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Injectivité
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- เผยแพร่เมื่อ 17 ธ.ค. 2014
- Je vous explique et vous définis formellement la notion d'injectivité de fonction. Ensuite je vous propose une méthode simple pour aborder les exercices consistant à démontrer l'injectivité.
SYNOPSIS :
I. Injectivité : définition patate.
II. Quatre définition mathématiques équivalentes de l'injectivité.
III. Deux exemples pour montrer l'injectivité de fonctions.
IV. Deux exemples abstraits impliquant l'injectivité.
V. Conseils.
Niveau : BAC+1.
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J'ai vu la majorité de votre vidéos ,vous avez été crée pour expliquer et simplifier les choses monsieur...chapeau bas...très bien éxpliqué ...continue au plutôt ...on a besoin de telle explication
Merci pour le compliment!
Bonjour, je suis en train de regarder toute vos vidéos. J'espère que vous continuerez, c'est excellent ! Bravo et merci
vous êtes le meilleur monsieur merci infiniment ❤ #étudiante d'Alger_algérie
je suis d'algerie aussi et j'confirme
Moi aussi ,c'est le meilleur professeur 💙
Moi aussi je suis algerienne et je confirme qu'il est le meilleur❤
Top ! toutes vos vidéos sont très concises et expliquées de façon réfléchis en suivant un plan structuré ce qui permet d'acquérir chaque méthode plus rapidement et de comprendre rapidement des notions parfois très abstraite ! Un grand merci et j'attends vos prochaines vidéos avec impatience !
Vos explications sont incroyables monsieur un très très grand merci à vous !!!
merci ! vous êtes le number one💪
Merci beaucoup! Vos vidéos m'aident énormément!
Tout est clair maintenant dans ma tête, grâce à cette vidéo, merci beaucoups
Merci infiniment😊😊les explications sont trés claires grace à vous j'ai une chance de m'en sortir à mon devoir de math.
Merci pour la vidéo !
Vous expliquez super bien :)
Bonsoir monsieur, votre video merite un oscar
Merci beaucoup, vos explications sont très claires.
Excellente présentation. Bravo et merci infiniment.
Très bien expliqué de votre part... J'ai adoré!
merci beaucoup pour tes vidéos j'ai hâte de voir la suite ;)
Vous nous rendez un GRAND service !!
Merci pour toutes ces vidéos je vais pouvoir réussir ma kholle de math !
Tout est tres clair merci beaucoup pour la revision!!!
Merci beaucoup monsieur, je suis là en 2020
Très bien expliqué, ona encore besoin de toi, svp continuer ....
Un grand merci pour vous vos videos sont à la bonne voix 👏👏 message b1 transmit👍👍
merci infiniment vos videos m'ont aider
Continuez 💯
vraiment merci beaucoup tous est clair et compréhensible
Merci infiniment vous êtes le meilleur professeur ❣j'ai bien compris 🥰🤗
Vous me sauvez ! Merci beaucoup monsieur !!
Mon dieu ! Excellent, merci beaucoup :O !
Vous etes vraiment super Monsieur merci de nous avoir aider. Algerie-Boumerdes.
Merci infiniment , c'est claire maintenant :)
Goooooood 🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥🔥
Meilleur prof ❤
MERCI vous me sauvez , j'ai partiel demain xD
merciiiiiiiiiiiiiiiiiiii t'es le meilleur
merci a vous je commence vraiment a comprendre
Tu me sauve la vie avec mon prof qui c'est pas expliquer un cour
johan 92220 pareil 😂😂
Super bien expliqué un grand merci !!!
super explication, merci bcp
merci merci merci :'''''') vous etes trés fort !!
Merci bcp prof ❤️❤️❤️
Merciiiiiiii vous êtes le meilleur merci merci ......
Merci vraiment c’est crucial ce que vous faites, on veut plus de vidéo comme les bases les noyaux ..
Bonjour,
Merci pour vos encouragements. Concernant les bases et les noyaux, j'ai mis à disposition un cours d'algèbre linéaire réservé aux Tipeurs.euses. Je vous laisse voir comment cela fonctionne à cette adresse : math-sup.ouvaton.org/
Bonne continuation.
Pourquoi avez vous appliquer la fonction g sur f(x)=f(x’). Sous quelle propriété ? Merci bcp pour votre réponse
Merci infiniment prof
excellente vidéo !
merci beaucoup j'ai tout compris
Merci infiniment prof 😊😊
Marocaine 💕 j'ai bien compris merci bcp 💕
cool
merci bc c est excellent
merci! c'est intéressant
merci beaucoup même si je ne suis francophone le principe est très claire
Est ce que tu peux faire une vidéo de l'mage directe d'une sous ensemble par une fonction
merci beaucoup
vraiment the best
ca est trop clair mon mec merci bzzzzzzzzzzzzzzzzzfffffffffffffffffffff
Merci 👌
merci beaucoup
Mrc, une petite remarque, si on a un couplet x,y , on dit qu'elle appartiennent à E exp2
Merci proff
Des exercices corrigés s'il vous plait. Vos vidéos m'ont beaucoup aider merci.
merci :)
Merci pour la vidéo mais sa sera bien comprendre quand vous nous donner un contre exemple ( par exemple quand elle n'est pas injective) a part ça c Super
Bonjour, j'ai fait ce travail dans la vidéo suivante : th-cam.com/video/HjPEj3OmllE/w-d-xo.html .
Merci infiniment
c génial merciiiiiii
merci beaucoup 💜💜
merci pr ces videos stp vs pouvez faire d'autre sur la restriction et prologement d'une application
👍👍👍👍👍👍👍🙏🙏🙏🙏
merci beaucoup prof
merci beaucoup ca ma aider
Mrc bcp monsieur
Merci
bonsoir !!
j'ai une petite question à propos du dernier exemple ; vous avez appliquer la 3éme définition .. Moi j'ai fais autrement mais je sais pas si c'est correcte ,
voilà ce que j'ai fais : Puisque f est strictement croissante cela équivaut à dire que x -----> e^x , et que la fonction Exponentielle est bien et bel définie sur R ; donc es ce que c'est faisable de démontrer l'injectivité en ce servant de cela ; car c'est très facile avec , on démontre que x = x' ... très vite ..
et aussi j'aimerais vous remercier pour vos video Vous êtes super doué .. ! Merci encore
Oui ça marche! En fait, une fonction strictement croissante est toujours injective. Mais c'est un point que je ne souhaitais pas aborder dans la vidéo, car je voulais rester au plus près de la définition de l'injectivité.
math-sup.fr ok merci
Bonjour, vous avez montré de R dans R et de R² dans R² , comment fait-on pour de R² dans R ou de R en R ² SVP ??
thnx !!
Bonjour Monsieur,
Alors merci pour toutes ces explications.
En revanche, dans d’autres exercices ont va plutôt chercher à montrer qu’elle est injective ou non avec des exemples, en général des chiffres allant de -2 à 2.
Comme pour l’exercice ci-dessous:
R-->R
x-->x**2
Alors ici en classe on a montré qu’elle n’était pas injective mais pas avec la méthode de la vidéo mais avec des exemples.
C’est ça qui me dérange un peu je ne sais plus quoi faire comme méthode, je suis confus. Merci de m’expliquer
Bon prof
grand merci
Voilà 2 jours que j'étudie vos notions.
Après avoir compris la notion d'injectivité, de surjectivité et de bijectivité où le secret réside dans l'existence de 0, de 1 ou plusieurs solution à l'équation y=f(x), j'ai d'autres questions plus existentielles.
Peut t-on appliquer ces notions à n'importe quel objet mathématiques. Nous l'avons déjà vu pour la notion de transformation par une fonction à une inconnue mais aussi à 2 ce qui me laisse penser que le concept peut s'appliquer à d'autres objets mathématiques plus complexes découvert à ce jour (fonction à n inconnues, matrice, suites, un espace...) et non encore connus?
Merci de répondre à cette intuition mais aussi aux suivantes :
Aussi :
Je vois :
- dans l'injectivité : un canal de transformation au moins divergent dans le sens où le nombre d'éléments de l'ensemble d'arrivée peut être plus grand ou égal au nombre d'éléments de l'ensemble de départ à transformer
- dans la surjectivité : un canal de transformation réducteur dans le sens où le nombre d'éléments de l'ensemble d''arrivée peut être plus petit que celui de l'ensemble de départ.
-dans la bijectivité : un tuyau de transformation qui laisse inchangé le nombre d'éléments transformés
Si c'est bien cela pouvez vous me donner applications concrètes dans les technologies actuelles ?
Ainsi cela m'amène à une autre intuition qu'adviendra-t il de ces éléments initiaux si l'on réitère à l'infini les transformations en conservant le caractère de la transformation (injective, surjective bijective) ou en la ré-appliquant à la même fonction? Peut on étudier des questions plus intéressantes comme y a t il une fin à ses transformation pour ces éléments de départ? A savoir une limite ou non ?
Par exemple, que se passe t il aux éléments initiaux ayant subit une infinité d' :
injections : l'ensemble d'arrivée continuerai à t-il a grandir vers l'infini (s'aggrandir) ou tendra vers une limite connu (nombre d'éléments toujours identiques) ? une sorte de tendance à trendre vers une bijection sans être bijective et pour lequel il faudrait étudier un n1 partir duquel pour tout n>=n1 cela tend vers une pseudo bijection.
surjection : l'ensemble d'arrivée se limitera vers un même nombre à déterminer ou bien convergera vers un unique élément (ce qui voudrait dire que tous les éléments de départ finisse par se transformer vers le même point. (une sorte de trou-noir)
bijection : la transformation semble infini mais revient t on au début des l'ensemble de départ après n transformation (à savoir une identité) et si oui à partir de combien de transformation on recommence tel un cycle ainsi la composé de n transformation reviendrait à determiner une identité?
Ceux sont des questions qui ont un sens pour moi, passioné de l'univers et de ses mystères.
Est ce que ce genre de question est abordé à des niveaux supérieures si oui quand ?
En fait ces notions s'étendent à tous les objets mathématiques qui restent dans la théorie des ensembles. Lorsqu'on sort de ce cadre théorique (en particulier la théorie des catégories par exemple), je n'en sais pas suffisamment sur le sujet. Mais tous les objets que vous citez rentre dans la théorie des ensembles.
Je vous donne un exemple. Vous évoquiez les fonctions à plusieurs variables, mais en fait ce cas de figure est déjà inclus dedans. En effet quand vous considérez une fonction à deux variables f(x,y), vous pouvez la considérer comme une fonction du couple (x,y), c'est à dire f((x,y)). Donc en posant X=(x,y), vous avez f(x,y)=f((x,y))=f(X) et finalement vous vous ramenez au problème à une seule variable.
Pour le reste vos intuitions sont justes. Cependant il faut être prudent quand on passe aux infinis. Un simple exemple : il nous semble qu'il y ait plus d'éléments dans Z que dans N. Et pourtant il est possible de montrer qu'il existe une bijection entre ces deux ensembles... Si ce sujet vous intéresse, essayer de chercher des sources sur la notion de cardinal d'un ensemble (qui est la généralisation du concept de "nombre d'éléments dans un ensemble"), où ces points sont forcément évoqués. Je ferai certainement une vidéo un jour sur le sujet mais pour le moment je manque de temps.
En attendant il y a une vidéo de vulgarisation plutôt bien faite sur le sujet, qui donnera je pense quelques réponses à vos question :
th-cam.com/video/1YrbUBSo4Os/w-d-xo.html
Pourriez vous répondre à mes intuitions ou celles-ci sont incohérentes ? Je rafraichis ma page chaque heure depuis hier.
Un exemple d'application bijectives subissant n bijections :
J''y vois notamment dans la notion de bijection si on trouve un cycle de n transformations aboutissant au meme ensemble de départ sans perte d'élement donc (puisque c'est une bijection) celle-ci pourrait être utiliser à des cryptage de données de telle sorte qu'au bout de n transformations on puisse retrouver les données originelles (restitution du context). Durant le transfert des données, l'ensemble de départ ayant été crypté (transformé) celui-ci est incohérentes pour l'humain. Seul le destinaire doit connaitre le cycle permettant de retrouver les données initiales (Ensemble de départ). En ce qui concerne à l'univers, on reviendrait toujours à un stade initial après toute évolutions de l'univers si son energie ne se perd jamais (bijection) et ne cesse de se transformer... Quand bien meme, ceci exite , il faudrait pouvoir le démontrer ;-)
Dans une surjection ; j'y vois la compression de données mais il fautdrait une bijection à cette surjection pour être capable de ne pas perdre les données initiales. Hors une fonction surjective ne peut avoir de bijection... Incohérence de mon intuition que je maitrise mal encore.
Le fait d'utiliser une bijection pour le cryptage reviens à faire une variante du cryptage par décalage. Le problème de ce genre de cryptage est qu'il est facilement attaquable (vous devriez trouver des sources sur le sujet). Toute la difficulté de la cryptographie repose dans le fait de minimiser sa vulnérabilité. Les bijections ne me semblent pas être une bonne approche.
La notion de surjectivité peut en effet être employée pour la compression de données avec pertes. C'est la cas de la compression mp3 qui "jette" toutes les informations qui ne sont pas audible par une oreille humaine. Mais la surjectivité seule ne suffit pas puisqu'il faut en passer par une connaissance approfondie de ce qui est audible ou pas, d'où la nécessité d'associer plusieurs sciences : mathématique, physique, biologie.
merci
Vous êtes un très bon prof vous avez un don pour faire passer le message lahi barek
J'ai une question :
Ne peut on pas être plus précis en concluant que l'application f est forcement une application bijective dans la composition d'applications g°f si g°f est injective ?
En effet :
- Pour être une application, tout antécédant de l'ensemble départ est associé à une unique image. Ce qui veut dire qu'une application ne peut avoir d'antécédent sans image.
- Maintenant si g°f est aussi une application, alors son ensemble de départ ne peut avoir d'antécédent sans image aussi.
-Comme son ensemble de départ de g°f est l'ensemble d'arrivée f, l'ensemble d'arrivée de f doit donc avoir au moins un antécédent ce qui veut dire que f doit être surjective.
Sachant que votre démonstration implique l'injectivité de f et que f doit être surjective pour g°f soit une application, ne peut on pas conclure que f est forcement bijective ?
Bonjour,
Je crois comprendre ce que vous voulez me dire, mais vous faites une erreur. Commençons par un contre exemple.
Soit
f: R -> R
x -> e^x
et
g: R->R
x-> x^3
La composée gof est injective mais la fonction f n'est pas surjective car f(R)=R^+ et pas R.
Je pense que votre erreur viens du fait que vous pensez que comme g est définie sur R et que gof est une fonction bien définie, alors forcément les images de f seront R. Or comme vous le voyez ce n'est pas le cas.
Maintenant il est vrai que lorsque vous avez une fonction quelconque, il est toujours possible de la transformer en fonction surjective en remplaçant son ensemble d'arrivée par l'ensemble image. Mais attention ce n'est plus la même fonction. La différence est minime c'est vrai, mais elle a son importance dans les applications. Par exemple pour définir la fonction réciproque d'une bijection, il faut qu'elle soit définie sur tout l'ensemble d'arrivée et pas seulement les points images.
Voyez vous?
Je comprends où est mon erreur. Merci de bien vouloir confirmer ma synthèse ainsi que ma nouvelle conclusion
En étendant l'ensemble d'arrivée de f avec un sous ensemble n'ayant pas de solution à l'équation y=f(x) on supprime la propriété surjective puisqu'il ne peut y avoir d'antécédant dans cet ensemble rajouté tout en conservant la notion d'injectivité.
Ne peut on pas alors en synthéthiser la chose suivante (je m'excuse pour le manque de rigueur de mon écriture) .
Soit :
le context précedent de g°f où l'on sait que f est injective
E: l'ensemble de départ de f
F : un sous ensemble d'arrivée de f ayant une solution à l'équation y=f(x)
F' : un sous ensemble d'arrivée de f n'ayant pas de solution à l'équation y=f(x)
h : E->F , h injective et surjective donc bijective
f : E-> F U F', f est non surjective.
Autrement g°f est injective et f est bijective si et seulement si l'ensemble de départ de g°f est un sous-ensemble des solutions à l'équation y=f(x)
Est ce une bonne synthèse ?
Je commence à bien comprendre.
Mon erreur fut de penser que f(E)=F or f(E) est inclus dans F (R dans votre contre-exemple).
Ce qui veut dire que pour le sous ensemble : complémentaire de F(E) il n"y a pas de solution à l'équation y=f(x) et de ce fait la fonction f n'est pas surjective.
Oui c'est ça!
@@45DonDiego45. En effet
Interessant
top tu sais expliquer ,pouvez vous faire des exercices corrigés
👍 super
merci mon gare
Excellente video mais ,
si et seulement si sera mieux pour les définitions
Pour une définition, le "ssi" est sous-entendu, mais je comprend que vous préféreriez voir un "ssi". J'essaierai d'y penser à l'avenir.
Pourriez-vous me confirmer ces visions possibles d'applications de ces 5 notions.
1-Compositions de fonctions : machine à transformer.
""Processus de transformations successives qui pour être performante doit être réduite au nombre minimal de transformations pour aboutir au résultat cherché.
2-Processus injectif : Approvisionnement dans un sous processus de la machine à transformer comme une jonction/fusion de 2 ensembles d'objets de même nature.
Exemple : regrouper l'ensemble transformé avec un autre ayant éventuellement déjà subi une transformation (peut-être autre) dont leurs caractéristiques restent identiques (on ne mélange pas des choux et des carottes)
3-Processus surjectif : filtre sélectif transformant l'inutile en images égales pour filtrer ensuite l'inutile.
Exemple : traitement d'images numériques, filtre d'onde (poste de radio).
4-Processus bijectif : traceur pour remonter à la matière première.
Exemple : retrouver mes livres que j'ai déménagé dans une bibliothèque pouvant contenir déjà des livres et déménageant elle-même dans une autre, et ceux une multitude de fois: une sorte d'indexation.
5-Processus "non injectif non surjectif" :
Une manière à brouiller les pistes en se transformant à l'identique (surjectif) et se noyant dans une masse existante (injectif). Ce processus pouvant se répéter.
très bonne vidéo néanmoins dans l'exemple de g°f je n'arrive pas a voir pourquoi on g°f part de E dans G parceque vu comment est posé l'énoncé , j'aurais tendance a dire que c'est f°g qui va de E dans G et il me semble que ce n'est pas commutatif donc si on pourrait m'expliquer ça serait simpa merci ; )
Bonjour,
C'est une difficulté classique de la composition. Je vous explique. f prend un élément x de E pour le transformer en f(x) qui est un élément de F. Ensuite g prend ce f(x) et le transforme en g(f(x)) , c'est à dire gof(x), qui atterrit dans G. La transformation part donc d'un élément x de E pour le transformer en un élément g(f(x)) dans G. gof va donc bien de E dans G.
Il faudrait que je fasse une vidéo là dessus...
Est-ce que c'est plus clair pour vous ?
@@math-sup d'accord je vois merci bcp ;)
Super ! Merci beaucoup
Je suis sénégalais il n'y a pas des décompositions j'en ai besoin svp
Merci! Qu'entendez-vous par décomposition? Décomposition en éléments simples ou décomposition canonique?
COURAGE
On peut utiliser le tvi pour le dernier ?
Bonjour,
Oui tout à fait. Je n'ai pas voulu le faire ici pour ne pas invoquer de résultats provenant de l'analyse.
Comment fait on si on a un quotient de nombre complexe
svp a quand la suite, on attend avec impatience vos cours....bravo et merci d'avance
Bonjour proud671. Merci pour votre intérêt et pour votre enthousiasme! J'ai fait une pause quelque temps suite à des problèmes techniques. J'en ai réglé quelques uns (en particulier le flou) mais pas tous... Je reprend aujourd'hui les vidéos. Je viens de poster une nouvelle vidéo sur la surjectivité (dans cette playlist).
A bientôt!
math-sup.fr milles merci :)
J aime beaucoup mais si vous pouviez écrire un peu plus grand ou zoomer sur ce que vous écrivez ce serait carrément le top.
Excusez-moi si je dis une bêtise, mais à 3:45 lors de la définition 1 d'une fonction injective, vous dites : " Une fonction est injective si toutes les images de f admettent un unique antécédent."
Ne serait-il pas moins ambigu de dire " Une fonction est injective si chaque image de f admet un unique antécédent" ?
Parce qu'ici, vu la façon dont la phrase est tournée, on pourrait croire qu'à toutes les images de f correspond un seul et même antécédent ( tous les points de F sont reliés au même point de E ).
Bonjour Brennos,
Oui vous avez raison, votre formulation est meilleure car plus adéquate avec le langage formel que le langage usuel que j'ai employé. J'espère que mes illustrations suffiront à lever l’ambiguïté.
Merci pour cette remarque.
@@math-sup De rien. Et merci à vous pour votre travail, grâce à vous on comprend plein de choses !
Merci excellente explication. Dites moi, quand on dit que x=x’ et f(x)=f(x’) cela Signifie que x et x’ sont confondus ? Et pareil pour f(x)=f(x’) ?
Pouvez-vous me dire à quel endroit de la vidéo?
À 7’20’’
Oui c'est ça. Cela veut dire que ce sont les mêmes points sur le dessin.
Merci vos explications sont plus claire que les cours élaborés d’universités. J’espère que vous en ferez d’autres de math spé et licence 3 merci encore.
18 /11 /2022 19,13
Je comprends pas pourquoi on se permet d'utiliser la définition 4 si celle-ci signifie la négation et donc le contraire de la définition 3 caractéristique même de l'injectivité.
Bonjour HeadshooterGTAS,
Attention vous confondez la négation d'un implication et la contraposée d'une application. Dans mon cas j'utilise la contraposée qui est équivalente à l'implication d'origine. Si la confusion persiste pour vous, il faudra reprendre votre cours de logique (généralement fait en début de première année) si vus en avez eu un. En quelle année êtes vous?
+math-sup.fr je suis en sup on a fait de la logique mais j'avoue ne pas y avoir accordé beaucoup de temps.
+HeadshooterGTAS C'est une très mauvaise chose d'avoir négligé la logique. Je vous conseille de travailler ce chapitre de toute urgence (quitte à ne faire que les exercices d'applications simples) car il va vous servir très régulièrement. Si vous n'avez pas le temps dans l'immédiat, je vous recommande la vidéo suivante de TH-cam qui explique la contraposée sans mathématiques :
th-cam.com/video/HWJxnJQSJdc/w-d-xo.html
Mais il faudra y revenir proprement avec votre cours. Pour ma part je ferai certainement des vidéos de logique, mais pas dans l'immédiat.
Bon courage.
Une fonction de E vers F est une relation qu'à chaque x de E fait correspondre au plus un élément y de F
c'est quoi la différence entre une fonction et une application ?
Personnellement, je considère que la nuance entre les deux relève du jargon jargonnant et j'emploie les mots fonction et application pour désigner le concept d'application. Je vous explique.
Une fonction désigne généralement un processus qui transforme une expression mathématique en une autre. Par exemple, la fonction carré transforme un réel x en x^2, la fonction dérivée transforme une fonction dérivable f en sa dérivée f'. Généralement, une fonction est désignée par une formule (notée sous la forme x |--> f(x) ) exprimant la transformation sans nécessairement préciser proprement sur quoi agit la fonction. C'est la raison pour laquelle celles et ceux qui veulent absolument opérer une distinction entre application et fonction, vous demanderons le domaine de définition d'une fonction, et pas le domaine de définition d'une application).
Au contraire une application est une fonction pour laquelle on précise le domaine sur lequel elle agit, et l'espace d'arrivée de la transformation. Une application sera alors présentée suivant le schéma :
f : E--> F
x |--> f(x)
Il faut savoir qu'avec une fonction, il est possible de construire plusieurs applications. Par exemple avec la fonction carré sur les réels : x |-->x^2, il est possible de construire l'application :
f : R --> R
x |--> x^2
Mais comme cette fonction est à valeurs positives, on peut également construire l'application :
g : R --> R⁺
x |--> x^2
Ou bien si on souhaite uniquement travailler sur [-1,1], on peut également considérer l'application :
h : [-1,1] --> R
x |--> x^2
Ou bien encore, comme cette fonction est à valeurs dans [0,1] sur cet intervalle :
k : [-1,1] --> [0,1]
x |--> x^2
Comme vous le voyez sur ces exemples, la transformation (la fonction donc) est la même, mais les ensembles sur lesquels elle opère ne sont pas forcément les mêmes. Le concept d'application permet donc de préciser proprement sur quels ensembles on décide de travailler. Notez au passage que toutes les applications que je viens d'énumérer sont considérées comme étant différentes car agissant sur des ensembles différents, alors même qu'elles sont toutes construites sur la même transformation.
J'espère que cela vous aura un peu éclairé.
@@math-sup merci pour votre réponse que j'apprécie
Ça ma permit d'ouvrir mon esprit encore plus
mais pourquoi on peut écrire ça directement?
f(x) = f(x') => g{f(x)} = g{f(x')}
merci (y)
Voici une question très fréquente des apprentis matheux!! Je commence par vous expliquer. Normalement vous êtes d'accord avec l'affirmation suivante :
a=b => f(a)=f(b)
Remplacez alors a par f(x) et b par f(x') et vous avez votre implication!
C'est étrange mais quand on commence à apprendre des mathématiques plus formelle, on finit par douter de tout et parfois par bloquer sur des choses qui ne nous auraient pas gênées auparavant. C'est probablement un syndrome analogue à celui de l’apprenti médecin qui croit avoir toutes sortes de maladies...
+math-sup.fr merci pour votre explication ;) :)
si tu veux c'est comme si on appliquait la fonction g à l'équation. a=b revient à dire que a.c=b.c c'est un peu la meme chose ici sauf qu'on applique une fonction.
Mirindra
math-sup a répondu, mais je trouve que la raison n'est pas clairement indiquée, car ce qu'il faut comprendre c'est pourquoi a=b => f(a)=f(b)
"Normalement; on est d'accord", oui..........., mais pourquoi ??
Cela résulte de la définition même d'une fonction:
s'il existe a et b tels que a=b et f(a) différent de f(b), alors f n'est pas une fonction (donc g dans l'exemple)
Donc l'égalité
f(x) = f(x') => g{f(x)} = g{f(x')}
est vérifiée tout simplement parce que (par hypothèse) g est une fonction
En théorie des ensembles, une fonction ou application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier est en relation avec un
unique
élément du second1. Parfois, on distingue la notion de fonction en affaiblissant la condition comme suit : chaque élément du premier ensemble est en relation avec
au plus
un élément du second
Dans quelle cas f n'est pas injective
Bonjour,
J'aurais envie de dire, quand elle ne vérifie pas la définition d'injectivité, mais je ne suis pas sûr de répondre à votre question. Pourriez-vous préciser ce qui vous gêne ?
يارب أرزقني حرارة القلب
dsl dans l exemple 1 je vois pas en quoi ca prouve que f est injective
Pourriez-vous préciser à quelle minute de la vidéo?
a 9:53 mais enfaite nan je me suis trompé dsl , je croyais que si l on remplacais f(x) par nimporte quelle fonction on obtiendrais toujours x=x' mais maintenant j ais compris comment ca marche , merci beaucoup pour ta vidéo !
Oui c'est une erreur classique. Le cerveau en cherchant à comprendre, a tendance à lire l'implication à l'envers (c'est à dire x=x' => f(x)=f(x')) ce qui n'est pas du tout la même chose. J'ai fait cette erreur étudiant, et je rencontre quasi-systématiquement des étudiants qui me posent la question à chaque fois que je l'enseigne.
Je me suis résolu à me dire que c'est une bonne chose car c'est le signe d'une réflexion et aussi le signe que les étudiants n'avalent pas tout cru ce qu'on leur apprend !