✓ Сравнение по модулю. Арифметика остатков | Ботай со мной
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 23 ส.ค. 2024
- #БотайСоМной #034
Сравнение по модулю. Арифметика остатков
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
Как поддержать канал: • Как помочь развитию ка...
Разовая помощь (Яндекс.Деньги): money.yandex.r...
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/trus...
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donational...
Регулярная помощь (TH-cam): / @trushinbv
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Онлайн-курсы по математике с Борисом Трушиным:
10 класс. Подготовка к ЕГЭ: trushinbv.ru/ege10
11 класс. Подготовка к ЕГЭ (задания 13-19): trushinbv.ru/eg...
10-11 классы. Подготовка к Перечневым олимпиадам: trushinbv.ru/olymp
Кроме этого, можно купить мои прошлогодние курсы в записи:
Подготовка к ОГЭ: trushinbv.ru/oge9
Подготовка к ЕГЭ. Задания 1-12: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задания 13 и 15: trushinbv.ru/eg...
Подготовка к ЕГЭ. Задание 14: trushinbv.ru/ege14
Подготовка к ЕГЭ. Задание 16: trushinbv.ru/ege16
Подготовка к ЕГЭ. Задание 17: trushinbv.ru/ege17
Подготовка к ЕГЭ. Задание 18: trushinbv.ru/ege18
Подготовка к ЕГЭ. Задание 19: trushinbv.ru/ege19
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/co...
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Личный сайт: TrushinBV.ru
Группа "Олимпиады, ЕГЭ и ОГЭ по математике": ege_tru...
Группа "TrushinBV.ru": trushin...
Личная страница: trushinbv
Группа "TrushinBV.ru": / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
Инстаграм: / trushinbv
TikTok: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Twitter: / trushinbv
TH-cam-канал: / trushinbv
Спасибо. Я в 7 классе готовлюсь к республике. Победил
Норм?
@@user-qq4vn4xq9l да
Молодец трахторбек
@@Johnny-Jostar спс , дошёл до межки
@@traxtorbek о, афигеть, а я тебя может даже знаю, не?)
Пожалуйста продолжайте эту серию , очень интересно и поучительно!
Остаток - это то, что осталось. Обожаю
Да, забавно звучит "то, что осталось".
На самом деле - очень сбивает это "то, что осталось". Ведь, это справедливо лишь, когда остаток от деления получается в результате деления целого положительного числа на другое целое положительное число. Да и то, лишь в том случае, когда первое число больше второго, как, например, 10 и 7. Тогда, при делении 10 на 7 мы получаем, что 7-ка один раз "помещается" в десятке и остается тройка.
Если же мы возьмем пример, когда первое число меньше второго, например, 2 и 7, тогда говорить "то, что осталось" не корректно, кмк... Ведь семёрка ни разу не "помещается" в двойке. Эти примеры с яблоками и конфетами тут только сбивают...
p.s.: с отрицательными цифрами фраза "то, что осталось" вообще не работает, например -2 и 7
p.p.s.: я уже молчу про 2 и -7 habr.com/ru/articles/421071/
Мой друг Александр Герасимов сдал математику благодаря Вам на 84 балла, спасибо большое!
Как всегда, на высоте!
Спасибо огромное. Это "начало издалека" невероятно помогает в освоение сложнейших для меня задач!) счастлива что есть такой канал
Спасибо вам большое за такие замечательные видео! Сейчас перешла в 10 и решила летом освоить программу вперёд,чтобы потом было легче. Читала учебник,но ничего не поняла,а благодаря вам у меня уложилось
Большой дядька неистово одобряет надшкольную серию роликов.
Хорошо объясняете. Мне 55, да вот позабыл многое. А ведь когда-то матшколу московскую окончил. А тут пришлось Деффи-Хелмана алгоритм разобрать, ну и столкнулся с тем, что напрочь забыл про "сравнение по модулую". ;-)
Спасибо из Украины за уроки. Продолжайте их делать дальше😊 Было бы круто наводить камеру, после доказание каких-то теорем, чтобы можно было их законспектировать
Борис Викторович лучший, спасибо что вы есть!))
100К!!! Поздравляю)))
Dear sir ,
I am thankful for your uploading of some videos on TH-cam tube . They are very best I had come across . My kind request to you is please upload one hour videos on topicwise like , log equations & inequations , exponential equations & inequations , trigonometric equations & inequalities , mixed ones so that it will e easy for students to follow you , hope you would help all students and your fans.
Best wishes .
Basavaraj Munavalli
Bangalore India
Hi! You can find some videos here: th-cam.com/video/ibfD7nUVQVU/w-d-xo.html
and here: th-cam.com/video/7HToxufxM5w/w-d-xo.html
P.S. Do you understand Russian or use automatic translation?
Индус и русский поменялись местами)))
Посмотрел несколько раз - решил самостоятельно элементарные задачи из Дезы. Задоначу пожалуй.
Спасибо )
Деза -это что?
боже наконец-то я начинаю понимать теорию чисел, просто лучший
Трушин вы всегда мне симпатизировали своей подачей материала. Я обычно смотрел вас для каких то прикольных и интересных фактов и недавно решил заняться олимпиадной математикой. Я просмотрел 4 ролика от других блогеров, которые шли по 1ч.-1ч.30мин. и мало что понял. Но только когда посмотрел ваш ролик то понял, как вы грамотно все разложили по полочкам всего за полчаса... Большущее вам спасибо 😭
импонировали*
Трушин навряд ли симпотизировал вам... ,когда не знаете значение слова или как оно пишется- меняйте на более простое.
@@user-ms6ou9vf1x когда не знаете правил пунктуации или вам сложно их применять на практике, лучше просто не используйте знаки препинания
@@user-ms6ou9vf1x когда не знаешь правила пунктуации или не умеешь их применять на практике, лучше вообще не использовать знаки препинания
всем привет , сижу готовлюсь к Олимпиаде через 4 дня пишу регион , на муниципальном взяла 1 место , планирую на республике так же , будем стараться ! Удачи мне ! Напишу потом результат ❤❤❤❤
Заняла 3 место на республике ( ну ничего хотя бы призер
Просто нет слов. Случайно наткнулся и залип. Мне понравилось, ёмко и изящно.
Прекрасно, спаси Господи за столь простое и ясное представление
Очень хочется видео про китайскую теорему об остатках, сама она не сложная, но ее понимание хромает, очень хотелось бы увидеть ее объяснение от вас
У меня уже голова болит это переслушивать постоянно.Нифига не понимаю......
Спасибо, в школе плохо понял эту тему, а сейчас вроде окончательно разобрался
Под конец ролика начал понимать, спасибо, парень, ты крут.
*Трушин - Вы лучший!*
Офигееееееееееть, это же потрясающе
Только благодаря вам смог понять сравнения и логику остатков. Спасибо огромное!!!
17:15 я себе чуть голову не сломал пока пытался понять.. в таких случаях лучше пример давать, спасибо за урок.
Спасибо огромное за видео! Очень помогло разобраться! Сейчас учу эту тему на немецком, вообще непонятно, но благодаря вашему видео, все прояснилось:)
Хотим китайскую теорему об остатках!
Друг, ты один из лучших препадователей, спасибо
Если (k+1)^n-(k^n+1) где n-простое число, то это выражение делится на n. Это можно вывести из малой теоремы Ферма.
Больше ни у кого нет столько полезной и понятной инфы за единицу времени,надо конспектировать и тренироваться)
27:11 я попробовал!!! С увеличением степени 521 получилась последовательность, которая повторялась через каждые 16 номеров; 637:16=39(ост. 13), 13 номер = 7
как раз хотел тч ботать, спасибо
Большое спасибо. Очень понятно и информативно. ПРЯМ БОЛЬШОЕ БОЛЬШОЕ СПАСИБО
The best of the best!
Очень полезное видео. Недавно как раз на школьном этапе ВСОШ была задача с остатками.
Спасибо большое!
14:24 просто закройте глаза и попытайтесь что-то понять)) а видео супер, все понял)
ахахах, это реально очень смешно XD это на это, а то - это не то, а это
Після перегляду даного неймовірного відео, я зрозумів, що не знаю нічого навіть про остачу від ділення. Дякую! я скинувся з вікна
Спасибо большое!! Сразу всё поняла:)
Спасибо вам большое
Очень круто)))
Отлично!
Спасибо вам огромное
Очень интересно и понятно рассказываете! Спасибо!
Огонь!
Мне в школе никогда не показывают доказательство. Спасибо
потомучто ты был тупой😂
7:40 Числа сравнимы по остатку. a ≡ b ( mod m). Означает, что числа до одинаковы остаток по модулю m.
Офигенно объяснил!
Шикарно!
а*с mod m = b*d mod m, можно проще доказать. Допустим a/m = (o1;r1), где o1 - целая часть от деления, а r1 - остаток. Также положим c/m = (o2;r2). Тогда a*c = (o1*m+r1)*(o2*m+r2). Если раскрыть скобки, то получится четыре слагаемых. Три слагаемых будут содержать множитель m, а значит при делении по модулю m дают 0. Четвертое слагаемое r1*r2. Следовательно a*c mod m = r1*r2 mod m. Точно такой же результат получится и для b*d mod m.
БОЛЬШОЕ СПАСИБО ИЗ АЗЕРБАЙДЖАНА ЗА УРОКИ.
Так и знал - колдун! Хорошо, что белый. Я уже третий круг смотрю видосы, этот пропустил или не понял, только сейчас дошло. Хорошо на пенсии матан или савватан грызть, злесь вроде доходчивее)
я все понял, спасибо
Спасибо
Спасибо большое, очень доступно
12:30 важное свойство
Большое спасибо!
круто спасибо вам😘
Спасибо!
круто!
Супер!
Класс!
МОЛОДЕЦ!!! Это надо рассказывать в классах (Школе) с математическим уклоном. Жаль, что появляются "деятели", которые говорят, что математические школы в России не нужны.
Это вроде и есть в 8 классе в классах с мат.уклоном
Крутой чел!
Странно, у меня в олимпиаде по математике тоже нужно было найти остаток при делении на 16 от 2^2018, эту олимпиаду слушаю не дядя Боря делал?))) Ооочеееень жду теорему Ферма😍😍😍😍😍
Это же баян. Я бы такое на олимпиаду не дал ))
Нолик получился?)
@@trushinbv только начал слушать, мне кажется, такого мы никогда не изучали, как и понятие ОДЗ, смысл понимаю, но такое аббревиатуры не помню. Воспринимали все как само собой разумеющееся. Что-то изменилось в программе, похоже. Остаток при делении программированием востребован. Если бы интуитивно до многих вещей не доходил, то и не знал бы их. Ну треть со школы помню, и треть с ВУЗа, ну вообще непонятно было, что и куда. Как вот матрицы складывали, а х.з зачем, почему, а как оказалось, это очень нужная вещь, даже вижу как в лайв режиме с данными работать. Задачи приходилось решать интуитивно, уже потом я понимал , какие мат. операции использую, но доходил до всего сам
@@trushinbv очень странное чувство, когда используешь свои методы, и, оказывается, где-то это изучается. Интегрирование и производная, вот что я воспринял из ВУЗа и нашел этому применение, а работа со степенями, остатки, разложение на множители. Говорят, что в нашем Казахстане с образованием все еще хуже стало(
@@trushinbv как же вы круты, а..., на месте Трампа, я бы всех топовых ютуберов по математике пригласил к себе. Наше образование не современно, поэтому у нас нет никакой возможности для прогресса, а от русского все больше казахов желают отказаться, ведь их просто ничего не надо. И да, я не нуб, при всей новизне тестов для нас, где можно косякнуть, не то закрасить, 90 и более % набрал по естественным наукам.
Смотрю это после бакалавриата для прохождения собесов в топовые IT-компании
благодарью вам из грузий
СПАСИБО
Блин, теперь спокойно на какие-о факты из теории чисел без доказательства смотреть не смогу)
А можете посоветовать учебник, в котором подробные доказательства теории чисел есть?
Круто
Ждём теорему Эйлера.
Отличный Преподаватель, спасибо!
После слова "ну почти" 22:24 не со всем разобрались:-)
оч круто
👏👏👏👏👏👏👏
💪💪💪
Балдеж
здравствуйте, спасибо за объяснение. В теме урока на доске ОШИБКА написано СРАВНИЕ вместо СРАВНЕНИЕ. Случайно заметил мой ребенок 11лет)))))
А где написано? )
@@trushinbv Здравствуйте, на доске тема лекции ...примерно 12-14 секунда от начала видео
С Уважением Матвей Лазарев
@@user-mw6kp8xi7w ой (
Здравствуйте, а почему в последнем примере вы не остановились на остатке 11; 521=11(mod 17), ведь 521^637=11^637=11(mod 17); ведь не важно в какую мы степень возводим. Значит остаток числа 521^637 при делении на 17 равен 11. Скажите пожалуйста, где содержится ошибка в моих рассуждениях?
20:08, возникла проблема с пониманием. Как мы нашли остаток при делении 4 на 15? Помогите пожалуйста
Если a меньше b, то остатком при делении a на b является само число a. Вспомните определение остатка.
@@trushinbv спасибо огромное!
Тоже не понял сначала. Спасибо за вопрос. Ну и за ответ от автора конечно тоже. Вот что значит маленький пробел в школе...
11:40 А почему остаток от -(m-1) он же не может быть отрицательным?
Потому что рассматривается разность двух остатков, она может быть отрицательной. Сами остатки остаются неотрицательными.
@@user-wh4br7op3w а как же остаток 16 по модулю 17 это -1
@@nadyayastrebkova2442 нет, остаток будет 16
y=ax+b это ур-ние прямой. остаток от деления на х это стартовая точка на координате у. Кол-во делений на х это тангенс угла наклона а. Походу линейная алгебра?
Здравствуйте, когда мы говорим что 4 * 16^(504) ≡ 4 * 1 (19:52), четверка остается неизменной, потому что 4 ≡ 4 и 16^(504) ≡ 1 можно перемножить, как на 13:06?
Да
@@trushinbv спасибо
Борис Викторович, здравствуйте. Мне хотелось бы у вас спросить: не могли бы вы посоветовать хорошие книги по теории чисел для тех, кто изучает её «с нуля»? Я имел в виду книги наподобие «Комбинаторики» Н.Я. Виленкина, А.Н.Виленкина, П.А.Виленкина, то есть такие книги, которые вводили бы понятия в связи с определёнными задачами, причём задачами «бытовыми».(В вышеупомянутой книге « Комбинаторика» такие понятия, как, например, правило произведения, вводятся в связи с задачами вроде:председатель клуба велосипедистов с горечью констатирует, что номер его членского билета-088, что на каждое колесо его велосипеда приходится по восьмерке, и поэтому нужно менять номер билета, но чтобы его не обвинили в суеверии, он хочет провести перерегистрацию всех членов клуба, то есть выдать им и себе членские билеты, в номерах которых не содержится восьмерок. По сути, задача такова:сколько существует трехзначных номеров, в которых ноль может стоять на любом месте, не содержащих восьмерку.)
Учусь в летней школе СУНЦ НГУ . Очень познавательно, сейчас проходим эту тему)
Борис Викторович, скажите пожалуйста можно ли эти факты ( и все ли их) использовать на егэ без доказательства?
Почти во всех школьных учебниках за 7 класс эта тема есть "под звездочкой". По крайней мере точно есть у Петерсон и Никольского.
Думаю, что на это можно ссылаться на апелляции, если вдруг снимут баллы )
Если честно, ничего не поняла... Есть ли у Вас упражнения по этой теме?(
ААААААА!
ОЧЕНЬ КРУТО!
Жаль, что когда я в школе учился не было таких материалов
И вот, 4 года спустя после окончания Физтеха, я наконец-то узнал, как решается городской этап :D
Это, кстати, иногда нужно считать в реальной жизни (например, в расследовании программных инцидентов, когда хочешь понять что произошло с числом, не влезшим в int/long)
118^13-1 делить на 169
3^21-2^24-6^8-1 делить на 1930
Не могли бы обяснит решение этих примеров
Круто! Задал человеку задачу на числа с потолка 677 в степени 327. Получилось тоже красиво.
Типа тригонометрического круга.
ЙотаКошерно!
мне кажется не хватило пояснения почему 24 сравнимо с 7 (mod 17) - любое число представимо в виде
a = 0 * b + r
Мы же первые 10 минут про это говорим.
Добрый день, я что-то запуталась, а почем мы ищем остаток от деления не 2 а 16 на 17 и 15?
Немного не понятно почему r1-r2 может принимать значения от -(m-1) до (m+1)
Светлана Веретенникова
Каждое из них от 0 до (m-1)
Пожалуйста, подскажите, если r не может быть отрицательной, то как возможно -(m-1)? Не понимаю :(
21:16 не понял какое 33 , что происходит
Почему 10 сравнимо с -1 по модулю 11? Как так записать 10 и -1, чтобы у них были одинаковые остатки? Не использую то, что их разность 11, следовательно делится на 11 и что 10=11×1-1
10 = 0 * 11 + 10
-1 = -1 * 11 + 10
@@user-do5tn3jt2m спасибо!
Борис Викторович, остаток деления a // b находится в диапазоне (0, b-1), но разве он всегда должен быть положителен?
Если ввести divmod(-10, -4) получим (2, -2). Остаток больше b, это ошибка в питоне?
Нет. Это специфика процессоров Intel
В этом видео не обсуждается сравнение по модулю отрицательного числа
Добрый день! Борис Викторович! Вы сказали " давайте найдём остаток от этого числа при делении на не очень большое..." С этого начинался ролик...Спасибо за объяснения и Ваше время. Тема сравнения целых по модулю отлично раскрыта. Не могли бы Вы уточнить, что при переходе от a≡b (mod n) к c≡d (mod n) строго сказать, что a≡b (mod n)=r_1 к c≡d (mod n)=r_2, пары сравнимых по модулю внутри пар {a;b} и {c;d} не сравнимы, это можно записать ещё {a;b} ≢ {c;d} (mod n). Сравнимы именно их линейные комбинации относительно суммы, разности и произведения. То есть вывод в данном материале абсолютно верный, но данной формулировки пока нет. Далее в качестве примера разбирали вопрос - какой остаток от деления 2^2018 на 15 и на 17... Вы применили свойства сравнимых по модулю 15 и 17, а именно комбинации произведения сравнимых пар чисел, на которые можно разложить исходное число. И один переход в примере 2^2018 (mod15), (mod17) так же опущен, но мне кажется его стоит обозначить. Логика решения примера заключалась в представлении числа 2^2018 в виде сомножителей, сравнимых по модулю пар {a;b}, где a=4 b b=4 и {c;d}, где c=16 и d=1. Пара сомножителей в итоговых выражениях 4 и 1 при делении на 15, в частности это (4/15) = 0,2(6) и (1/15) = 0,0(6) имеют разные остатки при делении на 15 хотя и у обоих результатов 6 в периоде, соответственно на 17, тоже (4/17) = 0.2352 и (4/17) = 0.0588, тут не рациональные числа...не суть. Очень просим Вас продолжить этот ролик в части обоснования 2-х действий в поиске ответа на поставленный вопрос, а именно, того, что можно, как это было показано, отбросить остаток от деления на 15 или 17 сравнимого с сомножителя 16 числа 1 и отсутствие ответа на поставленный вопрос, а какой же всё -таки остаток от деления на 15 и 17 у числа 2^2018. Вы этот вопрос свели к сравнимости результата с остатком для 4 по модулю 15 и 17, а именно 4≡4 (mod 15) и 4≡4 (mod 17), это не вызывает сомнений, но это не остаток от деления 2^2018 на 15 и на 17. Извиняюсь конечно, что столько много букв... Могу лишь от себя скромно предложить использовать в разложении простые, но это требует подготовки. в частности для показателя степени 2018 по ОТАр 2018=1009*2=2*1009, от этого не легче конечно, но тут или вопрос не так надо было ставить, упростите число 2^2018 в представлении сравнимых по модулю 15 и 17 или число взять другое, последний разобранный пример в этом смысле проще оказался...Но остаток от деления и остаток при сравнении по модулю - это разные остатки... В первом случае это какая-то дробь, во втором надо циферблат рисовать на 15 и 17 сегментов...Огромное спасибо заранее. Ну, это как бы в поддержку ранее написанных сообщений от Олежи и Никитина Саши, но более формально что ли. для внесения ясности в происходящее.