이 영상은 3부작중 1부입니다. 2부 : dx 만 단독으로 써도 의미가 있다? 미분형식(미분연산자) ( th-cam.com/video/B7gTECZzC3U/w-d-xo.html ) 3부 : 대학에서 배우는 다변수함수의 미분과 라이프니츠 미분형식 적용법 ( th-cam.com/video/ct_O4tAS_cc/w-d-xo.html )
낼 모레 50인데 막연했던 미분이 이제서야 확 다가오네요. 저도 나이 먹고 3D 디자인 하면서 곡선을 그리면서 미분 등을 이해하게 됐는데 배우고 나니 어제보다 더 나은 내가 되어 차별화 되는 것도 미분이 아닌가라는 생각이 들었습니다. 세상이 바뀌었네요. 이젠 이렇게 흥미를 불러 일으켜주시고 실생활에 밀접하게 알려주시는 선생님도 계시고.. 예전 고리타분한 선생님들 땜에 재능을 꽃피우지 못한 아까운 사람들 참 많을 겁니다. 이런 쌤에게 수업 받는 분들 복받았네요.
@@Math_is_Dharma아무리 어디에 뭐가 나와있고 그래서 기회가 공평해보이지만, 처음 만나는 선생님이 무엇을 머리에 박아주시는지에따라 은연중에 다양한 고정관념들이 생겨납니다 찾아보지 않았거나 못했다는 것은 그러한 사고를 게을리했다는 말도 되지만, 그것보다 찾아볼 생각을 못하게 누군가 생각을 주입시켰다는 말도 됩니다 그러한 정보들을 찾는 방법이라는 것도 따로 배우는것 역시 좋은 방법이라는 생각입니다
직장생활 다하고 은퇴해서 노는 사람인데, 문득 문득 고등학교때 배웠던 수학을 왜 배웠나 하는 의문이 많이 들었습니다. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 복리이자 계산, 이정도 외는 샐 생활에 안 쓰이던데, 미분은 왜 배웠나하고 참 의아해 했는데, 오늘 강좌가 정말 좋았습니다. 최고입니다
환갑 지나 이런 채널을 찾아보는 것은 중고등학교 때 왜 내가 수학을 못했는가에 대한 궁금증이 아직도 해결 안되었기 때문이죠 MIT 유투브 강의나 다른 채널을 찾아봐도 시원한 해답이 나오지 않더군요 분명 복잡한 수학이 물리, 화학,공학뿐 아니라 인문에서도 다양하게 쓰이는데 죽어라 공식만 외우라하니 재미가 없었어요 수학은 법칙입니다 인생도 다양한 법칙-LAW-이 있습니다 국회에서 만드는 법은 바뀌지만 수학의 법칙은 인과관계가 분명하고 시대를 초월하기에 위대합니다 오늘 궁금증 해소에 많은 도움을 주신 다르마님께 감사 드립니다
29:38 지나가는 전자과 공대 졸업한 사람이고 저도 수학특강을 하면 이부분을 굉장히 강조하는데, 29분38초에 "이게 미분을 진짜로 배우는 이유에요!" 이거 더 쎄게 강조해주세요! 이정도도 약합니다! 혹시 선생님께서 이 댓글을 보시면 아래 예시도 학생들한테 설명좀 해주셨으면 합니다. (댓글이 글자만돼서 말이 길어지지만 잘 읽어보시길 ㅠㅠ) (함수구현이라는 내용입니다. ) 만약 우리가 베터리 개발자라면, 베터리에 (예를들면)리튬도 섞고, (예를들면)마그네슘도 섞고, 나트륨(요즘은 소듐으로 배운다죠?),설탕, 미원......하면서 시간과 충전 방전 속도를 그래프로 찾아냅니다. 몇분대에 점찍어서 몇 볼트, 몇 분대에 점찍어서 몇 볼트....어? 근데 이게 실험을 1~2번이 아닌 10~20번, 100~200번을 해보면서 찍어보니...뭔가 일정한 패턴이 그려지네? 어? 근데 이게 점의 분포를 보고 평균값,중앙값...등을 고려하여 선을 그어보니 뭔가 그래프가 그려지네? 하필이면 근데 생긴게 y=루트x 그래프가 그려지네? 아하....베터리가 충방전 되는 속도가 직선 그래프가 아니었구나....근데....마그네슘을 더 타니까 곡률이 이렇고, 설탕을 더 타니까 루트그래프의 곡률이 저렇게 되고.... 아하....이렇게 그래프를 그려보니까....우리가 베터리를 쓰면 언제 베터리가 다 닳을지 미래를 "예측"할 수가 있구나....(선생님 설명표현으로)x축에 주어 y축에 목적어를 두고 관계를 파악했을 때 "유의미한" 결과가 나온다면...이 두 주어와 목적어의 미래를 예측할 수 있구나....우리가 신이 아닌데 어떻게 미래를 볼 수 있지? 수학적 표현으로 관계만 이끌어내면 미래를 볼 수 있구나! 우리가 신이 될 수 있구나! 결국 함수는 x와 y의 관계이고, 이 관계를 해석하는 도구, 툴이 미적분이구나....우리가 함수를 배울 때 "관계"라는 관점을 배우는게 아니고, (선생님 말씀대로) 미분은 변화를 설명하는 표현이다...를 설명하고 접하는게 아니라, 책 펴자마자 처음부터 "함수는 정의역, 공역, 치역....", "미분은 접선의 기울기" 이따위로 배우니까 질려서 포기하는거구나.....를 설명합니다. 치핑해머를 연구할 때....공기가 들어가는 양(x)과 치즐이 때리는 속도(y), 혹은 공기가 들어가는 양(x)과 치즐이 때리는 세기(y)의 관계를 찾아내어 "유의미한 상관관계"를 꺼내기만(도출) 하면.... 다양한 치핑해머의 크기와 모양을 만들면서 그 성능을 "예측" 할 수 있다보니 그런 관계(함수)를 해석하는 도구로서 미적분이 중요하구나를....저도 중고등학창시절이 한참 지나고 다른 댓글다신분들처럼 30대가 돼서, 50중반에....등등 의미를 느끼게 되었고, 이 동영상에서 선생님 설명이 굉장히 잘해주시고, 중요한 강의를 해주신다는것을....저는 압니다. 강의 감사합니다(최고)(최고)(최고)
예전 80년대 고등학교 수학을 배울때는 정말 이해를 암기로 합리화 하여 적용하여 수학을 공부 한 것 같은데,,그 이후로 공대가고 중공업 취업 했어도 미분의 의미를 제대로 파악을 못했는데,,, 선생님 강의로 이제와서 의미를 조금 알게 됐습니다...우리나라 학교 수학선생님이 이런분이 었어야 되는데,,아쉽습니다..
예, 정말 예전에는 그런식의 수학이 확실히 많이 있었습니다. 한번 그 '따라감'을 놓치고 나니까 정말 어떻게 따라가야 할지도 막막해지는 그런 날도 많았구요. 특히나 고등학교때 정말 그게 심했었습니다 ㅠㅠ... 그런 경험을 토대로, 제가 강사생활을 할때 노력해야할 점을 잡으려 합니다. 허나 그렇다고 지금의 제가... RK님께서 말씀하신 것처럼 좋은 선생님은 또 아닐거라서 그게 더 죄송할 따름입니다. 더 정진하겠습니다. 감사합니다.
고딩 수포자입니다.. 수학 제대로 공부 해본 적도 없고 당연히 좋은 성적을 맞아본 적도 없어 수학을 정말 싫어합니다 미분 소리 또한 듣기 싫어했죠 하지만 어느 날 미적분의 역사를 설명하는 방송을 보고 흥미를 얻어 여기저기 찾아보고 어쩌다 이 강의까지 너무 재밌게 듣고 있네요 미적분을 싫어했던 저로선 미적분이 이렇게 재미있는 것인지 몰랐습니다.. 하지만 많은 미적분 관련 영상 덕분에 미적분에 흥미를 가졌고 이제는 너무너무 새롭고 재밌네요.. 태어나서 처음으로 수학 자체에 관심을 두고 재미있어 수학 공부도 열심히 했더니 성적도 많이 올랐습니다 이제는 수포자 탈출 할 거 같습니다 ㅎㅎ 미분의 맛을 몰랐다면 절대 불가능 했던 일
답글이 늦어 죄송합니다. 저의 이전 영상을 보시면 아시겠지만, 저도 한때 수학 정말 싫어했던 적이 있습니다. 수학 성적은 당연히 정말 바닥을 뚫을 수준이었구요. 그렇지만 차근히 해내서, 나중에 연구소 초청을 받을만큼 공부를 했었더랬습니다. 그러니 레튜스님도 포기하지 마시고, 기운 내시고, 한걸음씩 차근히 앞으로 걸어나가시기를, 이렇게 응원해 드립니다. 채널에 찾아와서 시청해주시고 또 속깊은 이야기도 꺼내주셔서, 저야말로 감사의 인사를 전합니다.
최고의 영상입니다. 아무도 알려주지 않는 내용을 알려 주어서 감사합니다. 아무 의문도 제기하지 않고 기계적으로 가르치고 배우는 사람은 그냥 따라하기만하니... 기차를 타고 부산으로 가는데, 왜 가는건지에 대한 설명은 없고 질문도 없이 그냥 생각 없이가기만하니 미분에 대한 개념이 제대로 자리잡힐리 없습니다. 일상적으로 미분에 대한 수업이 기계적인 풀이로만 이루어지니 시간이 지나면 기억이 흐려져 다 잊을 겁니다. 그러나 개념이 있고 이런 서사가 따르면 잘 잊지 않을 것입니다. 미분에 대한 근원적인 궁금증과 의문이었는데, 그에 대한 궁금증이 풀렸습니다. 감사합니다.
수학을 배울때부터 실생활에 쓰이는 곳을 생각을 많이 했었습니다. 공장다닐때도 설계도 없이 간단한 부품 만들때 삼각함수 쓰는 것도 활용했고, 현재는 농업하면서 물통에 물 부피 잴때도 쓰고요ㅋㅋ 그런 습관때문인지 미분배울때는 기울기라 배웠지만 직관적으로 본질적 의미를 알고 있었던거 같아요. 모두 어렵게만 생각하지만 실생활에서도 모두 쓰는거라 생각해요. 5분간 물을 받았는데 한 20% 찬것같다. 20분뒤 다 차겠구나. 이것도 수식으로 표현 하면 미분을 활용한거겠죠. 수학에서 영어가 나오니 보기만 해도 손사래 치는 분들 보면 안타까워요.
미분이란 ? 우선 용어부터 설명을 해야합니다. 아주 짧은 시간으로 분해한다는 것이고 그짧은 시간에 이루어지는 현상을 관찰한다는 뜻이겟죠. 그다음은 미분식을 설명해야합니다. 어떤 대상을 관찰할때 분자식은 현재상태에서 과거상태를 빼면 변화가없으면 0 일것이고 변화가있다면 약간의 차이가 있겟죠. 바로 그 차이가 있느냐를 관찰하는것이 미분입니다. 그래서 그차이가 많으면 미분값은 높게나타나죠. 용도는 ? 미분을 햇더니 그 차이 값이 많다면 변화가 많이 생겼다는 뜻이죠. 사람들은 미분을 평생 한번도 써본적이 없다고 해요 . 그런데 인간은 죽지않으면 단 1 초도 미분을 하지않으면 살 수없다는것을 알아야겟지요. 인간의 감각기관은 감지를 위해 항상 미분을 24 시간 하고있어요. 바로 변화가 있는지 얼마나 변화가 있는지를 관찬하지요. 이것이 미분이지요. 눈을 보면 학교 교실에서 시험을 감독하는 선생님이 있어요. 부정하는 학생을 어떻게 알아낼까요 ? 모든학생들은 고개를 숙이고 시험에열중하죠. 선생님은 모든 학생이 시험기간 내내 똑같은 자세로 시험에 임하는 모습만 보기때문에 변화를 찾을 수없어요. 바로 미분값은 ㅇ 에 가까워요. 그런데 한학생은 몸을 자꾸움직이고 이전과 다른 행동이 보여요. 바로 변화를 본것이죠.미분값이 높게되겟죠. 미분값이 높게나오면 바로 조치를 취해야겟죠.. 시험장 퇴장 … 바로 미분은 변화를 추적해서 가장 변화가 심한곳부터 조치를 치하는것이 미분이죠. 한응용분야 알아보세요. 스마트폰 카카오톡 영상통화할때 영상을 전송하는기술. 자동차 블랙박스 영상촬영기술. 비행기의 접근을 알아내는 레이더기술. 바로 움직임을 알아내는곳에 미분기술이 필요해요. 움직이면 변화가 있다는 뜻이죠. 호랑이가 사람을 잡아먹으려 접근하면 인간의 눈은 미분을 하고있어 움직이는 물체를 즉각 알아차리고 호랑이쪽을 바라보게되고 바로 조치가 이루어져 도망을 가게되겟죠 그래서 한시도 미분을 하지않으면 알아차릴 수없어 죽을 수있지요. 운전을 하면서 미분을해서 안전운전하는것이고, 걸어가다 앞에서 나무가 쓰러지면 피할 수있고 차량이 돌진하면 조건반사로 피할 수있게되는것도 미분의 덕이죠. 바로 미분은 움직이는 현상을 설명하기위해 만든 언어로 과학 현상을 설명하는 언어 수학을 규정하여 자연에서 유사하게 일어나는 현상을 설명하고 활용하고있지요. 이해를 돕는차원에서 한학생이 교실에서 보니 얼굴이 빨갛네요 .? 미분해보세요. 너 얼굴이 어제는 하얗고 오늘은 빨강이야 ! 차이가 있죠. 너 술먹었지 ? 어디 아프니 ? 양호실로 교무실로 조치를 취하겟죠. 이런일들을 행하는 자연과학현상을 기술하고 활용하는데 필요한 학문이지요. 그래서 수학은 과학을 설명하는 언어이므로 수학의 한 챠트마다 몰리적현상을 잘 설명해주어야 수학이 재미가있지요. 계산은 컴퓨터가 다하는 시대라 원리만 용도만 알면됩니다. 왜 배워야하고 어디에 용도가 있는지부터 시작하면 좋아요. 내가 옆사람한데 말하면 귀에서 말이 안들리다 들리니까 쳐다보게되죠. 이것도 귀가 미분을 햇으니까 말소리 듣고 바로 쳐다보는거에요. 이것도 미분이에요. 미분식을 풀이하는 영상물도 많이 보여주어 좋은 세상이 되었네요.
기울기라는 말 자체가 변화량을 뜻하는 거라고 생각했는데 그렇게 받아들이지 않고 숫자로만 받아들이는 사람이 믾았나보네요. 함수 또는 방정식이라는 것 자체가 관계를 나타내는 것라는 걸 알고있으면 기울기 자체가 종속변수의 변화량을 독립변수의 변화량으로 나눈 거라 달라지는 정도라는 걸 알 수 있죠. 미분은 이 기울기(변화량)을 극소화하여 기울기를 구한 거라서.. 고등학교 때 신기했던게 적분과 미분과의 관계와 부정적분이 정적분과 같아지는 것들을 신기하게 받아들였던게 생각나네요
이과 전공을 하고 50평생 살면서 도대체 "미분"이 의미하는 바가 무엇이고, 왜 배우는지에 대해서 항상 알고 싶어서, 유튜브에서 여러 영상을 찾아봤지만, 이렇게 명쾌하게 설명해 주신 분은 처음입니다. 다만, 주제 넘은 이야기이긴 하지만, 강의 영상에서 f, S, W, P, X, Y 등의 알파벳을 이용한 d(f)/d(w) 대신에 d(제품)/d(작업) 이렇게 글로 표현을 해 주신다면 수학과 거리가 먼 일반인들도 더 이해하기 좋을 것 같습니다. 2부 시청하러 가야 겠습니다. 감사합니다.
애초에 기울기가 독립변수에따른 종속변수의 변화량을 나타낸거라 기울기를 알수있다가 변화량을 알수있다랑 동치인데요 교과서에도 그렇게 쓰여있고 우리나라의 수학교육도 다들 그렇게가르칩니다… 아무도 안가르치는이유는 그게 이미 기본적으로 전제되어있기에 아무도 언급을 안하는거라고 생각이되네요
뉴튼식 미분표기법은...경제학에서 인플레이션같은...변화율을 표현할 때 널리 사용됩니다....물가상승률 임금상승율 뭐 이런 것들...아마 텍스트에서 같이 쓸 때 편리하거나..근대경제학이 영국에서 발달되어서 그럴 거에요..변수가 여러개일 때...특정 변수에 따른 변화율 표현하려면...라이프니쯔 방식을 쓸 수 밖에 없지요...y=f(a,b,c,.....)일 때...c 가 변화할 때 y 가 어떻게 변화하는 지 보여주는 걸 dy/dc로 표현하는 것처럼요...미분방정식은 특정 도함수를 찾아 내는 건데..그 도함수가 바로 움직임을 예측할 수 있게 되는 것이지요... 고등학교 수학은 결국...미적분과 통계를 다룰 수 있도록 하는 것이 최종 목표라고 보면 됩니다..난이도를 떠나서요...이게 안되면 공대를 가더라도..공업수학을 할 수가 없게 되는데..그건 공대를 안 다닌 것과 같은 겁니다...인문사회대 역시 돈을 벌려면 통계 즉 계량을 해야 합니다...그런데 그 툴이 결국 죄다 미적분입니다... 자본이 아니라 사람이 돈을 벌려면..하드웨어든 소프트웨어든...미적분을 떠나서는 아무것도 안된다는 걸 꼭 받아들이시기 바래요..그런데...솔직히...집합은 왜 배우는 지 모르겠네요..그 개념이 군론으로 연결되면 분자 이하 단위를 다루는 학문에서는 분명 포지션이 있는데...고등학교에서 배우는 건...정말 무쓸모라고 생각해요...
좋은 강의 감사합니다~ ^^ 수학의 문제를 언어적 관점에서 풀어나가시는 점이 저도 선호하는 방식이라 이해가 쏙쏙 되었습니다. 다만..dx에 대한 표현중 "목표=주어 "보다는 "주체=주어" 가 더 어울리지 않을까 싶어요~.. 목표, 대상 선생님도 헷갈리시는 것 같아요~ ^^ 보통 목표는 대상화되는 거니까요~
이제 4학년 초입입니다. 돌이켜보건데 학창시절에 이런 수학의 의의에 관한 접근을 그렇게 바랬었는데 이렇게 세월이 지나 유튜브로 보고 있으니 참 한국의 공교육은 뭘 위한 것이었고 난 피해자로 그런 세월을 살아왔나 싶은 생각, 그리고 29:43 20년이 지났는데도 아직도 변한게 없는 한국 공교육은 멀었구나 싶은 생각이 듭니다. 좋은 강의 감사합니다.
사실 이 영상의 목적은, 현재의 학교 교과서를 탓하는 것이 아니었습니다. 예전과는 달리, 현행 학교 교과서는 제가 영상에서 이야기하는 내용들을 많이 담고 있습니다. (다른 댓글에서도 이런 이야기 많이 보실 수 있습니다. ㅠㅠ ) 그런데 문제는, 가르치는 사람도 배우는 사람도 이런 이야기에 별다른 관심이 없다는 것입니다. 그런 점을 지적해보고 싶었는데, 아무래도 초창기 영상이다보니 이래저래 부족한 점이 많아서 부끄럽습니다. ㅠㅠ 그래도 좋은 말씀 주시고 한국의 공교육에 관해서도 같이 관심을 가져주시니 감사할 따름입니다! ㅠㅠ
많은 학생들이 수학을 좋아했으면 합니다ㅎㅎ 선생님께서 말씀해주신 것처럼 중등교과과정까지는 활용 목적에 대한 얘기가 전무했다는 생각이 듭니다ㅠ 그런데 공교육을 벗어나면 의외로 이런 논리적인 수학의 목적을 접할 수 있는 기회가 많습니다. 중고등학교 학생분들, 관심이 생기셨다면 한 번 경시대회를 나가보시는 것은 어떨까요? 오늘 선생님께서 설명해주신 다양한 케이스를 기반으로 경시대회 문제가 출제되기도 합니다. 그런 곳에서는 문제의 정답도 물론 중요하지만, 얼마나 논리적으로 응용했는지 그 풀이에 대한 점수도 줍니다. 중고등학생들을 대상으로 하는 많은 대회가 있습니다. 한 번 나가본다면 뭐라해야되나.. 알이 깨지는 느낌을 받으실 수 있습니다.
13:29 에 d(문자)="문자"변화한양 이라 하셨는데 그러면 그래프 상으로 f(x+dx) = f(x)+dy가 되어야 하니 dy = f(x+dx)-f(x) 로 좌측에 있는 그래프 잘못 그리신거 아닙니까? dy부분이 점선과 실선(그래프)가 만나는 부분이 되어야 하는거 아닐까요? 그러면 15:09초에 설명하는 접선의 개념설명이 틀린게 되지 않을까요?
아 그러네요 죄송합니다. 제가 영상 촬영할때 이점을 미처 확인하지 못하였습니다. 말씀하신것처럼 그래프가 점선과 실선의 부분이 명확하게 되어있지 않습니다. 그래프가 접선의 모습과, dy/dx 의 모습을 동시에 보여주려 하다가 혼동을 일으키기 좋게 그려져 있네요. 미리 확인하고 확실하게 말씀드리지 못한점 사과드립니다. 다만 원래의 그래프는 d 라는 부호에 극한을 포함하지 않은, 변화량이라는 의미로 사용한 것이되 실제로 접선을 정의할때 사용하는 것은 극한의 개념을 포함한 것이라 접선이 그렇게 정의된다 봐주시면 될것 같습니다. 다시한번 깊은 통찰을 보여주셔서 감사합니다.
좋은 말씀 감사합니다. 공학을 전공하시고, 이어서 또 다시 공부를 더 이어가시는 분이시라니, 제가 더 가르침을 받고 싶은 마음이 가득합니다. 그래서 아이디 타고 따라 들어가도 봤습니다. 저 멀리 타지에서 건축을 하시는 분께서 제 영상을 봐주시고 댓글도 남겨주시니, 저야말로 더 없이 감사할 따름입니다. :)
두번째 환율과 주가의 상관관계는 단순히 y와x의 설명으로 가능하지않을까요? 미분이란건 아주작은 찰나의 변화 즉, 철학적의미로는 미래를 예측할수있다 라는 의미를 담고있습니다 하지만 우리가 배웠던 미분 불가능한 것들 예컨데 띄엄 띄엄한(불연속적이거나 원인과 결과의 계속이 완전히 결속되지않은것 들) 것들은 미분의 예로는 적절치 않은것 같습니다
전에 댓글 달았던 대학생이에요. 영상 다 안 봤지만 댓글 먼저 남깁니다. 진짜 거짓말 하나도 안 치고 미분을 기울기라고만 생각하면 반만 이해한 거에요. 저도 인트로에서 머리를 탁 쳤습니다. '(함수) 기울기 배워서 어따 쓸 건데?' 그런데 이렇게 말하면 말이 달라지죠. '변화량 배워서 어따 쓸 건데?' 제가 베트남 유학생 친구들과 가까이 지내던 시절, 미분방정식 숙제를 해야 해서 잠시 영어로 된 강의교재(까리하죠?ㅎㅎ)를 들고서 친구네 집에 쉬러 간 적이 있습니다. 그 책을 보던 친구가 경악하며 물었어요. 이런 것 공부하면 어렵지 않느냐고. 저는 이 과목이 너무너무 중요한 것이라 했어요. 한국어를 너무 잘 했던 친구들이라 한국어로 설명해줬는데요, 그때 했던 말이 아직도 대충 기억나네요. "우리는 항상 미래를 예측하고 싶어 하잖아. ****미분은 변화를 의미하는 거야.**** 그러니까 미분을 가지고 사회나 자연 현상이 어떻게 변화하는지 수학의 언어로 나타낼 때 미분을 쓰면 아주 실용적이야. 그렇게 방정식을 만들어서 미래를 예측하는 데에 쓰이는 중요한 과목이야." 참고로 그 친구들은 각각 국어국문학 전공, 미디어학부였습니다. 미분을 볼 일이 많지는 않을 것 같은데요, 글을 다시 쓰니 제가 위대한 연설가라도 된 것 같아 갑자기 가슴이 벅차오르네요, 먼 나라에서 여기까지 와서 공부할 정도의 수준을 지닌 친구들이면 제 말의 의미를 이해했겠죠? 그나저나 저런 말을 한 저도 참 대단합니다. 나중에 써먹어야겠어요 ㅋㅋ
저도 끝까지 보긴했는데 특별히 더 알아가는건 없네요. 근데 생각해보면 미분, 적분의 실제적인 쓰임과 그 의미에 대해서 이해하는 정도는 공학도가 수학도보다도 앞설 수 밖에 없겠다 생각드네요. 근데 보통 미분을 처음 배울때 큰구간의 기울기에서 x를 리미트 0으로 보내서 미소 구간으로 따질때 기울기니 변화하는 정도니 접선이니 모든게 하나의 개념이고, 라히프니츠 노테이션이 매우 합리적이라는것으로 받아들여지지 않나 설마 학생들이 그런정도도 모를까 하는 생각도 드네요. 저도 고등학생이었던게 너무 오래전이라 그 당시 내가 어떤 정도였는지 기억은 안나네요.
사실 매우 기초적인 영상임에도 불구하고, 시청해주시고 말씀도 남겨주셔서 정말 감사드립니다. 저는 물리학과 출신의, 한 입시 수학 강사이기에, 수학적인 엄밀성을 아주 많이 높여서 얘기를 전달해 드릴 수 있는 사람은 아닙니다. 그렇기에 이공계 출신의 현직자분들께서, 혹은 전공자분들께서 보시기에 많이 부족할 수 있습니다. 다만 현재의 입시 흐름에서는, 학생들이 수학을 단순히 문제풀이를 위한 내용인식을 추구하고 있는 경향이 매우 커졌기에, 이런 내용을 설명해 드리길 원했습니다. 심지어 최상위권 학생들마저도, 어떤 수학적 내용이 사실 무슨 말을 하고 있는 것인지- 연결고리를 찾는 것을 힘들어하는 모습이 요새 많이 늘었거든요. 더불어 수학이 싫었던 대중들에게 조금 더 친숙하게 다가갈 수 있는 수학적 이야기를 드리는 것을 목표로 하기도 했구요. 그래서 이런 영상을 기획하고 촬영해본 것이었습니다. 이제 말씀주신 내용을 바탕으로, 생각을 좀 더 해보겠습니다. 현직자,전공자 분들도 재미있게 시청하실 수 있는 소재도 발굴해 보고, 강의가 가능하도록 연구해보겠습니다. 다시한번 시청해주셔서 감사합니다.
@@Math_is_Dharma 아아..길고긴 댓글에 진심과 정성이 느껴지네요. 대학에서 수학을 다뤘던것도 근 10년 가까이 되었고 전공을 살리지 않았어서 정성적인 부분 외에는 거의 기억이 안난답니다..^^; 그런입장에 채널주인분의 이런댓글 마주하니 조금 민망하군요.. 하핫. 충분히 예상 가능하시겠지만은 과거 전공을 했을적의 저는 미적분을 공부하기보다 사용하는 입장에 훨씬 가까웠던 터라 훨씬 더 물리적이고 관념적인 이해를 바탕으로 많이 접했었습니다..ㅎㅎ 공학문제를 풀려다보면 물리적 이해를 바탕으로 미적분을 '이용'할수밖에 없는 경우가 대부분인지라.. 그러다보니 말씀하신 '문제풀이를 위한 미적분을 배우는 고등학생'과 어쩌면 정 반대의 입장이었겠다는 생각이 드는군요. 만약 말씀하신 부분 고민해보신다면 충분히 가치있고 생산적인 일이 될것이 자명해서 가타부타 말할 입장도 못되지만은, 대충 다 알면서도 영상을 끝까지 다 봤다는것은 그만큼 설명과 기획 영상제작 모두 완전했다는 의미이지 않을까 싶습니다..! 태클성 댓글이라 느껴지셨다면은 그런 의도는 당연히 아니었고, 아는 내용임에도 불구하고 '끝까지 봤고', '느낀점이 충분했다'는 감상정도로 가벼이 받아들여주시면 딱 적절하리라 생각됩니다 ㅎㅎ 영상 잘봤어요..!!! 감사합니다!
@@HWKim-ml2bu 수학전공을 하신 분들이 어느정도인지, 그리고 일반론으로 얘기할 수 있는 영역일지 제가 알지 못해서 어떻다-고 얘기하기가 쉽지않네요..ㅎㅎ 적어도 공대생일때의 저는 미적분을 '사용하는' 입장이었고, 물리적 이해를 수식으로 도출해내는 것이 늘상 해왔던 일인지라.. 오히려 미적분을 '숫자로만' 접근한다는것이 어색한 느낌이기도 했었습니다 ㅎ 그래도 재밌긴 했어요!
아이고 태클성 댓글이라니요, 전혀 그렇게 느껴지지 않았습니다. 오히려 어떻게 생각하시고 느껴지셨는지를 담백하게 말씀해주셔서, 영상을 기획하고 제작해야하는 제게 큰 도움이 된 글이었습니다. 말씀하신대로 미적분을 사용하는 관점- 에서 바라보는 것과 미적분을 배우는 관점- 에서 바라보는 것이 다를 수 있다는 것을, 이번 기회로 확실하게 알게 되었습니다. 그래서 더 많은 생각이 들게 만들어주셨고, 이에 진심으로 감사를 드립니다!. 초창기 영상이라 여러모로 부족한 점도 많이 있었는데도, 좋게 봐주시고 제 마음까지 챙겨주시는 댓글에 또한 감동하였습니다. 계속해서 노력해보겠습니다. 감사합니다!
헛... 정말 정말 감사합니다. 지금보면 화질도 별로 좋지 않고, 말도 약간 복잡하게 하는 듯한 상당히 오래전 강의라서 많은 분들께서 좋아해주시는 지금이 더 얼떨떨하고 그렇습니다. 그와중에 슈퍼챗을 해주시다니, 정말 이렇게 감사할 수가 ㅠㅠ.... 더더 기운내서 열심히 해보겠습니다!
으헉 재무관리.. 학부 재학때 교양으로 듣다가, 금융 시스템이라는게 얼마나 복잡하고 어려운지 처절하게 느꼈었습니다.ㅠㅠ 그나저나 재무에 관련된 수식이라면, 다변수 미분을 이어서 찾아보시면 학습에 더 도움이 되실 듯 합니다. 나중에 다변수 미적분에 관련된 영상을 언젠가는 저도 찍어보려 노력하겠습니다!
선생님! 영상 잘봤습니다. 29:42 하지만 여기서 교과서에 없다 하셨는데 설명하신 내용은 이미 교과서에 있습니다.🤔 사소한 옥의 티로 혹시나 좋은 영상에 흠이 될까 싶어 말씀 드립니다. 미분을 설명하는 단원들은 기본적으로 라이프니츠의 아이디어인 접선의 기울기에서 출발해서 뉴턴의 아이디어인 변화율 단원으로 마무리됩니다. 변화율 단원은 순간 변화율을 다루는 단원으로 시간에 대한 위치의 변화율.즉, 순간 속도와 시간에 대한 길이/넓이/부피의 순간 변화율을 다루죠. 사실상 이 부분은 학생들이 수학이라기 보다는 물리 단원으로 받아들이기도 하고, 사실상 교집합이기도 하죠. 그리고 예전 수능에서는 변화율 문제도 심심치 않게 출제 됐었고 그 중에 수조 문제가 기억에 남네요. 저도 예전 한국에서 강사 생활 했을 때는 항상 강사님처럼 두 가지 관점으로 설명을 했었습니다😁 하지만 상위권 제외하고는 문제 풀이가 더 급급하기에 학생들은 별 관심이 없을 뿐이죠. 사실상 수능에서도 아무래도 미분계수 쪽에 조금더 포인트가 맞춰져 있는 만큼 변화율적인 부분은 등한시 되게 되더라구요. 저도 수학을 사랑해서 10년 동안 한국에서 고3 수학 강사 생활했었습니다. 그러면서 대학 수학은 어떨까 항상 궁금증이 있었습니다. 그러다 인생 2막은 미국으로 이민와서 다른 일을 하며 살다 AI에 관심이 생겨 수학&컴공 복수 전공으로 다시 미국에서 대학 수학을 배우고 있네요🙂 대학 수학을 배우며 그 심오함에 압도 당할때가 한 두번이 아니에요.😅 반대로 컴공은 같은 수학을 바라보는 시야가 또 달라서 재밌더군요! 그런데 재밌는 점은 미국은 계산기가 허락되고, 계산기로 그래프도 그릴 수 있으니 한국처럼 너무 그래프에만 초점을 맞추진 않더라구요🙂 얘기하신 것처럼 실생활의 응용에도 초점이 균형있게 분배되는 것 같습니다. 선생님도 수학을 사랑하시는 분이시니 널리 널리 수학의 재미를 퍼트려 주세요💫🤩응원합니다!
정확한 지적의 말씀과 함께 생각할 거리를 함께, 길게 주셔서 저의 감사한 마음을 어떻게 더 표현할 수가 없습니다. 맞습니다. 말씀하신 대로 제가 영상에서 찍었던 이야기가 모두 교과서에 있습니다. 이게 변명이 될지는 모르겠지만, 작년만 해도 유튜브라는 것, 촬영이라는 것에 익숙하지 않아서, 제가 흥분한 나머지 과하게 표현을 한 것 같습니다. 2부에서 했던 디퍼런셜 폼 이야기라면 모를까, 지금보면 1부에서 했던 이야기는 선생님 말씀대로 전부 교과서에 있습니다. 저도 최근에 이 영상을 다시 보고, 아고 저런 표현을 왜 썼을까 하고 자책하던 중이었습니다. 잘못된 언급을 통해 불편한 감정을 만들어드리게 되어, 사과드립니다. 죄송합니다. 좋지않은 표현이 들어가 있어서 아예 영상을 통째로 내려야 하나, 아니면 영상 해설에서 사과를 드려야 하나, 현재도 고민이 많습니다. 영상을 아예 내려버리자니 이미 너무 많은 분들께서 댓글을 달아주셔서, 그러지도 못하고 난감해하고 있기도 합니다. ㅠㅠ 뭔가 고민의 결과가 생기면, 그 점에 대해서 확실하게 고지를 하고 교과서에 써져 있다는 말씀을 강조해서 다시 드리겠습니다. 선생님의 개인사를 들려주셔서 또 더 감사합니다. 수학 강사 활동을 하셨었군요. 고3만 10년이라니 어우 힘드셨을텐데 하는 생각이 들었습니다. 거기다가 인생 2막으로 일하시다가 다시 공부를 하신다니, 그 노력과 열정에 진심으로 경의를 표합니다. 그래서 정말 멋진 분이시라는 생각이 듭니다. 이민후에 여러모로 힘드셨을텐데, 일을 하시면서 학업에 대한 열의를 키우시고, 거기에 수학과에 컴공을 선택하시다니! 몇년후에 갑자기 떠오르는 스타트업이 있다면, 그중에 하나는 반드시 선생님께서 만드신 것일거라 확신합니다. 컴공과 수학과와의 수학적 차이를 재미있어 하신다니, 한번 더 '헉' 했고, 반드시 성공하실 분이라 생각이 들었습니다. 저는 잠깐이나마 연구소 근무할때, 물리학과와 수학과의 관점 차이 때문에 많이 힘들었던 기억이 있거든요. (농담반 진담반으로 미리 싸인이라도 어떻게 받아두어야 하는거 아닌가 생각도 해보기도 했구요! ) 이래저래 더 많이 썼다가 지웠습니다. 그저 더 연구하고 더 발전해 나갈 수 있도록 해보겠습니다. 좋은 말씀으로 부드럽게, 많은 것을 알려주셔서 정말 감사드립니다. 가끔 들러주셔서 또 따끔한 말씀 해주세요. 여러모로 바쁘실테지만 건강 꼭 잘 챙기시구요. 특히 난데없는 버그(!)에 너무 속상하지 않으시기를 또 기원합니다. 진심을 담아, 감사의 말씀을 끝으로 맺겠습니다. 감사합니다.
@@Math_is_Dharma 아시고 계셨는데 흥분하셨단 표현이 충분히 이해가 됩니다. 😅 사실 모두가 변화율 단원 별 신경 쓰지 않는데 그건 최근 수능의 경향 때문이겠죠... 댓글을 읽고 궁금해서 보니 시카고쪽 연구서에 계셨군요. 전 그 옆에 인디애나 살아요😆 물리학과 출신이신데 수학을 바라보는 관점이 수학과이시네요? 더군다나 물리 강사님이 아니고, 수학 강사님이라니 너무 멋지시네요🤩👍 딱 봐도 수학에 대한 많은 고민과 탐구를 하신게 보입니다. 저도 양자역학에 관심이 조금 생겼어서 일반 교양 영상 보다가 성에 안차서 차동우 교수님의 고급 물리학 강좌를 보고는 했는데 이제는 시간이 없어서 못 보고 있네요. 핵입자 물리학을 하셨다니 잘은 모르지만 대단하십니다!!!! 요즘 저의 대학 생활은 수학 : 이 어려운 문제를 어떻게 풀까?🤔 컴공 : 이 쉬운 문제를 어떻게 못 풀지!😮💨 이러면서 가끔씩 자괴감이 듭니다.🤣 예를 들어 {3, 5, 4, 2, 1} 대소 관계로 배열하는 코딩 문제는 너무 쉬워 보이는데 알고리즘이 한 15개 정도 되거든요. 너무 재밌죠? 글구 코딩이란 게 한 번 쭈욱 쓰고 에러 없이 실행되는 경우는 거의 없더라구요?🤣디버깅도 어차피 코딩의 한 분야라 마음을 비웠습니다🙂 또 컴퓨터의 역사를 공부하다 보니 알게된 것이 사실 힐베르트 프로젝트를 좌절시킨 괴델의 불완전성 정리를 "수학자" 앨런 튜링이 본인만의 사고실험으로 증명했고 이 때의 튜링 머신이 지금의 컴퓨터가 됐다는 것. 전 튜링이 수학자인질 몰랐었어요. 크으~수학의 자유로움이란...💫 댓글이 쓸데 없이 길어졌는데 수학을 좋아하시는 분을 뵈면 어쩔 수 없나봐요~하고 싶은 얘기는 많지만 이만 줄이겠습니다! 구독 완료 했으니 좋은 영상 많이 부탁드려요!
제품 생산 과정을 비유로 들어주셔서 정말로 라이프니츠의 위대함이 확 와 닿는 느낌이네요.! 그리고 주어와 목적어로 표현하신 부분은 조금 다른 느낌으로 해석되어서 개인적 의견으로는 주어 -> (인풋 혹은 입력), 목적어 ->(아웃풋 혹은 출력) 이렇게 표현하는게 어떨까 싶네요. 좋은 강의 감사합니다😄
저는 전산물리학자인데요 도함수의 값은 기울기이며, 기울기 라는게 정의역 변화에 대한 치역 변화율이라고만 생각했는데, 기울기라는 용어가 각도와 연관된 용어 처럼 오해를 낳는 경우가 있나봐요. 번역이 마음에 안 드는 경우가 많아요. 그런데 선생님께서는 원래 교양수학을 강의 하시는 분이신가요? 대중강연이 가장 힘들던데 존경합니다.
헉. 전산물리를 연구하시는 분께서 댓글을 달아주시다니 영광입니다. 예 아무래도 정말 예전에 번역해 둔 그 용어들을 그대로 쓰다보니, 그 용어때문에 헷갈림이 발생하고 있는 것도 사실입니다. 저도 정말 마음에 안들지만 어쩌겠어요 ㅠㅠ.. 가끔씩은 그냥 영단어를 직접 가르칠 때도 있습니다. 그나저나 저는 교양수학을 강의하는 사람은 아니고, 그냥 일개 고등학교 수학을 가르치는 강사입니다. 좋은 말씀 주셔서 감사합니다. 새해 복 많이 받으세요!
다변함수, 예를 든다면 욕조에 물을 가득 채우기 위한 함수를 Y 라고 한다면 유입량, 욕조크기, 유입구의 위치, 중력, 물이 빠지는 양 등등 다양한 요인들이 작용할 수 있을 것입니다. 그러한 변수들이 여러가지 작용한다 생각하시면 될 것 같습니다. 따라서 그러한 요인들을 발견, 확인, 적용 시키게 되면 오차가 줄어들고 더 정확한 값에 도달하게 되겠죠. 그리고 그러한 변수들이 Y에 미치는 영향이 2배, 3배, 4배 로 작용한다면 함수에 그렇게 적용 될 것이고, 제곱배 세제곱배로 작용한다면 제곱, 세제곱으로 표현될 것입니다. 제가 이해하고 있는 함수의 정의이고 만약 틀리다면 @수학은다르마 님 설명 부탁드립니다.
요즘 핫한 인공지능, 딥러닝 기술의 가장 핵심 적인 근간이 되는 내용을 전부 설명해주셨네요. 감사합니다. ChatGPT도 결국 어마무시하게 커다란 함수 만들어 놓고 대량의 데이터 때려박아서 미분(빠른 계산을 위해 딥러닝에서는 백프로파게이션을 사용합니다.) 활용해서 데이터와 최대한 유사한 아웃풋을 내는 함수를 학습시키는 겁니다.
선생님이 y를 x로 미분해라 (타동사) 뜻이라고 설명하시는 중인데?? 그러면 목적어와 목적보어가 될 듯.....미분하다를 타동사로 자동사로 해석할때만 d는 주어가 될 수 있을듯^^ 중 2수포자인 저에게 큰 도움이 되는 강의입니다. 감사합니다. 주어 (dx) 와 주격 보어(dy). 주어(dx)가 변화하는 것에 비례하는 주격보어의 변화 비율은? = dy. !?
현재 미적분을 배우는 학생입니다. 예전엔 정확한 의미는 알려주지 않고 사용법만 알려주었나요? 지금은 고등학교에서 미분이 변화율을 의미하고 리미트를 붙여 순간 변화율을 의미한단 걸 가르쳐 줍니다. 수학책에도 새로운 수학을 다루는 방법만 나와 있는 것이 아닌 증명법이나 그 공식이나 법칙의 진짜 의미, 그리고 그런 것들이 만들어지게 된 역사와 배경을 설명하는 페이지도 많이 껴 있구요. 확실히 그런 것들이 있으니 미분을 쉽게 이해할 수 있었습니다. 그 의미를 모르고 배우면 막막했을 것 같네요. 2학년 때 미분을 처음 배우고 선생님한테 왜 d나 dx를 사용하냐고 그 글자가 뭘 의미하냐고 질문을 했다가 선생님도 모른다는 답변에 당황했었는데요, 그런 질문을 한 학생이 그동한 한명도 없었다고 합니다. 그것도 충격이네요. 전 d에서 differnt를 떠올리기보다 delta를 떠올려 이해했는데 우연히 의미가 비슷해서 다행이었군요.
앗 현재 수험생활을 하고 계신건가요? 정말정말 고생이 많으십니다. 예 예전에는 확실히 '의미'가 아니라 기계적인 암기에 의한 학습을 강요하는 면이 많이 있었습니다. 그것에 대한 반발로, 지금 현행 교과서에서는 이런 저런 이야기를 많이 담고 있게 된 것도 맞구요. 동시에 그렇게 체제가 변했지만, 여전히 그런 이야기는 빼고 문제풀이만 집중하는 수업이 많은 것도 사실입니다. 사실 제가 영상에서 의도했던 것은 '그런 의미'를 담고 있게 되면 더 재미있게 되고 더 이해도가 증진되기에, 그것을 강조하고 싶었던 것인데.. 유튜브 초창기 영상이면서, 중장년층과 학생 모두를 대상으로 잡았던 영상이라.. 찍으면서 흥분한 나머지, 예전 교육과정과 현 교육과정의 교과서 차이를 언급해드리지 않고 그냥 '교과서에는 잘 안나온다'라는 의미를 강조한 느낌으로 전달되었나봅니다. 그래서 많은 분께 죄송해지고 있는데요. 혹시나 싶어 귤님께도 여쭤봅니다. 그점이 지나치게 강하게 느껴지시던가요? 그럼 아예 영상을 내려야 하는가.. 이런 식의 고민도 해보고 있기도 합니다. ㅠㅠ.
@@Math_is_Dharma 그런 느낌이 강조되는 느낌이 있긴 하지만 영상을 내릴 정도는 아닌 것 같습니다! 이 영상이랑 다음 영상이 유기적으로 연결되어서 미적분에 관한 의미를 전혀 모르던 분들께 특히 중장년층분들께 많은 도움이 되는 것 같구요. 다만 현 교육과정을 따르는 10대 20대에게는 이번 편은 패스해도 될 정도로 느껴집니다. 2편 3편까지 전부 봤는데 2편부터 제대로 된 추가 정보를 얻을 수 있었네요! 유익했습니다! 내용의 연계성을 위해서라도 1편은 남기는 편이 좋을 것 같습니다.
미분의 정의도 순간 변화률이고 이걸 2차적으로 해석하는 와중에 직선에 익숙한 학생들을 위해서 기울기라고 2차적으로 해석해서 강의하신 분들이 많아서 그런 것 아닐까요? 그렇다고 크게 의미를 부여해서 기울기가 진짜가 아니다라고 할 정도는 아니라고 생각합니다. 강의 내용 중에 틀린 부분이 있습니다. 원심력 때문에 접선 방향으로 직선으로 날아가는 것이 아니라, 구심력이 없어졌기 때문에 접선방향으로 날아갑니다. 원심력은 회전하는 물체 관점에서 느껴지는 겉보기 가속도입니다(구심가속도에 대응되는).. . 알고계시겠지만 곡선 의 어떤점에서 접하는 방향과 수직인 방향으로 나누어 1차 미분하면 속도가, 2차 미분하면 가속도 항이 나타납니다. 원운동은 접선 방향으로 가속도가 0이고 수직한 방향으로 일정한 가속도를 가지는 특수한 운동이고, 일반적인 경우에 원주 좌료계에서 미분해보시면 코리올리 가속도 항도 유도됩니다.
@@Math_is_Dharma선생님~ㅜ 수학을 조금이라도 익숙하게 사용하는 현업분들이 아닌 이상, 평가를 위한 수학에 짓눌려 매너리즘에 젖어있는 사람들이 많아보이는데 그렇잖아요 후회라는건 절대 사람이 살면서 할게 못된다는거.. 한창 공부에 열심이던때 수학을 잘했건 못했건, 왜 저런식으로 먼저 배우지 못했나하는 아쉬움이 비로소 이런 영상을 보면서 계몽된다는걸 알아주셨으면 너무 좋겠습니다 이 매너리즘에 빠진 분들을 타겟으로 & 핵심과 본질에 좀더 집중하려는 시대상에 맞는~ 이러한 영상 많이 공유해주셨으면 좋겠습니다 꼭 유튜브가 아니더라도 이게 선생님의 하나의 꼬리표가 되서 어느 플랫폼을 가던 따라다닐 수 있는 머니무버가 되셨으면 하는 바람입니다(허걱 갑자기 오지랖이 생겨버렸네요 죄송합니다ㅋㅋㅋ) 하시는 일 꼭 잘되시고 건강하세요😊
수학에서 표현이 중요하다는 건 아무리 강조해도 지나치지 않다. 수학은 추상화가 핵심이고 추상화는 적절한 표현으로 본질만을 유지하고 비본질을 감추는 것이다. 선형 방정식 시스템을 표현하기 위해 행렬을 썼더니 행렬의 고유값에 대한 이론이 나오고 여기서 행렬로 표현된 선형 방정식을 효과적으로 푸는 방법들이 개발되었다. 모든 다차원 미분 문제도 다 행렬 연산 문제로 바뀌고 행렬의 고유값 특성을 이용해 풀리게 된다.
충분히 표현할 수 있습니다. 미분 발명 초기, 라이프니츠는 f'(x)를 사용하지 않았습니다. dy/dx를 사용했지요! 이 부분은 뉴우튼도 마찬가지고요! 우리가 미분하는 이유는 기울기 또는 변화량을 구하기위해서죠! 후대에 f'(x)를 사용했는데, 후대에 프랑스의 수학자 조제프-루이 라그랑주가 만들었습니다. f'(x)의 의미는 f(x)에서 파생되었다라는 의미입니다. 곡선의 기울기 곡선 면적 체적을 미분과적분으로 상호 역연산으로 해당 값을 구할 수 있습니다. f(x)와 f'(x)는 상호 연관이 있고, 이 곡선의 기울기와 면적 그리고 체적을 함수로 표현할때, 그 함수들이 어떤 상관관계를 가지고 있는지 어떻게 표현해야되는지 알려줍니다. 그게 미적분의 핵심입니다.
선생님 정말 감사합니다 덕분에 태생적인 문과생이 미분에 대해서 개념적으로 이해하게 되었어요! 근데 여전히 풀리지 않은 의문이 있는데요, 왜 굳이 '접선의 기울기'를 변화량을 구하는 데 사용하나요? 처음 함수만으로도 변화량을 구할 수 있지 않나요? 예를 들어 단순한 2차 함수에서 × = 2 일 때 y = 4 이고 × = 6 일 때 y = 36 이니까 ×가 4만큼 변하면 y는 32만큼 변한다. 이런 식으로 표현할 수 있고, 일단 어떤 현상이 함수로 표현이 되면 변화량은 바로 알게 되는 건데 왜 하필 접선의 기울기로 변화량을 측정하게 되는 건지 개념적으로 이해가 안 갑니다, 답변해주시면 감사하겠습니다!
예시처럼 x의 변화량이 유의미할때는 함수가 주어지면 y변화량/x변화량 을 쉽게 구할 수 있고, 그걸 평균변화율이라고 부릅니다. 뉴턴 라이프니쯔는 x의 변화량이 0에 근접할때 두 변화량의 비를 구하는 방법을 고안했고 그걸 순간변화율 또는 미분 (그래프에서는 접선기울기)이라 합니다. 고등학교 교과서에도 이렇게 기술되어 있고, 함수가 그래프가 아니라 넓이 부피 위치 여러가지 양에 대하여도 순간변화율 구하는 방법이 잘 기술되어 있습니다. 고등 교과서만 제대로 봐도 미분개념 이해하는데 큰 무리가 없다는 얘기죠
난 고딩때 누구보다 미분의 본질과 개념에 대해 잘 이해하고 있었음. 미분이 뭐냐고 물어보면 아무도 말로 설명을 못하는데 난 선생보다도 잘 설명할 수 있었음. 그렇지만 귀찮아서 물량공세를 안했더니 기계적으로 미분이 정확히 뭔지도 모른채 그냥 공식으로 하루에 수십 수백개씩 문제만 풀어댄 애들한테 성적에서 밀림. 고딩수학은 질보단 양인걸 이때 느꼈지
헉 금형과 입체가공! 항상 머리속으로만 뭔가 만지작 하던 저로서는, 기계를 다룰 수 있는 분들과 뭔가를 제작할 기술을 갖고 계신 분들이 세상 제일 멋져보이십니다. ㅠㅠ 매번 엔지니어분들께 필요한거를 제대로 설명하지 못해서 늘 곤란해하고 막 그랬던 기억도 납니다 ㅠㅠ...
변변치 않은 강의였는데 좋은 말씀 주셔서 제가 더 감사드립니다. 사실 미적분은 함수를 더 다루고, 더 의미있게 만드는 도구인데 대부분은 그저 기울기로만 인지하고 또 그런 식의 '문제'들만 푸는데 익숙해져 있는것도 사실입니다. 그런 점들이 안타까웠습니다. ㅠㅠ 여하간 재미없는 강의였을텐데 재미있게(?) 들어주셔서 감사합니다!
말씀하신 내용은 수학 교과서가 아닌 대학수준의 자연과학 교과서에서 가장 먼저 다루는 내용일 것 같습니다. 따라서 대부분 이공계열 학부과정을 거치신 분들이라면 어렵지않게 이해하고 있으리라 믿습니다. 말씀하셨던 것 처럼 유튜브에 없는 이유도 설명해주신 내용은 워낙 기본이기 도하고 필요로 하는 학문에서 수학적으로 설명해주지는 않기때문에 그렇지 않을까 싶습니다.(미적분학 과정에서 3차원 공간에서의 변화량을 다룰때 잠깐 설명했던 기억리 있긴 하네요) 다만.. 고등학교 수준에서 전혀 활용될 것 같지 않은 내용들을 고등학생들이 듣는다고 흥미있어할지 미지수네요ㅠ 이번 시리즈는 현역 학생들 보다는 다 큰 아저씨들의 지적 호기심을 채워준 것 같지만 꾸준히 활동해주셔서 학생들의 수학에 대한 관심을 올리는데 기여해주시기 바랍니다!🎉
장문의 댓글에 감사드립니다. 예, 말씀주신대로 제가 이 영상에서 이야기했던 것과, 이어서 2,3부를 거치면서 이야기했던 미분의 이야기는 학부과정 이상의 자연과학에서 사용되는 미분의 이야기들을 담고 있습니다. 따라서 이공계열 출신이시면 당연히 쉽게 이해하실 수 있는 이야기입니다. 그런데 고등학교 과정에서는 전혀 활용될것 같지 않은 내용들로 보인다는 말씀에는 다른 이야기를 조금 드리려 합니다. 2010년대 이후로, 개편된 교육과정에서는 다양한 수학의 체계를 학생들이 받아들이게 하는 것을 목표로 삼고 있는듯 합니다. 이를 통해서 학부수준의 수학으로 자연스럽게 넘어갈 수 있고, 또 수학의 많은 다른 이야기들을 유추하도록 하는듯도 합니다. 그래서 교과서 자체에서 이미 속도,가속도,뉴턴과 라이프니츠의 미분 표기등을 다루고 있으며, 이를 통한 함수의 변화량 유추하기, 그에 더해서 매개변수와 음함수의 미분에 대해서도 전반적인 내용을 실어두었습니다. 추가적으로 교육과정이 바뀌면서, 전체적인 수학 교육의 볼륨이 줄어들다보니 이제는 더 '깊은' 수준의 내용만 출제되도록 수능이 변화했습니다. 따라서 가장 어려운 수능의 킬러문제에서는, 심지어 다변수 함수의 미분으로 적용되는 상황과, 그에 따른 내용들도 출제가 되었었습니다. (이런 유형의 문제는 제 다른 영상 th-cam.com/video/Uej6v47nO3I/w-d-xo.html 에서 다루기도 했었습니다.) 이제 속도, 가속도 및 물체의 변화율 문제는 다년간 수능에서 반드시 출제되었던 내용이라 쉬운 내용으로 보기도 하구요. 그런데 이제 현실의 상황에서는, 사실 교육과정 내에 분명히 존재하는 이야기임에도 불구하고, 단순히 미분을 기울기로만 받아들이고, 그렇게만 외우라고 교육받기에 '이게 도대체 무슨 소리인가' 하는 생각으로 수학 학습에 어려움을 느끼는 학생들이 많이 생겨버렸습니다. 이에 대해서 학생들에게 기울기가 아닌 미분에 관해 관심을 환기하고, 실제로 이해를 돕기위한 용도로도 쓸수 있게.. 그러면서도 또 동시에 이공계가 아닌 일반인분들을 위한, 미분을 이해하는 용도로 영상을 제작해보자 이렇게 생각을 하고 진행을 했었습니다. 하지만 제 영상에서 이런 생각이 제대로 전달되지 못했음에, 심심한 사과의 말씀을 드립니다. 시작인 1부에서라도 조금 더 세심하게 고등학교 과정과 연결고리를 좀 더 성립하도록 진행했어야 하는게 아닌가, 후회가 됩니다. 영상을 보시는 내내 불편하셨을텐데 그럼에도 불구하고, 따스한 시각으로 응원의 말씀까지 주셔서 또한 감사드립니다. 고등학생들에게는 별 관심이 없게 되었지만, 그래도 많은 분들께서 관심을 가져주셨으니 사실 그게 더 감사한 일이겠죠 ㅠㅠ 말씀주신대로를 생각하며, 향후 영상을 제작함에 있어 더 주의를 기하도록 하겠습니다. 감사합니다.
작년에 졸업을 위해 어쩔 수 없이 학점 채우다가 선형대수학을 배우면서 수학에 대한 관심이 좀 회복되었는데 이 강의를 들으니까 더 신기하고 재밌네요.. 선형대수의 큰 그림이라도 보여주고 수학을 했다면 어쩌면 중고등학교때 수학을 꽤 좋아했을지도 모르겠어요. 좋은 강의 감사합니다.
맞습니다. 중고등학교때 큰 그림을 보여주고 수학 수업을 진행했다면, 아마도 수학을 더 재미있어 했을 학생들이 많이 있었을거란 생각에 제작을 시도해봤던 영상이었습니다. 물론 일반인 분들도 봐주시면 좋겠구요. :) ….그나저나 그럼 작년에 졸업하신건가요? 졸업을 축하드리고, 고생하셨으며, 이제 사회에서도 다시 시작된 루틴에서 굳건히 버텨내시기를 기원합니다. 화이팅입니다!
의미를 알아야 가치를 확인하고 배움의 즐거움이 보이는데 이곳 현실은 - 그래도 이렇게라도 알려주시는 분이 있어 감사합니다 원래 무엇인가를 깨달았을 때 순간의 기쁨이 있고 말을 하는 사람과 말을 하지 않는 사람으로 나뉘는데 이곳 특성이 여러사람에게 둘러쌓여 논쟁도 아니고 인민재판을 받을 수 있기에 말을 하지 않는데 그리고 대부분 예외적인 것이 존재하는데 그걸 가지고 공격하기에 입을 닫게 되는데... 감사합니다 그런데 말입니다 그것이 현실의 무엇으로 연결될까요 ㅋ 생각하는 그것으로 이어집니다 알려주려해도 받아들이지 않기에 그자리인걸 모릅니다 60년대였나 그이전이었나 미국의 흑백교육자료를 보다보면 이곳 학교에서배운게 뭐지라는 생각이 이미 모든걸 알고 이해해야 그래 그건 그런 관점에서 그렇게도 말할수 있지로 답할정도 학교란 건물속 교실이라 불리던 공간안에서 앞에 서있는 사람도 이해를 못하며 설명이아닌 강요를 하던 모습-그건 당연히 그거야 이해를 못하겠어- 들이 스쳐감- 잘못된 번역본 공부하던 -그걸 억지로 맞다고 머리에 주입했던 기억도 .... 암흑의 역사
I really appreciated that your compliment! And always, if you got some any questions about math, please let me know it. If I could help that, I’ll bring some video for you very right then. :)
라그랑쥬 노테이션은 프라임을 찍는 것이구요. f’ 이렇게 표현합니다. 뉴턴의 노테이션은 위에 동그란 점을 하나 찍는 것인데, 제가 7:40 부터 표로 보여드린 내용에서 그대로 나오고 있습니다. 뉴턴의 노테이션은 고전역학책이 아니면 거의 찾아볼 수 없기 때문에, 라그랑쥬 노테이션이 뉴턴식 노테이션이라고 잘못 알려지는 경우가 많이 있습니다.
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](http://i.ytimg.com/vi/K4rw5HqS7Kk/mqdefault.jpg)
이 영상은 3부작중 1부입니다.
2부 : dx 만 단독으로 써도 의미가 있다? 미분형식(미분연산자) ( th-cam.com/video/B7gTECZzC3U/w-d-xo.html )
3부 : 대학에서 배우는 다변수함수의 미분과 라이프니츠 미분형식 적용법 ( th-cam.com/video/ct_O4tAS_cc/w-d-xo.html )
낼 모레 50인데 막연했던 미분이 이제서야 확 다가오네요.
저도 나이 먹고 3D 디자인 하면서 곡선을 그리면서 미분 등을 이해하게 됐는데 배우고 나니 어제보다 더 나은 내가 되어 차별화 되는 것도 미분이 아닌가라는 생각이 들었습니다.
세상이 바뀌었네요.
이젠 이렇게 흥미를 불러 일으켜주시고 실생활에 밀접하게 알려주시는 선생님도 계시고..
예전 고리타분한 선생님들 땜에 재능을 꽃피우지 못한 아까운 사람들 참 많을 겁니다.
이런 쌤에게 수업 받는 분들 복받았네요.
50중반에 평생 궁금했던 거를 속 쉬원히 해결해 주신 선생님 감사합니다. 학생들이 필수적으로 이 채널을 구독했으면 좋겠어요
과찬이십니다. 좀 더 좋은 수업이 가능하도록 열심히 하겠습니다. 감사합니다! :)
@@Math_is_Dharma아무리 어디에 뭐가 나와있고 그래서 기회가 공평해보이지만, 처음 만나는 선생님이 무엇을 머리에 박아주시는지에따라 은연중에 다양한 고정관념들이 생겨납니다
찾아보지 않았거나 못했다는 것은 그러한 사고를 게을리했다는 말도 되지만, 그것보다 찾아볼 생각을 못하게 누군가 생각을 주입시켰다는 말도 됩니다
그러한 정보들을 찾는 방법이라는 것도 따로 배우는것 역시 좋은 방법이라는 생각입니다
직장생활 다하고 은퇴해서 노는 사람인데, 문득 문득 고등학교때 배웠던 수학을 왜 배웠나 하는 의문이 많이 들었습니다. 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기, 복리이자 계산, 이정도 외는 샐 생활에 안 쓰이던데, 미분은 왜 배웠나하고 참 의아해 했는데, 오늘 강좌가 정말 좋았습니다. 최고입니다
환갑 지나 이런 채널을 찾아보는 것은 중고등학교 때 왜 내가 수학을 못했는가에 대한 궁금증이 아직도 해결 안되었기 때문이죠
MIT 유투브 강의나 다른 채널을 찾아봐도 시원한 해답이 나오지 않더군요
분명 복잡한 수학이 물리, 화학,공학뿐 아니라 인문에서도 다양하게 쓰이는데 죽어라 공식만 외우라하니 재미가 없었어요
수학은 법칙입니다
인생도 다양한 법칙-LAW-이 있습니다
국회에서 만드는 법은 바뀌지만 수학의 법칙은 인과관계가 분명하고 시대를 초월하기에 위대합니다
오늘 궁금증 해소에 많은 도움을 주신 다르마님께 감사 드립니다
좋은 말씀 감사합니다. MIT 의 오픈코스를 통한 강의나 다른 채널까지 찾아보시다니, 열의가 정말 넘치십니다!
동시에 수학을 넘어서서, 인생의 철학까지 말씀해주시니 저도 깊게 경청하게 됩니다.
많은 생각이 드는 말씀 주셔서, 다시 한번 감사드립니다!
여태까지 70평생 살아오면서 언제나 궁금했는데..... 오늘에야 비로소 이해가 가는군요. 수학이란 바로 이런데서 대리 만족을 느끼게 되는군요... 너무너무 감사 합니다. 우리사회는 바로 이런 연구자가 필요하다는 것을 절실히 느낍니다
과찬이십니다. 이게 제 초창기 유튜브 영상인지라, 아무래도 부족한 면이 많은데도 좋아라 해주셔서 저야말로 그저 감사할 뿐입니다.
70에 아직도 학구열이! 감동입니다 어르신
29:38 지나가는 전자과 공대 졸업한 사람이고 저도 수학특강을 하면 이부분을 굉장히 강조하는데, 29분38초에 "이게 미분을 진짜로 배우는 이유에요!" 이거 더 쎄게 강조해주세요! 이정도도 약합니다!
혹시 선생님께서 이 댓글을 보시면 아래 예시도 학생들한테 설명좀 해주셨으면 합니다. (댓글이 글자만돼서 말이 길어지지만 잘 읽어보시길 ㅠㅠ)
(함수구현이라는 내용입니다. ) 만약 우리가 베터리 개발자라면, 베터리에 (예를들면)리튬도 섞고, (예를들면)마그네슘도 섞고, 나트륨(요즘은 소듐으로 배운다죠?),설탕, 미원......하면서 시간과 충전 방전 속도를 그래프로 찾아냅니다. 몇분대에 점찍어서 몇 볼트, 몇 분대에 점찍어서 몇 볼트....어? 근데 이게 실험을 1~2번이 아닌 10~20번, 100~200번을 해보면서 찍어보니...뭔가 일정한 패턴이 그려지네? 어? 근데 이게 점의 분포를 보고 평균값,중앙값...등을 고려하여 선을 그어보니 뭔가 그래프가 그려지네? 하필이면 근데 생긴게 y=루트x 그래프가 그려지네? 아하....베터리가 충방전 되는 속도가 직선 그래프가 아니었구나....근데....마그네슘을 더 타니까 곡률이 이렇고, 설탕을 더 타니까 루트그래프의 곡률이 저렇게 되고.... 아하....이렇게 그래프를 그려보니까....우리가 베터리를 쓰면 언제 베터리가 다 닳을지 미래를 "예측"할 수가 있구나....(선생님 설명표현으로)x축에 주어 y축에 목적어를 두고 관계를 파악했을 때 "유의미한" 결과가 나온다면...이 두 주어와 목적어의 미래를 예측할 수 있구나....우리가 신이 아닌데 어떻게 미래를 볼 수 있지? 수학적 표현으로 관계만 이끌어내면 미래를 볼 수 있구나! 우리가 신이 될 수 있구나! 결국 함수는 x와 y의 관계이고, 이 관계를 해석하는 도구, 툴이 미적분이구나....우리가 함수를 배울 때 "관계"라는 관점을 배우는게 아니고, (선생님 말씀대로) 미분은 변화를 설명하는 표현이다...를 설명하고 접하는게 아니라, 책 펴자마자 처음부터 "함수는 정의역, 공역, 치역....", "미분은 접선의 기울기" 이따위로 배우니까 질려서 포기하는거구나.....를 설명합니다.
치핑해머를 연구할 때....공기가 들어가는 양(x)과 치즐이 때리는 속도(y), 혹은 공기가 들어가는 양(x)과 치즐이 때리는 세기(y)의 관계를 찾아내어 "유의미한 상관관계"를 꺼내기만(도출) 하면.... 다양한 치핑해머의 크기와 모양을 만들면서 그 성능을 "예측" 할 수 있다보니 그런 관계(함수)를 해석하는 도구로서 미적분이 중요하구나를....저도 중고등학창시절이 한참 지나고 다른 댓글다신분들처럼 30대가 돼서, 50중반에....등등 의미를 느끼게 되었고, 이 동영상에서 선생님 설명이 굉장히 잘해주시고, 중요한 강의를 해주신다는것을....저는 압니다. 강의 감사합니다(최고)(최고)(최고)
헑.. 초장문의 댓글 감사합니다. 더불어 제가 모르는 기계제작에 관한 자세한 예시를 들어주셔서 저도 재미있게 공부했습니다. 감사합니다!!
감사합니다.
헉.. 감사합니다. 시청해주시고 응원해주셔서 기운이 막 납니다! 다시한번 호의에 감사드립니다.
예전 80년대 고등학교 수학을 배울때는 정말 이해를 암기로 합리화 하여 적용하여 수학을 공부 한 것 같은데,,그 이후로 공대가고 중공업 취업 했어도 미분의 의미를 제대로 파악을 못했는데,,, 선생님 강의로 이제와서 의미를 조금 알게 됐습니다...우리나라 학교 수학선생님이 이런분이 었어야 되는데,,아쉽습니다..
예, 정말 예전에는 그런식의 수학이 확실히 많이 있었습니다.
한번 그 '따라감'을 놓치고 나니까 정말 어떻게 따라가야 할지도 막막해지는 그런 날도 많았구요.
특히나 고등학교때 정말 그게 심했었습니다 ㅠㅠ...
그런 경험을 토대로, 제가 강사생활을 할때 노력해야할 점을 잡으려 합니다. 허나 그렇다고
지금의 제가... RK님께서 말씀하신 것처럼 좋은 선생님은 또 아닐거라서 그게 더 죄송할 따름입니다. 더 정진하겠습니다. 감사합니다.
강의 내용이 귀에 쏙쏙 박힌다는 말이 이런 느낌이구나를 보여주신 선생님. 그 경지에 오르시기까지 얼마나 노력하셨을지 내내 감탄하면서 좋은 영상 잘 봤습니다. 좋은 영상 감사합니다
정말 이런것까지 생각해주시는 구독자님이 계시다니! 하고 뭉클해짐과 동시에,
너무너무 과찬의 말씀이시라 몸둘바를 모르겠다는 생각도 듭니다. ㅠㅠ
일년여전의 영상이라, 아무래도 여러모로 부족한데도 좋게 봐주셔서 어디 숨고 싶은 심정이기도 하구요 ㅠㅠ
어쨌든 큰 용기 주셔서 감사드립니다. 앞으로도 열심히 해보겠습니다.
이거 무조건 신뢰하는 것보다 직접 문제 풀어보세요
그러면 이 강의가 얼마나 당연한 이야기인지 알겁니다
현재 고등학교 2학년 학생인데요, 진짜 길고 긴 여정 끝에 미분이라는 위대한 개념까지 와서야 수학으로 세상을 보는 눈을 얻게 되고, 수학을 배우는 이유를 깨닫게 된 것 같아요. 좋은 강의 정말 감사드립니다
헉 저야말로, 고등학생분들께서 시청해주시고 좋아해주시면 가장 감사합니다! ㅠㅠ
6학년 중반의 시점에서 보고 듣고 느끼면서 미분학의 진정한 맛을 보았습니다. 최고 최선의 선생님 강의에 존경과 깊은 감사를 드립니다.~
감사합니다. 열심히 하겠습니다.
고딩 수포자입니다.. 수학 제대로 공부 해본 적도 없고 당연히 좋은 성적을 맞아본 적도 없어 수학을 정말 싫어합니다 미분 소리 또한 듣기 싫어했죠 하지만 어느 날 미적분의 역사를 설명하는 방송을 보고 흥미를 얻어 여기저기 찾아보고 어쩌다 이 강의까지 너무 재밌게 듣고 있네요 미적분을 싫어했던 저로선 미적분이 이렇게 재미있는 것인지 몰랐습니다.. 하지만 많은 미적분 관련 영상 덕분에 미적분에 흥미를 가졌고 이제는 너무너무 새롭고 재밌네요.. 태어나서 처음으로 수학 자체에 관심을 두고 재미있어 수학 공부도 열심히 했더니 성적도 많이 올랐습니다 이제는 수포자 탈출 할 거 같습니다 ㅎㅎ 미분의 맛을 몰랐다면 절대 불가능 했던 일
답글이 늦어 죄송합니다. 저의 이전 영상을 보시면 아시겠지만, 저도 한때 수학 정말 싫어했던 적이 있습니다.
수학 성적은 당연히 정말 바닥을 뚫을 수준이었구요. 그렇지만 차근히 해내서, 나중에 연구소 초청을 받을만큼 공부를 했었더랬습니다.
그러니 레튜스님도 포기하지 마시고, 기운 내시고, 한걸음씩 차근히 앞으로 걸어나가시기를, 이렇게 응원해 드립니다.
채널에 찾아와서 시청해주시고 또 속깊은 이야기도 꺼내주셔서, 저야말로 감사의 인사를 전합니다.
최고의 영상입니다. 아무도 알려주지 않는 내용을 알려 주어서 감사합니다. 아무 의문도 제기하지 않고 기계적으로 가르치고 배우는 사람은 그냥 따라하기만하니... 기차를 타고 부산으로 가는데, 왜 가는건지에 대한 설명은 없고 질문도 없이 그냥 생각 없이가기만하니 미분에 대한 개념이 제대로 자리잡힐리 없습니다. 일상적으로 미분에 대한 수업이 기계적인 풀이로만 이루어지니 시간이 지나면 기억이 흐려져 다 잊을 겁니다. 그러나 개념이 있고 이런 서사가 따르면 잘 잊지 않을 것입니다. 미분에 대한 근원적인 궁금증과 의문이었는데, 그에 대한 궁금증이 풀렸습니다. 감사합니다.
학교다닐때 수학점수는 높았는데. 미분은 간단한 선형함수의 기울기값 해법에서는 이해가 되는것 같았지만 삼각함수 로그함수 지수함수 등에서는 왜 그렇게 되는지 모르고 수십년을 지냈기에 이해에 큰 도움이 되는군요
수학을 배울때부터 실생활에 쓰이는 곳을 생각을 많이 했었습니다. 공장다닐때도 설계도 없이 간단한 부품 만들때 삼각함수 쓰는 것도 활용했고, 현재는 농업하면서 물통에 물 부피 잴때도 쓰고요ㅋㅋ 그런 습관때문인지 미분배울때는 기울기라 배웠지만 직관적으로 본질적 의미를 알고 있었던거 같아요.
모두 어렵게만 생각하지만 실생활에서도 모두 쓰는거라 생각해요. 5분간 물을 받았는데 한 20% 찬것같다. 20분뒤 다 차겠구나. 이것도 수식으로 표현 하면 미분을 활용한거겠죠.
수학에서 영어가 나오니 보기만 해도 손사래 치는 분들 보면 안타까워요.
감사합니다. 미분이 항상 어려웠었는데 40넘어서 통계에 관심이 생겨서 대학원에 등록했습니다. 항상 피하고 도망갔던 미분의 원리가 단번에 이해가 갔네요.
미분이란 ?
우선 용어부터 설명을 해야합니다.
아주 짧은 시간으로 분해한다는 것이고 그짧은 시간에 이루어지는 현상을 관찰한다는 뜻이겟죠.
그다음은 미분식을 설명해야합니다.
어떤 대상을 관찰할때 분자식은 현재상태에서 과거상태를 빼면 변화가없으면 0 일것이고 변화가있다면 약간의 차이가 있겟죠.
바로 그 차이가 있느냐를 관찰하는것이 미분입니다.
그래서 그차이가 많으면 미분값은 높게나타나죠.
용도는 ?
미분을 햇더니 그 차이 값이 많다면 변화가 많이 생겼다는 뜻이죠.
사람들은 미분을 평생 한번도 써본적이 없다고 해요 .
그런데 인간은 죽지않으면 단 1 초도 미분을 하지않으면 살 수없다는것을 알아야겟지요.
인간의 감각기관은 감지를 위해 항상 미분을 24 시간 하고있어요.
바로 변화가 있는지 얼마나 변화가 있는지를 관찬하지요. 이것이 미분이지요.
눈을 보면
학교 교실에서 시험을 감독하는 선생님이 있어요.
부정하는 학생을 어떻게 알아낼까요 ?
모든학생들은 고개를 숙이고 시험에열중하죠.
선생님은 모든 학생이 시험기간 내내 똑같은 자세로 시험에 임하는 모습만 보기때문에 변화를 찾을 수없어요. 바로 미분값은 ㅇ 에 가까워요.
그런데 한학생은 몸을 자꾸움직이고 이전과 다른 행동이 보여요. 바로 변화를 본것이죠.미분값이 높게되겟죠.
미분값이 높게나오면 바로 조치를 취해야겟죠.. 시험장 퇴장 …
바로 미분은 변화를 추적해서 가장 변화가 심한곳부터 조치를 치하는것이 미분이죠.
한응용분야 알아보세요.
스마트폰 카카오톡 영상통화할때 영상을 전송하는기술.
자동차 블랙박스 영상촬영기술.
비행기의 접근을 알아내는 레이더기술.
바로 움직임을 알아내는곳에 미분기술이 필요해요.
움직이면 변화가 있다는 뜻이죠.
호랑이가 사람을 잡아먹으려 접근하면 인간의 눈은 미분을 하고있어 움직이는 물체를 즉각 알아차리고 호랑이쪽을 바라보게되고 바로 조치가 이루어져 도망을 가게되겟죠
그래서 한시도 미분을 하지않으면 알아차릴 수없어 죽을 수있지요.
운전을 하면서 미분을해서 안전운전하는것이고, 걸어가다 앞에서 나무가 쓰러지면 피할 수있고 차량이 돌진하면 조건반사로 피할 수있게되는것도 미분의 덕이죠.
바로 미분은 움직이는 현상을 설명하기위해 만든 언어로 과학 현상을 설명하는 언어 수학을 규정하여 자연에서 유사하게 일어나는 현상을 설명하고 활용하고있지요.
이해를 돕는차원에서
한학생이 교실에서 보니 얼굴이 빨갛네요 .?
미분해보세요.
너 얼굴이 어제는 하얗고 오늘은 빨강이야 !
차이가 있죠.
너 술먹었지 ? 어디 아프니 ?
양호실로 교무실로 조치를 취하겟죠.
이런일들을 행하는 자연과학현상을 기술하고 활용하는데 필요한 학문이지요.
그래서 수학은 과학을 설명하는 언어이므로 수학의 한 챠트마다 몰리적현상을 잘 설명해주어야 수학이 재미가있지요.
계산은 컴퓨터가 다하는 시대라 원리만 용도만 알면됩니다.
왜 배워야하고 어디에 용도가 있는지부터 시작하면 좋아요.
내가 옆사람한데 말하면 귀에서 말이 안들리다 들리니까 쳐다보게되죠. 이것도 귀가 미분을 햇으니까 말소리 듣고 바로 쳐다보는거에요. 이것도 미분이에요.
미분식을 풀이하는 영상물도 많이 보여주어 좋은 세상이 되었네요.
차분과 변분에 대한 설명이 같이 있음. 물론 미분으로 다 설명 가능한 개념임
분자식이 뭐예요? 분자식은 화학에서 나오는 용어인데...
현실 상황에서 가장 *요긴하게 사용 할 수 있는 곳이 *주식시장 입니다
언제 내가 기다리는 number를 만날 수 있지?? 하는
질문에 궁금증에 대한 답을 미분 graph에서 볼 수 있음
*미래에서 온 사람이 되는 경험을 하게 됨
비교하는일은 모두 미분의일이므로 비교를 하지않으면 판단을 못하게되니 늘 미분이 이루어져야합니다. 움직임 변화를 탐지하느일이 미분이고 가장 많은 감각의 변화부터 판단해서 조치하게되죠.
모든게 다 인간의 생각들이 만들어낸 개념이죠.. 그관찰하는놈도 없어야 하죠
인간의 언어로는 있다없다의 유무를 판단할수없는 판단유보상태입니다
기울기라는 말 자체가 변화량을 뜻하는 거라고 생각했는데 그렇게 받아들이지 않고 숫자로만 받아들이는 사람이 믾았나보네요. 함수 또는 방정식이라는 것 자체가 관계를 나타내는 것라는 걸 알고있으면 기울기 자체가 종속변수의 변화량을 독립변수의 변화량으로 나눈 거라 달라지는 정도라는 걸 알 수 있죠. 미분은 이 기울기(변화량)을 극소화하여 기울기를 구한 거라서.. 고등학교 때 신기했던게 적분과 미분과의 관계와 부정적분이 정적분과 같아지는 것들을 신기하게 받아들였던게 생각나네요
강사님의 안타까움이나 진심이 보이는 좋은 강의였다.
근데 솔직히 정말로 사람들이 미분이 순간변화율이란 걸 몰랐다는 게 믿기질 않네.
진짜 미쳤네요. 수학을 엄청 사랑하시나봐요 그냥 강의가 아니라 완전히 미쳤습니다..달라도 너무 다르면서 뭔가 놀고 있다는 기분을 들게 해주고 기쁘게 해주는 강의네요! 대박이에요
헉 이게 저어어어엉말 유튜브 초창기에 찍어두었던 영상이라 지금 보면 부끄럽기만 한데요 ㅠㅠ
좋게 생각해주시고 시청해주셔서 저야말로 감사드립니다.
이과 전공을 하고 50평생 살면서 도대체 "미분"이 의미하는 바가 무엇이고, 왜 배우는지에 대해서 항상 알고 싶어서, 유튜브에서 여러 영상을 찾아봤지만, 이렇게 명쾌하게 설명해 주신 분은 처음입니다. 다만, 주제 넘은 이야기이긴 하지만, 강의 영상에서 f, S, W, P, X, Y 등의 알파벳을 이용한 d(f)/d(w) 대신에 d(제품)/d(작업) 이렇게 글로 표현을 해 주신다면 수학과 거리가 먼 일반인들도 더 이해하기 좋을 것 같습니다. 2부 시청하러 가야 겠습니다. 감사합니다.
애초에 기울기가 독립변수에따른 종속변수의 변화량을 나타낸거라 기울기를 알수있다가 변화량을 알수있다랑 동치인데요
교과서에도 그렇게 쓰여있고 우리나라의 수학교육도 다들 그렇게가르칩니다…
아무도 안가르치는이유는 그게 이미 기본적으로 전제되어있기에 아무도 언급을 안하는거라고 생각이되네요
왜 수학을 배워야 하는지 어떻게 우리의 일상에서 수학이 사용되는지에 대한 깨닳음이 없는 현재의 수학교육. 이 강의는 작지만 참으로 위대하다는 생각입니다. 많은 학생들이 봤으면 좋겠습니다.
고등학교 때 선생이랑 싸우고 공부 놓았다가 성인이 돼서 공부하기 시작해 지금 철학 박사 과정에 있습니다. 수학적인 개념이 없이 철학하기가 너무 어려워 수학의 정석이라도 사서 연습해봐야 하는가 걱정했는데, 너무나 단비같은 강의였고, 행복한 배움이었습니다. 감사합니다.
뉴튼식 미분표기법은...경제학에서 인플레이션같은...변화율을 표현할 때 널리 사용됩니다....물가상승률 임금상승율 뭐 이런 것들...아마 텍스트에서 같이 쓸 때 편리하거나..근대경제학이 영국에서 발달되어서 그럴 거에요..변수가 여러개일 때...특정 변수에 따른 변화율 표현하려면...라이프니쯔 방식을 쓸 수 밖에 없지요...y=f(a,b,c,.....)일 때...c 가 변화할 때 y 가 어떻게 변화하는 지 보여주는 걸 dy/dc로 표현하는 것처럼요...미분방정식은 특정 도함수를 찾아 내는 건데..그 도함수가 바로 움직임을 예측할 수 있게 되는 것이지요...
고등학교 수학은 결국...미적분과 통계를 다룰 수 있도록 하는 것이 최종 목표라고 보면 됩니다..난이도를 떠나서요...이게 안되면 공대를 가더라도..공업수학을 할 수가 없게 되는데..그건 공대를 안 다닌 것과 같은 겁니다...인문사회대 역시 돈을 벌려면 통계 즉 계량을 해야 합니다...그런데 그 툴이 결국 죄다 미적분입니다...
자본이 아니라 사람이 돈을 벌려면..하드웨어든 소프트웨어든...미적분을 떠나서는 아무것도 안된다는 걸 꼭 받아들이시기 바래요..그런데...솔직히...집합은 왜 배우는 지 모르겠네요..그 개념이 군론으로 연결되면 분자 이하 단위를 다루는 학문에서는 분명 포지션이 있는데...고등학교에서 배우는 건...정말 무쓸모라고 생각해요...
X 와 Y의 기울기가 아닌 달라지는정도다 미분이 이말이 참 좋은말인거같아요
감사합니다. 그렇게 받아들여보시면, 매개변수의 미분과 이후로 이어지는 라이프니츠의 미분식들이 아주 재미있게 다가오거든요!
그래서 드렸던 말씀이었습니다. 시청해주셔서 감사합니다! :)
와 너무 재밌어요. 저는 왜 배우는지를 알고 공부를 하는 걸 좋아하는데 보통 선생님들이 가르치는 교육 방식은 그렇지 않죠.. 선생님 같은 분에게 수학을 배우고 싶네요
좋은 강의 감사합니다~ ^^ 수학의 문제를 언어적 관점에서 풀어나가시는 점이 저도 선호하는 방식이라 이해가 쏙쏙 되었습니다. 다만..dx에 대한 표현중 "목표=주어 "보다는 "주체=주어" 가 더 어울리지 않을까 싶어요~.. 목표, 대상 선생님도 헷갈리시는 것 같아요~ ^^ 보통 목표는 대상화되는 거니까요~
주체는 변합니다 그리고 한국어 가지고 주체 목표 나누게 아이러니 라는건 영어를 몰라서 그러는거 같은데 ㅋㅋㅋ
differ 는 달라져가다 달라지다 죠
현재의 상태에서 약간씩의 영향을 받아
조금씩 달라져가는 걸 얘기합니다
dis away + fer carry = differ
이제 4학년 초입입니다. 돌이켜보건데 학창시절에 이런 수학의 의의에 관한 접근을 그렇게 바랬었는데 이렇게 세월이 지나 유튜브로 보고 있으니 참 한국의 공교육은 뭘 위한 것이었고 난 피해자로 그런 세월을 살아왔나 싶은 생각, 그리고 29:43 20년이 지났는데도 아직도 변한게 없는 한국 공교육은 멀었구나 싶은 생각이 듭니다. 좋은 강의 감사합니다.
사실 이 영상의 목적은, 현재의 학교 교과서를 탓하는 것이 아니었습니다.
예전과는 달리, 현행 학교 교과서는 제가 영상에서 이야기하는 내용들을 많이 담고 있습니다.
(다른 댓글에서도 이런 이야기 많이 보실 수 있습니다. ㅠㅠ )
그런데 문제는, 가르치는 사람도 배우는 사람도 이런 이야기에 별다른 관심이 없다는 것입니다.
그런 점을 지적해보고 싶었는데, 아무래도 초창기 영상이다보니 이래저래 부족한 점이 많아서 부끄럽습니다. ㅠㅠ
그래도 좋은 말씀 주시고 한국의 공교육에 관해서도 같이 관심을 가져주시니 감사할 따름입니다! ㅠㅠ
많은 학생들이 수학을 좋아했으면 합니다ㅎㅎ
선생님께서 말씀해주신 것처럼 중등교과과정까지는 활용 목적에 대한 얘기가 전무했다는 생각이 듭니다ㅠ
그런데 공교육을 벗어나면 의외로 이런 논리적인 수학의 목적을 접할 수 있는 기회가 많습니다.
중고등학교 학생분들, 관심이 생기셨다면 한 번 경시대회를 나가보시는 것은 어떨까요?
오늘 선생님께서 설명해주신 다양한 케이스를 기반으로 경시대회 문제가 출제되기도 합니다.
그런 곳에서는 문제의 정답도 물론 중요하지만, 얼마나 논리적으로 응용했는지 그 풀이에 대한 점수도 줍니다.
중고등학생들을 대상으로 하는 많은 대회가 있습니다. 한 번 나가본다면 뭐라해야되나.. 알이 깨지는 느낌을 받으실 수 있습니다.
좋은 영상 감사합니다. 고등학교때 수학 선생님이 이런 설명을 단 한번이라도 했더라면 제가 미적분을 대하는 자세가 달라지고 어쩌면 인생이 달라졌을텐데...라는 생각이 듭니다.
역시다릅니다~
언제나 칭찬의 말씀만 주셔서, 더 무서워지고 있습니다. ㅠㅠ
50 넘은 제가 이 강의를 중-고등학교때 봤다면 인생이 많이 달라졌을 것입니다
"이것을 어디에 쓰느냐" 라는 목적의식이 제일 중요한 것 입니다
미분의 정의는 어떤 함수의 기울기를 나타내는 함수.
어떤 함수의 임의 점에서 미분계수 다른말로 기울기 혹은 순간 변화율!
13:29 에 d(문자)="문자"변화한양 이라 하셨는데
그러면 그래프 상으로 f(x+dx) = f(x)+dy가 되어야 하니 dy = f(x+dx)-f(x) 로 좌측에 있는 그래프 잘못 그리신거 아닙니까?
dy부분이 점선과 실선(그래프)가 만나는 부분이 되어야 하는거 아닐까요?
그러면 15:09초에 설명하는 접선의 개념설명이 틀린게 되지 않을까요?
아 그러네요 죄송합니다. 제가 영상 촬영할때 이점을 미처 확인하지 못하였습니다.
말씀하신것처럼 그래프가 점선과 실선의 부분이 명확하게 되어있지 않습니다.
그래프가 접선의 모습과, dy/dx 의 모습을 동시에 보여주려 하다가 혼동을 일으키기 좋게 그려져 있네요.
미리 확인하고 확실하게 말씀드리지 못한점 사과드립니다.
다만 원래의 그래프는 d 라는 부호에 극한을 포함하지 않은, 변화량이라는 의미로 사용한 것이되
실제로 접선을 정의할때 사용하는 것은 극한의 개념을 포함한 것이라 접선이 그렇게 정의된다 봐주시면 될것 같습니다.
다시한번 깊은 통찰을 보여주셔서 감사합니다.
@@Math_is_Dharma 아니요 죄송하실일 아닙니다 무료로 강의 듣는 제가 감사한거죠.
좋은 강의라 집중해서 따라오다보니 제 이해와 상충되는점이 있어 물어본것입니다. 다른강의도 재미있게 시청하겠습니다. 감사합니다.
왜 우리는 수학을 이런 식으로 배우지 못했는지 아쉽네요. 저도 수학을 잘 한 학생중 한명이었는데 공학을 공부하며 아쉬움이 많았습니다. 미분의 원리를 다시 이해하려고 찾아보다 이렇게 좋은 내용을 보게 되네요. 감사합니다.
좋은 말씀 감사합니다. 공학을 전공하시고, 이어서 또 다시 공부를 더 이어가시는 분이시라니,
제가 더 가르침을 받고 싶은 마음이 가득합니다.
그래서 아이디 타고 따라 들어가도 봤습니다. 저 멀리 타지에서 건축을 하시는 분께서
제 영상을 봐주시고 댓글도 남겨주시니, 저야말로 더 없이 감사할 따름입니다. :)
인간적으로 학교수업에서도 단원 시작할 때 이거 해야하는 거 아닌가....
당신을 우리나라 교육부장관에 추천드립니다. 당신의 명강의에 100만표를! 짝짝짝
그동안 고등학교까지 배운 재미없던 수학의 완벽한 A/S 강의네요 감사합니다 잘봤습니다!
두번째 환율과 주가의 상관관계는 단순히 y와x의 설명으로 가능하지않을까요?
미분이란건 아주작은 찰나의 변화 즉, 철학적의미로는 미래를 예측할수있다 라는 의미를 담고있습니다 하지만 우리가 배웠던 미분 불가능한 것들 예컨데 띄엄 띄엄한(불연속적이거나 원인과 결과의 계속이 완전히 결속되지않은것 들) 것들은 미분의 예로는 적절치 않은것 같습니다
주식시장의 XY graph를 20년 넘게 그리면서(선행 ) 알게 된 건
환율과 주가의 상관 관계가 규칙적 이진 않지만 XY graph 안에서 같이 읽을 수 있음
서로서로 함수가 만든 길을 앞서거니 뒤서거니 헤어졌다 만났다 함
전에 댓글 달았던 대학생이에요. 영상 다 안 봤지만 댓글 먼저 남깁니다. 진짜 거짓말 하나도 안 치고 미분을 기울기라고만 생각하면 반만 이해한 거에요. 저도 인트로에서 머리를 탁 쳤습니다. '(함수) 기울기 배워서 어따 쓸 건데?' 그런데 이렇게 말하면 말이 달라지죠. '변화량 배워서 어따 쓸 건데?'
제가 베트남 유학생 친구들과 가까이 지내던 시절, 미분방정식 숙제를 해야 해서 잠시 영어로 된 강의교재(까리하죠?ㅎㅎ)를 들고서 친구네 집에 쉬러 간 적이 있습니다. 그 책을 보던 친구가 경악하며 물었어요. 이런 것 공부하면 어렵지 않느냐고. 저는 이 과목이 너무너무 중요한 것이라 했어요. 한국어를 너무 잘 했던 친구들이라 한국어로 설명해줬는데요, 그때 했던 말이 아직도 대충 기억나네요.
"우리는 항상 미래를 예측하고 싶어 하잖아. ****미분은 변화를 의미하는 거야.**** 그러니까 미분을 가지고 사회나 자연 현상이 어떻게 변화하는지 수학의 언어로 나타낼 때 미분을 쓰면 아주 실용적이야. 그렇게 방정식을 만들어서 미래를 예측하는 데에 쓰이는 중요한 과목이야."
참고로 그 친구들은 각각 국어국문학 전공, 미디어학부였습니다. 미분을 볼 일이 많지는 않을 것 같은데요, 글을 다시 쓰니 제가 위대한 연설가라도 된 것 같아 갑자기 가슴이 벅차오르네요, 먼 나라에서 여기까지 와서 공부할 정도의 수준을 지닌 친구들이면 제 말의 의미를 이해했겠죠? 그나저나 저런 말을 한 저도 참 대단합니다. 나중에 써먹어야겠어요 ㅋㅋ
공대 대학원까지 가놓고 내가 모르는 뭔가가 또 있나 싶어 10분넘게 본 내인생 레전드.. 많이 까먹었지만 정성적으로 다 아는내용이었고, 그보다 무슨 뜻인지 제대로 알지못한채 미적분 계산만 배우는 친구들이 생각보다 훨씬 훨씬 많다는것에서 꽤 놀라고 감...
저도 끝까지 보긴했는데 특별히 더 알아가는건 없네요. 근데 생각해보면 미분, 적분의 실제적인 쓰임과 그 의미에 대해서 이해하는 정도는 공학도가 수학도보다도 앞설 수 밖에 없겠다 생각드네요.
근데 보통 미분을 처음 배울때 큰구간의 기울기에서 x를 리미트 0으로 보내서 미소 구간으로 따질때 기울기니 변화하는 정도니 접선이니 모든게 하나의 개념이고, 라히프니츠 노테이션이 매우 합리적이라는것으로 받아들여지지 않나 설마 학생들이 그런정도도 모를까 하는 생각도 드네요. 저도 고등학생이었던게 너무 오래전이라 그 당시 내가 어떤 정도였는지 기억은 안나네요.
사실 매우 기초적인 영상임에도 불구하고, 시청해주시고 말씀도 남겨주셔서 정말 감사드립니다.
저는 물리학과 출신의, 한 입시 수학 강사이기에, 수학적인 엄밀성을 아주 많이 높여서 얘기를 전달해 드릴 수 있는 사람은 아닙니다.
그렇기에 이공계 출신의 현직자분들께서, 혹은 전공자분들께서 보시기에 많이 부족할 수 있습니다.
다만 현재의 입시 흐름에서는,
학생들이 수학을 단순히 문제풀이를 위한 내용인식을 추구하고 있는 경향이 매우 커졌기에, 이런 내용을 설명해 드리길 원했습니다.
심지어 최상위권 학생들마저도, 어떤 수학적 내용이 사실 무슨 말을 하고 있는 것인지- 연결고리를 찾는 것을 힘들어하는 모습이 요새 많이 늘었거든요.
더불어 수학이 싫었던 대중들에게 조금 더 친숙하게 다가갈 수 있는 수학적 이야기를 드리는 것을 목표로 하기도 했구요.
그래서 이런 영상을 기획하고 촬영해본 것이었습니다.
이제 말씀주신 내용을 바탕으로, 생각을 좀 더 해보겠습니다.
현직자,전공자 분들도 재미있게 시청하실 수 있는 소재도 발굴해 보고, 강의가 가능하도록 연구해보겠습니다.
다시한번 시청해주셔서 감사합니다.
@@Math_is_Dharma 아아..길고긴 댓글에 진심과 정성이 느껴지네요. 대학에서 수학을 다뤘던것도 근 10년 가까이 되었고 전공을 살리지 않았어서 정성적인 부분 외에는 거의 기억이 안난답니다..^^; 그런입장에 채널주인분의 이런댓글 마주하니 조금 민망하군요.. 하핫.
충분히 예상 가능하시겠지만은 과거 전공을 했을적의 저는 미적분을 공부하기보다 사용하는 입장에 훨씬 가까웠던 터라 훨씬 더 물리적이고 관념적인 이해를 바탕으로 많이 접했었습니다..ㅎㅎ 공학문제를 풀려다보면 물리적 이해를 바탕으로 미적분을 '이용'할수밖에 없는 경우가 대부분인지라.. 그러다보니 말씀하신 '문제풀이를 위한 미적분을 배우는 고등학생'과 어쩌면 정 반대의 입장이었겠다는 생각이 드는군요.
만약 말씀하신 부분 고민해보신다면 충분히 가치있고 생산적인 일이 될것이 자명해서 가타부타 말할 입장도 못되지만은, 대충 다 알면서도 영상을 끝까지 다 봤다는것은 그만큼 설명과 기획 영상제작 모두 완전했다는 의미이지 않을까 싶습니다..! 태클성 댓글이라 느껴지셨다면은 그런 의도는 당연히 아니었고, 아는 내용임에도 불구하고 '끝까지 봤고', '느낀점이 충분했다'는 감상정도로 가벼이 받아들여주시면 딱 적절하리라 생각됩니다 ㅎㅎ 영상 잘봤어요..!!! 감사합니다!
@@HWKim-ml2bu 수학전공을 하신 분들이 어느정도인지, 그리고 일반론으로 얘기할 수 있는 영역일지 제가 알지 못해서 어떻다-고 얘기하기가 쉽지않네요..ㅎㅎ 적어도 공대생일때의 저는 미적분을 '사용하는' 입장이었고, 물리적 이해를 수식으로 도출해내는 것이 늘상 해왔던 일인지라.. 오히려 미적분을 '숫자로만' 접근한다는것이 어색한 느낌이기도 했었습니다 ㅎ 그래도 재밌긴 했어요!
아이고 태클성 댓글이라니요, 전혀 그렇게 느껴지지 않았습니다. 오히려 어떻게 생각하시고 느껴지셨는지를 담백하게 말씀해주셔서,
영상을 기획하고 제작해야하는 제게 큰 도움이 된 글이었습니다.
말씀하신대로 미적분을 사용하는 관점- 에서 바라보는 것과 미적분을 배우는 관점- 에서 바라보는 것이 다를 수 있다는 것을,
이번 기회로 확실하게 알게 되었습니다. 그래서 더 많은 생각이 들게 만들어주셨고, 이에 진심으로 감사를 드립니다!.
초창기 영상이라 여러모로 부족한 점도 많이 있었는데도, 좋게 봐주시고 제 마음까지 챙겨주시는 댓글에 또한 감동하였습니다.
계속해서 노력해보겠습니다. 감사합니다!
I am so impressed with the way you explained it. Thank you so much.
Thank you for whatching! It's my pleasure! :)
아 이거 그거네요!
스튜어트 미분적분학 책에
‘미분’으로 용어는 같지만 오차율 구할때
선형근사 해서 쉽게 영향 구하고 하는거…
저는 공대 다니는데, 이런 개념이 상위 과목들 하면서 은근 자주 쓰이더라고요 ㅋㅋ
감사합니다.
헛... 정말 정말 감사합니다. 지금보면 화질도 별로 좋지 않고, 말도 약간 복잡하게 하는 듯한 상당히 오래전 강의라서
많은 분들께서 좋아해주시는 지금이 더 얼떨떨하고 그렇습니다.
그와중에 슈퍼챗을 해주시다니, 정말 이렇게 감사할 수가 ㅠㅠ.... 더더 기운내서 열심히 해보겠습니다!
이게 일변수에서는 그게 그건데 그래디언트 벡터는 확실히 변화율이라고 생각하는게 더 잘 이해되긴 하더라고요. 사실은 같은 말이고 둘 다 직관적인 개념으로 쓸 수 있어야 하죠...
예 맞습니다. 이게 일변수에서는 그냥 쓸데없는 과정을 더하는 것처럼 보이다보니, 오히려 고등과정에서 그 의미를 알면서 공부하는 경우가 많지 않게 됩니다.
이후 2,3부에서 말씀주신 이야기를 좀 더 이어서 진전시켜봤으니 그것도 시청 부탁드려봅니다. 감사합니다! :)
머신러닝 핵심입니다. 개념을 너무 쉽게 설명해주신 훌륭한 강의 잘 보고 갑니다.
고 3에서야 들을 수 있어서 정말 감사합니다 전부는 아니지만 미분의 이유에 대해 조금 깨닫고 가게 되네요. 다시 한번 좋은 강의 감사합니다 ❤
재무관리 배우다가 라이프니츠식 표현이 생소해서 찾아왔는데 더 큰 지식 얻고 갑니다. 감사합니다
으헉 재무관리.. 학부 재학때 교양으로 듣다가, 금융 시스템이라는게 얼마나 복잡하고 어려운지 처절하게 느꼈었습니다.ㅠㅠ
그나저나 재무에 관련된 수식이라면, 다변수 미분을 이어서 찾아보시면 학습에 더 도움이 되실 듯 합니다.
나중에 다변수 미적분에 관련된 영상을 언젠가는 저도 찍어보려 노력하겠습니다!
선생님! 영상 잘봤습니다. 29:42 하지만 여기서 교과서에 없다 하셨는데 설명하신 내용은 이미 교과서에 있습니다.🤔 사소한 옥의 티로 혹시나 좋은 영상에 흠이 될까 싶어 말씀 드립니다.
미분을 설명하는 단원들은 기본적으로 라이프니츠의 아이디어인 접선의 기울기에서 출발해서 뉴턴의 아이디어인 변화율 단원으로 마무리됩니다.
변화율 단원은 순간 변화율을 다루는 단원으로 시간에 대한 위치의 변화율.즉, 순간 속도와 시간에 대한 길이/넓이/부피의 순간 변화율을 다루죠. 사실상 이 부분은 학생들이 수학이라기 보다는 물리 단원으로 받아들이기도 하고, 사실상 교집합이기도 하죠. 그리고 예전 수능에서는 변화율 문제도 심심치 않게 출제 됐었고 그 중에 수조 문제가 기억에 남네요.
저도 예전 한국에서 강사 생활 했을 때는 항상 강사님처럼 두 가지 관점으로 설명을 했었습니다😁 하지만 상위권 제외하고는 문제 풀이가 더 급급하기에 학생들은 별 관심이 없을 뿐이죠. 사실상 수능에서도 아무래도 미분계수 쪽에 조금더 포인트가 맞춰져 있는 만큼 변화율적인 부분은 등한시 되게 되더라구요.
저도 수학을 사랑해서 10년 동안 한국에서 고3 수학 강사 생활했었습니다. 그러면서 대학 수학은 어떨까 항상 궁금증이 있었습니다. 그러다 인생 2막은 미국으로 이민와서 다른 일을 하며 살다 AI에 관심이 생겨 수학&컴공 복수 전공으로 다시 미국에서 대학 수학을 배우고 있네요🙂 대학 수학을 배우며 그 심오함에 압도 당할때가 한 두번이 아니에요.😅 반대로 컴공은 같은 수학을 바라보는 시야가 또 달라서 재밌더군요!
그런데 재밌는 점은 미국은 계산기가 허락되고, 계산기로 그래프도 그릴 수 있으니 한국처럼 너무 그래프에만 초점을 맞추진 않더라구요🙂 얘기하신 것처럼 실생활의 응용에도 초점이 균형있게 분배되는 것 같습니다.
선생님도 수학을 사랑하시는 분이시니 널리 널리 수학의 재미를 퍼트려 주세요💫🤩응원합니다!
정확한 지적의 말씀과 함께 생각할 거리를 함께, 길게 주셔서 저의 감사한 마음을 어떻게 더 표현할 수가 없습니다.
맞습니다. 말씀하신 대로 제가 영상에서 찍었던 이야기가 모두 교과서에 있습니다.
이게 변명이 될지는 모르겠지만, 작년만 해도 유튜브라는 것, 촬영이라는 것에 익숙하지 않아서, 제가 흥분한 나머지 과하게 표현을 한 것 같습니다.
2부에서 했던 디퍼런셜 폼 이야기라면 모를까, 지금보면 1부에서 했던 이야기는 선생님 말씀대로 전부 교과서에 있습니다.
저도 최근에 이 영상을 다시 보고, 아고 저런 표현을 왜 썼을까 하고 자책하던 중이었습니다.
잘못된 언급을 통해 불편한 감정을 만들어드리게 되어, 사과드립니다. 죄송합니다.
좋지않은 표현이 들어가 있어서 아예 영상을 통째로 내려야 하나, 아니면 영상 해설에서 사과를 드려야 하나, 현재도 고민이 많습니다.
영상을 아예 내려버리자니 이미 너무 많은 분들께서 댓글을 달아주셔서, 그러지도 못하고 난감해하고 있기도 합니다. ㅠㅠ
뭔가 고민의 결과가 생기면, 그 점에 대해서 확실하게 고지를 하고 교과서에 써져 있다는 말씀을 강조해서 다시 드리겠습니다.
선생님의 개인사를 들려주셔서 또 더 감사합니다. 수학 강사 활동을 하셨었군요. 고3만 10년이라니 어우 힘드셨을텐데 하는 생각이 들었습니다.
거기다가 인생 2막으로 일하시다가 다시 공부를 하신다니, 그 노력과 열정에 진심으로 경의를 표합니다.
그래서 정말 멋진 분이시라는 생각이 듭니다. 이민후에 여러모로 힘드셨을텐데, 일을 하시면서 학업에 대한 열의를 키우시고, 거기에 수학과에 컴공을 선택하시다니!
몇년후에 갑자기 떠오르는 스타트업이 있다면, 그중에 하나는 반드시 선생님께서 만드신 것일거라 확신합니다.
컴공과 수학과와의 수학적 차이를 재미있어 하신다니, 한번 더 '헉' 했고, 반드시 성공하실 분이라 생각이 들었습니다.
저는 잠깐이나마 연구소 근무할때, 물리학과와 수학과의 관점 차이 때문에 많이 힘들었던 기억이 있거든요.
(농담반 진담반으로 미리 싸인이라도 어떻게 받아두어야 하는거 아닌가 생각도 해보기도 했구요! )
이래저래 더 많이 썼다가 지웠습니다. 그저 더 연구하고 더 발전해 나갈 수 있도록 해보겠습니다.
좋은 말씀으로 부드럽게, 많은 것을 알려주셔서 정말 감사드립니다. 가끔 들러주셔서 또 따끔한 말씀 해주세요.
여러모로 바쁘실테지만 건강 꼭 잘 챙기시구요. 특히 난데없는 버그(!)에 너무 속상하지 않으시기를 또 기원합니다.
진심을 담아, 감사의 말씀을 끝으로 맺겠습니다. 감사합니다.
@@Math_is_Dharma 아시고 계셨는데 흥분하셨단 표현이 충분히 이해가 됩니다. 😅 사실 모두가 변화율 단원 별 신경 쓰지 않는데 그건 최근 수능의 경향 때문이겠죠...
댓글을 읽고 궁금해서 보니 시카고쪽 연구서에 계셨군요. 전 그 옆에 인디애나 살아요😆 물리학과 출신이신데 수학을 바라보는 관점이 수학과이시네요? 더군다나 물리 강사님이 아니고, 수학 강사님이라니 너무 멋지시네요🤩👍 딱 봐도 수학에 대한 많은 고민과 탐구를 하신게 보입니다.
저도 양자역학에 관심이 조금 생겼어서 일반 교양 영상 보다가 성에 안차서 차동우 교수님의 고급 물리학 강좌를 보고는 했는데 이제는 시간이 없어서 못 보고 있네요. 핵입자 물리학을 하셨다니 잘은 모르지만 대단하십니다!!!!
요즘 저의 대학 생활은
수학 : 이 어려운 문제를 어떻게 풀까?🤔
컴공 : 이 쉬운 문제를 어떻게 못 풀지!😮💨
이러면서 가끔씩 자괴감이 듭니다.🤣 예를 들어 {3, 5, 4, 2, 1} 대소 관계로 배열하는 코딩 문제는 너무 쉬워 보이는데 알고리즘이 한 15개 정도 되거든요. 너무 재밌죠?
글구 코딩이란 게 한 번 쭈욱 쓰고 에러 없이 실행되는 경우는 거의 없더라구요?🤣디버깅도 어차피 코딩의 한 분야라 마음을 비웠습니다🙂
또 컴퓨터의 역사를 공부하다 보니 알게된 것이 사실 힐베르트 프로젝트를 좌절시킨 괴델의 불완전성 정리를 "수학자" 앨런 튜링이 본인만의 사고실험으로 증명했고 이 때의 튜링 머신이 지금의 컴퓨터가 됐다는 것. 전 튜링이 수학자인질 몰랐었어요. 크으~수학의 자유로움이란...💫
댓글이 쓸데 없이 길어졌는데 수학을 좋아하시는 분을 뵈면 어쩔 수 없나봐요~하고 싶은 얘기는 많지만 이만 줄이겠습니다! 구독 완료 했으니 좋은 영상 많이 부탁드려요!
제품 생산 과정을 비유로 들어주셔서 정말로 라이프니츠의 위대함이
확 와 닿는 느낌이네요.!
그리고 주어와 목적어로 표현하신 부분은 조금 다른 느낌으로 해석되어서
개인적 의견으로는 주어 -> (인풋 혹은 입력), 목적어 ->(아웃풋 혹은 출력)
이렇게 표현하는게 어떨까 싶네요.
좋은 강의 감사합니다😄
잘된 점과 그렇지 않은 점을 콕 찝어서 이야기해주시다니! 그저 감사합니다. 다음번에 또 다른 영상을 찾아뵐때는, 말씀해주신 용어 설명의 작례를 꼭 참고하도록 하겠습니다! :)
제 생각에는 편미분까지 감안해 봤을때는 주어와 목적어가 더 잘 어울리는 비유 같은데요 ^^
@@MichaelArchangel-d4i 앗! 저의 정확한 의도를 한방에 파악하셨습니다. 감사합니다. 저도 차후 편미분까지를 바라볼때, 목적어라고 쓰는게 맞겠다 싶어서 제안한 비유였습니다.
저는 전산물리학자인데요 도함수의 값은 기울기이며, 기울기 라는게 정의역 변화에 대한 치역 변화율이라고만 생각했는데, 기울기라는 용어가 각도와 연관된 용어 처럼 오해를 낳는 경우가 있나봐요. 번역이 마음에 안 드는 경우가 많아요. 그런데 선생님께서는 원래 교양수학을 강의 하시는 분이신가요? 대중강연이 가장 힘들던데 존경합니다.
헉. 전산물리를 연구하시는 분께서 댓글을 달아주시다니 영광입니다.
예 아무래도 정말 예전에 번역해 둔 그 용어들을 그대로 쓰다보니, 그 용어때문에 헷갈림이 발생하고 있는 것도 사실입니다.
저도 정말 마음에 안들지만 어쩌겠어요 ㅠㅠ.. 가끔씩은 그냥 영단어를 직접 가르칠 때도 있습니다.
그나저나 저는 교양수학을 강의하는 사람은 아니고, 그냥 일개 고등학교 수학을 가르치는 강사입니다.
좋은 말씀 주셔서 감사합니다. 새해 복 많이 받으세요!
와 34분 35초 시간이 아깝지 않았던 훌륭한 강의였습니다. 최고~~!!
결국 미분이라는것은 함수관계에서 변수가 변화함에 따라 목표가 변화하는 정도를 예측하는것! 이라는 것이네요.....인생 유레카를 외치고 갑니다!!!!!!
학교 다닐 때 미분의 활용 방법을 배웠다면 더욱 열심히 공부했을 것입니다.
사회 생활을 하면서 미분의 위대함을 깨닫고 있습니다.
미분의 본질을 잘 알려주는 훌륭한 강의라고 생각합니다.
멋진 강의 감사합니다.
예전에 찍어둔 미분 강의였는데, 지금 보니 좀 부끄럽기도 한데요 ㅠㅠ 좋은 말씀 감사합니다.
미분을 왜 배웠는지 30이 되어서야 알게 되었네요. 감사합니다. 이어서 다변함수 구현 방법에 대해서 궁금해지네요.
앗 감사합니다. 다변함수를 구현하는 것이라면.. 음..
나중에 간략하게 예시를 들어서, 실제 사용방법에 대한 이야기를 드려보겠습니다!
@@Math_is_Dharma 와! 감사합니다:) 영상 감사합니다.
다변함수, 예를 든다면 욕조에 물을 가득 채우기 위한 함수를 Y 라고 한다면 유입량, 욕조크기, 유입구의 위치, 중력, 물이 빠지는 양 등등 다양한 요인들이 작용할 수 있을 것입니다. 그러한 변수들이 여러가지 작용한다 생각하시면 될 것 같습니다. 따라서 그러한 요인들을 발견, 확인, 적용 시키게 되면 오차가 줄어들고 더 정확한 값에 도달하게 되겠죠. 그리고 그러한 변수들이 Y에 미치는 영향이 2배, 3배, 4배 로 작용한다면 함수에 그렇게 적용 될 것이고, 제곱배 세제곱배로 작용한다면 제곱, 세제곱으로 표현될 것입니다.
제가 이해하고 있는 함수의 정의이고 만약 틀리다면 @수학은다르마 님 설명 부탁드립니다.
아닙니다. KB P님께서 정확하게 말씀해주셨습니다. 다만 다변수 함수의 구성에서 비례관계가 성립하지 않는 경우가 더 많기 때문에, (말씀하신 상황은 비례관계입니다.) 그런 것들을 어떻게 구현하느냐에 대해서 수학적인 지식이 더 많이 필요해질 뿐입니다.
좋은 지식 공유 감사합니다
그런데 댓글 다신 분들 대학공부 제대로 하면 잘 알려줘요,,변화를 예측하는 도구라고
라떼도 고등학교때 미적분 배울때 수학쌤이 하는 첫마디가 "미분은 기울기고 적분은 면적이다" 라는 전제로 먼저 배운듯 합니다. 미적분을 제대로 배운건 전공이 공학쪽이고 대학교에 가서야 겨우 알게 되었습니다.
요즘 핫한 인공지능, 딥러닝 기술의 가장 핵심 적인 근간이 되는 내용을 전부 설명해주셨네요. 감사합니다. ChatGPT도 결국 어마무시하게 커다란 함수 만들어 놓고 대량의 데이터 때려박아서 미분(빠른 계산을 위해 딥러닝에서는 백프로파게이션을 사용합니다.) 활용해서 데이터와 최대한 유사한 아웃풋을 내는 함수를 학습시키는 겁니다.
딥러닝에 관한 이야기를 많이들 주셔서, 언젠가 그런 쪽 이야기도 다뤄볼 수 있었으면 하고 있습니다.
시청해주시고 좋은 말씀 남겨주셔서 감사합니다! :)
말씀하신 내용의 끝판왕이 요즘 인공지능 빅모델이죠.. 좋은 내용 감사합니다.
아하 그렇군요. 이런식으로 세계관을 확장하다보면 점점 식을 불려나갈 수 있고, 그러면 AI 에게 자체적으로 학습을 시키는 것도 가능하겠네요. 와 멋진 댓글 감사합니다. ㅠㅠ
선생님이 y를 x로 미분해라 (타동사) 뜻이라고 설명하시는 중인데?? 그러면 목적어와 목적보어가 될 듯.....미분하다를 타동사로 자동사로 해석할때만 d는 주어가 될 수 있을듯^^ 중 2수포자인 저에게 큰 도움이 되는 강의입니다. 감사합니다. 주어 (dx) 와 주격 보어(dy). 주어(dx)가 변화하는 것에 비례하는 주격보어의 변화 비율은? = dy. !?
아무도 알려주지 않고 제가 대학교 3학년이 되어서야 혼자 이해했던 개념이었는데 이걸 고등학교 선생님이 알려주었으면 제가 더 발전했지 않을까 생각드네요
염색 안하신 것 같은데 머리색이 너무 멋지네요 강의 잘 들었습니다
사실 저 젊은데요.. 흰머리가 진짜~~~~ 많아서, 은근 염색한것처럼 보입니다. -_-.. 냅두면 아예 흰색이 되어요 ㅠㅠ
미분 적분이 실생활에서 어디서 쓰이는지 가르쳐주는 선생님들이 아무도 없엇네요 사회에 나와서 학생시절 괴롭혓던 특히 미분 .왜필요 한진 조금은 이해 됫습니다 근데 적분이 더 이해는 되더군요 ㅋㅋ
현재 미적분을 배우는 학생입니다. 예전엔 정확한 의미는 알려주지 않고 사용법만 알려주었나요?
지금은 고등학교에서 미분이 변화율을 의미하고 리미트를 붙여 순간 변화율을 의미한단 걸 가르쳐 줍니다.
수학책에도 새로운 수학을 다루는 방법만 나와 있는 것이 아닌 증명법이나 그 공식이나 법칙의 진짜 의미, 그리고 그런 것들이 만들어지게 된 역사와 배경을 설명하는 페이지도 많이 껴 있구요.
확실히 그런 것들이 있으니 미분을 쉽게 이해할 수 있었습니다. 그 의미를 모르고 배우면 막막했을 것 같네요.
2학년 때 미분을 처음 배우고 선생님한테 왜 d나 dx를 사용하냐고 그 글자가 뭘 의미하냐고 질문을 했다가
선생님도 모른다는 답변에 당황했었는데요, 그런 질문을 한 학생이 그동한 한명도 없었다고 합니다. 그것도 충격이네요.
전 d에서 differnt를 떠올리기보다 delta를 떠올려 이해했는데 우연히 의미가 비슷해서 다행이었군요.
앗 현재 수험생활을 하고 계신건가요? 정말정말 고생이 많으십니다.
예 예전에는 확실히 '의미'가 아니라 기계적인 암기에 의한 학습을 강요하는 면이 많이 있었습니다.
그것에 대한 반발로, 지금 현행 교과서에서는 이런 저런 이야기를 많이 담고 있게 된 것도 맞구요.
동시에 그렇게 체제가 변했지만, 여전히 그런 이야기는 빼고 문제풀이만 집중하는 수업이 많은 것도 사실입니다.
사실 제가 영상에서 의도했던 것은 '그런 의미'를 담고 있게 되면 더 재미있게 되고 더 이해도가 증진되기에,
그것을 강조하고 싶었던 것인데.. 유튜브 초창기 영상이면서, 중장년층과 학생 모두를 대상으로 잡았던 영상이라..
찍으면서 흥분한 나머지, 예전 교육과정과 현 교육과정의 교과서 차이를 언급해드리지 않고
그냥 '교과서에는 잘 안나온다'라는 의미를 강조한 느낌으로 전달되었나봅니다.
그래서 많은 분께 죄송해지고 있는데요.
혹시나 싶어 귤님께도 여쭤봅니다. 그점이 지나치게 강하게 느껴지시던가요?
그럼 아예 영상을 내려야 하는가.. 이런 식의 고민도 해보고 있기도 합니다. ㅠㅠ.
그 책에 나와있는 것도 간략하게 요약한거임. 진짜 미분의 정확한 뜻을 100% 이해하고 있는 애는 거의 없었음
@@Math_is_Dharma 그런 느낌이 강조되는 느낌이 있긴 하지만 영상을 내릴 정도는 아닌 것 같습니다!
이 영상이랑 다음 영상이 유기적으로 연결되어서 미적분에 관한 의미를 전혀 모르던 분들께 특히 중장년층분들께 많은 도움이 되는 것 같구요. 다만 현 교육과정을 따르는 10대 20대에게는 이번 편은 패스해도 될 정도로 느껴집니다.
2편 3편까지 전부 봤는데 2편부터 제대로 된 추가 정보를 얻을 수 있었네요! 유익했습니다! 내용의 연계성을 위해서라도 1편은 남기는 편이 좋을 것 같습니다.
미분의 정의도 순간 변화률이고 이걸 2차적으로 해석하는 와중에 직선에 익숙한 학생들을 위해서 기울기라고 2차적으로 해석해서 강의하신 분들이 많아서 그런 것 아닐까요? 그렇다고 크게 의미를 부여해서 기울기가 진짜가 아니다라고 할 정도는 아니라고 생각합니다.
강의 내용 중에 틀린 부분이 있습니다. 원심력 때문에 접선 방향으로 직선으로 날아가는 것이 아니라, 구심력이 없어졌기 때문에 접선방향으로 날아갑니다. 원심력은 회전하는 물체 관점에서 느껴지는 겉보기 가속도입니다(구심가속도에 대응되는).. . 알고계시겠지만 곡선 의 어떤점에서 접하는 방향과 수직인 방향으로 나누어 1차 미분하면 속도가, 2차 미분하면 가속도 항이 나타납니다. 원운동은 접선 방향으로 가속도가 0이고 수직한 방향으로 일정한 가속도를 가지는 특수한 운동이고, 일반적인 경우에 원주 좌료계에서 미분해보시면 코리올리 가속도 항도 유도됩니다.
제가 늦은나이나마 찾던 수학강의 입니다..살면서 꾸준히 배워가겠습니다
배움에 늦고 빠르고가 어디 있겠습니까. 선생님의 학구열에 감동하고 또 응원합니다!
@@Math_is_Dharma선생님~ㅜ 수학을 조금이라도 익숙하게 사용하는 현업분들이 아닌 이상, 평가를 위한 수학에 짓눌려 매너리즘에 젖어있는 사람들이 많아보이는데
그렇잖아요 후회라는건 절대 사람이 살면서 할게 못된다는거..
한창 공부에 열심이던때 수학을 잘했건 못했건, 왜 저런식으로 먼저 배우지 못했나하는 아쉬움이 비로소 이런 영상을 보면서 계몽된다는걸 알아주셨으면 너무 좋겠습니다
이 매너리즘에 빠진 분들을 타겟으로 & 핵심과 본질에 좀더 집중하려는 시대상에 맞는~ 이러한 영상 많이 공유해주셨으면 좋겠습니다
꼭 유튜브가 아니더라도 이게 선생님의 하나의 꼬리표가 되서 어느 플랫폼을 가던 따라다닐 수 있는 머니무버가 되셨으면 하는 바람입니다(허걱 갑자기 오지랖이 생겨버렸네요 죄송합니다ㅋㅋㅋ)
하시는 일 꼭 잘되시고 건강하세요😊
수학에서 표현이 중요하다는 건 아무리 강조해도 지나치지 않다. 수학은 추상화가 핵심이고 추상화는 적절한 표현으로 본질만을 유지하고 비본질을 감추는 것이다. 선형 방정식 시스템을 표현하기 위해 행렬을 썼더니 행렬의 고유값에 대한 이론이 나오고 여기서 행렬로 표현된 선형 방정식을 효과적으로 푸는 방법들이 개발되었다. 모든 다차원 미분 문제도 다 행렬 연산 문제로 바뀌고 행렬의 고유값 특성을 이용해 풀리게 된다.
x가 변화할때 y의 변화율은 도함수 f'(x)가 아닌 f(x)로도 충분히 표현할 수 있지 않나요? 굳이 미분하는 이유가 혼동됩니다. 즉, y값하고 y'의 차이가 무엇인지가 모호해서 무지 혼동되는데 저만 그런가요? 쉽게 설명해줄 수 있는 자료가 있을까요?
임의의 양수 h에 대하여 (f(x+h)-f(x))/h 가 님이 말하는 변화율입니다. 여기서 h를 무한히 작은수를 봤을때의 변화율이 미분계수이고, 이때 이 과정을 계속쓰기 번거로우니 f’(x)로 정의한겁니다.
충분히 표현할 수 있습니다. 미분 발명 초기, 라이프니츠는 f'(x)를 사용하지 않았습니다. dy/dx를 사용했지요! 이 부분은 뉴우튼도 마찬가지고요! 우리가 미분하는 이유는 기울기 또는 변화량을 구하기위해서죠! 후대에 f'(x)를 사용했는데, 후대에 프랑스의 수학자 조제프-루이 라그랑주가 만들었습니다. f'(x)의 의미는 f(x)에서 파생되었다라는 의미입니다. 곡선의 기울기 곡선 면적 체적을 미분과적분으로 상호 역연산으로 해당 값을 구할 수 있습니다. f(x)와 f'(x)는 상호 연관이 있고, 이 곡선의 기울기와 면적 그리고 체적을 함수로 표현할때, 그 함수들이 어떤 상관관계를 가지고 있는지 어떻게 표현해야되는지 알려줍니다. 그게 미적분의 핵심입니다.
선생님 정말 감사합니다 덕분에 태생적인 문과생이 미분에 대해서 개념적으로 이해하게 되었어요!
근데 여전히 풀리지 않은 의문이 있는데요, 왜 굳이 '접선의 기울기'를 변화량을 구하는 데 사용하나요? 처음 함수만으로도 변화량을 구할 수 있지 않나요? 예를 들어 단순한 2차 함수에서 × = 2 일 때 y = 4 이고 × = 6 일 때 y = 36 이니까 ×가 4만큼 변하면 y는 32만큼 변한다. 이런 식으로 표현할 수 있고, 일단 어떤 현상이 함수로 표현이 되면 변화량은 바로 알게 되는 건데 왜 하필 접선의 기울기로 변화량을 측정하게 되는 건지 개념적으로 이해가 안 갑니다, 답변해주시면 감사하겠습니다!
예시처럼 x의 변화량이 유의미할때는 함수가 주어지면 y변화량/x변화량 을 쉽게 구할 수 있고, 그걸 평균변화율이라고 부릅니다.
뉴턴 라이프니쯔는 x의 변화량이 0에 근접할때 두 변화량의 비를 구하는 방법을 고안했고 그걸 순간변화율 또는 미분 (그래프에서는 접선기울기)이라 합니다. 고등학교 교과서에도 이렇게 기술되어 있고, 함수가 그래프가 아니라 넓이 부피 위치 여러가지 양에 대하여도 순간변화율 구하는 방법이 잘 기술되어 있습니다. 고등 교과서만 제대로 봐도 미분개념 이해하는데 큰 무리가 없다는 얘기죠
난 고딩때 누구보다 미분의 본질과 개념에 대해 잘 이해하고 있었음. 미분이 뭐냐고 물어보면 아무도 말로 설명을 못하는데 난 선생보다도 잘 설명할 수 있었음. 그렇지만 귀찮아서 물량공세를 안했더니 기계적으로 미분이 정확히 뭔지도 모른채 그냥 공식으로 하루에 수십 수백개씩 문제만 풀어댄 애들한테 성적에서 밀림. 고딩수학은 질보단 양인걸 이때 느꼈지
이야.... 40대인데요... 20년전 대학수학만 3번 재수강해서 수학에 잼뱅인데요 ㅋㅋ 빈머리에서 보니까 이해가 되네요.
12:55 무쳤다.......내가 찾던 강의가 이거였어!!!!
감사합니다! 앞으로도 많이 찾아주세요!
안녕하세요 그냥 대학에서 미적분학을 기계적으로 수강만 해온 사람으로서 너무 재미있게 봤습니다! 혹시 적분의 의미에 대해서도 이런 영상을 만들어주실 수 있나요??
앗 재미있게 시청해주셔서 감사드립니다.
이번에 적분의 영상을 한번 만들어보았습니다. 연작시리즈로 진행할 예정인데요.
처음시작으로 정적분에 대한 영상을 한번 제작해보았습니다. 적분은 확실히 할 이야기가 많아서 좀더 길어질 것 같습니다. ㅠㅠ
기울기=변화량=f프라임=d/dx f(x) = df(x)/dx=dy/dx =derivative of f
개념 설명을 정말 잘하시네요
히스토리까지 설명하니 재미있어요
미적분 사인 코사인 탄젠트 이런게 별 쓸모가 없을줄 알았는데 산업현장에선 필수임. 특히 금형에서 입체가공할 때 쓰임.
헉 금형과 입체가공!
항상 머리속으로만 뭔가 만지작 하던 저로서는,
기계를 다룰 수 있는 분들과 뭔가를 제작할 기술을 갖고 계신 분들이 세상 제일 멋져보이십니다. ㅠㅠ
매번 엔지니어분들께 필요한거를 제대로 설명하지 못해서 늘 곤란해하고 막 그랬던 기억도 납니다 ㅠㅠ...
고등학교 때 수학 시간에 미적을 배우고
물리 시간엔 뉴턴 역학을 통해 미적 활용법을 배움
당연히 정상적으로 고등학교 졸업하면 알고 있어야 하는 내용입니다.
보통 물리를 안 하죠.
근 20년전 교육과정이 였지만 수2때 미적분을 배우지만 물리1때 뉴턴역학 배울때는 등가속도까지 다루는 지라 미적분을 심도있게 적용하고 배우는 것을 많이 생략하고 배웠던 기억이 있네요.
바로 구독 박았습니다. 선생님 혹시 이런 일반인 교양수학 저서를 발간하실 계획은 없으신지요?
헉 강렬한 구독 감사합니다. 이런 일반인 교양서적이... 음...
과연 이런 책을 내면 누군가 보기는 할까요? 하는 심대한 의문이 있기는 합니다 ㅎㅎㅎ
@@Math_is_Dharma 선생님께서 지식 뿐 아니라 지식 전달력이 뛰어나셔서 기획만 잘 되면 좋은 결과물이 나올거같습니다. 천천히 시간을 두시고 나중에 준비되시면 출판사들이랑 미팅을 해보시면 좀 도움이 되지 않을까 싶습니다..
1년 늦게 만나도 지금이라도 수업 듣게 되어 기쁘고 영광입니다
대학교 공업수학 배우면 수학이 자신감 떨어지는 이유가...
미분표현을 뉴튼식에서 라이프니쯔식으로 바꿔서 배우디보니 수학에 자신감이 떨어지면서 현타가 오지요
중요한 지적입니다
30년전 선생님 수업 수학시간에 들었다면 수포는 안했을거에요
미분이 이런것을 이제야 이해되네요ㆍ
🎉🎉🎉구독합니다
정말 좋은 강의네요 미분에 대한 이해도가 달라졌어요!
좋은 댓글 감사합니다!
가르침 감사합니다. 다만 설명해주시는 동안 중복된 문장이 많이 들려 설명시간이 길어지고 늘어지는 듯 합니다.
조언감사합니다. 이 영상이 저의 초창기 영상이다보니 많이 긴장하고 또 어려워했었던듯 합니다.
조언해주신대로 좀 더 간단명료한 설명을 할 수 있도록 노력하겠습니다!
선생님 덕분에 차원높은 미분 배워갑니다 미적분에 깊은의미를 깨닫게 해주셔서 감사합니다ㅠ 함수와 미적분이 이렇게 깊은관련이 있다니 놀라워요
변변치 않은 강의였는데 좋은 말씀 주셔서 제가 더 감사드립니다. 사실 미적분은 함수를 더 다루고, 더 의미있게 만드는 도구인데 대부분은 그저 기울기로만 인지하고 또 그런 식의 '문제'들만 푸는데 익숙해져 있는것도 사실입니다. 그런 점들이 안타까웠습니다. ㅠㅠ 여하간 재미없는 강의였을텐데 재미있게(?) 들어주셔서 감사합니다!
말씀하신 내용은 수학 교과서가 아닌 대학수준의 자연과학 교과서에서 가장 먼저 다루는 내용일 것 같습니다. 따라서 대부분 이공계열 학부과정을 거치신 분들이라면 어렵지않게 이해하고 있으리라 믿습니다. 말씀하셨던 것 처럼 유튜브에 없는 이유도 설명해주신 내용은 워낙 기본이기 도하고 필요로 하는 학문에서 수학적으로 설명해주지는 않기때문에 그렇지 않을까 싶습니다.(미적분학 과정에서 3차원 공간에서의 변화량을 다룰때 잠깐 설명했던 기억리 있긴 하네요) 다만.. 고등학교 수준에서 전혀 활용될 것 같지 않은 내용들을 고등학생들이 듣는다고 흥미있어할지 미지수네요ㅠ 이번 시리즈는 현역 학생들 보다는 다 큰 아저씨들의 지적 호기심을 채워준 것 같지만 꾸준히 활동해주셔서 학생들의 수학에 대한 관심을 올리는데 기여해주시기 바랍니다!🎉
장문의 댓글에 감사드립니다.
예, 말씀주신대로 제가 이 영상에서 이야기했던 것과, 이어서 2,3부를 거치면서 이야기했던 미분의 이야기는 학부과정 이상의 자연과학에서
사용되는 미분의 이야기들을 담고 있습니다. 따라서 이공계열 출신이시면 당연히 쉽게 이해하실 수 있는 이야기입니다.
그런데 고등학교 과정에서는 전혀 활용될것 같지 않은 내용들로 보인다는 말씀에는 다른 이야기를 조금 드리려 합니다.
2010년대 이후로, 개편된 교육과정에서는 다양한 수학의 체계를 학생들이 받아들이게 하는 것을 목표로 삼고 있는듯 합니다.
이를 통해서 학부수준의 수학으로 자연스럽게 넘어갈 수 있고, 또 수학의 많은 다른 이야기들을 유추하도록 하는듯도 합니다.
그래서 교과서 자체에서 이미 속도,가속도,뉴턴과 라이프니츠의 미분 표기등을 다루고 있으며, 이를 통한 함수의 변화량 유추하기,
그에 더해서 매개변수와 음함수의 미분에 대해서도 전반적인 내용을 실어두었습니다.
추가적으로 교육과정이 바뀌면서, 전체적인 수학 교육의 볼륨이 줄어들다보니 이제는 더 '깊은' 수준의 내용만 출제되도록 수능이 변화했습니다.
따라서 가장 어려운 수능의 킬러문제에서는, 심지어 다변수 함수의 미분으로 적용되는 상황과, 그에 따른 내용들도 출제가 되었었습니다.
(이런 유형의 문제는 제 다른 영상 th-cam.com/video/Uej6v47nO3I/w-d-xo.html 에서 다루기도 했었습니다.)
이제 속도, 가속도 및 물체의 변화율 문제는 다년간 수능에서 반드시 출제되었던 내용이라 쉬운 내용으로 보기도 하구요.
그런데 이제 현실의 상황에서는, 사실 교육과정 내에 분명히 존재하는 이야기임에도 불구하고,
단순히 미분을 기울기로만 받아들이고, 그렇게만 외우라고 교육받기에 '이게 도대체 무슨 소리인가' 하는 생각으로
수학 학습에 어려움을 느끼는 학생들이 많이 생겨버렸습니다.
이에 대해서 학생들에게 기울기가 아닌 미분에 관해 관심을 환기하고, 실제로 이해를 돕기위한 용도로도 쓸수 있게..
그러면서도 또 동시에 이공계가 아닌 일반인분들을 위한, 미분을 이해하는 용도로 영상을 제작해보자 이렇게 생각을 하고 진행을 했었습니다.
하지만 제 영상에서 이런 생각이 제대로 전달되지 못했음에, 심심한 사과의 말씀을 드립니다.
시작인 1부에서라도 조금 더 세심하게 고등학교 과정과 연결고리를 좀 더 성립하도록 진행했어야 하는게 아닌가, 후회가 됩니다.
영상을 보시는 내내 불편하셨을텐데 그럼에도 불구하고, 따스한 시각으로 응원의 말씀까지 주셔서 또한 감사드립니다.
고등학생들에게는 별 관심이 없게 되었지만, 그래도 많은 분들께서 관심을 가져주셨으니 사실 그게 더 감사한 일이겠죠 ㅠㅠ
말씀주신대로를 생각하며, 향후 영상을 제작함에 있어 더 주의를 기하도록 하겠습니다. 감사합니다.
수학분야의 마이클 패러데이를 꿈꾸시는 분이군요. 응원합니다.
헉… 해이해지던 정신을 번쩍 들게 만드는 말씀이십니다. 감사합니다. 열심히 하겠습니다.
작년에 졸업을 위해 어쩔 수 없이 학점 채우다가 선형대수학을 배우면서 수학에 대한 관심이 좀 회복되었는데 이 강의를 들으니까 더 신기하고 재밌네요..
선형대수의 큰 그림이라도 보여주고 수학을 했다면 어쩌면 중고등학교때 수학을 꽤 좋아했을지도 모르겠어요.
좋은 강의 감사합니다.
맞습니다. 중고등학교때 큰 그림을 보여주고 수학 수업을 진행했다면, 아마도 수학을 더 재미있어 했을 학생들이 많이 있었을거란 생각에 제작을 시도해봤던 영상이었습니다. 물론 일반인 분들도 봐주시면 좋겠구요. :)
….그나저나 그럼 작년에 졸업하신건가요? 졸업을 축하드리고, 고생하셨으며, 이제 사회에서도 다시 시작된 루틴에서 굳건히 버텨내시기를 기원합니다. 화이팅입니다!
쌤처럼 이해시키려~엄청노력해보고
정00 차00현00쌤 수업도 듣고이거구나 싶다고가도 그래서뭐?? 더한건없을까? 더빠른건? 진실은? 그래서 쌤처럼 수학역사와. 진짜를 찾다 찾은거같습니다~ 노력하신쌤에 존경을보내며 끝까지 경쟁하소서 저도 영상보고 더낳아지려하겠습니다 조금만 재밌게~
F=m•a, a=v/sec 라는 뉴턴 방정식으로 시간텀 이동거리 미분을 설명하는 것은 20세기 과학문명의 토대.
의미를 알아야 가치를 확인하고 배움의 즐거움이 보이는데 이곳 현실은 - 그래도 이렇게라도 알려주시는 분이 있어 감사합니다
원래 무엇인가를 깨달았을 때 순간의 기쁨이 있고 말을 하는 사람과 말을 하지 않는 사람으로 나뉘는데 이곳 특성이 여러사람에게 둘러쌓여 논쟁도 아니고
인민재판을 받을 수 있기에 말을 하지 않는데 그리고 대부분 예외적인 것이 존재하는데 그걸 가지고 공격하기에 입을 닫게 되는데... 감사합니다
그런데 말입니다 그것이 현실의 무엇으로 연결될까요 ㅋ 생각하는 그것으로 이어집니다 알려주려해도 받아들이지 않기에 그자리인걸 모릅니다
60년대였나 그이전이었나 미국의 흑백교육자료를 보다보면 이곳 학교에서배운게 뭐지라는 생각이
이미 모든걸 알고 이해해야 그래 그건 그런 관점에서 그렇게도 말할수 있지로 답할정도 학교란 건물속 교실이라 불리던 공간안에서
앞에 서있는 사람도 이해를 못하며 설명이아닌 강요를 하던 모습-그건 당연히 그거야 이해를 못하겠어- 들이 스쳐감-
잘못된 번역본 공부하던 -그걸 억지로 맞다고 머리에 주입했던 기억도 .... 암흑의 역사
amazing !!!! thanks for your great video ,got some confidence to continue learning calculus1111
I really appreciated that your compliment! And always, if you got some any questions about math, please let me know it. If I could help that, I’ll bring some video for you very right then. :)
깨봉수학보다 훨 잘 이해되도록 가르치시네요. 나이 오십에 미분을 알았습니다. 적분도 알려주세요
도움이 되셨다니 다행입니다. 깨봉수학은… 음.. 저랑은 지향점이 많이 다른 곳이더군요.
최근에 라디오 광고도 진행하는 것을 들었는데, 으음.. 부럽기도 하고 음. 뭐 음.. 그렇습니다 ㅎㅎㅎㅎ
수학 자체와 명쾌한 설명에 감동받고 갑니다. ^^
설명 감사합니다 덕분에 수학에 더 많은 관심을 갖게 되었습니다. 폼지리네요^^
도움이 되셨다니 다행입니다. 폼이 저도 좋았으면 좋겠는데요 ㅎㅎㅎㅎ
그래서 경제학이나 물리학이 일종의 응용수학인 거죠.... 경제학적 문제나 물리학적 문제를 이해하고 풀려고 하면 수학이 저절로 이해가 되죠... 오로지 수학만을 위한 수학은 학습에 한계가 오기 마련입니다...
예 맞습니다. 분명 수학은 그 자체로서 끝을 추구할시에, 무한한 지적 유희의 추구가 가능한 과목이지만,
애초에 출발할때부터 그 아득한 목표를 바라본다는것은 정말 소수의 몇몇 뛰어난 분들만 가능한 얘기가 되어버릴 겁니다 ㅠㅠ.
너무 재밌다... 고등학생때는 아무것도 모르고 기계적으로 미분하고 있었네요 😮
재미있게 봐주셔서 감사합니다!
8분 43초에서 라그랑주 노테이션과 뉴턴식 노테이션에대해 저는 라그랑주표현법을 뉴턴식이라고 배웠거든요. 제가잘못배운건가요?
라그랑쥬 노테이션은 프라임을 찍는 것이구요. f’ 이렇게 표현합니다. 뉴턴의 노테이션은 위에 동그란 점을 하나 찍는 것인데,
제가 7:40 부터 표로 보여드린 내용에서 그대로 나오고 있습니다. 뉴턴의 노테이션은 고전역학책이 아니면 거의 찾아볼 수 없기 때문에,
라그랑쥬 노테이션이 뉴턴식 노테이션이라고 잘못 알려지는 경우가 많이 있습니다.
내가 미분을 이해하는 날이 오다니...
옛날 선생님들은 이렇게 재미있는 수학을 포기하도록 만드는 단체라도 가입했던걸까?