GRENZWERT berechnen ln - schwere Grenzwerte Uni, Studium
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- เผยแพร่เมื่อ 20 ก.ค. 2024
- Grenzwert berechnen ln
In diesem Mathe Lernvideo erkläre ich (Susanne) wie man schwere Grenzwerte bestimmen kann. Wir verwenden die Regel von de l'Hospital und bilden die Ableitung, um den Limes beweisen zu können. Eine Aufgabe aus einer Klausur von Mathematik für Ingenieure einer FH, die auf Leistungskurs Niveau im Abitur ist. Mathematik einfach erklärt.
0:00 Einleitung - Grenzwert berechnen ln
1:42 Regel von de l'Hospital
6:50 Ableitungen bilden
9:17 Ableitung ln mit Bruch
10:20 Ableitung Quotientenregel
16:00 Grenzwert bestimmen
19:06 Bis zum nächsten Video :)
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Das geniale an deinen Videos ist einfach, dass nach deinen Videos (auch bei so anspruchsvollen Aufgaben wie die hier) keine Fragen offen bleiben. Das liegt daran, dass du nichts für „trivial“ ansiehst oder auf andere Videos verweist, sondern einfach alles Stück für Stück erklärst. Super gemacht und mega verständlich, wie immer, danke :) Grüße Bernd
Bin schon 73. Habe als Chemiker immer Mathe geliebt. Danke Susanne, hier alte Erinnerungen aufzufrischen, ist ein richtiges Vergnügen.
Wie kann man sowas Kompliziertes nur so einfach erklären!? Danke! 🙏 Dank dir werde ich Mathe2 bestehen!
Dankeschön, dann wünsche ich dir jetzt schon mal ganz viel Erfolg für Mathe2!
Das kommt bei dir in Mathe 2 vor?
Ich will gar nicht wissen was bei mir in 2 vorkommt, wenn das der Anfang von MA1 ist......
Ich finde diese Aufgabe mega cool :) Da ist alles drin, was man so zur Berechnung von Grenzwerten wissen sollte 👍
Danke! Hey Susanne, an so eine ähnlich hammermäßige Aufgabe kann ich mich noch aus meinem Ing.-Studium erinnern. Bei der Klausur hatte sich der Audimax schon nach 20-30 Min. teilweise geleert, weil etliche Kommilitonen das "Handtuch geschmissen" hatten. Wenn sie Dich als Dozentin gehabt hätten, wäre das sicher nicht passiert. Danke schön und liebe Grüße!
Ja ich hatte mir die Susanne auch schon mal als Mathematiklehrerin in meiner vergangenen Schulzeit gewünscht, ist natürlich Quatsch, denn die Vergangenheit lässt sich ja nicht mehr ändern☺️.
Ingenieursmathe ist törichtes Zeug, da kriegt man die 1,0 glatt geschenkt, denn in den Klausuren kommen nur Rechenaufgaben dran. Die Differentiation komplexer Funktionen, Eigenwerte, Lagrange Formalismus, DGLs, alles ist trivial dort. Nur im Mathe Studium kommt ECHTES Mathe dran
Ach Leute, wir wissen doch alle worum es wirklich geht, sicher nicht darum, dass man sie gern als Dozentin/Lehrerin gehabt hätte. Warum sagt nicht endlich mal einer der Kommentatoren, was wirklich alle denken 🤔🤦♂️
@@Luna_and_Someone Wovon redest du?
Vielen Dank, dass Sie mich durch mein Mathe Abi gebracht haben…habe im Abi meine beste Mathe Note geschrieben und bin sehr zufrieden. Ich liebe Ihre Videos, welche einem durch Ihre entspannte Stimme die Angst sofort nehmen!
Du bist so seriös -
und doch so locker.
Du bist fachlich kompetent -
und zudem virtuos mit GoodNotes.
Was für eine hilfreiche Freude.
🤩😘🥇🌺
Mein Ing.-Studium ist schon über 30 Jahre her. Das war ein tolles Refresher in deiner gewohnt guldigen, gut strukturierten und routinieren Art der Präsentation. Vielen Dank!
Dankeschön für die lieben Worte!
Guldig? Also sowas wie goldig+geduldig?😁
Wow du bist ein echtes Superbrain! Und du kannst es auch so gut und logisch erklären daß jeder folgen kann. Super! Ich könnte das nicht. Immer wieder schön dir zuzusehen und zuzuhören. Toll!
Dankeschön für die lieben Worte! 😍
Mathe war mein Lieblingsfach in der Realschule, aber Grenzwerte und Ableitungen und Limes haben wir nie durchgenommen - aber habe davon schon mal gehört. Sehr informativ, aber jetzt muss ich erstmal meine Gehirnwindungen wieder sortieren, hehe. Du bist einfach SUPER im Erklären.
Sehr schön Schritt für Schritt erklärt.
L'Hospital wird an Schulen nur noch selten gemacht.
Vielen Dank, dass du dir auch mal schwerere Aufgaben vornimmst. Den Spagat für die Zuschauer muss man auch erst einmal hinbekommen.
Den L'Hospital habe ich in der Schule noch gelernt und bin umgehend in die Hospitalfalle gerannt. Jeder Anfänger versucht das anzuwenden was er gerade neu gelernt hat, daher habe ich versucht, irgendwas mit "null durch unendlich" hinzubekommen, wo nichts hinzubekommen war.
Was? echt?! Wie macht mann das dann stattdessen?!
@@Paartherapeut Na, gar nicht. Ich fand den L'Hospital in der Schule zwar recht faszinierend, aber mal ehrlich, im Alltagsleben braucht man den nicht. Dann kann man ihn auch aus dem Lehrplan streichen. Ohnehin verfolge ich mit Entsetzen, wie selbst hier in Bayern die Streicheritis umgeht. "Müsst ihr nicht wissen, lernt ihr an der Uni." Davon sind alle Fächer betroffen, nicht nur Mathe.
@@Paartherapeut Ich hatte den im Abi 2022 gar nicht. Wir hatten auch keinen limes oder so. An der Uni lernt man das dann sofort
@@lbgstzockt8493 oh ha. Der ganze KI basiert auf sowas
Beim letzten Schritt kann man auch den sehr hifriechen 😊Trick anwenden: Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x teilen, in diesem Fall x^2. Dann haben wir:
lim x->unendlich von -2 / (1 - 1/x^2), und das ist -2.
Das selbe wollte ich auch gerade erwähnen. Klappt bei sehr vielen Brüchen
genial
Du erklärst die Aufgaben echt super. So verstehen es alle die zumindest eine Grundlage haben. Vielen Dank für die Videos.
Interessant... Ich könnte das jetzt zwar nicht direkt selber, aber ich konnte immerhin folgen.... Da ich nächstes Jahr Wing Schwerpunkt ET studieren möchte, schaue ich viel Mathe Videos um auch die Kenntnisse wieder aufzufrischen etc. Bin ja "schon" 30, wobei ich mich wie 20 fühle :D Danke für die tollen und lehrreichen Videos..
Coole Aufgabe! Ich liebe das, immer tiefer absteigen, und dann Backtracking was wollte man eigentlich ursprünglich nochmal machen. Und am Ende löst sich alles in Wohlgefallen auf.
Wow, spitze. Danke dass du auf komplexere Aufgaben eingehst und nicht nur die Basics erklärst.
Super cool, ich hätte nicht gewusst wie. Ob ich es irgendwann mal brauche, ist mir egal. Es ist Mathematik, das ist das, was mich dran interessiert 😊
Haben wir auf der Uni auch erst letzens gemacht, sehr gute Wiederholung, danke! :)
Vielen lieben Dank! Mal wieder ein super Video und ich schaue sie mir gerne nebenbei an, um nicht einzurosten. Ich hätte ja bei der Ableitung (ab Minute 9:30 etwa) vom Logarithmus die Logarithmenregeln angewendet ln(a/b)=ln(a)-ln(b). Daraus folgt dann, dass ln( (x-1)/(x+1) ) =ln(x-1) - ln(x+1) und somit die Gesamtableitung etwas einfacher ist, da die inneren Ableitungen sehr einfach sind: d/dx ln( (x-1)/(x+1) ) = d/dx ln(x-1) - d/dx ln(x+1) = 1/(x-1) * 1 - 1/(x+1) = ( (x+1) - (x-1) )/( (x-1)*(x+1) ) = 2 / ( (x-1)*(x+1) ). Das scheint für mich der etwas "natürlichere" Weg zu zu sein, da ich Ableitungen von Brüchen gerne aus dem Wege gehe. Viele liebe Grüße und mache bitte weiter so super unterhaltsame und informative Videos!
Danke Dir!
Liebe Susanne, ich glaube das geht einfacher: Du kann die Gleichung umformen nach
ln [(1-1/x)^x / (1+1/x)^x]
(1-1/x)^x konvergiert nach 1/e für x nach unendlich und (1+1/x)^x konvergiert nach e für x nach unendlich
Der Term in der eckigen Klammer konvergiert damit nach 1/e^2 und wenn du die ln-Funktion, die ja die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, anwendest, dann erhältst du -2, also das gleiche Ergebnis.
Genau den Kommentar hab ich gesucht👍🏾
Bitte bitte bitte mehr uni videos, erklärst einfach sooo verständlich 😭😭
Thema aufgerfrischt, Danke! Schon etwas länger her, jetzt könnt ich's wieder ;-)
Perfekt, das freut mich! 😊
Die ganzen Berechnungen sagten mir garnix, aber dir zuzuhören und -schauen macht mir immer Freude!!
Wie bist du denn drauf? Natürlich ist ihre Art netter als das total trockene Gesabbel manches Dr. Prügelpeitsch, nur was ständig ansehen was ich nicht kapiere (folglich nie nutzen kann??), sorry, entweder ist das dir Ersatz für fehlende Musik-Beiträge , oder du solltest dir mal nen Hobby anschaffen....😎
perfekte Sprechstimme, einfach, aber sehr korrekt erklärt. Wirklich ganz große Klasse!
Wow, dankeschön für die lieben Worte!
fantastisch! klar, verständlich erklärt und es macht auch noch spass. so müssten mathevorlesungen ablaufen.
Hallo Susanne! Spannend bis zum Schluss. Tolle Erklärung!
Super erklärt. Vielen lieben Dank 🙏🙏.
Danke für das Video!!
Hat mir sehr geholfen👌
du bist einfach die Beste !!! Vielen Dank
Obwohl mein Kopf ausgebrannt ist habe ich alles verstanden. Super erklärt.
Super, das freut mich! 😊 Aber wieso ist dein Kopf denn ausgebrannt? 🙈
Mathe in der Uni ist weit weg von dem was ich je gelernt habe. ^^
Super, perfekt erklärt 👍
Vielen Dank! Ein perfektes Beispiel!
Wie immer: Hervorragend dargestellt!!!
Dankeschön!
Den letzten Schritt hätte ich jetzt ohne de L'Hospital gemacht: -2x² / (x²-1) mit x² kürzen:
-2 / (1-1/x²) -> für x gegen unendlich läuft 1/x² gegen 0. Übrig bleibt -2 / (1 - 0) = -2.
Spannendes Video - richtiger Mathekrimi ! 😎
Naja man kann sich auch das Wissen zu nutze machen, dass wenn der Grad des Zählers und des Nenners gleich ist, der Grenzwert sich mit dem Koeffizienten des höchstens Grads im Zähler durch den Koeffizienten des höchsten Grads im Nenner ermitteln lässt. Das lässt sich auch durch l' Hospital sehr schön zeigen. Dein Weg ist natürlich auch möglich. Das ist ja das schöne in der Mathematik, es gibt mehrere Wege, die zum Ziel führen.
super Aufgabe um alles zu capturen :) danke dir
gut gewählte Aufgabe und stark erklärt!
Diese Regel von L'Hospital hatte ich nicht mehr in Erinnerung oder nie gehört.
Tolle Rechnung!
Danke für das tolle Video👍 hast es hundertmal besser erklärt als mein Mathe Dozent
Super, freut mich, dass ich dir weiterhelfen konnte! ☺️
MATHEKLAUSUR.... wenn man mit ALLEM!!! rechnen muss :-P
Sehr übersichtliche nachvollziehbare Erklärung, die man auch - wenn man sich auf eine Klausur vorbereitet etwa - mit- und nachvollziehen kann.
Perfekt erklärt !
Dankeschön Peter! ☺️
Super erklärt.
Ich glaube ich hätte es mir einfach gemacht und schon bei Lim 8/8 aufgehört und die Aufgabe vergeigt. Super erklärt.danke.
Cooles Beispiel, vielen Dank dafür!
Sehr gerne! :)
In einer halben Stunde ist die Prüfung. Schön das es solche Videos gibt um in das Mindset zu kommen solche Aufgaben zu lösen.
Na dann ganz viel Erfolg! 🥳 Berichte gerne danach wie es gelaufen ist! 😊
@@MathemaTrick Ich habe das ziemlich sicher bestanden. Die Grenzwertaufgabe lim x->0 sin(x)^x habe ich nicht hinbekommen. Ich habe versucht sinx durch tanx/cosx zu ersetzen aber ich kam nicht auf einen L'Hopital-Fall.
@@MathemaTrick Ich habe mir die Aufgabe noch Mal angeschaut. Mit dem e hoch ln Trick kommt man ganz schnell auf die Lösung.
Ich kann ja noch Mal etwas mehr ausholen. Irgendwie beschäftigt mich die Klausur immernoch.
Erste Aufgabe ableiten und vereinfachen. War einfach. Vielleicht habe ich ein paar Punkte beim Vereinfachen liegen lassen.
Zweite Aufgabe: Analyse einer gebrochen rationalen Funktion. Ich habe nach dem ableiten irgendein Vorzeichen verbockt und hatte kein x mehr im Zähler. Ich habe also das eine Minimum das drin sein müsste nicht gefunden. Ich habe die Funktion aber richtig skizziert weil ich zwei Nullstellen zwischen den Polstsllen hatte.
Dritte Aufgabe: Grenzwerte Teilaufgaben a und c konnte man ganz einfach mit den Methoden die in dem Video vorkommen machen. Für b bin ich irgendwie nicht auf den richtigen Ansatz gekommen.
Aufgabe 4: Integrieren War machbar. Eine Teilaufgabe war der Mittelwert eines bestimmten Integrals. Das war wirklich einfach. Die anderen Teilaufgaben habe ich als vorletztes gemacht als ich schon Zeitnot hatte. Ich habe da nichts mehr vereinfacht, aber das war auch nicht ausdrücklich gefragt.
5. Aufgabe: Funktion zweier Veränderlicher Ich glaube hier habe ich ein paar Punkte liegen lassen. Ich denke ich habe nicht alle Extrempunkte gefunden.
6. Aufgabe: Die Denkaufgaben finde ich immer am spannendsten. Es war nach dem größten Recheck dessen Eckpunkte auf zwei gegebenen Parabeln liegen gesucht. Ich habe mir eigentlich lieber eine schwerere Aufgabe auf die es mehr Punkte gibt gehofft. Die Aufgabe war wirklich einfach.
Wenn es das noch nicht gibt, ein Video zum Faktorisieren wäre gut.
Disziplin ist halt alles, und die Übung in den Verfahren. Ich hätte auf halbem Wege aufgegeben. Danke für die Wiederholung!
schön erklärt
Ich studiere noch nicht, aber man kann dir sehr gut folgen.
Bevor ich das Video angeklickt habe, hab' ich mal selbst versucht. Ich kam zwar nicht auf die Lösung, allerdings kam ich darauf, dass der Grenzwert negativ sein muss.
Das war eine super Aufgabe und klasse gelöst!
Dankeschön!
die Ableitung des ln geht auch so: ln((x-1)/(x+1)) = ln(x-1) - ln(x+1), die Ableitung ist also einfach 1/(x-1) - 1/(x+1)
Das habe ich mir auch gedacht. ;)
Bitte mehr Uni Videos 🙏
Werden kommen! 😊
Danke Ihnen ❤
Diese Aufgabe erfordert schon ein umfassendes Mathewissen. Gleichwohl sehr interessant.
Cooles Video , könntest du vielleicht mal ein Video raus bringen mit schweren Ableitungen bzw Integrale auf Uni Niveau?
Schönes Video. Ich dachte nicht, dass sowas heute auch in einer Klausur vorkommt. In Analysis-Klausuren gab es bei mir nur Beweise, niemals aber etwas zum Rechnen. Das durften wir nur in linearer Algebra. Z. B. die 7. Potenz einer 4x4-Matrix berechnen.
Ist ja auch sinnvoller als "nur" Regeln auswendig zu lernen und dann anzuwenden. Das ist mehr eine Wissensaufgabe. Da sind Induktion oder Beweise durchaus sinnvoller.
Erinnert mich an mein Ingenieursstudium von vor einigen Jahren, natürlich etwas schwierigere Aufgaben. Dennoch gut für ein Flashback.
Peter Volgnandt
Wunderschön erklärt. So rein intuitiv hätte ich geglaubt, dass der Grenzwert auf Null hinausläuft, aber Null mal Unendlich ist natürlich nicht immer Null. Während meines Studiums nannten wir die Regel die Lazarettregel, wegen Hospital. Der hatte die aber angeblich von Bernoulli.
Aus Wiki: Mit der Regel von de L’Hospital[1][2] (gesprochen [lopi'tal]) lassen sich Grenzwerte von Funktionen, die sich als Quotient zweier gegen Null konvergierender oder bestimmt divergierender Funktionen schreiben lassen, mithilfe der ersten Ableitungen dieser Funktionen berechnen. Eine analoge Aussage für Folgen anstatt von Funktionen ist der Satz von Stolz-Cesàro.
Die Regel ist nach Guillaume François Antoine, Marquis de L’Hospital (1661-1704) benannt. L’Hospital veröffentlichte sie 1696 in seinem Buch Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes, dem ersten Lehrbuch der Differentialrechnung. Er hatte sie aber nicht selbst entdeckt, sondern von Johann I Bernoulli gekauft.[3]
Wenn ich die Funktion von Wolframalpha plotten lasse, dann sieht man schön, dass sie schnell nach zwei konvergiert.
Geil. Hat spass gemacht
Ich habe diese Aufgabe in einer Probeklausur mit der veränderung x^2 statt x. Super Video habe es endlich verstanden. Doch wenn dies nur eine von 8 Aufgaben wird weiß ich ehrlich gesagt nicht ob ich das zeitlich schaffen werde 😅
Liebe Susanne, nur mal ‚ne Frage. Habt Ihr auch zur Regel von Le ‚Hospital auch „Krankenhausregel“ gesagt? Ist nur so ‚ne Fragen
Cooles video!
Muss man sowas in wirtschaftsmathe (BWL) können oder eher im Ingenieurwissenschaftlichen Bereich?
So was macht Spaß. 😄
Das freut mich!
ja, das war mal richtig, richtig gut - Im Abi .. damals .. habe ich den Lehrer dafür "innerlich" stranguliert ;-) - der hatte es nicht im kleinsten verstanden so etwas zu erklären. -Sehr gut! 1*
Danke!
Nur als Frage: Warum nicht am Ende x^2 aus dem Nenner ausklammern und gegen den Zähler kürzen, dann steht im Zähler schon die -2 und man sieht direkt, dass der Nenner gegen 1 geht, also der Gesamtgrenzwert -2 ist?
Da bin ich als Ing. wohl irgendwie drum herum gekommen. Gut erklärt, obwohl ich noch nie davon gehört habe... und nicht weiß, was ich damit anfange. :P
Gut gings mir dabei :)
Das freut mich!
Merci 🙏🏼
De rien! 😜
Eine Frage zu 18:26:
Wieso wendet man hier L'H. an? Hätte man hier nicht das x² faktorisieren und kürzen können und danach die Grenzwertbetrachtung machen können (mein Ergebnis= -2/1 an sich doch auch korrekt??)
Und wieder mal super erklärt, mir sind viele Kleinigkeiten noch einmal klarer geworden!
Klasse!
Dankeschön! 😍
Vielen Dank! Perfektes Timing!
Bin unmittelbar vor dem Video mit dieser Aufgabe*, (ENDLICH!!!) zu 95 % fertig geworden, und hatte bzw. habe noch ein paar Unsicherheiten, ob ich die Regeln** korrekt angewendet habe. Das Gelernte vom Video wird mir bestimmt dabei helfen!
* lim x -> 1 [arctan((1-x)/(1+x)] / (1-x) (Wer will, darf mir seine Lösung hinschreiben und ich löse später auf. - Sie war mir schon gegeben)
** Feinheiten zu BH: wie darf man ihn anwenden, wenn man nur einen Teil damit löst, dann wieder zurückspringt usw.
Wow, ich bin hin und weg
Danke Susanne
Die Regel von l’Hospital kenne ich nicht. Vielleicht kannst du hierzu ein seperates Video machen
Das freut mich riesig! Schau mal hier habe ich ein separates Video zu l’Hospital: th-cam.com/video/XEY9K6YdmBI/w-d-xo.html
Mit der Taylorentwicklung kann man das auch sehr schnell machen: Man ersetzt x-1 durch x+1-2, sodass im Argument vom ln der Term 1-2/(x+1) steht. Da der Logarithmus um 1 analytisch ist kann man den Logarithmus um 1 entwicklen: ln(1 - 2/(x+1)) = 0 - 2/(x+1) + .5*4/(x+1)^2 + ... Die höheren Terme kann man aufgrund der Konvergenz der (analytischen) Reihe auch abschätzen, sodass man die Multiplikation mit x und den Limes auch in die Summe ziehen kann. Man erhält: lim[x -> oo] x*0 + lim[x -> oo] x*-2/(x+1) = -2 und einen "Fehlerterm", der im Betrag kleiner gleich lim[x -> oo] x*2*.5*4/(x+1)^2 = 0 ist. Die Multiplikation mit 2 im Fehlerterm ist die Abschätzung und beliebig. Man könnte auch jede andere Zahl größer 1 nehmen. Jedenfalls ist auch somit gezeigt, dass der Limes gegen -2 konvergiert.
Hab das früher mit dem Grenzwert nie verstanden, aber so langsam kommt Licht ins Dunkle.😁
Das freut mich! Wobei das hier jetzt nicht das geeignetste Video für den Einstieg ist.
Wahnsinn, da hätte ich auch, in einer Klausur das Handtuch geworfen. Trotzdem sehr nachvollziehbar, Schritt für Schritt erklärt.
Darf ich l'H. Anwenden so oft wie ich will bis alle x zur konstante abgeleitet sind bzw. Man einen Lim berechnen kann? Oder gibt es da was zu beachten?
l'H habe ich noch in der Schule gelernt fürs Abi haha also war alles bekannt.
bitte mehr so Uni / FH Aufgaben
Würde mich freuen, wenn du ein Video machst, in dem du den Grenzwert mit Taylorreihe bestimmst
Auf jeden Fall spannend wie lange so etwas dauern kann
Hey :)
Mega gut erklärt und habs auch verstanden😁. Aber wäre unendlich ×0 nicht null? Ich dachte, da es komplett egal ist, wie hoch unendlich ist, alles was mit 0 multipliziert wird, wird zu 0?
Bei der Betrachtung von Grenzwerten und immer wenn unendlich vorkommt darf man diese Regeln nicht mehr anwenden. Unendlich ist keine Zahl. Entscheidend ist auch, wie steil die Funktion an den Grenzwert ansteigt/abfällt/alterniert etc. Deshalb können die Grenzwerte unendlich mal null irgendwas ergeben, und man muss mehr analytisch vorgehen.
Gutes Video 😁
Habe jetzt allerhand Videos von dir zu diesem Thema angeschaut.
Meine Frage lautet: Wofür brauch man das?! Ist ja furchtbar 🫣😂
Mache eine Weiterbildung zum Techniker (Elektrotechnik) und da wir nebenbei die Fachhochschulreife machen, haben wir auch die Fächer Mathe, Deutsch, Sozi, Chemie, Physik. Und in Mathe behandeln wir gerade auch sowas. Hoffe aber das wird nicht so umfangreich wie hier ... falls doch, krieg ich nen Schlaganfall 😅
E-Technik ist mehr so meins 🤓
Cool Danke
Gerne ;)
Habt ihr den Knall gesehen und den Rauch gehört? Das war meine Birne die explodiert ist.
Echt irre, wie gut du das erklären kannst. Geh doch bitte an die Unis lehren. So wie du das machst macht das echt Spaß!!! DANKE!!!
Interessant und sehr gut erklärt!
Vielleicht hätte man den Namen Deluppitall ;-) nochmal im Video einblenden können, für diejenigen, die die Beschreibung nicht gesehen haben … französische Aussprache ist ja nicht jedermanns Sache.
Kurze Verständnisfrage: Hätte man nicht bei Minute 18 schon beide x^2 kürzen können und wäre somit auch auf die -2 als Grenzwert gekommen?
Wenn man mehr Hintergrundwissen hat, kann man das auch mit der Laurent- oder der Maclaurin-Reihe lösen:
Wenn log(z + 1) = z - z^2/2 + z^3/3 - z^4/4 + z^5/5 - ... mit z = (x-1) / (x+1) - 1 = -2 / (x+1) ist, dann bekommt man den Logarithmus mit dem entsprechenden Term drinnen, also ist die finale Gleichung: lim x -> inf -2x / (x+1) - x/2 * (2/(x+1))^2 + x/3 * (2/(x+1))^3 - ...
Anschließend wendet man L'Hospital auf den ersten Term an, um so die -2 zu erhalten, denn die Summe aller anderen Terme konvergiert gegen null.
Letzteres kann durch die Untersuchung des Restgliedes gezeigt werden:
Setzt man für das Restglied R = z^(n+1) / (n + 1) ein z = -2 / ( x + 1) ein, so erhält man eine asymptotische Annäherung an die null, sofern x -> inf.
die Aufgabe ist echt grenzwertig
Wieso wird bei x-1 / x+1 nicht die Quotientenregel genutzt ?
Keine Ahnung wie lange ich schon nicht mehr mit l'Hopital zu tun hatte, war eine erstklassige Auffrischung. 😀
Hey Thomas, freut mich, dass ich deine grauen Zellen nochmal aktivieren konnte!
Wo waren Menschen wie du in meiner Kindheit und vor allem vorne an der Tafel?
Letztlich machst du ja auch eine Form von Frontalunterricht, doch es ist deutlich besser verständlich. Kann aber auch daran liegen, dass ich die Kindheit/Jugend seit ein paar, wenigen, Jährchen hinter mich gebracht habe und damit das Hirn für solche Dinge aufnahmefähiger geworden ist.
Diese Art von Mathe brauche ich nicht in meinem Beruf oder in meinem Leben. Also eigentlich völlig unnütz, dass ich es mir ansehe. Dennoch schaue ich mir deine Videos gerne an und verfolge diese interessiert, seit mir YT den Kanal, warum auch immer, angeboten hatte.
Hirn aufnahmefähiger geworden ... ja, dann hat die Schulmathematik so gewirkt, wie sie sollte, nämlich als Hirnjogging. Damals in der Schule war diese Aufgabe "schwer", aber nach viel Jogging waren die entsprechenden Synapsen eben vorhanden.
@@Wolfgang3418 Naja die hier behandelten Themen sind weit über dem, dass ich einst in der Schule lernte. Gerade mal Realschule gehabt.
Dennoch finde ich es verständlich.
Danke für das Video. Könnte man am Ende auch die x² beim Zähler und Nenner rausmultimplizieren? Dann wäre -2 /1 = -2, da der Rest 1 durch Unendlich wäre, sprich Null.
Was hilft, das ganze etwas zu beschleunigen, ist wenn man sich für Polynombrüche folgendes merkt (das kann man sich mit l'Hospital oder durch ausklammern der höchstens Potenz schnell selbst überlegen): Bei Bruch mit Polynomen nur die höchsten Potenzen anschauen: Hat der Nenner größeren Exponenten geht es gegen Null, hat der Zähler den Größeren gegen Unendlich (divergiert) und wenn beide Gleich sind, dann konvergiert es gegen den Quotienten der Koeffizienten der beiden höchsten Potenzen. Damit sieht man am Anfang gleich, dass das (x-1)/(x+1) gegen 1 geht, und am Ende das (-2x^2)/(x^2-1) gegen -2.
Hallo Susanne, ewig lange her und nie gebraucht! Supi wäre noch wenn du immer wenn möglich die Funktion in GEOBRA zeigen und interpretieren könntest.
Grüße aus Mönchengladbach
❤️❤️
Wie berechnet man die Belastungsgrenze einer Hohlkugel.,?
Warum gibt es keine Vacuum Luftschiffe? Wie tief kann ein Hühnerei tauchen?
Ich hab den ln umgeschrieben zu x * (ln(x - 1) - ln(x + 1)). Da spart man sich 1x L'Hospital und die Ableitungen sind sehr einfach.
Sie macht doch immer alles auf die denkbar längste Weise. Das ist das Konzept des Kanals. Gefällt mir allerdings auch immer weniger. Zur Mathematik gehört es auch, elegante Lösungen zu finden, wie du richtig anmerkst.
Sie kann ja gerne auch mal den langen Weg zeigen - aber zumindest sollte sie halt auch erwähnen, dass und wie es auch kürzer geht!
Ich kann auch den Bronstein auswendig lernen - muss ich aber nicht. Ein Weg den ich mir sicher herleiten kann und einfach abspule macht für viele mehr Sinn - insbesondere im Klausurstress.
@@johannmeier6707 Ich denke, sie will genau das - dass die Konsumenten ihre eigenen Elegänzchen entdecken, selbst die Stellen wahrnehmen, an denen sie "schon wissen, wie's geht".
@@quaddelyt Der Weg "ich vereinfache erstmal Terme, bevor ich ableite" ist doch ein eleganter Weg. Dafür muss man den Bronstein doch nicht auswendig lernen...
Du wagst dich auch immer an die schwersten Mathe-Aufgaben ran die es so gibt und zeigst es uns allen in Kinderleichter Form. Immer wieder beeindruckend wie du dies auch immer wieder selber alles kannst und es uns allen zeigst wie es funktioniert.
… das sieht man doch sofort ;)
Das war wirklich beeindruckend.
Das ist doch keine schwere Aufgabe. Das wäre im Abitur schwer, oder im ersten Semester vielleicht noch. Setz dich mal ins 3. Sememster Physik Bachelor und mach theoretische Elektrodynamik (Laplace-Gleichung lösen mit Kugelflächenfunktionen).
@@johannmeier6707 Da nehme ich mir doch lieber ein Eis und leg mich etwas in die Sonne.
Schönes Video. Die Lösung ist OK, jedoch mit solch schweren Geschützen wie mehrfacher L'Hospital-Anwendung.
Es geht aber viel eleganter mit der Definition (bzw. äquivalenter Darstellung) von e als
e = lim (1 + 1/t)^t bei t gegen Unendlich
kleine Hilfe: Substitution x = 2t +1
Danke!
Über 20 Jahre zu spät 😜 Hat aber auch damals noch für 8 Punkte gereicht, auch wenn ich nie weiß wie