Respected Sir very interesting problem and very interesting solution. steps were written and most of it was self explanatory. Even language was no barrier. Thank you mukund
Спасибо за видео! Но лучше в том месте, где Вы вводите новую переменную (после чего получается квадратрое уравнение) обозначить ее не х, а другой буквой например, t, чтобы не было путаницы с неизвестным из уравнения.
Au final les solutions sont toutes de la forme k*Pi/2 avec k dans Z, c'est la façon la plus synthétique de présenter les solutions de l'équation proposée.
^m remarque. Tu as raison. Impardonnable de commettre ce genre d'erreur surtout pas dans une vidéo destinée aux élèves et ça complique de plus la tâche du professeur exerçant
1)Précisez à quel ensemble appartient k 2)ce n'est pas 4 solulions mais familles de solutions car pour chaque valeur de k on a 4 solutions et comme k a une infinité de valeurs on aura une infinité de solutions. 3)merci pour le partage
x² - 8x + 7 = 0 La somma dei coefficienti a+b+c di questa equazione di secondo grado è 1-8+7 =0, quindi le soluzioni sono automatiche: x = 1 e x = c/a = 7
Thanks for this. Using the pythagorean identity for cos and sin, if sin^2X=0 then cos^2X=1. We have 7+1 or 1+7. The solution set is therefore (npi)/2 where n spans the set of integers.
Let B = 7 . B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1 = B^1 + 1 = B^(cos²(x) + sin²(x)) + 1 = B^cos²(x) * B^sin²(x) + 1 0 = B^cos²(x) * B^sin²(x) - B^cos²(x) - B^sin²(x) + 1 0 = [ B^cos²(x) - 1 ] * [ B^sin²(x) - 1 ] B^cos²(x) = 1 , B^sin²(x) = 1 cos²(x) = 0 , sin²(x) = 0 cos(x) = 0 , sin(x) = 0 x = π/2 + π*k , x = π*k , k ∈ ℤ x = π/2*(1 + 2*k) , x = π/2*(2*k) , k ∈ ℤ x = π/2*{odd integers} , x = π/2*{even integers} x = π/2*{all integers} x = n*π/2 , n ∈ ℤ Note that the solutions are independent of B for B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1 . We can create many problems of this form having the same answer.
Uau! Que questão bonita. Eu a fiz por um método um pouco diferente. Parabéns pela escolha. Brasil - outubro de 2024. Ouah! Quelle belle question. Ouah! Quelle belle question. Je l'ai fait en utilisant une méthode légèrement différente. Félicitations pour votre choix. Brésil - octobre 2024.
X may be zero or ninety (degree ) ^= read as to the power *= read as square root As per question 7^(sinx)^2 +{7^(cosx)^2}=8 Let's explain 7^(cosx)^2 =7^{1-(sinx)^2} =(7^1)/{7^(sinx)^2} Let 7^(sinx)^2 =a So, a+(7/a)=8 (a^2+7)/a=8 a^2+7=8a a^2-8a+7=0 a^2-7a-a+7=0 a(a-7)-1(a-7)=0 (a-7)(a-1)=0 a-7=0 or a-1=0 a=7 or a=1 Let's take a=7 7^(sinx)^2=7^1 So, (Sinx)^2=1 Sinx=1 Sinx=Sin90 X=90 degree Again a=1 7^(sinx)^2=7^0 So, (Sinx)^2=0 Sinx=0 Sinx=sin 0 X=0 degree
Believe or not, I solved in 30 seconds by mental calculation. Just replaced cos^2(x) by 1-sin^2(x) and then divided everything by 7^sin^2(x)=y. Same equation y^2-8y+7=0, add 16 to both sides and you got (y-4)^2=9, y=1 or y=7, then x is what gives one of the 4 quadrants of the unit square.
LEVERAGE THE FACT THAT SIN^2 + COS^2 = 1 Then let A=7^(sin^2(x)). So, if A ne 0, then A + (7/A) = 8 which is quadratic so 0 = (AA -8A +7)/A = (A-7)(A-1)/A. So A=1 or 7 So exponent of A is 0 or 1. So sin^2(x) = 0 or 1. So x is any odd multiple of (π/2). Notice that A=0 is also a solution meaning that all even multiples of (π/2) are all solutions.
on peut résoudre plus facilement : 7^sin2'(x+)7^co^2(x)=8 donne 7^sin^2(x)+7^(1-sin^2(x)=7^(1-sin^2(x))=7 on pose X=7^sin^2(x) on obtient X+7/X=8 X^2-8X+7=0 (X-1)(X-7)=0 7^sin^(x)=7 ou7^sin^2(x)=1. on pose sin^2(x)=y alors l'éq. devient 7^(y^2-1)=1 ou 7^y^2=1 y^2=1 ou y^2==0. Les solutions sont donc kpi por y=0 ou pi/2+kpi pour y^2=1 soit S = { kπ/2 / k€Z }.
Plus rapide il suffit de voir que 7+1=1+7=8 et par identification des exposants on a les systèmes.N'oublions pas qu'il faut aller vite dans les Olympiades...
7^cosx^2+7^sinx^2-8=7^cosx^2+7^(1-cosx^2)-8=(7^cosx^2)^2-8(7^cosx^2)+7=0. 7^cosx^2=-4+-sqrt[16-7]=4+-3=(7 OR 1) -> cosx^2=(1 OR 0) AND sinx^2=(0 OR 1) -> x=(90° or 0°).
La demonstration se base sur le chzngement de la variabe si non il y'a bcp plus simple ....ça pour ceux qui parlent de solutions plus simple et generales .
Bonjour La démarche la plus courte (Sinx)^2=1-(cosx)^2 On pose 7^(cosx)^2=y On obtient l'équation y^2-8y+7=0 Puis les équations y=7^(cosx)^2=1 et y=7^(cosx)^2=7 Donc (cosx)^2=0 ou (cosx)^2=1 Soit cosx=0 ou cosx=1 ou cosx=-1 Soit x=(2k+1)π/2 ou x=kπ avec k€Z Solution S={(2k+1)π/2 ; kπ} avec k€Z Puis cosx
NB : mon clavier ne me propose pas les accents ni les signes typographiques completes, raison pour laquelle il y trop d'erreurs apparentes. Bonne resolution et bcp de clarte mais bcp de precautions ignorees a la fin du travail. En effet,dans les solitions, il manque d'elegance dans l'ecriture ; et cela on en fait bcp usage en mathematique. En effet il faudrait ecrire k x pi/2 (avec k un entier relatif) pour avoir a mon gout tous les points.
Merci beaucoup dee laisser un si Long text . Tu es exceptionnel, et j apprécie que quelqu'un me corrige, j ai noté ces erreurs afin qu elle ne se produise plus. Merci encore
Merci. Je crois qu'il faudra compléter la video a la fin avec une texte pour souligner que les solutions sont k x pi/2. Car en classe les élèves risquent de ne pas avoir tous les points.
Je suis d'accord. J'aimerais que ce prof. prenne une audience (par exemple 6è-3è ou seconde terminale) et suivre un programme scolaire bien approprié qui pourra être utile à nos enfants.
You cannot use x as a variable because you're trying to solve for x . Bad: x = 7^sin²(x) Good: y = 7^sin²(x) y² - 8*y + 7 = 0 Find y, then find x (infinite number of solutions).
Une méthode plus simple : il suffit de remplacer cos2x(cos carré dex) par 1--sin2x(sin carré de x).....
Respected Sir very interesting problem and very interesting solution.
steps were written and most of it was self explanatory.
Even language was no barrier.
Thank you mukund
Спасибо за видео! Но лучше в том месте, где Вы вводите новую переменную (после чего получается квадратрое уравнение) обозначить ее не х, а другой буквой например, t, чтобы не было путаницы с неизвестным из уравнения.
Here's the cleanest general solution:
Let B = 7 .
B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1
= B^1 + 1
= B^(cos²(x) + sin²(x)) + 1
= B^cos²(x) * B^sin²(x) + 1
0 = B^cos²(x) * B^sin²(x) - B^cos²(x) - B^sin²(x) + 1
0 = [ B^cos²(x) - 1 ] * [ B^sin²(x) - 1 ]
B^cos²(x) = 1 , B^sin²(x) = 1
cos²(x) = 0 , sin²(x) = 0
cos(x) = 0 , sin(x) = 0
x = π/2 + π*k , x = π*k , k ∈ ℤ
x = π/2*(1 + 2*k) , x = π/2*(2*k) , k ∈ ℤ
x = π/2*{odd integers} , x = π/2*{even integers}
x = π/2*{all integers}
x = n*π/2 , n ∈ ℤ
Note that the solutions are independent of B for:
B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1
Apres le changement de variable , il est tres facile d observer que 7 et 1 sont solution!
Very nice approach. Many thanks sir from India.
Bonjour .. très bon travail ; vous pouvez minimiser l'écriture de l'ensemble de solutions par:
S = { kπ/2 / k€Z }
Effectivement, cette écriture est plus simple et regroupe les 4 du professeur
Merci beaucoup professeur. J'aime cet equation. Matematique est tres belle.
l'équation admets une infinité de solutions et ne pas 4 solutions, et peuvent être généralisé sous deux formats soit x=k*PI soit x = PI/2 + k*PI
the solution is: x=k*PI/2 , k=0,1,2,3....(k belongs N)
@@adrianciungu396 k blongs to Z too SO IT S K PI/2 K BLG TO Z
Au final les solutions sont toutes de la forme k*Pi/2 avec k dans Z, c'est la façon la plus synthétique de présenter les solutions de l'équation proposée.
^m remarque. Tu as raison. Impardonnable de commettre ce genre d'erreur surtout pas dans une vidéo destinée aux élèves et ça complique de plus la tâche du professeur exerçant
C'est vraie une infinité de solution mais on peut mieux faire en écrivant juste sous 1 format: KPi/2
Passez par les racines simples pour factoriser ou bien la factorisation canonique
Thank u teacher for yr aids and if possible u can increase for us many trigonometric qs. I'm watching this video from Rwanda.
1)Précisez à quel ensemble appartient k
2)ce n'est pas 4 solulions mais familles de solutions car pour chaque valeur de k on a 4 solutions et comme k a une infinité de valeurs on aura une infinité de solutions.
3)merci pour le partage
Merci j ai seulement oublié
En fait, les 4 "familles" de solutions peuvent être simplifier en une seule : K × PI / 2 🙄
І didn't see the generic solution which is (pi/2)*k
x² - 8x + 7 = 0
La somma dei coefficienti a+b+c di questa equazione di secondo grado è 1-8+7 =0,
quindi le soluzioni sono automatiche:
x = 1 e x = c/a = 7
Thanks for this. Using the pythagorean identity for cos and sin, if sin^2X=0 then cos^2X=1. We have 7+1 or 1+7. The solution set is therefore (npi)/2 where n spans the set of integers.
Bravo notre Expert Prof , nous vous aimons pour toujours , à bientôt.
Vous êtes exceptionnel, brillant, sensationnel. En un mot un savant. Bravo monsieur 👍💪
Merci infiniment
J'espère que vous aurait le temps de faire l'exercice d'approfondissement sur les angles orientés. Merci
Let B = 7 .
B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1
= B^1 + 1
= B^(cos²(x) + sin²(x)) + 1
= B^cos²(x) * B^sin²(x) + 1
0 = B^cos²(x) * B^sin²(x) - B^cos²(x) - B^sin²(x) + 1
0 = [ B^cos²(x) - 1 ] * [ B^sin²(x) - 1 ]
B^cos²(x) = 1 , B^sin²(x) = 1
cos²(x) = 0 , sin²(x) = 0
cos(x) = 0 , sin(x) = 0
x = π/2 + π*k , x = π*k , k ∈ ℤ
x = π/2*(1 + 2*k) , x = π/2*(2*k) , k ∈ ℤ
x = π/2*{odd integers} , x = π/2*{even integers}
x = π/2*{all integers}
x = n*π/2 , n ∈ ℤ
Note that the solutions are independent of B for B^cos²(x) + B^sin²(x) = B + 1 . We can create many problems of this form having the same answer.
@alhabibidriss39: At 05:00, you made a fatal mistake in reusing variable x.
Bad: x = 7^sin²(x)
Good: y = 7^sin²(x)
Uau! Que questão bonita. Eu a fiz por um método um pouco diferente. Parabéns pela escolha. Brasil - outubro de 2024. Ouah! Quelle belle question. Ouah! Quelle belle question. Je l'ai fait en utilisant une méthode légèrement différente. Félicitations pour votre choix. Brésil - octobre 2024.
X may be zero or ninety (degree )
^= read as to the power
*= read as square root
As per question
7^(sinx)^2 +{7^(cosx)^2}=8
Let's explain
7^(cosx)^2
=7^{1-(sinx)^2}
=(7^1)/{7^(sinx)^2}
Let 7^(sinx)^2 =a
So,
a+(7/a)=8
(a^2+7)/a=8
a^2+7=8a
a^2-8a+7=0
a^2-7a-a+7=0
a(a-7)-1(a-7)=0
(a-7)(a-1)=0
a-7=0 or a-1=0
a=7 or a=1
Let's take a=7
7^(sinx)^2=7^1
So,
(Sinx)^2=1
Sinx=1
Sinx=Sin90
X=90 degree
Again
a=1
7^(sinx)^2=7^0
So,
(Sinx)^2=0
Sinx=0
Sinx=sin 0
X=0 degree
Très bien expliqué ❤❤
Merci du compliment
very nice explanation
Lei è veramente un bravo professore. Grazie
Muchas gracias, saludos desde Perú
J'adore, recalé en math sup je prend toujours plaisir à voir une belle résolution d'équation.
C est Exelent professeur bravo
You can simplify the answer as x=k pi/2 where k is an integer number.
Direct way:
8 = 7+1 = 7^1 + 7^0
So
1-sin^2(x)=0 or sin^2(x)=0
--> sin(x)=1 or sin(x)=-1 or sin(x)=0
Very good explained
vous pouvez synthétiser et dire simplement que x= k*pi/2, avec k appartenant à Z. ;)
If you spend 1 min drawing the options you will express all of the solutions as
k(π/2) with k € Z
= ± 0º, 90º, 180º, 270º,….
Believe or not, I solved in 30 seconds by mental calculation. Just replaced cos^2(x) by 1-sin^2(x) and then divided everything by 7^sin^2(x)=y. Same equation y^2-8y+7=0, add 16 to both sides and you got (y-4)^2=9, y=1 or y=7, then x is what gives one of the 4 quadrants of the unit square.
7^(cos^2(x))+7^(sin^2(x))=7^1+7^0
Sin^2(x)=0 ou sin^2(x)=1 et
Cos^2(x)=0 ou cos^2(x)=1
X2-8X+7=0
X2-8X+16-9=0
(X-4)2-9=0
(X-4-3)(X-4+3)
(X-7)(X-1)=0
X=7,X=1
Etc...
Input
7^cos^2(0) + 7^sin^2(0) = 8
Result
True x=0
You only have one of the infinite number of solutions.
x = n*π/2, n ∈ ℤ
Grand professeur ❤❤❤
LEVERAGE THE FACT THAT SIN^2 + COS^2 = 1 Then let A=7^(sin^2(x)). So, if A ne 0, then A + (7/A) = 8 which is quadratic so 0 = (AA -8A +7)/A = (A-7)(A-1)/A. So A=1 or 7 So exponent of A is 0 or 1. So sin^2(x) = 0 or 1. So x is any odd multiple of (π/2). Notice that A=0 is also a solution meaning that all even multiples of (π/2) are all solutions.
on peut résoudre plus facilement : 7^sin2'(x+)7^co^2(x)=8 donne 7^sin^2(x)+7^(1-sin^2(x)=7^(1-sin^2(x))=7
on pose X=7^sin^2(x) on obtient X+7/X=8 X^2-8X+7=0 (X-1)(X-7)=0 7^sin^(x)=7 ou7^sin^2(x)=1.
on pose sin^2(x)=y alors l'éq. devient 7^(y^2-1)=1 ou 7^y^2=1 y^2=1 ou y^2==0.
Les solutions sont donc kpi por y=0 ou pi/2+kpi pour y^2=1 soit S = { kπ/2 / k€Z }.
7^(cos^2(x)) = 1 or 7
cos^2(x) = 0 or 1
x = kpi/2 where k is in the set of integers.
plus simple si vous remplacez sin^2(x) par 1- cos^2(x) et poser u = 7^(cos^2(x)).
Plus rapide il suffit de voir que 7+1=1+7=8 et par identification des exposants on a les systèmes.N'oublions pas qu'il faut aller vite dans les Olympiades...
set 7^(sinx*2)=t t+7/t=8 t^2-8t+7=0 0=(t-7)(t-1) so sinx^2=1 or sinx^2=0 x=(k+1/2)π or x=kπ
7^cosx^2+7^sinx^2-8=7^cosx^2+7^(1-cosx^2)-8=(7^cosx^2)^2-8(7^cosx^2)+7=0. 7^cosx^2=-4+-sqrt[16-7]=4+-3=(7 OR 1) -> cosx^2=(1 OR 0) AND sinx^2=(0 OR 1) -> x=(90° or 0°).
Très bien expliqué, mais pourrait être plus concis, pour un niveau d'Olympiade. 😊
La demonstration se base sur le chzngement de la variabe si non il y'a bcp plus simple ....ça pour ceux qui parlent de solutions plus simple et generales .
aX²+bX+c=0 si a+b+c= 0 alors X1 = 1 et X2 = c/a c'était alors plus facile en se passant de la méthode du discriminant.
Bonjour professeur. S'il vous plaît faites un peu une nouvelle leçon sur sin et cos vraiment je n'ai pas la notion sur ça.
Where from you sir
Good job!
Merci beaucoup .Bonne journée à vous .
Puisque sinx^2+cosx2^=1, on tire sin ou cos et on le remplace au début de l équation pour avoir une solution très courte.
تبارك الله عليك
Merci prof❤
🙏👍👍👍
شكرا جزيلا لكم.
Très instructif
Vous confondez solutions et racines des equations : Elle quatre formes d'expressions un nombre infini de solutions
👏👏
Bon travail, π (pi)est une lettre , on dit πsur deux au lieu de π-demi et merci pour votre effort
Bonjour
La démarche la plus courte
(Sinx)^2=1-(cosx)^2
On pose 7^(cosx)^2=y
On obtient l'équation
y^2-8y+7=0
Puis les équations
y=7^(cosx)^2=1 et y=7^(cosx)^2=7
Donc
(cosx)^2=0 ou (cosx)^2=1
Soit
cosx=0 ou cosx=1 ou cosx=-1
Soit
x=(2k+1)π/2 ou x=kπ avec k€Z
Solution
S={(2k+1)π/2 ; kπ} avec k€Z
Puis cosx
Merge solutions into one form:
x = n*π/2, n ∈ ℤ
Très intéressant
merci ❤
👍👍 de maroc
a+B,+c'0 =1
BRAVO PROFESSEUR SLTS
NB : mon clavier ne me propose pas les accents ni les signes typographiques completes, raison pour laquelle il y trop d'erreurs apparentes.
Bonne resolution et bcp de clarte mais bcp de precautions ignorees a la fin du travail.
En effet,dans les solitions, il manque d'elegance dans l'ecriture ; et cela on en fait bcp usage en mathematique. En effet il faudrait ecrire k x pi/2 (avec k un entier relatif) pour avoir a mon gout tous les points.
Mes excuses, il s'agit de cos x.
Merci beaucoup dee laisser un si Long text . Tu es exceptionnel, et j apprécie que quelqu'un me corrige, j ai noté ces erreurs afin qu elle ne se produise plus. Merci encore
Merci. Je crois qu'il faudra compléter la video a la fin avec une texte pour souligner que les solutions sont k x pi/2. Car en classe les élèves risquent de ne pas avoir tous les points.
@alhabibidriss39: You made a fatal mistake in reusing variable x.
Bad: x = 7^sin²(x)
Good: y = 7^sin²(x)
waooohhh
Good!
7^(1-sin^2x) +7^(sin^2x)=8
7/7^(sin^2x) +7^(sin^2x) =8
7^(sin^2x) =f
7/t+t=8
t^2-8t+7=0, t no 0
t=7, t=1
7^(sin^2x) =1
sin^2x=0
x=πk
7^(sin^2x) =7
sinx=+-1
x=π/2+πn
what is the range of age? 14 - 16?
L'ensemble des solutions se résume plus simplement à {kpi ; Pi/2 + kPi}
Malheureusement nos enfants ne s'intéressent pas à ces cours
Je suis d'accord. J'aimerais que ce prof. prenne une audience (par exemple 6è-3è ou seconde terminale) et suivre un programme scolaire bien approprié qui pourra être utile à nos enfants.
On peut noter très simplement S= 0[π/2]
Bon travail
Merci
Or cos^2 x=1-sin^2 x
Merci beaucoup
merci beaucoup
On peut aussi remplacer 7 par 8-1 et on obtient un facteur commun qui est X -1.
Красивая, но лёгкая задача)))
se poniamo (sin x)^2 = t; (cos X)^2 = 1 - t^2; si arriva più facilmente alla soluzione.
X=90°
x = ..., -90⁰, 0⁰, 90⁰, 180⁰, ...
x = n*90⁰ = n*π/2, n ∈ ℤ
RESOLUTION DE X²-8X+7=0
racine évidente
a = 1, b= -1, c=7
a+b+c = 1-8+7= 0 donc les zéros sont 1 et 7
You cannot use x as a variable because you're trying to solve for x .
Bad: x = 7^sin²(x)
Good: y = 7^sin²(x)
y² - 8*y + 7 = 0
Find y, then find x (infinite number of solutions).
Pour l ensemble des solutions on peut ecrire π/2+k/2 π avec k€N seulement
7^sinx^2 +7Cosx^2= 8 =]]] sinx2+Cosx^2= 1=1*1=1+1=2]=[ sinx+cosx=1 ] =[ sinx=o cosx=1 x= 2Pik k=1 Pi=4 x=8
x = n*π/2, n ∈ ℤ
7^[cos²(x)] + 7^[sin²(x)] = 8
7^[cos²(x)] + 7^[1 - cos²(x)] = 8
7^[cos²(x)] + { 7^[1] * 7^[- cos²(x)] } = 8
7^[cos²(x)] + { 7 * 1/7^[cos²(x)] } = 8 → let: cos²(x) = a
7^(a) + { 7/7^(a) } = 8
[7^(a) * 7^(a)] + 7 = 8 * 7^(a) → let: 7^(a) = b
b² + 7 = 8b
b² - 8b + 7 = 0
Δ = (- 8)² - (4 * 7) = 64 - 28 = 36
b = (8 ± 6)/2
b = 4 ± 3
First case: b = 7 → recall: 7^(a) = b
7^(a) = 7
7^(a) = 7^(1)
a = 1 → recall: cos²(x) = a
cos²(x) = 1
cos(x) = ± 1
x = kπ → where: k ∈ Z
Second case: b = 1 → recall: 7^(a) = b
7^(a) = 1
7(a) = 7^(0)
a = 0 → recall: cos²(x) = a
cos²(x) = 0
cos(x) = 0
x = (π/2) + kπ → where: k ∈ Z
Merge together into one form:
x = n*π/2, n ∈ ℤ
❤
Thanks
Pour quoi ne pas juste utiliser delta au lieu de factoriser ?
Les arguments doivent appartenir à-pi,pi
😮
Mewa awwe indiyswenda
Good
Very trivial. The only solution is [0,1] or [1,0].
You haven't found x.
Eviter l accolade ca. Signifie en logique et
I’m from India , we got all these problems in HS 1st year
Mr le professeur sinx=o est un cas particulier donc x=kpi
Attention l accolade signifie et
Ok bien.
Mon cher la somme des coefficients est égal à zéro -8+1+7=0 donc automatiquement l'équation admet comme solution initiale X0=1
Многое время потеряли на этот метод.
Il faut partir du théorème que cos carré de x plus sin carré de x égal 1.
Utilise la relation fondamentale