Super vidéo ! Pour une fois je connais déjà un peu le sujet puisque je fais mon TIPE dessus haha J’en profite donc pour dire, si vous ne le saviez pas, qu’il existe une preuve de ce même théorème toujours en dimension 2 à l’aide du jeu de Hex (qui est un jeu de plateau) qui vaut vraiment le détour !
Que se passe t-il dans le cas où f(x) se trouve sur le cercle ? Il y a alors deux points d’intersection entre la demi-droite et le cercle. Ne devrions nous pas considérer ]f(x), x) ?
Dans tous les cas, il y a deux points d'intersection avec le cercle (car x et f(x) sont distincts). Mais à chaque fois, il n'y en a effectivement qu'un quand on considère ]f(x); x)
Ok donc f(x) n’est pas x donc on peux tracer une droite et définir la rétractation. Une autre rétractation aurait pu être la projection d’un point de B^2 sur le cercle (B^2 est convexe donc une projection est possible). Mais on s’en fout car on n’utilise pas f. Bref c’est bon, merci !
@@julien4230 Ton commentaire m'a fait réfléchir à quelque chose. J'ai l'impression qu'il existe également au moins un point fixe dans la boule privée de son bord. En effet, si tous les points fixes sont sur le bord, la rétractation construite reste valable, ce qui implique que le groupe fondamental du cercle est trivial ce qui est donc absurde.
@@romainp62 C'est faux : si tu considères la fonction qui a chaque point de ton disque renvoie x0, où x0 est un point du cercle, alors le seul point fixe est x0... qui n'appartient pas au disque privé du cercle !
@@noegarreau6389c'est étonnant, ce contre exemple fonctionne bien mais je ne vois pas où le raisonnement bloque, il faudrait certes définir r différemment (comme étant l'identité sur S1 et en gardant la définition precedente sur l'intérieur par exemple) mais au moins graphiquement, on a l'impression que tout fonctionne de la même manière, y compris la continuité...
Pour la continuité de la fonction r (ce n'est pas si évident) On écrit r(x) = t.(f(x)-x) + x avec t positif Il suffit de montrer t continue. ||r(x)||^2=1 donne t^2 ||f(x)-x||^2 + 2t + (||x||^2-1)=0 Cette équation a deux sol de signes contraire et la positive est donnée par la formule classique (-b + Vdelta)/2a
Super. J'ai juste l'impression que ta rétractation part de x vers f(x). Or il faudrait plutôt qu'on parte de f(x) vers x pour être l'identité sur S¹ 🤔 Donc on devrait plutôt avoir r(x)= t(x-f(x))+f(x)
@@chenardpierre8270 Si le compact convexe ne contient pas l'origine, alors en le translatant et en composant la translation et sa réciproque avec une fonction continue, le résultat peut se ramener au cas où le compact convexe contient 0.
Merci pour ce travail de qualité. J'aimerais savoir si vous pourriez me donner le setup que vous utilisez pour tourner vos vidéos j'espère faire la même chose bientôt. Merci
Super vidéo (même si au dessus de mon niveau) je m'excuse du dérangement mais j aimerais juste demander des recommandation de livre + source pour la prépa MPSI (puis MP) je suis actuellement élève en terminal au Maroc et je rêve d accéder aux écoles d'ingénieures types X Central mais je sais pas ou commencer pour avoir le niveau nécessaire Merci :)
Je me demandais cette preuve a l'air de bien se généraliser à une boule dans R^n non ? Le même raisonnement mais avec r(x) qui vaut tf(x) + (1-t)x avec t€R
Super vidéo ! Pour une fois je connais déjà un peu le sujet puisque je fais mon TIPE dessus haha
J’en profite donc pour dire, si vous ne le saviez pas, qu’il existe une preuve de ce même théorème toujours en dimension 2 à l’aide du jeu de Hex (qui est un jeu de plateau) qui vaut vraiment le détour !
Je sais que c'est toi Esteve
Haha j'en ai entendu parler oui, maintenant la question c'est : ya pas moyen de généraliser hex à n dimensions et obtenir une preuve comme ça ?
Quelqu’un aurait la référence du stylo plume utilisé dans ce cours ?
Que se passe t-il dans le cas où f(x) se trouve sur le cercle ?
Il y a alors deux points d’intersection entre la demi-droite et le cercle. Ne devrions nous pas considérer ]f(x), x) ?
Dans tous les cas, il y a deux points d'intersection avec le cercle (car x et f(x) sont distincts).
Mais à chaque fois, il n'y en a effectivement qu'un quand on considère ]f(x); x)
Yes effectivement il faut regarder la demi droite ouverte, le point d'intersection qui nous intéresse est celui " du côté de x "
J’ai pas bien compris pourquoi une application f qui n’a pas de point fixe impliquait l’existence d’une rétractation continue ?
Ok donc f(x) n’est pas x donc on peux tracer une droite et définir la rétractation.
Une autre rétractation aurait pu être la projection d’un point de B^2 sur le cercle (B^2 est convexe donc une projection est possible). Mais on s’en fout car on n’utilise pas f.
Bref c’est bon, merci !
@@julien4230 Ton commentaire m'a fait réfléchir à quelque chose. J'ai l'impression qu'il existe également au moins un point fixe dans la boule privée de son bord. En effet, si tous les points fixes sont sur le bord, la rétractation construite reste valable, ce qui implique que le groupe fondamental du cercle est trivial ce qui est donc absurde.
@@romainp62 C'est faux : si tu considères la fonction qui a chaque point de ton disque renvoie x0, où x0 est un point du cercle, alors le seul point fixe est x0... qui n'appartient pas au disque privé du cercle !
@@noegarreau6389 Oooh très joli, merci pour ce contre-exemple !
@@noegarreau6389c'est étonnant, ce contre exemple fonctionne bien mais je ne vois pas où le raisonnement bloque, il faudrait certes définir r différemment (comme étant l'identité sur S1 et en gardant la définition precedente sur l'intérieur par exemple) mais au moins graphiquement, on a l'impression que tout fonctionne de la même manière, y compris la continuité...
Pour la continuité de la fonction r (ce n'est pas si évident)
On écrit r(x) = t.(f(x)-x) + x avec t positif
Il suffit de montrer t continue.
||r(x)||^2=1 donne
t^2 ||f(x)-x||^2 + 2t + (||x||^2-1)=0
Cette équation a deux sol de signes contraire et la positive est donnée par la formule classique (-b + Vdelta)/2a
Super. J'ai juste l'impression que ta rétractation part de x vers f(x). Or il faudrait plutôt qu'on parte de f(x) vers x pour être l'identité sur S¹ 🤔
Donc on devrait plutôt avoir r(x)= t(x-f(x))+f(x)
Exercice: montrer cela en utilisant un compact, convexe quelconque de R^n a la place de la boule dont ou tu as travaille ?
Bonjour, peut on supposer que le compact contient l'origine?
Je me demande si cela peut aider à définir une bijection du compact dans la sphère?
@@chenardpierre8270 Si le compact convexe ne contient pas l'origine, alors en le translatant et en composant la translation et sa réciproque avec une fonction continue, le résultat peut se ramener au cas où le compact convexe contient 0.
Oui, les compacts convexes de R^n sont homeomorphes aux sphères. Les détails sont sur la page wiki des ensembles convexes.
Merci pour ce travail de qualité. J'aimerais savoir si vous pourriez me donner le setup que vous utilisez pour tourner vos vidéos j'espère faire la même chose bientôt. Merci
C'est une table basse posée sur un bureau, avec mon téléphone dessus
Super vidéo (même si au dessus de mon niveau)
je m'excuse du dérangement mais j aimerais juste demander des recommandation de livre + source pour la prépa MPSI (puis MP)
je suis actuellement élève en terminal au Maroc et je rêve d accéder aux écoles d'ingénieures types X Central mais je sais pas ou commencer pour avoir le niveau nécessaire
Merci :)
Tu peux regarder la FAQ, on évoque pas mal ce sujet ;)
@@MathsEtoile merciiiii
Je me demandais cette preuve a l'air de bien se généraliser à une boule dans R^n non ? Le même raisonnement mais avec r(x) qui vaut tf(x) + (1-t)x avec t€R
tu pourrais faire une vidéo sur les matrices et determinant de gram
Yes je fais ça après les vacances sans doute
C'est quelle police d'écriture ?
Computer Modern c’est une police d’écriture disponible uniquement sous LaTex