【兵庫県立大】誘導があまりに巧妙だ

[@いまひろ09]

誘導なしで解いて見ました。
2倍角の公式から
sin160°=2sin80°cos80°　より1/cos80°=2sin80°/sin160°
sin80°=2sin40°cos40°　より1/cos40°=2sin40°/sin80°
sin40°=2sin20°cos20°　より1/cos20°=2sin20°/sin40°
∴
tan20°tan40°tan80°=(2sin²20°/sin40°)(2sin²40°/sin80°)(2sin²80°/sin160°)
=8sin²20°sin40°sin80°/sin160°
=8sin20°sin40°sin80°（∵sin20°=sin160°）
ここで
sin40°sin80°=sin(60°-20°)sin(60°+20°)
=(sin60°cos20°-co60°sin20°)(sin60°cos20°+co60°sin20°)
=(sin60°cos20°)²-(co60°sin20°)²
=(3/4)cos²20°-(1/4)sin²20°
=(1/4)(3(1-sin²20°)-sin²20°)
=(1/4)(3-4sin²20°)
よって、
予式=8sin20°×(1/4)(3-4sin²20°)
=2(3sin20°-4sin³20°)
=2sin60°=√3

[@増井博行]

tan10=xとおくとtan20tan40tan80=tan(30-10)tan(30+10)/tan10=(tan30-x)/(1+xtan30)×(tan30+x)/(1-xtan30)/x=(3x^2-1)/(x^3-3x)、一方tan(20+10)=(tan20+x)/(1-xtan20)={(2x/(1-x^2)+x}/{1-(2x^2)/(1-x^2)}=(x^3-3x)/(3x^2-1)=1/√3より与式=√3となりました。

[@cafe_rumba]

(1)(2)が等しいですから、
tan3θ/tanθ = tan(60°＋θ)・tan(60° - θ)
というわけで、分母を払いつつθ=20° とすると、
tan20°・tan40°・tan80° = tan60° = √3

[@tomo_ramenmath]

ありがとうございます、それだと、速いですね！

[@epsom2024]

(1),(2) より tan(3θ)/tanθ=tan(60°+θ)*tan(60°-θ) つまり tanθ*tan(60°-θ)*tan(60°+θ)=tan(3θ) が成り立つ
θ=20°のとき　tan20°*tan40°*tan60°=tan60°=√3
3倍角の公式 tan(3θ)={3tanθ-(tanθ)^3}/{1-3(tanθ)^2} から
tan(3θ)=tanθ*{3-(tanθ)^2}/{1-3(tanθ)^2}
=tanθ*{(√3+tanθ)(√3-tanθ)}/{(1+√3tanθ)(1-√3tanθ)}
=tanθ*{(√3+tanθ)/(1-√3tanθ)}*{(√3-tanθ)}/(1+√3tanθ)}
=tanθ*tan(60°+θ)*tan(60°-θ) が導ける

[@内藤内人-e8o]

なにかはっと目覚めるような解法ありそう

[@tomo_ramenmath]

こんなきれいな値になるのには、意味があるのかな～って、考えますよね！

[@大星由良之助]

こういう問題ってどういう過程で作問してるんやろ？

[@tomo_ramenmath]

tan3θ＝tanθ・tan(60ｰθ)・tan(60＋θ)が成り立つことはかなり頻出事項ですので、そこからでしょうか？