Można to zadanie zrobić sprowadzając do wzorów skróconego mnożenia dla sześcianów. Ogólnie w zadaniach w stylu ∛(a + b) + ∛(a - b) ∈ Z, (a - b) da się sprowadzić do jakiegoś (x - y)³ oraz (a + b) do (x + y)³, wówczas ∛(a + b) + ∛(a - b) = ∛(x - y)³ + ∛(x + y)³ = x - y + x + y = 2x (dla dodatnich wartości a, b, x i y). W tym wypadku zakładam, że 9 - √80 to (x - y)³, a 9 + √80 to (x + y)³. Teza mówi, że ∛(9 + √80) + ∛(9 - √80) to 3, więc 2x = 3, co daje x = 3/2. Sześcian różnicy, przypomnijmy wzór: (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - b³ (sześcian sumy będzie miał same znaki dodatnie, zamiast ujemnych). Dlatego 9 - √80 = x³ - 3x²y + 3xy² - y³. W tej postaci widać, że składniki dodatnie (x³ i 3xy²) muszą się sumować do 9, a składniki ujemne (3x²y i y³) sumują się do -√80. To oznacza, że x³ + 3xy² = 9. Po podstawieniu wyznaczonego wcześniej x = 3/2, otrzymamy (3/2)³ + 3 ⋅ (3/2)y² = 9. Idąc dalej, 27/8 + 9y²/2 = 9, a po wymnożeniu przez 8 mamy 27 + 36y² = 72, co daje 36y² = 45, więc y² = 45/36 = 5/4 i w ostateczności y = √5/2 (odrzucam ujemne rozwiązanie, bo y z założenia jest dodatnie). To teraz warto sprawdzić, czy 3x²y + y³ = √80, dla wyznaczonych wartości x i y. 3 ⋅ (3/2)² ⋅ (√5/2) + (√5/2)³ = 27√5/8 + 5√5/8 = 32√5/8 = 4√5 = √(4√5)² = √(16 ⋅ 5) = √80. Wszystko się zgadza, zatem: 9 - √80 = (3/2 - √5/2)³ oraz 9 + √80 = (3/2 + √5/2)³. Możemy sprawdzić dla pewności: (3/2 - √5/2)³ = (3/2)³ - 3 ⋅ (3/2)² ⋅ (√5/2) + 3 ⋅ (3/2) ⋅ (√5/2)² - (√5/2)³ = 27/8 - 27√5/8 + 45/8 - 5√5/8 = 72/8 - 32√5/8 = 9 - 4√5 = 9 - √(4√5)² = 9 - √(16 ⋅ 5) = 9 - √80 Analogicznie będzie to prawdziwe również dla sześcianu sumy. Ostatecznie: ∛(9 + √80) + ∛(9 - √80) = ∛(3/2 + √5/2)³ + ∛(3/2 - √5/2)³ = 3/2 + √5/2 + 3/2 - √5/2 = 6/2 = 3.
Też można zauważyć ze odwrotnoscią wyrażenia 9-pierwiastek80 jest 1/9+pierwiastek80 i można sobie podstawić parametr t pod ten cały pierwiastek 3 stopnia z 9 + pierwiastek80 co nam da wyrażenie t + 1/t = 3 przy t > 2, obliczyc delte i miejsca zerowe, i udowodnic ze to t1 co nam wyszlo jest rzeczywiscie równe temu pierwiastkowi 3 stopnia.
W którymś momencie napisałeś, że 3*a*b=3. Zatem a*b=1. Idąc dalej i zakładając a+b=3 obliczymy, że a=(3+√5)/2 i b=(3-√5)/2. Teraz trzeba udowodnić, że (9+√80)^(1/3) = (3+√5)/2. I odpowiednio dla b. Wtedy otrzymamy szybkie rozwiązanie.
pozostale wyrazenie ma delte mniejsza od zera wiec nie trzeba wiecej sprawdzac bo wiecej nie ma wielomian 3 stopnia ma maksymaljnie 3 rozwiazania a nie ze musi miec 3
@@brzeski8527Dzięki! myślę, że wypadałoby jednak w dowodzie obliczyć ten wielomian drugiego stopnia i obliczyć deltę, żeby jasno pokazać, że ta liczba musi być trójką👍tego mi tutaj brakowało
@@Matematycznieicoswiecej Zgadza się - powinienem to pokazać. Jak rozwiązywałem chwilę wcześniej na papierze, to to sprawdziłem i wiedziałem, że jest to jedyny pierwiastek (zresztą mówię o tym w 8:38), a potem zapomniałem. Przy okazji, to też to widać z wykresów dwóch funkcji: wielomianowej x^3 oraz liniowej 3x+18. Po szybkim naszkicowaniu tych dwóch wykresów (nawet w głowie) jednoznacznie widać, że będzie tylko jeden punkt przecięcia.
Można to zadanie zrobić sprowadzając do wzorów skróconego mnożenia dla sześcianów. Ogólnie w zadaniach w stylu ∛(a + b) + ∛(a - b) ∈ Z, (a - b) da się sprowadzić do jakiegoś (x - y)³ oraz (a + b) do (x + y)³, wówczas ∛(a + b) + ∛(a - b) = ∛(x - y)³ + ∛(x + y)³ = x - y + x + y = 2x (dla dodatnich wartości a, b, x i y).
W tym wypadku zakładam, że 9 - √80 to (x - y)³, a 9 + √80 to (x + y)³. Teza mówi, że ∛(9 + √80) + ∛(9 - √80) to 3, więc 2x = 3, co daje x = 3/2. Sześcian różnicy, przypomnijmy wzór: (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - b³ (sześcian sumy będzie miał same znaki dodatnie, zamiast ujemnych). Dlatego 9 - √80 = x³ - 3x²y + 3xy² - y³. W tej postaci widać, że składniki dodatnie (x³ i 3xy²) muszą się sumować do 9, a składniki ujemne (3x²y i y³) sumują się do -√80. To oznacza, że x³ + 3xy² = 9. Po podstawieniu wyznaczonego wcześniej x = 3/2, otrzymamy (3/2)³ + 3 ⋅ (3/2)y² = 9. Idąc dalej, 27/8 + 9y²/2 = 9, a po wymnożeniu przez 8 mamy 27 + 36y² = 72, co daje 36y² = 45, więc y² = 45/36 = 5/4 i w ostateczności y = √5/2 (odrzucam ujemne rozwiązanie, bo y z założenia jest dodatnie). To teraz warto sprawdzić, czy 3x²y + y³ = √80, dla wyznaczonych wartości x i y. 3 ⋅ (3/2)² ⋅ (√5/2) + (√5/2)³ = 27√5/8 + 5√5/8 = 32√5/8 = 4√5 = √(4√5)² = √(16 ⋅ 5) = √80. Wszystko się zgadza, zatem: 9 - √80 = (3/2 - √5/2)³ oraz 9 + √80 = (3/2 + √5/2)³.
Możemy sprawdzić dla pewności:
(3/2 - √5/2)³ = (3/2)³ - 3 ⋅ (3/2)² ⋅ (√5/2) + 3 ⋅ (3/2) ⋅ (√5/2)² - (√5/2)³ = 27/8 - 27√5/8 + 45/8 - 5√5/8 = 72/8 - 32√5/8 = 9 - 4√5 = 9 - √(4√5)² = 9 - √(16 ⋅ 5) = 9 - √80
Analogicznie będzie to prawdziwe również dla sześcianu sumy.
Ostatecznie: ∛(9 + √80) + ∛(9 - √80) = ∛(3/2 + √5/2)³ + ∛(3/2 - √5/2)³ = 3/2 + √5/2 + 3/2 - √5/2 = 6/2 = 3.
Bardzo fajnie walczysz z tym czymś..👏👍
Też można zauważyć ze odwrotnoscią wyrażenia 9-pierwiastek80 jest 1/9+pierwiastek80 i można sobie podstawić parametr t pod ten cały pierwiastek 3 stopnia z 9 + pierwiastek80 co nam da wyrażenie t + 1/t = 3 przy t > 2, obliczyc delte i miejsca zerowe, i udowodnic ze to t1 co nam wyszlo jest rzeczywiscie równe temu pierwiastkowi 3 stopnia.
Czy zamieniajac 27 na x^3 nie korzystasz z tezy do rozwiazania dowodu?
Ciekawe rozwiązanie, ale mam nadzieję że takich zadań nie dostane
W którymś momencie napisałeś, że 3*a*b=3. Zatem a*b=1. Idąc dalej i zakładając a+b=3 obliczymy, że a=(3+√5)/2 i b=(3-√5)/2. Teraz trzeba udowodnić, że (9+√80)^(1/3) = (3+√5)/2. I odpowiednio dla b. Wtedy otrzymamy szybkie rozwiązanie.
A skąd mamy pewność, że akurat ta liczba będzie równa 3? Bo wielomian 3 stopnia może mieć trzy rozwiązania, to czy nie trzeba sprawdzić wszystkich?
pozostale wyrazenie ma delte mniejsza od zera wiec nie trzeba wiecej sprawdzac bo wiecej nie ma wielomian 3 stopnia ma maksymaljnie 3 rozwiazania a nie ze musi miec 3
@@brzeski8527wielomian stopnia n ma zawsze n rozwiazań. pozostałe rozwiązania są w liczbach zespolonych. Pozdrawiam was cieplutko.
mgrFurryFajnie, że się znasz, ale po co mówić o liczbach zespolonych maturzyście. Zamiast pomóc możesz zaciemnić obraz 👍
@@brzeski8527Dzięki! myślę, że wypadałoby jednak w dowodzie obliczyć ten wielomian drugiego stopnia i obliczyć deltę, żeby jasno pokazać, że ta liczba musi być trójką👍tego mi tutaj brakowało
@@Matematycznieicoswiecej Zgadza się - powinienem to pokazać. Jak rozwiązywałem chwilę wcześniej na papierze, to to sprawdziłem i wiedziałem, że jest to jedyny pierwiastek (zresztą mówię o tym w 8:38), a potem zapomniałem. Przy okazji, to też to widać z wykresów dwóch funkcji: wielomianowej x^3 oraz liniowej 3x+18. Po szybkim naszkicowaniu tych dwóch wykresów (nawet w głowie) jednoznacznie widać, że będzie tylko jeden punkt przecięcia.