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An+3=4An+2－5An+1+2Anを係数を上手く分解してAn+3－An+2=3(An+2－An+1)－2(An+1－An)とできますあとはAn+1－An=bnなどと置いて隣接三項間漸化式を解く方法です。(Anを出すには最後に階差を使う)係数を分解する方法は旧帝などで出る漸化式にも通用すると思います
私もこれが初めに思い付きました！
記述で忘れがちですが。階差数列でanの一般項を求めても、それはあくまでn>=2のときの式です。n=1でも成り立つことを言わなければなりません。
それな
aₙ₊₃=4aₙ₊₂-5aₙ₊₁+2aₙaₙ₊₃-3aₙ₊₂+2aₙ₊₁=aₙ₊₂-3aₙ₊₁+2aₙaₙ₊₂-3aₙ₊₁+2aₙ=11 (∵a₃-3a₂+2a₁=11)aₙ₊₂-aₙ₊₁+11=2(aₙ₊₁-aₙ+11)aₙ₊₁-aₙ+11=2ⁿ⁺² (∵a₂-a₁+11=8)aₙ=1-11(n-1)+2ⁿ⁺²-8aₙ=2ⁿ⁺²-11n+4動画と似ていますが、このように解きました！p,q,rとかを使わずに式変形を思いつけるとスカッとします！
正攻法ではないが、特性方程式からλ=2,1(2重解)を得られるここから実数係数A,B,Cを用いてa_n=A×2^(n-1)+(B×n+C)×1^(n-1)すなわちa_n=A×2^(n-1)+B×n+Cとなるあとはa_1,a_2,a_3からA,B,Cを求めるとa_n=2^(n+2)-11n+4あくまで裏攻法
b(n)=a(n+1)-a(n)とするとb(n+2)-b(n+1)=2{b(n+1)-b(n)},b(n+2)-2b(n+1)=b(n+1)-2b(n)であるからkとLを定数としてb(n+1)-b(n)=k*2^(n-1),b(n+1)-2b(n)=Lの形で表される。これらからb(n)=k*2^(n-1)-Lであるので、{a(n)}の一般項についてはa(n)=α*2^(n-1)+βn+γ（α,β,γは定数）と表され、条件からn=1,2,3を代入してα+β+γ=1,2α+2β+γ=-2,4α+3β+γ=3.これらを解いてα=8,β=-11,γ=4.∴ a(n)=8*2^(n-1)-11n+4.
途中、要は解と係数の関係の係数比に帰着させれば良いのでa_(n＋3)－(α＋β＋γ)a_(n＋2)＋(αβ＋βγ＋γα)a_(n＋1)－αβγa_n＝0になるように、上手い事パズルをした結果a_(n＋3)－(α＋β)a_(n＋2)＋αβa_(n＋1)＝γ{a_(n＋2)－(α＋β)a_(n＋1)＋αβa_n}を導き出せたので、この公式にぶち込んで解きましたね。
数列の基礎が詰まった非常に良い問題だった。だけど、解説が「公式の意味理解も実用もできる人向け」で、そういう人は自分で解いて勝手に感動するし、「できない人」にとっては全然意味が分からないしで、この動画を楽しめる人は少ないだろうと思った。
@@shiratakijellyfish ある程度は、視聴者のターゲットを絞るのが当然でしょう。基礎的なことから話していたら、長くなりすぎると思います。そのあたりは、自習して付いてきてもらうしかないですね。おおむね、問題ないと思います。気になることがあるとすれば、階差数列の一般項が「n>=2のとき」だということを言及していない点ですね。そのあたり、減点されても文句は言えないでしょうね。
特性方程式の解が α(重解),βのとき，a[n]=(An+B)*α^(n-1)+C*β^(n-1) と表せる。特性方程式 x^3=4x^2-5x+2 は (x-1)^2(x-2)=0 より x=1 (重解), 2よって a[n]=(An+B)*1^(n-1)+C*2^(n-1)=An+B+C*2^(n-1) と表せる。a[1]=1,a[2]=-2,a[3]=3 より 1=A+B+C , -2=2A+B+2C , 3=3A+B+4Cこれを解くと A=-11, B=4, C=8 したがって，a[n]=2^(n+2)-11n+4
一般項が求まる漸化式は限られていて、問題は解けるように作られている。なので、動画中の3つのタイプに帰着出来るはずと頑張って考えるのがいいでしょうね。ちなみに、私は与式をa(n+3)-3a(n+2)+2a(n+1) = a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)と変形して、この式の値が11であることから、3項間漸化式に変換して求めました。
線形写像D(｛a_n｝)＝｛a_(n＋1)｝を考えて特殊解を3つ見つけて，初期条件を考えればそれによって解が生成されるということを利用しても良いですね 唯一しないといけないのは写像・数列を1つの対象とみなすこと
n=４まで検算しました。たまにn=3までしか合ってないときあるので😅
4項間漸化式から特性方程式を立てて、その解がλ=α,β,γとなった場合左辺をa«n+3»-(α+β)×a«n+2»+αβ×a«n+1»と変形させると上手く行くと思われます。その場合、右辺はγでくくれます。左辺は(λ-α)(λ-β)すなわちλ²-(α+β)λ+αβから係数を出して、右辺は全体をγでくくることができます。(左辺の係数も、右辺のくくれる数も、特性方程式絡みです)※«○»は、ここではa₂の“₂”のように、下付き文字を表す
この問題では特性方程式がλ=2,1(2重解)のため左辺を(λ-1)²=λ²-2λ+1、右辺を2倍のような形に持っていくとa«n+3»-2a«n+2»+a«n»=2(a«n+2»-2a«n+1»+a«n»)左辺を(λ-1)(λ-2)=λ²-3λ+2、右辺を等倍のような形に持っていくとa«n+3»-3a«n+2»+2a«n+1»=a«n+2»-3a«n+1»+2a«n»
ざっくり言うと4項間漸化式から特性方程式を立てて、解λ=α,β,γが得られたとき(λ-α)(λ-β)(λ-γ)=0λ(λ-α)(λ-β)-γ(λ-α)(λ-β)=0λ(λ-α)(λ-β)=γ(λ-α)(λ-β)λ³-(α+β)λ²+αβλ=γ[λ²-(α+β)λ+αβ]のような感じです
x^kの係数をa_kとしてすべての次数(k=1,2,3,,,)で和を取った母関数Q(x)を定義すると，Q(x)=x(16x^2-6x+1)/((1-x)^2(1-2x))=-8+15/(1-x)+4/(1-2x)-11/(1-x)^2となるので，両辺のx^kの係数を比較すると数列a_kを導出することができるのでは？知らんけど！
4項間漸化式なら4次方程式を解いて3項間漸化式の時と同じようにやれば出来る。
ふと疑問に思ったんですけど、3項間漸化式で「特性方程式の解が虚数」という出題って過去に実例ありますか？4項間ならたとえば、有名な「トリボナッチ数列」 Tₙ₊₃=Tₙ₊₂+Tₙ₊₁+Tₙ の特性方程式に虚数解1組が出現します。で、一般に等比数列って、1
ベクトル空間になってる😊
漸化式を満たす解数列の次元は3である。3つの数列｛2ⁿ｝、｛n｝、｛1｝は漸化式を満たす解である。これらの数列は1次独立[∀n,c₁2ⁿ+c₂n+ᴄ₃•1=0⇒cᵢ=0]である。よって、任意の解はc₁2ⁿ+c₂n+ᴄ₃•1の形で表される。
Z会のやつ？
この考え方青茶に載ってたなぁ…
三次方程式解いて係数出すのはありかな？
この問題作った人もすごいな。係数が違ったら、手計算やってられない。
うーむ、特性方程式が実数解3つを持つように係数を設定するだけの話なんですよねwしかも今回 r=1 は重解ですし。特性方程式に虚数解があったらかなりの難問になっていたと思います。※ちなみに有名なものだと、「トリボナッチ数列」の特性方程式に虚数解があります。
何とか暗算チャレンジ成功❗コレ、暗算キッツいわぁ〜。
これは叩かれてもしゃあない😅😅
微分方程式の解法と同じようにもできる
それはどうやるの？
基底を見つけるために解がr^nの形として解く。r^(n+3) = 4r^(n+2) -5r(n+1) +2r^nr^nでわってr^3 = 4r^2 -5r + 2を得る因数分解して、(r-1)^2 (r-2) =0ゆえ、r=2, 1(重解)この漸化式の解の基底は2^nと1^n, n・1^n の３つとわかる(n・1^nは漸化式に代入してみると実際に成り立つ)よってa_n = A2^n + B1^n + Cn・1^nつまりa_n = A2^n + B +Cn (A,B,Cは定数)初期条件a_1,a_2,a_3を代入してA,B,Cを求めて終わり
これ共通テストで出たりするの？
誘導付きならあり得るね流石に直接求めろとは言われない
これとけたのに共テで数学7割なかなかいかないのなんでだろ
情報処理能力がないんかな
![[Attention: Reduced points] Good question with a lot of ideas and notes on the number line.](http://i.ytimg.com/vi/DAvhL3IbMy4/mqdefault.jpg)
このチャンネル神ってる
An+3=4An+2－5An+1+2Anを
係数を上手く分解して
An+3－An+2=3(An+2－An+1)－2(An+1－An)とできます
あとはAn+1－An=bnなどと置いて隣接三項間漸化式を解く方法です。
(Anを出すには最後に階差を使う)
係数を分解する方法は旧帝などで出る漸化式にも通用すると思います
私もこれが初めに思い付きました！
記述で忘れがちですが。
階差数列でanの一般項を求めても、それはあくまでn>=2のときの式です。n=1でも成り立つことを言わなければなりません。
それな
aₙ₊₃=4aₙ₊₂-5aₙ₊₁+2aₙ
aₙ₊₃-3aₙ₊₂+2aₙ₊₁=aₙ₊₂-3aₙ₊₁+2aₙ
aₙ₊₂-3aₙ₊₁+2aₙ=11 (∵a₃-3a₂+2a₁=11)
aₙ₊₂-aₙ₊₁+11=2(aₙ₊₁-aₙ+11)
aₙ₊₁-aₙ+11=2ⁿ⁺² (∵a₂-a₁+11=8)
aₙ=1-11(n-1)+2ⁿ⁺²-8
aₙ=2ⁿ⁺²-11n+4
動画と似ていますが、このように解きました！p,q,rとかを使わずに式変形を思いつけるとスカッとします！
正攻法ではないが、特性方程式から
λ=2,1(2重解)を得られる
ここから実数係数A,B,Cを用いて
a_n=A×2^(n-1)+(B×n+C)×1^(n-1)
すなわち
a_n=A×2^(n-1)+B×n+Cとなる
あとはa_1,a_2,a_3からA,B,Cを求めると
a_n=2^(n+2)-11n+4
あくまで裏攻法
b(n)=a(n+1)-a(n)とすると
b(n+2)-b(n+1)=2{b(n+1)-b(n)},
b(n+2)-2b(n+1)=b(n+1)-2b(n)
であるからkとLを定数として
b(n+1)-b(n)=k*2^(n-1),
b(n+1)-2b(n)=L
の形で表される。これらから
b(n)=k*2^(n-1)-L
であるので、{a(n)}の一般項については
a(n)=α*2^(n-1)+βn+γ
（α,β,γは定数）と表され、条件からn=1,2,3を代入して
α+β+γ=1,
2α+2β+γ=-2,
4α+3β+γ=3.
これらを解いてα=8,β=-11,γ=4.
∴ a(n)=8*2^(n-1)-11n+4.
途中、要は解と係数の関係の係数比に帰着させれば良いので
a_(n＋3)－(α＋β＋γ)a_(n＋2)＋(αβ＋βγ＋γα)a_(n＋1)－αβγa_n＝0
になるように、上手い事パズルをした結果
a_(n＋3)－(α＋β)a_(n＋2)＋αβa_(n＋1)＝γ{a_(n＋2)－(α＋β)a_(n＋1)＋αβa_n}
を導き出せたので、この公式にぶち込んで解きましたね。
数列の基礎が詰まった非常に良い問題だった。だけど、解説が「公式の意味理解も実用もできる人向け」で、そういう人は自分で解いて勝手に感動するし、「できない人」にとっては全然意味が分からないしで、この動画を楽しめる人は少ないだろうと思った。
@@shiratakijellyfish
ある程度は、視聴者のターゲットを絞るのが当然でしょう。基礎的なことから話していたら、長くなりすぎると思います。
そのあたりは、自習して付いてきてもらうしかないですね。おおむね、問題ないと思います。
気になることがあるとすれば、階差数列の一般項が「n>=2のとき」だということを言及していない点ですね。そのあたり、減点されても文句は言えないでしょうね。
特性方程式の解が α(重解),βのとき，a[n]=(An+B)*α^(n-1)+C*β^(n-1) と表せる。
特性方程式 x^3=4x^2-5x+2 は (x-1)^2(x-2)=0 より x=1 (重解), 2
よって a[n]=(An+B)*1^(n-1)+C*2^(n-1)=An+B+C*2^(n-1) と表せる。
a[1]=1,a[2]=-2,a[3]=3 より 1=A+B+C , -2=2A+B+2C , 3=3A+B+4C
これを解くと A=-11, B=4, C=8 したがって，a[n]=2^(n+2)-11n+4
一般項が求まる漸化式は限られていて、問題は解けるように作られている。なので、動画中の3つのタイプに帰着出来るはずと頑張って考えるのがいいでしょうね。
ちなみに、私は与式を
a(n+3)-3a(n+2)+2a(n+1)
= a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)
と変形して、この式の値が11であることから、
3項間漸化式に変換して求めました。
線形写像D(｛a_n｝)＝｛a_(n＋1)｝を考えて特殊解を3つ見つけて，初期条件を考えればそれによって解が生成されるということを利用しても良いですね 唯一しないといけないのは写像・数列を1つの対象とみなすこと
n=４まで検算しました。たまにn=3までしか合ってないときあるので😅
4項間漸化式から特性方程式を立てて、その解がλ=α,β,γとなった場合
左辺を
a«n+3»-(α+β)×a«n+2»+αβ×a«n+1»
と変形させると上手く行くと思われます。
その場合、右辺はγでくくれます。
左辺は(λ-α)(λ-β)すなわちλ²-(α+β)λ+αβ
から係数を出して、右辺は全体をγでくくることができます。
(左辺の係数も、右辺のくくれる数も、特性方程式絡みです)
※«○»は、ここではa₂の“₂”のように、下付き文字を表す
この問題では特性方程式がλ=2,1(2重解)のため
左辺を(λ-1)²=λ²-2λ+1、右辺を2倍のような形に持っていくと
a«n+3»-2a«n+2»+a«n»
=2(a«n+2»-2a«n+1»+a«n»)
左辺を(λ-1)(λ-2)=λ²-3λ+2、右辺を等倍のような形に持っていくと
a«n+3»-3a«n+2»+2a«n+1»
=a«n+2»-3a«n+1»+2a«n»
ざっくり言うと
4項間漸化式から特性方程式を立てて、解λ=α,β,γが得られたとき
(λ-α)(λ-β)(λ-γ)=0
λ(λ-α)(λ-β)-γ(λ-α)(λ-β)=0
λ(λ-α)(λ-β)=γ(λ-α)(λ-β)
λ³-(α+β)λ²+αβλ=γ[λ²-(α+β)λ+αβ]
のような感じです
x^kの係数をa_kとしてすべての次数(k=1,2,3,,,)で和を取った母関数Q(x)を定義すると，Q(x)=x(16x^2-6x+1)/((1-x)^2(1-2x))=-8+15/(1-x)+4/(1-2x)-11/(1-x)^2となるので，両辺のx^kの係数を比較すると数列a_kを導出することができるのでは？知らんけど！
4項間漸化式なら4次方程式を解いて3項間漸化式の時と同じようにやれば出来る。
ふと疑問に思ったんですけど、3項間漸化式で「特性方程式の解が虚数」という出題って過去に実例ありますか？4項間ならたとえば、有名な「トリボナッチ数列」 Tₙ₊₃=Tₙ₊₂+Tₙ₊₁+Tₙ の特性方程式に虚数解1組が出現します。
で、一般に等比数列って、
1
ベクトル空間になってる😊
漸化式を満たす解数列の次元は3である。
3つの数列｛2ⁿ｝、｛n｝、｛1｝は漸化式を満たす解である。これらの数列は1次独立[∀n,c₁2ⁿ+c₂n+ᴄ₃•1=0⇒cᵢ=0]
である。よって、任意の解は
c₁2ⁿ+c₂n+ᴄ₃•1の形で表される。
Z会のやつ？
この考え方青茶に載ってたなぁ…
三次方程式解いて係数出すのはありかな？
この問題作った人もすごいな。
係数が違ったら、手計算やってられない。
うーむ、特性方程式が実数解3つを持つように係数を設定するだけの話なんですよねw
しかも今回 r=1 は重解ですし。
特性方程式に虚数解があったらかなりの難問になっていたと思います。
※ちなみに有名なものだと、「トリボナッチ数列」の特性方程式に虚数解があります。
何とか暗算チャレンジ成功❗
コレ、暗算キッツいわぁ〜。
これは叩かれてもしゃあない😅😅
微分方程式の解法と同じようにもできる
それはどうやるの？
基底を見つけるために解がr^nの形として解く。
r^(n+3) = 4r^(n+2) -5r(n+1) +2r^n
r^nでわって
r^3 = 4r^2 -5r + 2を得る
因数分解して、
(r-1)^2 (r-2) =0ゆえ、
r=2, 1(重解)
この漸化式の解の基底は2^nと1^n, n・1^n の３つとわかる(n・1^nは漸化式に代入してみると実際に成り立つ)
よってa_n = A2^n + B1^n + Cn・1^n
つまりa_n = A2^n + B +Cn (A,B,Cは定数)
初期条件a_1,a_2,a_3を代入してA,B,Cを求めて終わり
これ共通テストで出たりするの？
誘導付きならあり得るね
流石に直接求めろとは言われない
これとけたのに共テで数学7割なかなかいかないのなんでだろ
情報処理能力がないんかな