EDIT: Das Endergebnis ist richtig, aber bei Minute 0:50 müsste sich das ≤ Zeichen in ein ≥ umdrehen, da die Basis des Logarithmus mit 2/5 kleiner als 1 ist. Allerdings ändert das nichts am Endergebnis, da sich das Zeichen in Minute 4:28 nochmal von ≥ in ≤ umdreht, da die Basis wieder kleiner als 1 ist. Ein großes SORRY!
Ein Extra-Däumchen für deinen Charakter, zu deinem Fehler zu stehen. Ungleichungen sind bei Umformungen wirklich ein gefährliches Gelände, wo wohl jeder schon einmal ausgerutscht ist (Ich auf jeden Fall schon mehr als einmal). Mache doch einmal ein VIdeo dazu, auf was man bei der Umformung von Ungleichungen verglichen mit Gleichungen besonders achten muss.
Stimmt genau, so hab ich auch zweimal argumentiert, daß die Basis kleiner als 1 ist. Übrigens könnte man am Schluß das Endergebnis zusätzlich zur Mengenschreibweise mit geschweiften Klammern auch noch in Intervallschreibweise mit eckigen Klammern schreiben, also L = [-4, -1].
@@eisikater1584 Wäre die Basis beim zweitenmal größer als 1 gewesen, wäre es falsch herausgekommen. Darum spielt es für zukünftige Berechnungen halt doch eine Rolle :-)
@@goldfing5898 Ja, die Intervallschreibweise ist das, was ich in der Schule gelernt habe. Nur aufpassen: Offenes oder geschlossenes Intervall, und wenn offen, in welche Richtung? Und wir mussten die Zahlen mit Strichpunkt ; trennen, weil, könnte man ja sonst für'n Komma halten.
Ich war damals im Gymnasium ja Mathefreak, aber das hier war jenseits dessen, was wir damals gemacht haben. Beeindruckend jedes Mal, wie locker Du durch solche problematischen Aufgaben durchnavigierst. 🎉
Danke! Hey Susanne, als Mathematikerin bist Du wirklich Spitze (als Sängerin auch). Die Aufgabe fand ich sehr schwierig, aber deinem Lösungsweg konnte ich gut folgen. Mein Ing.-Studium ist schon mehr als 40 Jahre her, daher habe ich nicht mehr die Übung, um so etwas aus dem Stehgreif zu rechnen. Aber wie gesagt, Klasse von dir vorgeführt. Ich habe wieder etwas gelernt. Deine Aufgaben-Präsentationen sehe ich mir immer wieder gerne an. Viele liebe Grüße!
Gute Übung, um wieder mal Mathe mit log - Funktionen zu machen. Und man lernt - unerwartet - was dazu. "Satz von Vieta" kannte ich bisher noch nicht oder ich hab's total vergessen. Danke für die interessanten 10 Minuten. Herzliche Grüße, G.
Für mich als Laie war es jetzt tatsächlich noch spannend, die -1, -2, -3 und -4 in die Gleichung einzusetzen und zu sehen, daß die Ergebnisse kleiner oder gleich Null sind. 😊 Vielen Dank für die tollen Videos, die inzwischen zum täglichen Erholungsprogramm gehören! 👍
(-1)^2 +5*(-1)+4= 1-5+4=0 (-2)^2+5*(-2)+4=4-10+4=-2 (-3)^2+5*(-3)+4=9-15+4=-2 (-4)^2+5*(-4)+4=16-20+4=0 (Natürlich ist zu beachten, das die ungleichung auch für alle anderen reellen zahlen zwischen -1 und -4 gilt)
Hätte es während meiner Realschulzeit (1996-2002) schon TH-cam und solche Kanäle gegeben, wäre ich nicht so gravierend an Mathe gescheitert. Heute mach ich den Techniker und kann alles nachholen und wirklich auch verstehen. Vielen Dank dafür!
Themen wie diese sind echt eine (oder mehrere) Nummer(n) zu groß für mich. Ich schaus mir trotzdem total gerne an, weil: 1. Man nimmt immer etwas mit, und wenn man irgendwann später auch nur sagen kann "ah, da hab ich mal was von gehört". Und 2. Logisches Denken wird geschult. Mir hat es jedenfalls schon das ein oder andere mal im Alltag geholfen, durch die Videos logisches Denken neu erlernt zu haben.
grüss dich, susanne - ich hab 5/2 umgewandelt in 2/5exp -1 und dann die exponenten gleichgesetzt, aber das entlogarithmieren war für mich lehrreich, danke
Hey Susanne ich bin noch nicht lange dabei und lerne aktuell für meine Uni Klausuren MAthe bei dir und finde es sehr gut wie du alles erklärst. Deinen Erklärungen zu folgen ist super einfach und ich wollte dich in deinen Kommentaren mal fragen wie man dir Aufgaben zukommen lassen kann an denen ich scheitere. Mach bitte weiter so! lg Alex
Eine schöne Aufgabe.🌸 Die quadratische Ungleichung hätte ich dann lieber mit pq-Formel gelöst und auf dem Zahlenstrahl die Intervalle eingetragen. Aber es ist eine Geschmackssache.
Eigentlich kann man die Aufgabe gleich vereinfachen: der gesamte log-Ausdruck muss -1 werden, da 2/5 ** -1 = 5/2 ist. Man erhält dann (1/4) ** -1 = x**2 + 5x +8
-1 und -4 sind die Nullstellen von x**2 + 5*x +4 = 0 und über die Ableitungen erhält man einen negativen Tiefpunkt bei -2,5, deshalb gilt in dem Bereich x=-1 bis x=-4: x**2 + 5*x + 4
Ist das bei der Logarithmisierung nicht ein Vorzeichenfehler? Der Logarithmus auf der Basis 2/5 ist ja monoton fallend, müsste man das Kleiner-Gleich da nicht zu einem Größer-Gleich umdrehen? Wobei dieser Fehler allerdings nicht auffällt, wenn man den gleichen Fehler danach nochmal macht, denn (1/4)^... ist ja auch fallend und somit müsste man die Relation dort nochmal umdrehen und hätte wieder ein Kleiner-Gleich...
Ja du hast absolut Recht, ups! Hab es im angepinnten Kommentar richtiggestellt. Was habe ich für eine super schlaue Community, Dankeschön für den Hinweis! 😊
@@MathemaTrick Eventuell hast du dein Konzept wie du in Bezug auf deinen Kanal vorangehst, doch könntest du, falls du keine spezifischen Verlauf geplant hast uns Humanwissenschaftlern helfen, vor allem uns Pädagogen. Mathe ist nicht unsere Stärke, doch wir haben leider Statistik und es fällt den meisten verrammt so schwer. Wir bekommen jede Woche Übungsblätter mit Aufgaben, wäre es möglich diese Aufgaben bzw. ein Blatt mit ca. 4 Aufgaben auf deinem Kanal zu bearbeiten. Damit würdest du jedes Jahr hunderten und tausenden von Humanwissenschaftlern helfen. Bin mir sicher das du es viel besser erklären könntest. Es wäre halt schön, wenn man beispielsweise erklären würde, wie man vorangehen muss, welche Formel genommen werden muss und dann die mathematischen Zeichen erklären, was die die einzelnen Abschnitte der Formel aussagen, wo was eingesetzt werden muss oder bei Grafiken, was diese Aussagen etc. Am schwierigsten ist für mich die mathematische Sprache, für viele Andere auch. Ich weiß nicht ob du so etwas vor hast, eine Aufgabe dauert wirklich nicht lange, auch wenn es pro Tag nur eine Aufgabe wäre, wäre es in Ordnung. Viele Humanwissenschaftler haben Probleme damit, es ist einfach für einen nicht mathematisch fokussierten Menschen bei der Vorlesung oder im Seminar mitzukommen.
Für die Logarithmen hätte ich deutlich länger gebraucht als du, aber war immerhin einleuchtend. Nur bei der quadratischen Gleichung dann, da hätte ich mit pq rumgewurschtelt. Satz von Vieta, der war mir vollkommen entfallen, aber ja, wenn's passt, dann ist das 'ne schöne Abkürzung. Danke dafür!
Lösung: Zunächst schreiben wir 5/2 als (2/5)⁻¹. Das ist möglich durch das Potenzgesetz 1/a = a⁻¹, denn 1/(5/2) = 2/5. Dann kann man auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 2/5 anwenden. Da Logarithmus < 1 eine stetig *fallende* Funktion ist, ändert sich das "kleiner gleich" Zeichen zu "größer gleich". Die Gleichung wird: log₀.₂₅(x²+5x+8) >= -1 Um den Logarithmus aufzulösen, werden beide Seiten zum Exponent von 1/4, also (1/4)ⁿ. Da (1/4)ⁿ wieder eine stetig *fallende* Funktion ist, ändert sich das "größer gleich" wieder zurück zu einem "kleiner gleich". Außerdem wird (1/4)⁻¹ zu 1/(1/4) also zu 4. x²+5x+8
Super interessantes Video und eine sehr gute Erklärung! 👍Und ich wollte fragen ob du Mal ein Video über punktweise und gleichmäßige Konvergenz machen könntest, so eins bräuchte ich echt dringend...
Hi, also der erste Schritt mit dem beidseitigen Log. Kann man durch Koeffizientenvergleich in der Ungleichung überspringen! Es wird dann klar, daß der Exponent max. -1 sein darf oder eben negativer. Das ist meiner Meinung nach 'ingenieurmässiges' Denken. Auch wenn du es mathematisch sauber machst, eleganter und professioneller ist an der Stelle Koeffizientenvergleich
Sieht auf den ersten Blick kompliziert aus. Das Problem beginnt evtl. schon damit zu wissen, dass man am Ende eine Lösungsmenge für X angeben soll, was man in dem entsprechenden Fach aber bestimmt vor der Prüfung vermittelt bekommt. Wenn man dann noch die Logarhytmus-Gesetze kennt oder gar aus Hilfsmitteln mit Beispielen ablesen kann, wirkt es schon machbarer. Trotzdem werden solche Aufgaben grade in zeitlich begrenzten Abfragen aller Art als nervig empfunden, bei denen man erstmal "auf Verdacht" umformen muss, in der Hoffnung, hinterher einen brauchbareren Ausdruck zu erhalten. Ich empfand es immer als frustrierend, dass einem sofort die Zeit für eine alternative Idee fehlt, wenn die erste Vermutung für einen Lösungsansatz die falsche war.
Bei der rechten Seite hätte ich's mir etwas einfacher gemacht: log_(2/5)(5/2) ist die Lösung von (2/5)^z = 5/2, also -1. Den Satz von Vieta habe ich etwas anders gelernt: x² + px + q = (x + a)(x + b) mit a + b = p und ab = q. Deswegen war ich einen Moment lang irritiert, als du bei der 5 das Vorzeichen umgedreht hast, aber die Lösungen für die Nullstellen sind dann natürlich -a und -b. 💡 Und wenn man am Ende nicht auf die Idee der eleganten Argumentation mit der nach unten geöffneten Parabel kommt oder das Polynom mehr Grade hat, gibt es noch andere Möglichkeiten: a) Stetigkeit des Polynoms feststellen (trivial) und dann je einen Wert links, dazwischen und rechts der Nullstellen einsetzen, um die Vorzeichen jedes Bereichs zu bestimmen. b) Die Ableitung des Polynoms an den Nullstellen betrachten: Ist sie dort positiv, wechselt das Vorzeichen der Funktionswerte von - nach +; ist sie dort negativ, von + nach -. Die Lösungsmenge hätte ich in der Kurzform [-4; -1] hingeschrieben.
Man kommt auch zum Ziel, wenn man die Un-Gleichung erstmal mit 2/5 multipliziert. Dann entsteht Rechts eine 1 und Links kann man statt der Multiplikation mit 2/5 zu diesem von Exponenten Log..()... eine 1 addieren. Jetzt kommt man zu der Überlegung, dass, weil da 2/5 als Basis stehen, der Exponent nur 0 (der Ausdruck wird 1) oder größer als 0 (der Ausdruck wird kleiner als 1) sein kann, um die Ungleichung, nämlich eben 1 (die da Rechts steht) oder kleiner als "diese" 1, zuerfüllen. Jetzt kann man sich einfach diesen Exponenten 1+ log...(...) schnappen. Aus der Erkenntnis oben ergibt sich eine neue Ungleichung: 1 + log...(...)
Eine sehr schöne Aufgabe. Die Anwendung der monoton fallenden Funktionen, die eine Umkehrung des Ungleichheitszeichens hätte zur Folge haben müssen, wie in einigen Kommentaren zu Recht angemerkt, ist mir im Video gar nicht aufgefallen. Das lag vielleicht daran, dass ich einen etwas anderen Weg genommen habe, um diesen Fallstrick zu umschiffen: (2/5)**log(1/4,x²+5x+8)
Lösung: (2/5)^[log1/4(x²+5x+8)] ≤ 5/2 = (2/5)^(-1) |gleiche Basis, aber Umkehrung des Kleinerzeichens, weil y=(2/5)^x monoton fällt ⟹ log1/4(x²+5x+8) ≥ -1 ⟹ (1/4)^(-1) ≥ x²+5x+8 ⟹ 4 ≥ x²+5x+8 |-4 ⟹ x²+5x+4 ≤ 0 Die Funktion y = x²+5x+4 ist eine nach oben geöffnete Parabel, die nur zwischen den Nullstellen kleiner oder gleich 0 ist. D.h. ich muss von der Funktion y = x²+5x+4 die Nullstellen suchen. x²+5x+4 = 0 |p-q-Formel ⟹ x1/2 = -5/2±√(25/4-4) = -5/2±√(9/4) = -5/2±3/2 ⟹ x1 = -5/2+3/2 = -1 oder x2 = -5/2-3/2 = -4 ⟹ Nur zwischen diesen beiden Nullstellen x1 = -1 und x2 = -4 ist x²+5x+4 ≤ 0, d.h. es muss sein: -4 ≤ x ≤ -1 Das ist die Lösung. Probe für x=-2: x²+5x+8=2 (1/4)^(-1/2)=2 (2/5)^(-1/2)=√(5/2) ≤ 5/2 stimmt Probe für x=-5: x²+5x+8=8 (1/4)^(-3/2)=8 (2/5)^(-3/2)=√(5/2)³ ≤ 5/2 stimmt nicht Probe für x=0: x²+5x+8=8 (1/4)^(-3/2)=8 (2/5)^(-3/2)=√(5/2)³ ≤ 5/2 stimmt ebenfalls nicht
Hallo Susanne, darf ich vielleicht einen request machen. wir schreiben bald die matheklausur an der Hochschule. könntest du vielleicht falls du zeit hast einen video über den Rang der Matrix machen und wie man sie bestimmt
Ist eigentlich nicht schwer. Das durch die Matrix beschriebene (homogene) Gleichungssystem mit Gauss lösen. Es reicht bis zur Zeilenstufenform umzuformen. Die Anzahl der nicht 0 Zeilen ist der Rang. Es gilt Zeilenrang=Spaltenrang.
@@haraldreimann-trusheim2993 was bedeutet homogen? was war nochmal das Gegenteil? unhomogen? Was bedeutet das? Hatte das auch in der Mathevorlesung heute, und irgendjemand neben mir hat die ganze zeit gequatscht und ich konnte nicht verstehen was sie gesagt hat, wollte das eigentlich noch nachschauen, ob sie inhomogen heterogen oder unhomgen gesagt hat.
@@craig4android bei einem homogenen Gleichungssystem ist der Lösungsvektor ( also die rechte Seite ) 0. bei einem inhomogenen GLS ist es ein beliebiger von Null verschiedener Vektor.
Auf der rechten Seite kann man 5/2 durch (2/5)^(-1) ersetzen, um die Basen gleichzumachen. Jetzt betrachte die Rxponentialfunktio f(x) = (2/5)^x = (0,4)^x. Deren Basis 0,4 ist kleiner als 1. Darum ist sie streng monoton fallend und es gilt: a >= b f(a)
(1) Ich hätte auf die beiden einander aufhebenden Fehler aufmerksam machen wollen, aber das erledigte die Autorin selbst. Das Problem lässt sich aber umgehen. Ähnlich wie Michael Mitteregger schlage ich einen Vergleich der Exponenten vor. Wenn weiter Potenzen mit einer Basis >1 betrachtet werden, kehrt sich das Ungleichheitszeichen nicht um: (2/5) ^ (log_(¼) (x^2 +5x +8) )
Oh Susanne, du hast hier meiner Meinung nach leider 2 Fehler drin, die sich dann aber wieder aufheben und das Ergebnis richtig machen. Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung eine Funktion anwendest, die streng monoton fallend ist, muss aus dem "=" gemacht werden (oder umgekehrt). Der erste Fehler ist bei 1:26, wo du beide Seiten log(2/5)(...) anwendest, das ist eine fallende Funktion, das "=" werden. Der zweite Fehler ist bei 4:58, wo du beide Seiten (1/4)^... anwendest. Hier hätte ja nach Korrektur des vorigen Fehlers ein ">=" stehen müssen, was durch Anwenden der wieder fallenden Funktion zum "
Nach dem Video: Oha Susanne... da hast du aber Glück gehabt, dass du zwei gegensätzliche Funktionen angewendet hast. Sonst muss man nämlich bei Ungleichungen extrem aufpassen, da sich da sehr schnell Vorzeichen ändern können! Hier hätte sich bei der Berechnung eigentlich das "kleiner gleich" einmal in ein "größer gleich" und dann wieder zurück zu einem "kleiner gleich" geändert!
Ich kann es eigentlich bis heute kaum glauben das du Susanne so schwierige Mathematik Aufgaben lösen, verstehen und erklären kannst. Bei mir in der Klasse damals waren die Mädchen immer sehr schlecht in Mathe, Physik und Chemie und konnten mit diesen Fächern nichts anfangen, dafür waren sie in anderen Gebieten, z.B. in Deutsch sehr gut.
Wenn Sexismus derartig internalisiert ist, dass man ganz ungläubig wird, wenn eine Frau Mathematik versteht.. Ich empfehle: de.wikipedia.org/wiki/Liste_von_Mathematikerinnen
@@fischuuu Du hast meinen Kommentar gar nicht verstanden, diese Gesellschaft ist zu stark gegendert! Wohlmöglich klebst du deine Hände auch auf der Straße fest!
Cool. So schwierig waren meine Aufgaben in der Matheklausur meines Ingenieurstudiums GsD nicht … oder ich habe es vergessen und war schlauer damals … hahaha …
@@engineeringjoe das ist allerdings eine Aufgabe aus einer Ingenieursklausur. Geht es im Ingenieursstudium auch so ums Beweisen wie im Mathestudium? Gibt ja diesen Witz, wie ein Ingenieur beweist, dass alle ungeraden Zahlen größer 1 Primzahlen ist: " 3 - passt. 5 - passt. 7 - passt. 9 - ist wohl ein Messfehler, vielleicht noch 2 ausprobieren um sicherzugehen: 11 passt, 13 passt, ok das muss reichen, QED."
Ich scheiterte mal wieder….mangels noch vorhandener Kenntnis der Logarithmus Gesetze ( brauchte die halt ca. 20 Jahre nicht mehr) Edit: vieta im Abi gehört aber im Studium nie genutzt, da ich mit der abc schneller war als andere mit vieta oder pq. Einfach stumpf eingeübt und dann abgespult
The roots of a product of linear factors always have the same absolute value but opposite sign of the numbers in the factors, e.g. (x + 1)(x + 4) = 0 has the roots -1 and -4 (x - 5)(x - 8)= 0 has the roots +5 and +8. In general, (x - x1)(x - x2) = 0 has the roots x1 and x2.
EDIT: Das Endergebnis ist richtig, aber bei Minute 0:50 müsste sich das ≤ Zeichen in ein ≥ umdrehen, da die Basis des Logarithmus mit 2/5 kleiner als 1 ist. Allerdings ändert das nichts am Endergebnis, da sich das Zeichen in Minute 4:28 nochmal von ≥ in ≤ umdreht, da die Basis wieder kleiner als 1 ist. Ein großes SORRY!
Ein Extra-Däumchen für deinen Charakter, zu deinem Fehler zu stehen. Ungleichungen sind bei Umformungen wirklich ein gefährliches Gelände, wo wohl jeder schon einmal ausgerutscht ist (Ich auf jeden Fall schon mehr als einmal). Mache doch einmal ein VIdeo dazu, auf was man bei der Umformung von Ungleichungen verglichen mit Gleichungen besonders achten muss.
Ist mir nicht aufgefallen, aber ja, stimmt. Wenn's am Ergebnis nichts ändert: Who cares?
Stimmt genau, so hab ich auch zweimal argumentiert, daß die Basis kleiner als 1 ist. Übrigens könnte man am Schluß das Endergebnis zusätzlich zur Mengenschreibweise mit geschweiften Klammern auch noch in Intervallschreibweise mit eckigen Klammern schreiben, also L = [-4, -1].
@@eisikater1584 Wäre die Basis beim zweitenmal größer als 1 gewesen, wäre es falsch herausgekommen. Darum spielt es für zukünftige Berechnungen halt doch eine Rolle :-)
@@goldfing5898 Ja, die Intervallschreibweise ist das, was ich in der Schule gelernt habe. Nur aufpassen: Offenes oder geschlossenes Intervall, und wenn offen, in welche Richtung? Und wir mussten die Zahlen mit Strichpunkt ; trennen, weil, könnte man ja sonst für'n Komma halten.
Ich war damals im Gymnasium ja Mathefreak, aber das hier war jenseits dessen, was wir damals gemacht haben. Beeindruckend jedes Mal, wie locker Du durch solche problematischen Aufgaben durchnavigierst. 🎉
Sie hat auch eine Master in der Mathematik. Sie kann eigentlich noch viel mehr cooles Zeug.
Faszinierend würde Mr. Spock sagen
Danke! Hey Susanne, als Mathematikerin bist Du wirklich Spitze (als Sängerin auch). Die Aufgabe fand ich sehr schwierig, aber deinem Lösungsweg konnte ich gut folgen. Mein Ing.-Studium ist schon mehr als 40 Jahre her, daher habe ich nicht mehr die Übung, um so etwas aus dem Stehgreif zu rechnen. Aber wie gesagt, Klasse von dir vorgeführt. Ich habe wieder etwas gelernt. Deine Aufgaben-Präsentationen sehe ich mir immer wieder gerne an. Viele liebe Grüße!
Gute Übung, um wieder mal Mathe mit log - Funktionen zu machen. Und man lernt - unerwartet - was dazu. "Satz von Vieta" kannte ich bisher noch nicht oder ich hab's total vergessen. Danke für die interessanten 10 Minuten. Herzliche Grüße, G.
Hey Susanne. Ich hab mal ne Frage, und zwar: Schreibst du eigentlich mit einem Stift oder mit der Maus? Danke für deine Antwort.
Sehr gute Frage habe ich mich auch gefragt
das nimmt mich auch wunder
ich finde dies sehr wichtig
Finde die Frage auch sehr interessant, da deine Schrift sehr schön ist und es so aussieht obwohl du mit eine Maus schreibst
Gut dass jemand fragt. Dass habe ich ich auch schon immer gefragt, deine Schrift ist nämlich sehr schön.
Für mich als Laie war es jetzt tatsächlich noch spannend, die -1, -2, -3 und -4 in die Gleichung einzusetzen und zu sehen, daß die Ergebnisse kleiner oder gleich Null sind. 😊 Vielen Dank für die tollen Videos, die inzwischen zum täglichen Erholungsprogramm gehören! 👍
(-1)^2 +5*(-1)+4= 1-5+4=0
(-2)^2+5*(-2)+4=4-10+4=-2
(-3)^2+5*(-3)+4=9-15+4=-2
(-4)^2+5*(-4)+4=16-20+4=0
(Natürlich ist zu beachten, das die ungleichung auch für alle anderen reellen zahlen zwischen -1 und -4 gilt)
Hätte es während meiner Realschulzeit (1996-2002) schon TH-cam und solche Kanäle gegeben, wäre ich nicht so gravierend an Mathe gescheitert. Heute mach ich den Techniker und kann alles nachholen und wirklich auch verstehen. Vielen Dank dafür!
Bitte öfter Sachen aus der Uni!🥰🫶🏽
Schöne Aufgabe am frühen morgen. Das war mein Frühsport fürs Gehirn. 😉
Themen wie diese sind echt eine (oder mehrere) Nummer(n) zu groß für mich. Ich schaus mir trotzdem total gerne an, weil: 1. Man nimmt immer etwas mit, und wenn man irgendwann später auch nur sagen kann "ah, da hab ich mal was von gehört". Und 2. Logisches Denken wird geschult.
Mir hat es jedenfalls schon das ein oder andere mal im Alltag geholfen, durch die Videos logisches Denken neu erlernt zu haben.
du bist der Hammer. Du erklärst so genial das man es versteht. Dich hätte ich beim Studium als Tutor gebraucht, dann hätte ich Mathe auch bestanden.
grüss dich, susanne - ich hab 5/2 umgewandelt in 2/5exp -1 und dann die exponenten gleichgesetzt, aber das entlogarithmieren war für mich lehrreich, danke
Hey Susanne ich bin noch nicht lange dabei und lerne aktuell für meine Uni Klausuren MAthe bei dir und finde es sehr gut wie du alles erklärst. Deinen Erklärungen zu folgen ist super einfach und ich wollte dich in deinen Kommentaren mal fragen wie man dir Aufgaben zukommen lassen kann an denen ich scheitere. Mach bitte weiter so! lg Alex
Vielen Dank für die schöne Aufgabe.
Die x-Werte habe ich diesmal tatsächlich auch mit dem Satz von Vieta gelöst.
Danke für die Auffrischung meiner Kenntnisse.
Echt gutes Beispiel. Ich habe mich wieder in einer Mathestunde gefühlt. Tolles Erlebnis. Danke
Danke für das Vorrechnen dieser interessanten Aufgabe. Super erklärt!
Eine schöne Aufgabe.🌸 Die quadratische Ungleichung hätte ich dann lieber mit pq-Formel gelöst und auf dem Zahlenstrahl die Intervalle eingetragen. Aber es ist eine Geschmackssache.
Eigentlich kann man die Aufgabe gleich vereinfachen:
der gesamte log-Ausdruck muss -1 werden, da 2/5 ** -1 = 5/2 ist. Man erhält dann
(1/4) ** -1 = x**2 + 5x +8
Das stimmt für das Gleichheitszeichen, berücksichtigt aber nicht Ungleichheitszeichen, die sich herumdrehen könnten.
-1 und -4 sind die Nullstellen von x**2 + 5*x +4 = 0 und über die Ableitungen erhält man einen negativen Tiefpunkt bei -2,5, deshalb gilt in dem Bereich x=-1 bis x=-4: x**2 + 5*x + 4
Ist das bei der Logarithmisierung nicht ein Vorzeichenfehler? Der Logarithmus auf der Basis 2/5 ist ja monoton fallend, müsste man das Kleiner-Gleich da nicht zu einem Größer-Gleich umdrehen?
Wobei dieser Fehler allerdings nicht auffällt, wenn man den gleichen Fehler danach nochmal macht, denn (1/4)^... ist ja auch fallend und somit müsste man die Relation dort nochmal umdrehen und hätte wieder ein Kleiner-Gleich...
Ja du hast absolut Recht, ups! Hab es im angepinnten Kommentar richtiggestellt. Was habe ich für eine super schlaue Community, Dankeschön für den Hinweis! 😊
@@MathemaTrick Eventuell hast du dein Konzept wie du in Bezug auf deinen Kanal vorangehst, doch könntest du, falls du keine spezifischen Verlauf geplant hast uns Humanwissenschaftlern helfen, vor allem uns Pädagogen. Mathe ist nicht unsere Stärke, doch wir haben leider Statistik und es fällt den meisten verrammt so schwer. Wir bekommen jede Woche Übungsblätter mit Aufgaben, wäre es möglich diese Aufgaben bzw. ein Blatt mit ca. 4 Aufgaben auf deinem Kanal zu bearbeiten. Damit würdest du jedes Jahr hunderten und tausenden von Humanwissenschaftlern helfen. Bin mir sicher das du es viel besser erklären könntest. Es wäre halt schön, wenn man beispielsweise erklären würde, wie man vorangehen muss, welche Formel genommen werden muss und dann die mathematischen Zeichen erklären, was die die einzelnen Abschnitte der Formel aussagen, wo was eingesetzt werden muss oder bei Grafiken, was diese Aussagen etc. Am schwierigsten ist für mich die mathematische Sprache, für viele Andere auch. Ich weiß nicht ob du so etwas vor hast, eine Aufgabe dauert wirklich nicht lange, auch wenn es pro Tag nur eine Aufgabe wäre, wäre es in Ordnung. Viele Humanwissenschaftler haben Probleme damit, es ist einfach für einen nicht mathematisch fokussierten Menschen bei der Vorlesung oder im Seminar mitzukommen.
Für die Logarithmen hätte ich deutlich länger gebraucht als du, aber war immerhin einleuchtend. Nur bei der quadratischen Gleichung dann, da hätte ich mit pq rumgewurschtelt. Satz von Vieta, der war mir vollkommen entfallen, aber ja, wenn's passt, dann ist das 'ne schöne Abkürzung. Danke dafür!
Gutes video, hat mir echt geholfen :) Kannst du mal ein video zu stationären vektoren z.B. in Markov-Ketten machen?
einfach tolle Lösung❤
Lösung:
Zunächst schreiben wir 5/2 als (2/5)⁻¹. Das ist möglich durch das Potenzgesetz 1/a = a⁻¹, denn 1/(5/2) = 2/5.
Dann kann man auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis 2/5 anwenden. Da Logarithmus < 1 eine stetig *fallende* Funktion ist, ändert sich das "kleiner gleich" Zeichen zu "größer gleich". Die Gleichung wird:
log₀.₂₅(x²+5x+8) >= -1
Um den Logarithmus aufzulösen, werden beide Seiten zum Exponent von 1/4, also (1/4)ⁿ. Da (1/4)ⁿ wieder eine stetig *fallende* Funktion ist, ändert sich das "größer gleich" wieder zurück zu einem "kleiner gleich". Außerdem wird (1/4)⁻¹ zu 1/(1/4) also zu 4.
x²+5x+8
*Mein komplettes Equipment*
➤ mathematrick.de/mein-equipment
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Meine Wunschliste: mathematrick.de/wunschzettel
Ich habe ein deja-vu.. Genau das hat mich heute meine Bäckerin gefragt😅 Sachen gibts.
Super interessantes Video und eine sehr gute Erklärung! 👍Und ich wollte fragen ob du Mal ein Video über punktweise und gleichmäßige Konvergenz machen könntest, so eins bräuchte ich echt dringend...
Also mein erster Schritt wäre gewesen:
(2/5)^[log_(1/4)(x^2+5x+8)]=
Hi, also der erste Schritt mit dem beidseitigen Log. Kann man durch Koeffizientenvergleich in der Ungleichung überspringen! Es wird dann klar, daß der Exponent max. -1 sein darf oder eben negativer. Das ist meiner Meinung nach 'ingenieurmässiges' Denken. Auch wenn du es mathematisch sauber machst, eleganter und professioneller ist an der Stelle Koeffizientenvergleich
Hallo Susanne,
wieder super erklärt.
Da wäre ich im Leben nicht drauf gekommen.
Allen eine schöne Woche.
LG aus dem Schwabenland
Schwierige Aufgabe, Lösungsweg super dargestellt. Bei mir auch zu lange her das ich sowas mal eben hinbekommen würde.
Sieht auf den ersten Blick kompliziert aus. Das Problem beginnt evtl. schon damit zu wissen, dass man am Ende eine Lösungsmenge für X angeben soll, was man in dem entsprechenden Fach aber bestimmt vor der Prüfung vermittelt bekommt.
Wenn man dann noch die Logarhytmus-Gesetze kennt oder gar aus Hilfsmitteln mit Beispielen ablesen kann, wirkt es schon machbarer.
Trotzdem werden solche Aufgaben grade in zeitlich begrenzten Abfragen aller Art als nervig empfunden, bei denen man erstmal "auf Verdacht" umformen muss, in der Hoffnung, hinterher einen brauchbareren Ausdruck zu erhalten. Ich empfand es immer als frustrierend, dass einem sofort die Zeit für eine alternative Idee fehlt, wenn die erste Vermutung für einen Lösungsansatz die falsche war.
Daumen hooooooch! :)
Bei der rechten Seite hätte ich's mir etwas einfacher gemacht: log_(2/5)(5/2) ist die Lösung von (2/5)^z = 5/2, also -1.
Den Satz von Vieta habe ich etwas anders gelernt: x² + px + q = (x + a)(x + b) mit a + b = p und ab = q. Deswegen war ich einen Moment lang irritiert, als du bei der 5 das Vorzeichen umgedreht hast, aber die Lösungen für die Nullstellen sind dann natürlich -a und -b. 💡
Und wenn man am Ende nicht auf die Idee der eleganten Argumentation mit der nach unten geöffneten Parabel kommt oder das Polynom mehr Grade hat, gibt es noch andere Möglichkeiten:
a) Stetigkeit des Polynoms feststellen (trivial) und dann je einen Wert links, dazwischen und rechts der Nullstellen einsetzen, um die Vorzeichen jedes Bereichs zu bestimmen.
b) Die Ableitung des Polynoms an den Nullstellen betrachten: Ist sie dort positiv, wechselt das Vorzeichen der Funktionswerte von - nach +; ist sie dort negativ, von + nach -.
Die Lösungsmenge hätte ich in der Kurzform [-4; -1] hingeschrieben.
Man kommt auch zum Ziel, wenn man die Un-Gleichung erstmal mit 2/5 multipliziert. Dann entsteht Rechts eine 1 und Links kann man statt der Multiplikation mit 2/5 zu diesem von Exponenten Log..()... eine 1 addieren. Jetzt kommt man zu der Überlegung, dass, weil da 2/5 als Basis stehen, der Exponent nur 0 (der Ausdruck wird 1) oder größer als 0 (der Ausdruck wird kleiner als 1) sein kann, um die Ungleichung, nämlich eben 1 (die da Rechts steht) oder kleiner als "diese" 1, zuerfüllen.
Jetzt kann man sich einfach diesen Exponenten 1+ log...(...) schnappen. Aus der Erkenntnis oben ergibt sich eine neue Ungleichung: 1 + log...(...)
Ich hab log_1/4 (...) mit n substituiert und dann folgendes erhalten:
(2/5)^n
❤️❤️
Ich wünschte die Matheklausur-Aufgaben in meinem Studium wären so einfach gewesen 😀
Eine sehr schöne Aufgabe. Die Anwendung der monoton fallenden Funktionen, die eine Umkehrung des Ungleichheitszeichens hätte zur Folge haben müssen, wie in einigen Kommentaren zu Recht angemerkt, ist mir im Video gar nicht aufgefallen. Das lag vielleicht daran, dass ich einen etwas anderen Weg genommen habe, um diesen Fallstrick zu umschiffen:
(2/5)**log(1/4,x²+5x+8)
Lösung:
(2/5)^[log1/4(x²+5x+8)] ≤ 5/2 = (2/5)^(-1)
|gleiche Basis, aber Umkehrung des Kleinerzeichens, weil y=(2/5)^x monoton fällt ⟹
log1/4(x²+5x+8) ≥ -1 ⟹ (1/4)^(-1) ≥ x²+5x+8 ⟹ 4 ≥ x²+5x+8 |-4 ⟹
x²+5x+4 ≤ 0
Die Funktion y = x²+5x+4 ist eine nach oben geöffnete Parabel, die nur zwischen den Nullstellen kleiner oder gleich 0 ist. D.h. ich muss von der Funktion
y = x²+5x+4 die Nullstellen suchen.
x²+5x+4 = 0 |p-q-Formel ⟹
x1/2 = -5/2±√(25/4-4) = -5/2±√(9/4) = -5/2±3/2 ⟹
x1 = -5/2+3/2 = -1 oder x2 = -5/2-3/2 = -4 ⟹
Nur zwischen diesen beiden Nullstellen x1 = -1 und x2 = -4 ist x²+5x+4 ≤ 0, d.h. es muss sein: -4 ≤ x ≤ -1 Das ist die Lösung.
Probe für x=-2: x²+5x+8=2 (1/4)^(-1/2)=2 (2/5)^(-1/2)=√(5/2) ≤ 5/2 stimmt
Probe für x=-5:
x²+5x+8=8 (1/4)^(-3/2)=8 (2/5)^(-3/2)=√(5/2)³ ≤ 5/2 stimmt nicht
Probe für x=0:
x²+5x+8=8 (1/4)^(-3/2)=8 (2/5)^(-3/2)=√(5/2)³ ≤ 5/2 stimmt ebenfalls nicht
Ohaaaaa
Auch: Rechts 5/2 = (2/5)^(-1) | gleiche Basis 0 < 2/5 < 1 , zum kleineren Ergebnis gehört der größere Exponent
=> log..( ... ) ≥ - 1 | beide Seiten 1/4 hoch ... , wieder Relationszeichen drehen
=> x² + 5x + 8 ≤ (1/4)^(-1) | (x + 2,5)² = x² + 5x + 6,25
=> (x + 2,5)² + 1,75 ≤ 4
=> (x + 2,5)² ≤ 2,25 | √ (Term)² = |Term|
=> | x + 2,5 | ≤ 1,5
=> - 1,5 ≤ x + 2,5 ≤ 1,5 | - 2,5
=> - 4 ≤ x ≤ - 1
Hallo Susanne, darf ich vielleicht einen request machen.
wir schreiben bald die matheklausur an der Hochschule. könntest du vielleicht falls du zeit hast einen video über den Rang der Matrix machen und wie man sie bestimmt
Ist eigentlich nicht schwer. Das durch die Matrix beschriebene (homogene) Gleichungssystem mit Gauss lösen. Es reicht bis zur Zeilenstufenform umzuformen. Die Anzahl der nicht 0 Zeilen ist der Rang. Es gilt Zeilenrang=Spaltenrang.
@@haraldreimann-trusheim2993 was bedeutet homogen? was war nochmal das Gegenteil? unhomogen? Was bedeutet das? Hatte das auch in der Mathevorlesung heute, und irgendjemand neben mir hat die ganze zeit gequatscht und ich konnte nicht verstehen was sie gesagt hat, wollte das eigentlich noch nachschauen, ob sie inhomogen heterogen oder unhomgen gesagt hat.
@@craig4android bei einem homogenen Gleichungssystem ist der Lösungsvektor ( also die rechte Seite ) 0. bei einem inhomogenen GLS ist es ein beliebiger von Null verschiedener Vektor.
Auf der rechten Seite kann man 5/2 durch (2/5)^(-1) ersetzen, um die Basen gleichzumachen. Jetzt betrachte die Rxponentialfunktio f(x) = (2/5)^x = (0,4)^x. Deren Basis 0,4 ist kleiner als 1. Darum ist sie streng monoton fallend und es gilt:
a >= b f(a)
Bro, woher nimmst du dir die Zeit …😂
(1) Ich hätte auf die beiden einander aufhebenden Fehler aufmerksam machen wollen, aber das erledigte die Autorin selbst.
Das Problem lässt sich aber umgehen. Ähnlich wie Michael Mitteregger schlage ich einen Vergleich der Exponenten vor. Wenn weiter Potenzen mit einer Basis >1 betrachtet werden, kehrt sich das Ungleichheitszeichen nicht um:
(2/5) ^ (log_(¼) (x^2 +5x +8) )
OK. Ich hätte es anders probiert. Die quadratische Gleichung mit Hilfe der 3. Binomischen Formel faktorisieren zu (x+4)(x+1)
Susanne du bist brutal. 😂
Oh Susanne, du hast hier meiner Meinung nach leider 2 Fehler drin, die sich dann aber wieder aufheben und das Ergebnis richtig machen.
Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung eine Funktion anwendest, die streng monoton fallend ist, muss aus dem "=" gemacht werden (oder umgekehrt).
Der erste Fehler ist bei 1:26, wo du beide Seiten log(2/5)(...) anwendest, das ist eine fallende Funktion, das "=" werden.
Der zweite Fehler ist bei 4:58, wo du beide Seiten (1/4)^... anwendest. Hier hätte ja nach Korrektur des vorigen Fehlers ein ">=" stehen müssen, was durch Anwenden der wieder fallenden Funktion zum "
Ui, danke für den Hinweis! Hab es im angepinnten Kommentar richtiggestellt, Dankeschön! 😊
Korrekt, bei Exponentialfunktionen und Logarithmen mit Basen kleiner 1 kehrt sich das Ungleichheitszeichen um.
Hatte sie doch selbst erkannt
Mit 2/5 und 5/2 ist eigentlich alles klar. :-)
Nach dem Video: Oha Susanne... da hast du aber Glück gehabt, dass du zwei gegensätzliche Funktionen angewendet hast. Sonst muss man nämlich bei Ungleichungen extrem aufpassen, da sich da sehr schnell Vorzeichen ändern können! Hier hätte sich bei der Berechnung eigentlich das "kleiner gleich" einmal in ein "größer gleich" und dann wieder zurück zu einem "kleiner gleich" geändert!
Nur um das nochmal zu verdeutlichen:
Die Gleichung im Video log₀.₂₅(x²+5x+8)
Ja, das Glück war auf meiner Seite. 😅 Hab’s aber schon in einem angepinnten Kommentar richtig gestellt.
@@MathemaTrick 😆Der Kommentar war bei mir noch nicht sichtbar...
Hatte sie doch selbst erkannt
Sehr gebärfreudig
Sauber
Ich kann es eigentlich bis heute kaum glauben das du Susanne so schwierige Mathematik Aufgaben lösen, verstehen und erklären kannst. Bei mir in der Klasse damals waren die Mädchen immer sehr schlecht in Mathe, Physik und Chemie und konnten mit diesen Fächern nichts anfangen, dafür waren sie in anderen Gebieten, z.B. in Deutsch sehr gut.
Wenn Sexismus derartig internalisiert ist, dass man ganz ungläubig wird, wenn eine Frau Mathematik versteht..
Ich empfehle: de.wikipedia.org/wiki/Liste_von_Mathematikerinnen
@@fischuuu Du hast meinen Kommentar gar nicht verstanden, diese Gesellschaft ist zu stark gegendert! Wohlmöglich klebst du deine Hände auch auf der Straße fest!
@@profihandwerker4828 ok boomer
Cool. So schwierig waren meine Aufgaben in der Matheklausur meines Ingenieurstudiums GsD nicht … oder ich habe es vergessen und war schlauer damals … hahaha …
Bei mir auch nicht. Geht halt eher um andere Sachen die dann teils auf ihre Art schwierig sind. Zum Beispiel Beweise oder andere Dinge
@@engineeringjoe das ist allerdings eine Aufgabe aus einer Ingenieursklausur. Geht es im Ingenieursstudium auch so ums Beweisen wie im Mathestudium?
Gibt ja diesen Witz, wie ein Ingenieur beweist, dass alle ungeraden Zahlen größer 1 Primzahlen ist:
" 3 - passt. 5 - passt. 7 - passt. 9 - ist wohl ein Messfehler, vielleicht noch 2 ausprobieren um sicherzugehen: 11 passt, 13 passt, ok das muss reichen, QED."
Ich scheiterte mal wieder….mangels noch vorhandener Kenntnis der Logarithmus Gesetze ( brauchte die halt ca. 20 Jahre nicht mehr)
Edit: vieta im Abi gehört aber im Studium nie genutzt, da ich mit der abc schneller war als andere mit vieta oder pq. Einfach stumpf eingeübt und dann abgespult
Was wäre, wenn wir nur eine Lösung hätten? Dann gäbe es ja nichts zwischen zwei zahlen?
Genau, dann gäbe es halt nur eine einzige Lösung. 😊
Danke für die schnelle Antwort, nach nur 17 min xD
00:03 Dem Ingeniör ist nichts zu schwör! Ein Glück das ich keiner bin. 😂
The two roots are +1 and +4, I am afraid.
No, if you insert x=1, then you get
1²+5•1+4 which equals 10. Thus it’s not a root, I’m afraid.
The roots of a product of linear factors always have the same absolute value but opposite sign of the numbers in the factors, e.g.
(x + 1)(x + 4) = 0 has the roots -1 and -4
(x - 5)(x - 8)= 0 has the roots +5 and +8.
In general,
(x - x1)(x - x2) = 0 has the roots x1 and x2.
sowas braucht man im Leben nie wieder.