます。
答えだけなら、鈴木先生のパーカーに書いてありますね
？「なんだΣって､､､」
なぜsinx を因数分解できるのですか？nπ(nは整数)で0になる関数は無数にありますよ。
動画を早送りせずにご覧いただいてからコメントしていただけたら幸いです。
この結果の応用問題、物理か何か応用して、「こんな事が分かる」って感じの話はないのでしょうか？。例えば、「調和級数の発散」だと、秋山仁さんの本に重心の問題に応用が出てます。そういうのを聞いた事がないので。
突然の画面直撮りTH-camr なんかおじいちゃんぽくてほっこりしました．
直撮りでも内容は高度
ｘが０でｙ＝１のとき式の値は０になる ｘとｙの対称性からそのような因子を持つはず 最高位が４次だが一つの文字では３次だから因子の中にｘｙがはいる。また因子は最大２次のはず。ｘｙとＸ２（二乗）を持つはず また１は１の自乗しかあり得ないのでｘ２＋ｘｙ－１を持つと考えられる。当然ｙ２＋ｘｙ－１も持つはず
ｙ、ｋａｗａｉ
昔の天才ってほんとやばい
1/n^2のあとに+…をつけないと正しい数式ではありません。
今年の第二回名大オープンの数学はこれが背景になっている問題がありました
整数のマイナス2乗を足し算合わせた先に
πが出てくるのがすごい。
慶応医学部の入試で面白い解き方がありましたね！
調和級数の発散の証明がそんなに簡単だったなんて！
有理数の有限個の和は有理数だ、と言うのが『有理数が加算に閉じている』という主張の内容だ。じゃあ、無限加算個であれば有理数ではなくなるのか？それとも２の平方根は無理数だが２は有理数であるように、πは無理数だがπの累乗は有理数になるのか？
ちょっと、面白いなと思った。勿論、もう分かっている問題なんだろうけど。
証明には成って居ないと云いますが、こうすれば確かに分かる。
すげー
sinのテーラー展開がこうも
簡単に計算できるのかあ
因数分解以降よく分からなくなりました
コメントで質問すると優しい方が答えてくれますよ
0:41 0:41 0:41
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文系ワイ、分かるわけないのに見に来た
左辺の（ ）の中を書き直せば
2/9 + √77/9 i
だから、絶対値が1とすぐわかります。
絶対値が1の複素数は何乗しても絶対値1で変わらないから右辺も絶対値は1
後は解説の通りで81とすぐ出ました。
あー、この人が解決したっていう自慢動画かと思った。
根拠はないですが、円周率の本質は実は円とは関係ないところにあるのではないかと思わずにはいられない
解と係数の関係なんですね~。
0:41
軽く井崎さんをディスるという
級数展開だったっけ、なつかしい。
ヨシッ❗
オイラーもできるよ
んああ なんでsinX？って思ったら大変形してた
とても大事な事が書いてある気がするけど大事さがわからん☺
これを使えばπ^2は有理数か？無理数か？
て問題できそうですね。
与式左辺＝有理数の和＝有理数
与式右辺＝与式左辺×6=有理数
eもe=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+....
となるけど無理数ですね。
因みにπ²は超越数
@@あいうえお-g4w8o さん
私のことを「彼」としてますが、私が男であることは自明でしょうか？？
答え、男です🙆♂️
@@田中-c6j さん
なるほど有理数の無限和も有理数とばかり思っておりました。
勉強になりました🙇♂️
@@ストローマン310は59 さん
確かにそうですね
入試に出ろ
無限積の収束を説明しないとモヤモヤします。証明にはなっていません、で終わるのでは数学ではありません。
すげぇぇ
すごすぎるな