振り子の等時性は正しいのか？現れる第1種完全楕円積分
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 13 ต.ค. 2024
- 単振り子の周期を厳密に求めてみました
【力学入門の連続講義一覧(全15講)】
力学入門①(はじめに)
→ • 【大学物理】力学入門①(はじめに)【力学】
力学入門②(位置、速度、加速度)
→ • 【大学物理】力学入門②(位置・速度・加速度)...
力学入門③(運動方程式)
→ • 【大学物理】力学入門③(運動方程式)【力学】
力学入門④(空気抵抗、単振動)
→ • 【大学物理】力学入門④(空気抵抗、単振動)【力学】
力学入門⑤(極座標における運動)
→ • 【大学物理】力学入門⑤(極座標における運動)...
力学入門⑥(等速円運動、単振り子)
→ • 【大学物理】力学入門⑥(等速円運動、単振り子...
力学入門⑦(運動量保存則)
→ • 【大学物理】力学入門⑦(運動量保存則)【力学】
力学入門⑧(エネルギー保存則)
→ • 【大学物理】力学入門⑧(エネルギー保存則)【力学】
力学入門⑨(保存力)
→ • 【大学物理】力学入門⑨(保存力)【力学】
力学入門⑩
→ • 【大学物理】力学入門⑩(減衰振動)【力学】
力学入門⑪(強制振動)
→ • 【大学物理】力学入門⑪(強制振動)【力学】
力学入門⑫(角運動量保存則)
→準備中
力学入門⑬(慣性力)
→準備中
力学入門⑭(コリオリ力)
→準備中
力学入門⑮(多粒子系の運動)
→準備中
このチャンネルは皆さまからのご支援で成り立っています。応援してくださる方はこちらのクラウドファンディングにご協力お願い致します→camp-fire.jp/p...
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
【力学のおすすめ参考書】
「考える力学」
amzn.to/2T3dvU4
→とても平易に書かれており、コラムも豊富
「よくわかる初等力学」
amzn.to/2TiYUmG
→力学で勉強する上で自然に発生する疑問を解決してくれる一冊
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」のチャンネルでは
①大学講座：大学レベルの理系科目
② 高校講座：受験レベルの理系科目
の授業動画をアップしており、他にも理系の高校生・大学生に向けた様々な情報提供を行っています
【お仕事のご依頼】はHPのContactからお願いします
【コラボのご依頼】はHPのContactからお願いします
【講義リクエスト】は任意の動画のコメント欄にて！
【チャンネル登録】はこちらから(今後も楽しく授業を受けよう！) / @yobinori
【公式HP】はこちらから(探している講義が見つけやすい！) yobinori.jp/
【Twitter】はこちらから(精力的に活動中！！)
たくみ(講師)→ / yobinori
やす(編集)→ / yasu_yobinori
【Instagram】はこちらから(たくみの日常) / yobinori
【note】はこちらから(まじめな記事を書いてます)
たくみ(講師)→note.mu/yobinori
やす(編集)→note.mu/yasu_y...
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
【スペシャルスポンサーの方々】(敬称略)
[3000円/月]
鈴木貫太郎/CASTDICE TV/holdwine/ごんちゃん/toshiro/F.Map!e/0990いきなりTOEIC【ワイルドなTOEIC講座】/starting/eddy_breakup/★memoたん★/琥珀@のベルズ/いたっち/日々めも/N. Chiba/19masaru/sakamotoki/lysmet/セブ島IT×英語留学の「Kredo」/nakanot /迫佑樹/げんげん/verdeviento/磯田重晴/データサイエンス VTuber アイシア=ソリッド/安部哲哉/カズレーザー(※5000円)/マサの高校化学/Kohei Arai/koshiba.jp /oldboystudy30(※3500円)/瀧千尋/oda_kyo/やすたろう(※4000円)/あんこきなこ/矢田朋之(※4000円)/世良英之/伊東謙介/鷺谷なるみ(※5000円)/神崎正哉/動画を販売するならFilmuy
[1000円/月]
raxman/こめぎ/キハム/固体量子/クラウド塾生管理システムShaple/の(※2000円)/ふくつう/鏡達人/kogorou/おのつよし/okaji/ぴろしき/CavitationVortex/Takayuki/yuyuwalker/和久田修右/log-1/ksawaura/よこのいと/mitunoir/sshirai/吹田啓介/しゅが/KzF/たくのろじぃ/ぐっさん/りょーと/Jumpei Mitsui/myai/坂上 勇太/Harahara745/KBOYのエンジニアTV /まなか/hnokx/もりけんた from ひめじ/おかだりく/anohitoooo/てつはいく/pajipaji/シュン/もろ/び(..◜ᴗ◝..)び/くまぱわー/ろうき祭り/katz uz/まさひろ＠情報処理安全確保支援士/博士/KenTag/おでこ/matpiano/クラフトビール(※1500円)/STUDY PLACE 翔智塾/Kazu615/重吉比呂/takataka/国立大学法人弘前大学-数学クラブ-/okinakosan/渡辺/HorigomeDaisuke/fumaiinga/太田税理士事務所(青森市)/hyzksnj/etrlud/haruomaru/jeanjune/yottan [DIVE INTO CODE]
いつもご支援ありがとうございます。
ヨビノリのスポンサーをこちらで募集しています↓
camp-fire.jp/p...
※上記リンクURLはAmazonアソシエイトのリンクを使用しています
数学物理のこういう「近似を出来るだけ使わずに解いて行こう」っていうって流れホント好きです
I love 非線形
数学はともかく、物理は積極的に近似していく戦略が本質ですよ。
nO peL なるほど！確かに経験法則から議論すると厳密も何もありませんね。
お二方のすばらしいご指摘ありがとうございます！
物理はそもそも厳密解にありがたみがないですからね。
そこを比較的カッチリやってく数理物理という領域があってだな、、、、、、
自分も近似で解きやすい形にしていくのは好きだけど、厳密解にありがたみがないというのは言い過ぎな気がするな
新しい理論はこういうところから生まれる余地がある気がするから
完全楕円が授業するチャンネルはここですか
球です
最後の厳密解とのズレが面白かった。たしかに近似でも使える精度となっていますね。こうなると、数学の方で楕円積分に踏み込んで行きたい。
高校時代に自分で導出したことがありました。
振り子は紐ではなく、質量の無視できる剛体の棒の先端に重りを付けたものと考え(90°を超過した触れ角も考え)ました。
最大振れ角をα、棒の長さをL、物体の質量をm、重力加速度をgとし、振り子の中心からの垂直線より右側を正としてある瞬間の振れ角をθとする。
位置エネルギーの基準を振り子の最下点とする。
このとき、力学的エネルギーは、位置エネルギーの最大値に等しいので
E = Umax = mgL(1-cosα)
力学的エネルギー保存則より、
1/2·mv^2
= mgL(1-cosα)-mgL(1-cosθ)
= mgL(cosθ-cosα)
∴|v| = √2gL(cosθ-cosα)
ここで、触れ角θが微小角⊿θだけ変化するのにかかる微小時間⊿tを考える。
移動距離はL⊿θ、その時の速さは上で求めたとおりなので、
⊿t
= L⊿θ/√2gL(cosθ-cosα)
= √{L/2g(cosθ-cosα)}⊿θ
周期は、これをθが0からαまで変化するときの足し合わせ、即ち積分したものの4倍と考えて、
1/4·T
= √(L/2g)
·∫[θ=0→α]{1/√(cosθ-cosα)}dθ
∴T=2√(2L/g)
·∫[θ=0→α]{1/√(cosθ-cosα)}dθ
と導出しました。
最後の積分の考え方が数学的に厳密な議論ができていませんが(θ=αのときの0除算を無視していたり)、高校物理及び数学の範囲だとこれが限界かなと思います。
長々と失礼いたしました。
大学の力学の授業でやったのを思い出して懐かしい気持ちになりました！
微分積分が理解できると高校物理の範囲の題材でも奥深くなるから物理はやっぱり面白いですね！
もしやこれから発展的な物理を扱う『物理の黒サムネシリーズ』も始まるのかな?
そしたら楽しみすぎてたくみさんみたいに顔丸くなっちゃう！
本編に関係のないリクエストなのですが、気柱共鳴と開口端補正の原理を波動方程式から厳密に議論した動画が見てみたいです。
高校物理ではその原理は一切明かされず、大学の振動波動論の教科書でもさらっとしか扱われないため、消化不良に陥っています…
~12:45 ワイ「難しいな、よく思いついたな」
12:45~ タクミ「難しいのが〜」ワイ「ファッ！？」
最後の近似解と厳密解の比較おもしろかったー！名前がかっこよすぎる第1種完全楕円積分。やすさんの編集ぐらいかっこいい！
今まで力学入門の等速円運動•単振動のチャプターまでしか見てなかったから高校で履修した範囲との重複もあって、「既知の事柄が新たな視点から理解できる感動」を味わってきたけど、第一種完全楕円積分とかバリバリの大学の範囲がどんどん出てくるワクワク感を味わえて、とても面白かったです。
引き続き力学入門の勉強頑張ります！
振れ角5度あたりでじゃないと近似として成立しないのかなぁと思っていたけれど、45度でも4％の誤差しかないというのでびっくりしました…だからこそ重力加速度を比較的正確に測ることができるんですね。
力学的エネルギー保存則の左辺が定数になる性質と初期条件を一緒に使って一気に式に近づいていくところが好きだなぁ、とても楽しかったです。
高校物理で近似される範囲を厳密にやっていくのは楽しい。
ヨビノリさんはスゴい❗非常に分かりやすい解説。天才です。
大学物理ってガッツリ数学で楽しそう
大学1回生の頃に受講した物理学実験の授業において、単振り子の周期をハイスピードカメラのコマ送りで求め、重力加速度を逆算するという実験を行いました。
理論式としては、sinをマクローリン展開して2次より下を無視して、
T=2π(1+1/16×φ²)√(l/g) φ:振幅
としました。
振幅は5°から30°の範囲で計測しましたが、実験結果もしっかり振幅の2乗に比例しました。その測定値からT=aφ²+bの直線回帰で表し、切片bを用いて重力加速度を算出すると、9.805となって、
すごいなぁって感動した覚えがあります。
と、長くなりましたが、今まで等時性って習ってきたことが実は成り立っていないなんて、物理って面白いですね！！
今日ちょうど単振り子やって今オススメにこの動画出す運営は最高
高評価しときますね
計算できるかどうかは置いといて、楕円積分は高3から片足突っ込めるのでワクワクする分野だと思う
第1種完全楕円積分って名前かっこいい(о´∀`о)
碇ゲンドウ
『第一種完全楕円積分。』
ありそう(小並感)
今見たんですが、この内容で、卒業論文書きました。懐かしい
自分が物理学科の学生だった30年以上前、あなたのような人がいたらもっと違った人生になったかもしれない
漆原さんの単振動はわかりやすかった
大学1年生の頃、解析学で教授から「手で計算できない積分もあるんですよ」って教えてもらったことを思い出した。
あの時の非積分関数が、楕円積分関係だったことを知れて良かった。
後、精度も気になったから、Pythonで数値積分するスクリプトを書いて確認した。
いや、だからなんだよ
こころちゃん 内容理解できなくてコメント欄ずっと見てた説
鈴木翔 内容理解できない…？
こんなの学部1年でやるだろ
@@ああ-m3o8l 学部1年でやるとか全然関係ないけど
解析的には現実世界の関数はほとんど手で積分できないよ。
学校では積分できる特別な形を学習してるだけ。
近似解の精度良すぎぃ！
結構ずれるんだね。運動方程式の厳密性が求められる、物理の現場って、どういう場面かな。ロボットのアームの制御は結構精密だと思うんだけど、運動方程式なんて一々解いて無いだろうし。宇宙空間に射出した後の衛星の軌道予測とかかな？
近似できるときθ
10°をラジアンにすれば
、1よりははるかに小さいよね。
Kamui夙の一郎 はるかにではなくないか
@@ちょいマテ茶-b8y
0.2をちょっと下回るくらいですか😅
ラジアンじゃねって思ったら既に書かれてた
今日の動画からきました！
やっぱ力学はポテンシャルで捉えるとわかりやすいですね！
あっ、これは大学受験の時に、物理の微分方程式をラプラス変換で解く方法を知って、何も知らずにラプラス変換使って楽々解けるぜ!と思って試みたら実はとんでもない強者で、調べて何とか式を追っていくことができたが、ヤコビの楕円関数とかいきなり出てきてそんなのズルい!って思った思い出のあるやつだ!
第1種完全楕円積分！ まだ数学・物理の入り口に立っているくらいなんだろうけど、なんかワクワクしてきた。
【目立たせる‼️】
よく考えたら二階微分して元に戻る関数って指数関数もじゃん？って思いました！あの微分方程式においてその可能性を排除できる理由を教えてほしいです！
(どうしても教えてほしいがために目立たせました！)
指数関数はマイナスがつかない
（感覚的な回答です）マイナスが出てこないからではないでしょうか？
無理やり指数関数でも書けます。指数の部分に2回かけて-1になる数、すなわちi倍したθを持ってこればいいんですが、それはオイラーの公式e^iθ=cosθ+sinθによって結局三角関数になると思います。
（書いてる途中で返信かぶった！ｗ）
なるほど！
えっ、ちょっとオイラーの公式偉大すぎん？w
ぷゅあほわいとさん
細かい所まで教えてくださりありがとうございます！まさに「マイナスは無理そうでもiなら…いや複素数は考えないとかか」って諦めかけてましたが結局はそっちでも行けるのか！感動しました！
(感動し過ぎて敬体と常体が混ざってるます)
前期の構造振動学の授業で、勝手にレポート書いて教授に出しました
はっし〜〜
草
僕もこれ参考にします
振り子の実験やってみるとぶら下げた球が円描いてたり、周期測ってる間にストップウォッチ押し間違えたりで重力加速度g出すのすら難しかった思い出
最初に振り子のモノマネして欲しかった……
想像したらめっちゃシュールww
難しくない?w
質点 首吊り やめて…
あのー、振り子の等時性といえば機械式時計連想するんですが…気温の変動を利用してゼンマイを巻き上げ、1分間で行ったり来たりする振り子を使って時間を刻む「ジャガールクルト アトモス」って時計があるのご存知ですか？自習室のチャンネルでぜひ紹介してほしいです！ミレネリーっていう限定品は西暦3000年まで月齢を修正なしに表示したり！よびのりの視聴者に響くと思うなぁ。
なるほど、10°でもそこそこの精度があるから4-5mくらいある長い振り子をごく小さく振ったら結構いい精度で重力加速度が求まるのか。
空気抵抗はまあいいかね。
ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズムを楕円積分から解説していただきたいです。
よろしくお願いします。
この前学校で、この公式を使って重力加速度を求めたんですけどg＝9.63ぐらいになりました。
楽しかったです！ありがとうございます！
近似しようと思った人に感謝した
ちょうどテスト範囲が単振り子で飛んできた！
高校物理の延長を説明する動画嬉しいです！
たくみさんを安易に真円と近似してしまうことへのアンチテーゼですね。これからはちゃんと第一種完全楕円積分で計算します。
θ自体の式がわからなくても、計算工夫することで定積分で周期出せるんですね。
動画で出てきた楕円積分はθ_0 の関数になってるから、振幅大きくなるとθ_0 によって周期変わってくるんですね。
振幅が大きくても厳密に等時性が成り立つサイクロイド振り子というのもあります。
釈迦に説法だろ
微分方程式の復習になってよかったです！
本当に小学校の時になぜ振り子の揺れる速さが長さによるかわからなかった。単にそう教えられたけどずっと疑問だった。時は流れて高校二年生、感動した。
逆にどうやって厳密に理解していないものを中学小学で教えていたんだろうか。そこに日本の教育の溝と言えばいいのかそんなものが見える。
数学の球の表面積や体積
円錐や角錐の体積にも
同じことが言えますね
球の体積に関しては
球の表面積の公式が成り立つ
前提だったら中学生でもわかるけど
よびのりさんは自分の顔の軌跡を積分できますか？
この後テイラー展開して，項別積分することで級数の形までなら持っていけますよね？？
早く大学で勉強したくなりました✨
ありがとうございました。
孫（中3）が振り子の等時性について説明するように、という宿題を出されて
困っています。「完全な答えを出しなさい」という注釈にビビッている状態です。
中３で微分方程式も無いもんだと思いますが、何を求められているのか困ったことです。
相当細かいこと気にする先生じゃなきゃ、定型文のように「完璧な〜」みたいな文書いてきてミスリードしてくるので多分自分が納得できるレベルの厳密性でいいと思いますよ。最近の問題集は化学の定数を問題に記載しない物もありますし…私は国語の文章にとても惑わされました
振り子はなんか好き
分母が√(cosθ-cosθ_0)の積分のやつ、虚数の心配はしてなかったけど、広義積分の心配はあった、、、
簡単に計算出来ないと仰ってましたが、数値計算は被積分関数をテイラー(マクローリン)級数にしてから積分してるんですかね？それ以外にあったら教えてくださいm(_ _)m
区分求積法じゃないですかね？
xを細かく刻んで各xにおけるyを求め、各々を長方形とみなして全てを足し合わせるというもの。
長方形でなく台形で近似するとか精度を良くする方法はいろいろあると思うけどそれについての詳細は分からん。
いつも楽しく拝見しています。
θを時間で直接記述しようと思いつき、ほぼ同じところまで辿り着きましたが、結局tが顕になる関数
θ=θ(t)
にはなっていません。
これは果たして不可能なのでしょうか？
単振動の近似で挑戦してみますが、逃げた感が否めないので、何かご教示頂ければ幸いです。失礼しました。
これは、質量Mが点である場合の式ですね。重りが大きさを持つ場合は、重りの慣性モーメントも考慮する必要がありますね。
今ちょうどNonlinear dynamicsの授業取ってるから面白い()
lcosθ
l-lcosθしたい
1/2mv²=mgl(1-cosθ)
したい
v=√(2gl(1-cosθ))
にしたい
勉強になります。ありがとうございます。
本当に大学で授業を受けてる気分になりました。文系の人には新鮮かも？
ただ余りにも式が簡単すぎて中に含まれているエッセンスが濃すぎるので文系の人がゼロから理解するのは大変そう(でもそこが物理の醍醐味かも？)
流体力学やってください！
ベルヌーイの定理とか〜
sの軸の取り方が直交座標ではないと思うのですが、運動方程式は成り立つのですか？(厳密解としてただしいのですか？)
おそらく遠心力のことを考えられていると思いますが、遠心力はsと垂直方向(動径方向)に働くので、s方向の運動方程式に寄与しません。コリオリの力も物体が動径方向に動かないので0になります。正確には運動方程式を極座標表示して調べる必要があります。
当然の疑問ですね。当然、正しいことは証明できるのでしょうが、ならばやってほしいものです。
つまり大きな影響は及ぼさないけど一応振幅によって周期が変化するのか………
SEGの物理の授業が懐かしい。
久し振りに 良かった。
第一種完全楕円積分の級数展開も教えていただきたいです！
こういう置換積分するときで、
dθ/dt dt=dθからdt=の形にしたいときに
勝手に変数で割っちゃっていいのかと不安になるのですがそれは大丈夫なんでしょうか？？
本来ならもっとステップを踏まないとダメですね
とは言え実際に計算結果は同じですし大学入試レベルなら誰も文句は言わないと思います
その辺が数学屋さんと物理屋さんの違いの1つかなと思います。
数学「ホントに大丈夫かいな？…よし、この場合ならその計算はしてもOKやで！」
物理「あっそ、じゃ使うわ」
みたいな感じかしら
なるほど！物理で積分を行う分には、そこまで気にしなくても大丈夫なのですね！ご丁寧にありがとうございます！
割るのが気持ち悪ければ∫dt = ∫(dt/dθ)dθ ひとかたまりで考えましょう。
振り子のモーメントは無視しても正確にこの解が成り立つのですか？
新物理入門にも書いてなかったから助かる
よし、入試とか模試でこれ出たらわざとこっち書いてイキろう
絶対余白足りないなww
入試なら余白より時間がないってことでおまガロア
文字指定でアウト食らう説。
初期条件を仮定した時点で初速 ≠ 0 のケースが除外されたけど，初速があると近似の精度は悪くなるのかな？悪くなりそう
初速≠0は、θがより大きい位置から初速0ではじめたのとほぼ同じだからそれはそう
あんまり初速大きくすると1回転して振らない子になる…？
もう50年以上も前は大概の家庭に振子時計が柱に架けてありました。
振り子の振れ角が15°程度はありましたでしょうか。
今この記事の最後で語られた振れ角と誤差の関係にはチョイ感激しました。
振り子の等時性とはチョイ異なる話題ですが、
その50年も前の高校時代は理科部に関わっていて、
文化祭にフーコー振子を展示したことも一緒に思い出し、
なんだか眠れなくなりました。
楽しかったです！
サムネ見た時、楕円積分使うんか！？って思ったけどさすがにそこは端折るか
大学1年の授業でやったの懐かしい
入学してすぐにこの振り子の話でいきなり微積使い始めたところで解くのに夢中だった。
ただ、この積分がエヴァに出てきそうな名前だとは知らなかったww
ハートつけるのはやすぎぃ！
この楕円積分も数値解法で解くなら結局近似してるじゃん😡って思ったことがあります😄
めちゃくちゃ面白かった〜
そのうち数値計算の動画出ないかな〜（チラッ）
完全楕円積分と算術幾何平均の話もやってほしいです。
振り子っていいよね。
電磁気学と現代制御理論の特集を楽しみにしてます!
自分の中では現代制御理論の証明は量子力学以上に意味不明😭
楽しかったでしょうか？(質問)
楽しかったですね(同意を求める)
楽しかったです(威圧)
θ0が180°よりおおきくなるともはや振り子ではなくてグルングルン回り始めるけど式に現れるのかな？
代入してみたけどいまいちピンとこなかった。
揚げ足を取るようで申し訳ないですが
多分θ0は90°を超えたら振り子にならないと思いますよ
最高到達点で速度0なので自由落下し始めます
いつもとてもわかりやすい解説をありがとうございます．ぜひ，歳差運動もお願いします．ゴールドスタインの本を独学しているのですが頭が悪くて歳差運動のところが理解できません．．．
違っていたらすみません。ゴールドスタインで歳差運動なら確かラグランジュ力学を使っていませんでしたっけ⁉️
必然的に解析力学の講義になるかと思います。暫くは独学覚悟ですね。
お疲れ様です
数値解析するときは飛跡分関数を級数展開して解くってことですか？（マジレス）
そのやり方は収束が遅いのでおすすめしない。
工学部B1の時、物理実験(全課程)でやったなあ
ヨビノリあったら予習に使ってた笑
こう言う物理めっちゃ好きなんですけど、センターとかの物理全然解けないんですけどどうすればいいですかね。
センターの中でもどのレベルの話をしているのかが分かりませんが、基本的には公式の使い方を演習すればいいと思います！(この動画では公式の導出をしています)
高校物理の単振り子円運動は全然分からないまま終わってしまい、物理に苦手感を覚える最大の要因でした_(┐「ε:)_
摂動論もやって欲しいな(ボソッ)
というか早く量子力学の続きとして摂動論の話までして欲しいな(小声)
振り子時計みたいな外力が加わる場合も厳密解はどうなるんだろう？
2次元イジング模型のエネルギーも第1種楕円積分で書ける。
これやってほしかった！
近似とのズレの比率を知っていれば、積分しなくても近似の結果を補正して厳密解が出せる…？
ガリレオが近似解いけるやんって思ったのは精度が悪くないからなんすねぇ・・・。
解析力学から始まるかおもた
予備ノリ先生が解説すると、
簡単に解けるように錯覚する（＾＾）
第1種完全楕円積分って名前がかっこいい
近似周期と厳密周期の割合を覚えておけば、近似計算で厳密周期が求められる…？
teamテマキのために構造力学教えてあげてください！
最後に級数に変換してほしかった
なかむらりょうへい くぅ〜！
さすがすぎるぅ！！笑笑
29年の試行調査の物理でずれについて出てたなぁ
完全の楕円がうんたらのときに出てくるΦって位相の事ですか？
解析的に解ける積分の限界か・・・・
動画のタイトル考えてるのってやすくんですか?
受験勉強してるけどわかるわぁ